ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА МНОГОЧЛЕНОВ С ВЕСОМ X SH πX/2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.587

В.М. Галкин, Л.Н. Ерофеева, С.В. Лещева, В.И. Сухов ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА МНОГОЧЛЕНОВ С ВЕСОМ *

, жх sh

2

Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева

Строится система ортогональных многочленов на интервале (- от, + от) с весом ф(х) _ х . Находят-

ф , лх

-

2

ся производящая функция, рекуррентные соотношения. Указывается связь с непрерывными дробями.

Ключевые слова: вес, ортогональность, рекуррентное соотношение, непрерывная дробь

Настоящая статья, по существу, представляет одно целое с [1], где без доказательств были приведены сведения об ортогональных многочленах для веса 1 / еЬ лх. Эти доказательства проводятся аналогично тому, как проделывается ниже для вводимых многочленов. Если многочлены из [1] имеют отношение к математической статистике, более точно к вероятностному распределению Коши, то мотивированием введения новых многочленов служит

от ^ от ( ^)к-1

факт выражаемости через степени числа л сумм рядов и V—--— 2, _. при к _ 1,2,....

п _1 п „ _1 (2п -1)

1. Приведем необходимые для дальнейшего сведения из общей теории ортогональных многочленов ([2], [3]).

Последовательность многочленов Р0(х), Р^х),..., Рп(х),..., где Рп имеет степень п , ортогональна на интервале [а, Ь] с весом ф(х)> 0, если

ь

| Рп (х)Рт (х)ф(х)аХ _ 0, при п Ф т. (1)

а

Существуют два подхода к изучению ортогональных многочленов. Один из них использует известный процесс ортогонализации Грама-Шмидта. С его помощью легко доказывается, что многочлены Рп (х) определяется с точностью до числовых множителей. В частности, если потребовать равенства 1 старшего коэффициента у Рп (х), то последний определяется однозначно.

Второй подход, применявшийся математиками петербургской школы (19 век), использует разложение в непрерывную дробь

Ь ф(г^ _ Ьо (2)

^ х - ^ х - а - Ь а 0 х-а- _Ьг

х-а2 -

Знаменатели подходящих дробей в этом разложении дают нужную систему ортогональных многочленов. В этом подходе устанавливается наличие рекуррентного соотношения вида

Рп+1 _(х - ап)Р„ - ЬпРп_1. (3)

© Галкин В.М., Ерофеева Л.Н., Лещева С.В., Сухов В.И., 2015.

Оба подхода в общем случае не позволяют дать явные выражения соответствующих формул и при построении конкретных систем (например, классических систем Лежандра, Чебышева, Эрмита и др.) приходится применять различные искусственные приемы.

2. В системе, которая изучается в этой статье ф(х) =-, а интервал интегрирования

.. 'лх

БП-

2

в (1) есть (—да,+да). Старший коэффициент в Рп фиксируем, полагая его равным 1.

Предложение 1. Рп(— х) = (— 1)пРП(х), т.е. Рп(х) - четная функция при четном п и нечетная при п нечетном. Рекуррентное соотношение (3) превращается в

Рп+1 = хРп — ЬпРп—1. (4)

Для доказательства надо сделать замену х ^ — х в (1) и воспользоваться четностью ф(х). То же надо проделать в (3).

Эффективное использование процесса Грама-Шмидта требует вычисления скалярных произведений

да

(/, ч )= | / (хМх Мх)йх (5)

—да

для степенных функций / и ч , т.е. вычисления моментов

да

Мк =| хк ф(х . (6)

Эти вычисления можно провести двумя способами. Один из них основывается на форму-

да

ле ([4]) |Sin Х dt = th x, где sin xt и th x следует разложить в степенные ряды. Тогда M¿ при

о sh — 2

четном k выражается через коэффициенты разложения th x и оказывается рациональным числом. При нечетном k Мк, очевидно, равен нулю. Связь Мк с рядами Дирихле, указанными ранее такова:

да

■xk = 2 го xk+i

, nx f

о sh— 0

2 12

f nx 3nx 5nx Л

e 2 + e 2 + e 2 +...

„rx dx _ f

Mk = 2 [-= 2f x

k j . nx j

2 ( i i ^ i H ;—~—\ ;—~—H ...

\k+2 ok+2 ck+2

П 1 V 3 5

для четного к .

Значения нескольких первых моментов таковы:

М = 2, м2 = 4, М = 32, М = 544.

Их значения и процесс ортогонализации позволяет найти несколько первых многочленов (табл. 1). В равенстве (4) оказывается, что Ъх = 2, Ъ2 = 6, Ъ3 = 12, Ъ4 = 20. Это наводит

на предположение, что Ъп = п(п +1) для произвольного п . Мы утверждаем, что это предположение истинно, т.е. имеет место.

Предложение 2. Многочлены £0(х), ^(х),...,(х),..., удовлетворяющие условиям:

1) £и+1 = х8п — п(п + ^—1; 2) старший коэффициент равен 1;

—да

3) 50 _ 1, _ х,

совпадают с многочленами Р0, Р1,..., Рп,....

Предварительно докажем. Предложение 3. Имеет место тождество

,х arеtgí от О / \

1+Г2 _¿отпг . (/)

Доказательство. Из рекуррентного соотношения для 5п (х) следует

п от п от ( л\

V 5п+1 — _ х^ ^-V 5п-Л . (8)

1 п! 1 п! \ п!

