CC BY
15
УДК 681.513 О.О. БРОВАРЕЦЬ*
ЗАЛЕЖШСТЬ ЯКОСТ1 ВИКОНАННЯ ТЕХНОЛОГ1ЧНИХ ОПЕРАЦ1Й В1Д ГРАНИЧНО1 ШВИДКОДП 1НФОРМАЦ1ЙНО-ТЕХН1ЧНИХ СИСТЕМ ЛОКАЛЬНОГО ОПЕРАТИВНОГО МОН1ТОРИНГУ СТАНУ С1ЛЬСЬКОГОСПОДАРСЬКИХ УГ1ДЬ
Кшвський кооперативный iнститут бiзнесу i права, м. Ки1в, Украша
Анотаця. 1снуючг способи керування агробгологгчним станом грунтового середовища за наявними методиками не враховують вар1абельност1 гх параметр1в по площ1 сыьськогосподарських уг1дь. Найбыьш ефективним способом оперативного монторингу агроб1олог1чного стану сыьськогос-подарських уг1дь е вим1рювання електропров1дних характеристик грунтового середовища. Елект-ропров1дт властивост1 грунтового середовища е комплексним показником його агроб1олог1чного стану, який враховуе твердкть, волог1сть, вм1ст поживних речовин у грунт1, тощо. Високий вм1ст вологи, солей та поживних речовин у грунт1 сприяе тдвищенню показниюв електропров1д-ност1 грунтового середовища у межах одного поля, якг рееструються тформацтно-техтчною системою локального оперативного монторингу агроб1олог1чного стану сыьськогосподарських уг1дь. Така ¡нформащя дозволяе видыяти зони вар1абельност1 грунтового середовища та зд1йсню-вати ефективне керування агроб1олог1чним станом сыьськогосподарських уг1дь. 1нформацШно-техмчну систему локального оперативного монторингу агроб1олог1чного стану сыьськогосподарських уг1дь використовують перед виконанням технолог1чног операцИ, одночасно з виконанням технолог1чног операцИ (авба, внесення м1неральних добрив тощо), протягом вегетацп та тсля збирання врожаю. Запропонована математична модель для визначення залежност1 якост1 вико-нання технолог1чних операций вгд граничног швидкодИ гнформацШно-техтчних систем локального оперативного монторингу стану сыьськогосподарських уг1дь. Дана модель дае можлив1сть за-безпечити ефективне керування яюстю виконання технолог1чних операщй. Це в1дкривае нов1 перс-пективи до ведення оргамчного землеробства з використанням таких «розумних» сыьськогоспо-дарських машин.
Ключовi слова: математична модель, техтчна система оперативного момторингу.
Аннотация. Существующие способы управления агробиологическим состоянием почвенной среды по имеющимся методикам не учитывают вариабельности их параметров по площади сельскохозяйственных угодий. Наиболее эффективным способом оперативного мониторинга агробиологического состояния сельскохозяйственных угодий является измерение электропроводящих характеристик почвенной среды. Электропроводящие свойства почвенной среды являются комплексным показателем его агробиологического состояния, учитывающим твердость, влажность, содержание питательных веществ в почве и тому подобное. Высокое содержание влаги, солей и питательных веществ в почве способствует повышению показателей электропроводности почвенной среды в пределах одного поля, регистрируется информационно-технической системой локального оперативного мониторинга агробиологического состояния сельскохозяйственных угодий. Такая информация позволяет выделять зоны вариабельности почвенной среды и осуществлять эффективное управление агробиологическим состоянием сельскохозяйственных угодий. Информационно-техническую систему локального оперативного мониторинга агробиологического состояния сельскохозяйственных угодий используют перед выполнением технологической операции, одновременно с выполнением технологической операции (сев, внесение минеральных удобрений и т.п.), в течение вегетации и после уборки урожая. Предложена математическая модель для определения зависимости качества выполнения технологических операций от предельной быстрой информационно-технической системы локального оперативного мониторинга состояния сельскохозяйственных угодий. Данная модель дает возможность обеспечить эффективное управление качеством исполнения технологических операций. Это открывает новые перспективы для ведения органического земледелия с использованием таких «умных» сельскохозяйственных машин. Ключевые слова: математическая модель, техническая система оперативного мониторинга.
© Броварець О.О., 2018
1028-9763. Математичш машини i системи, 2018, № 3
Abstract. The existing methods of controlling the agrobiological state of the soil environment according to available methods do not take into account the variability of their parameters over the area of farmland. The most effective way to monitor the agrobiological state of agricultural land quickly is to measure the electrical conductivity of the soil environment. The electroconductive properties of the soil medium are a complex indicator of its agrobiological state, taking into account the hardness, humidity, nutrient content in the soil, etc. High content of moisture, salts and nutrients in the soil contribute to increase in the electrical conductivity of the soil medium within a single field, recorded by the information and technical system of local operational monitoring of the agrobiological state of farmland. Such information makes it possible to identify zones of soil environment variability and to effectively manage the agrobiological state offarmland. The information and technical system of local operational monitoring of agrobiological state of farmland is used before the technological operation, simultaneously with the implementation of the technological operation (sowing, mineral fertilization, etc.), during the growing season and after harvesting. It is offered a mathematical model for dependence definition on quality performance of technological operations from limiting rapid information and technical systems of local operative monitoring of farmland condition. This model makes it possible to provide effective control over the quality of execution of technological operations. It opens new prospects for organic farming using such "smart" agricultural machines.
Keywords: mathematical model, technical operation monitoring system. 1. Вступ. Постановка проблеми
Сучасш висою вимоги до eKOHOMÎ4HOï ефективносп виробництва сшьськогосподарсько'1' продукцп з урахуванням економiчних особливостей природно-^матичних зон Украши диктують необхщшсть проведення докоршно'1' перебудови пiдходiв до технологш агроп-ромислового виробництва, зокрема, використання нов^шх ефективних шформацшно-техшчних систем локального оперативного мошторингу грунтового середовища сшьсько-господарських упдь, побудованих на нов^шх технологиях з використанням техшчних систем оперативного мониторингу, яю розмщуються на модернових машинно-тракторних агрегатах [1-15].
Головною вимогою до таких агрегатив е забезпечення належно'1' якосп керування виконанням технолопчних операцш. Це вимагае використання сучасних шформацшно-техшчних мехатронних та робототехнiчних систем керування, пов'язаних з техшчними системами оперативного мошторингу агробюлопчного стану сшьськогосподарських угiдь, датчиками контролю якостi виконання технолопчних операцш, як у сучасному контекст ïx розвитку отримали назву «розумних» або «смарт» машин (Smart machinery) [13-15].
Таю «розумш» машини з датчиками оперативного монiторингу стану сшьськогосподарських упдь повинш широко використовуватися на вах стадiяx виробництва сшьсь-когосподарсько'1' продукцп рослинництва: основного оброб^ку, сiвби (садiння), на етат догляду за посiвами у перюд вегетацп та при збираннi врожаю. Це дае можливiсть забез-печити належну якють виконання теxнологiчниx операцш при оптимiзацiï витрат на ïx ви-робництво. Фактично «розумнi» машини повиннi адаптуватися до агробiологiчного стану грунтового середовища [13-15].
Виконання зазначених задач передбачае як дообладнання/переобладнання юную-чих, так i використання нових сiльськогосподарськиx машинно-тракторних агрегатiв [1315].
Слщ вiдмiтити, що важливiсть та доцшьшсть використання зазначених машинно-тракторних агрегатв особливо високi на етапi авби (садiння), оскiльки дана теxнологiчна операщя фактично е «фундаментом» майбутнього врожаю [13-15].
Аналiз дослiджень i публшацш показуе, що традицiйнi фактори тдвищення ефек-тивностi сiльськогосподарського виробництва за рахунок оптимiзацiï мехашко-конструктивних матерiалiв, використання новiтнix машинобудiвниx матерiалiв (надмщно-го пластику, сплавiв металу тощо) на сучасному етапi розвитку техшки не дають суттевого
шдвищення ефективносп.
Одним iз перспективних напрямiв е забезпечення необхiдноi якостi виконання тех-нологiчних процесiв за рахунок одержання бшьш високого (у порiвняннi з фiзiологiчними можливостями людини) рiвня шформацп та оперативного керування робочими процесами машин i на основi цього перехiд до нових прогресивних технологiй з використанням «ро-зумних» сiльськогосподарських машин. Тому виникае необхщшсть у 1'х розробцi та вико-ристаннi.