Если обозначить правую часть в (7) через К _ К (г), то (8) перепишется как

V '-х _ х(У - 1)-(г2У)'

или

(1 + г2 ' _(х - 2) V.

Интегрирование этого уравнения при начальном условии V] _ 1 дает нужный результат, т.е. равенство (7). Левую часть в (7) принято называть производящей функцией многочленов 5п (х).

Теперь, чтобы доказать предложение 2 достаточно установить ортогональность системы {5п }.

„ ^ (х) 1 гвх аге^ Л

Из (7) находим _-Ф-----, где интегрирование ведется по достаточно

п! 1 + г2 гп+1

малому контуру, охватывающему начало координат. Поэтому

(9)

Интегрирование по х внутри контурных интегралов выполняется с помощью форму-

ГШ

бЬ рх

лы из [4]: Ф ^ Лх _ tg р, которую следует продифференцировать по р . ^ - лх

2

- , лх о бЬ

Тогда

от от

ф ^аге*+аге* ^^ _ еЬ(x(arеtg г + arеtg ^ _ 2 (1 + '2 Х1 + 82 )

-от о бЬ лх (1 - *)2

2

и

Ч 0 = 2И (1 - г8)-2 сНсЬ — чи!' т! ) гп+1 sm+1 (2т)2

равно удвоенному коэффициенту при гп8т в разложении (1 - 18) 2 _ 1 + 218 + 3(&)2 + 4(г8)3 +.... Очевидно, что этот коэффициент равен нулю при п Ф т и 5п и 5т ортогональны. Предложение 2 доказано.

Отметим, что при п _ т коэффициент равен 2(п +1), а ||£п|| _ (5п, ¿п )_ 2(п + 1)п!2.

Остановимся еще на разложении в непрерывную дробь. Для введенной системы многочленов (2) перепишется как

г 1 хах _ 2 J х - / , лх х -12 2.3

2 х- 34

х -...

Левую часть можно преобразовать с помощью вычетов, и она оказывается равной

^ у-1 Ж _М 0 м2 М4

8?(-1} хчы2"Т"+■■■ ■ (10)

Разложение (9) понимается в формально-алгебраическом смысле. Вопрос об области сходимости непрерывной дроби здесь не рассматривается.

Сформулируем одну задачу, связанную с введенными многочленами, а также с многочленами из [1]. Известно, что классические ортогональные многочлены удовлетворяют дифференциальным уравнениям 2-го порядка. Этот факт означает, что эти многочлены являются собственными функциями дифференциального (и даже эрмитова) оператора.

Возникает вопрос: нельзя ли найти подходящий оператор для наших многочленов? В такой формулировке ответ тривиален. Надо задать последовательность действительных чисел А,1з^2,...,'к„,... и положить Ь(Рп) = ^„Р„. Далее действие Ь распространяется на функции, разлагаемые в ряды по системе {Р„ }.

Однако гораздо интереснее искать операторы, например, в базисе 1, х, х2,.... По-видимому дифференциальным оператором Ь быть не может, но, возможно, имеются различные интегральные операторы типа Вольтерра или Фредгольма.

Таблица 1

n Pn (x)

0 1

1 x

2 x2 - 2

3 x3 - 8x

4 x4 - 20x2 + 24

5 x5 - 40x3 +184x

6 x6 - 70x4 + 784x2 - 720

7 x7 -112x5 + 2464x3 - 8448x

8 x8 -168x6 + 6384x4 - 52352x2 + 40320

9 x9 - 240x7 + 14448x5 -229760x3 + 648576c

10 x10 -330x8 + 29568x6 -804320x4 + 536025x2 -3628800

11 x11 -440x9 + 55968x7 -2393600x5 + 30633856т3 -74972160

12 x12 -572x10 + 99528x8 -6296576x6 + 136804096x4 -7825259512 + 479001600

Библиографический список

1. Galkin, V.M. Orthogonal polynomials associating with Cauchy distribution / V.M. Galkin, L.N. Erofeeva, S.V. Lescheva // Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития 2014: материалы межд. научно-практической конференции, сборник научных трудов SWorld, Вып. 3(36). Т. 2. С. 83-85, Одесса: С.В. Куприенко. 2014.

2. Сегё, Г. Ортогональные многочлены / Г. Сегё. - М., 1962.

3. Чебышев, П.Л. Избранные математические труды / П.Л. Чебышев. - М.-Л., 1946.

4. Рыжик, И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.М. Рыжик, И.С. Градштейн. - М.-Л., 1951.

Дата поступления в редакцию 22.04.2015

V.V. Anikovsky, L.N. Erofeeva, S.V. Leshcheva THE ORTHOGONAL POLYNOMIALS SYSTEM WITH THE WEIGHT *

, nx sh — 2

Nizhny Novgorod state technical university n.a. R.E. Alexeev

Purpose: The construction of new orthogonal polynomials system is given. These polynomials are associated with some questions from mathematical statistics.

Design/methodology/approach: The recurrence relation is reconstructed that permit to apply the function theory methods.

Findings: The explicit expressions of the analogues of the classical formulas are derived. Research limitation/ implications: There are some unresolved questions. Originality/value: The connections with Z-functions are founded.

Key words: Weight, orthogonality, recurrence, relation, continued fraction.