Очевидно, що за таких умов виникае необхщшсть у принципово нових пщходах до ведення агропромислового виробництва, що полягае у забезпеченш належно'1' якостi виконання технолопчних операцiй. Яюсть виконання технологiчних операцш е iнтегральним показником ефективностi виробництва сшьськогосподарсько'1' продукцп в межах агробю-логiчного поля. Необхiдна якiсть виконання основних технологiчних процесiв у рослинни-цтвi забезпечуеться за рахунок штегрованих iнформацiйно-технiчних систем локального оперативного мошторингу агробiологiчного стану сiльськогосподарських угiдь [13-15].
Мета статтг - описання математично'1' моделi гранично'1' швидкодп шформацшно-техшчних систем локального оперативного монiторингу стану сшьськогосподарських угiдь при виконаннi технолопчно'1' операцп для забезпечення належно'1' якост 1'х виконання.
2. Виклад основного змкту досл1дження
При використаннi шформацшно-техшчних систем локального оперативного монiторингу агробюлопчного стану сiльськогосподарських угiдь одночасно з виконанням технолопч-но'1 операци виникае необхщшсть у виршенш задач гранично! швидкодп виконавчих ро-бочих оргашв. Важливiсть данох задачi визначаеться п технiчним завданням.
При постановцi завдання щодо граничноi швидкодп виконавчих робочих органiв сiльськогосподарських агрегатiв на основi даних, отриманих вiд iнформацiйно-технiчноi системи локального оперативного мошторингу стану сшьськогосподарських угщь, перед-бачаеться, що промiжок часу < X < ^, протягом якого система повинна бути переведена з
одного стану х(^а) = ха в iнший х(^) = хр, визначено заздалегiдь. Однак не виключена си-туацiя, коли момент X = ^ закшчення процесу не заданий, але визначаеться у процес виконання технологiчноi операцп по ходу рiшення проблеми. Наприклад, одшею з таких умов може бути вимога здшснити процес управлшня в найкоротший термiн. При цьому, природно, доводиться враховувати обмеження на ресурси оргашв управлшня, що реалiзо-вують дп та управляють (обмежений запас енергп, неприпустимiсть застосування керую-чих сил, що перевищують певнi безпечнi кордони, i т.п.). Якщо трактувати подiбне обмеження як вимогу обмеженосп i вщповщним чином пiдiбрано iнтенсивнiсть х[и ] управлшня и(ХУа < X < X р, то задача про граничну швидкодп може бути сформульована так.
Припустимо, що рiвняння руху iнформацiйно-технiчноi системи локального оперативного мошторингу грунтового середовища сшьськогосподарських упдь при виконанш технологiчноi операцп задано рiвнянням руху керованог системи:
початкове ха i кшцеве хр значення фазового вектора х(х) та обумовлено обмеження на обрану штенсившсть х управлiння и(X):
х = К(г)х + В(Х)и + со(г) ,
(1)
х[и ] < л .
(2)
Пoтpiбнo зтайти мoмeнт 4acy t = t° i вiдпoвiднe йoмy мoжливe yпpaвлiння u0 (t)(ta < t < 0, щo зaдoвoльняe тaкi yмoви:
1) yпpaвлiння u0 (t) виpiшye npo yпpaвлiння пpи (ta < t < t°) ;
2) викoнyeтьcя нepiвнicть
x [u0]<^; (3)
3) який не 6ув би мoмeнт 4acy t = tß i мoжливe yпpaвлiння u (t) ta < t < tß, для в^ь
шення зaвдaння npo гpaничнe yпpaвлiння piвнянням (2) пoвиннa викoнyвaтиcя нepiвнicть t0 < t
1 ß < 1 ß
Умoви (2) тa (3) мaють пoтpeбy в дeякoмy пoяcнeннi. Спpaвa в тому, щo виpaз для визтачення величини x\u ] мoжe зaлeжaти вiд знaчeння ^, яке caмe пiдлягae визнaчeнню.
Нaпpиклaд, вoнo мoжe 6ути пoдaнe y виглядi
Г tß i12 x [u ] = < J Il u (r) l|2 dr< .
У тaкoмy випaдкy cлiд пoзнaчити iнтeнcивнicть x\u], нaпpиклaд, cимвoлoм x\u (r), ta < r < tß], a oбмeжeння виpaзy (2) мoжнa зaпиcyвaти y виглядi
x\u(r),ta<r<tß] <ß. (4)
Одтак для cкopoчeння iндeкcи tœ i t^ y пoзнaчeннi для iнтeнcивнocтi x будуть onyc-
^ттая. Зoкpeмa, дoмoвимocя y пoдaльшoмy в зaвдaннi npo гpaничнy швидкoдiю зaпиcyвa-ти oбмeжeння нa u (t ) y фopмyлi (2), poзyмiючи цей зaпиc y ceнci фopмyли (4). Якщo кepoвaнa cиcтeмa oпиcyeтьcя yзaгaльнeним лiнiйним piвнянням
dx = A( t ) xdt + B(t ) dU + dW, (5)
то для тaкoï cиcтeми зaвдaння щoдo гpaничнoï швидшди мoжe бути cфopмyльoвaнe виpa-зoм (1). Отже, пoтpiбний виpaз для yпpaвлiння dU0(t)(ta < t < t°ß) cлiд шyкaти y ^aci мoж-ливих yзaгaльнeних yпpaвлiнь.
Рiвняння кepyвaння u0 (t) тa dU0(t)(ta < t < t°ß), гpaничнi yмoви щoдo гpaничнoï шви-д^ди для cиcтeми (1) й (5) бyдeмo нaзивaти oптимaльними 3a швидкoдieю, a чиcлo
т0 vO j
1 = t0 — tœ , piвнe нaйкopoтшoмy чacy пepeхoдy cиcтeми з пoчaткoвoгo CTa^ xa в кiнцeвe
зР, нaзвeмo oптимaльним чacoм пepeхiднoгo пpoцecy.
^и poзв'язaннi зaдaч для дocлiджeння гpaничнoï швидкoдiï iнфopмaцiйнo-тeхнiчних cиcтeм лoкaльнoгo oпepaтивнoгo мoнiтopингy aгpoбioлoгiчнoгo cтaнy rpyrnmo-ro cepeдoвищa ciльcькoгocпoдapcьких yгiдь пpиймaeмo тaкий aпapaт фyнкцioнaльнoгo aнaлiзy:
1) iнтeнcивнicть yпpaвлiння x\u] як нopмa p*\u] функцп u(t)(ta < t < t0) в дeякoмy
фyнкцioнaльнoмy пpocтopi B*{w(r)}. Тoдi фopмyлa (1) i вiдпoвiднa ïï мoдифiкaцiя для otc-теми (5) пepeфopмyлюeтьcя для клaciв дoпycтимих меж yпpaвлiнь в (t ) i yзaгaльнeних дo-пустимих yпpaвлiнь dU (t ).
Оскшьки перехщ здiйснюeться таким же шляхом оптимального управлшня, тому слiд мати на уваз^ що всюди в подальшому ми обмежимося тшьки такими величинами х\и(т),(1а — т — )] = Р*\-и(т)->(1а — т — )], Для яких виконуеться рiвнiсть
р*\и(т), ^ — т — а] = р*\и(т), ^ — т—3] для всiх функцш и\т], якi б вщповщали умовам и (т) = 0 при т>3. Тут 3 та а - будь - яю, пов'язаш нерiвнiстю 3<а .
Надалi ми розглянемо випадок, коли момент X = ^ буде змшюватися. Тодi символи р*\и(т),т > X] будуть позначати величини р*\и(т), ^ —т — 3] при будь - якому 3, яке може виявитися моментом закшчення процесу.
Накладемо обмеження:
р"\и(т),т> га] <м. (6)
Даш обмеження будуть означати, що у процес управлшня можуть використовувати-ся будь-яю функцп и(т)(т> , що задовольняють умову р*\и(т),^ — т — 3] — ^ (при будь - якому 3 > ^ ). Саме в цьому сена слщ розумiти також i запис обмеження формулою (6) в будь-якш явнiй конкретнiй форм^ наприклад, у виглядi
J и (т)|| с1 т
<М (7)
Формула (7) може охопити велику кшьюсть реальних обмежень.
Часто в задачах максимально! швидкоди обмеження на и(г) мае такий несиметрич-
ний вигляд a. < uj < b ' причому a. Ф —bj. Однак у цьому випадку замшою змшних u. на
v. можна звести рiвняння (7) до обмеження виду р* [v\ < и . Для цього досить виконати,
наприклад, перетворення
v =
Г a + b ^ 2/ (8)
u -j
i о
J b — aj
i припустити р* [v] = max sup V (г)| [.
J г
Символ да вибираеться при цьому як верхня межа штеграла у формулi (7) з тею метою, щоб пiдкреслити, що момент t = > ta, коли закiнчиться процес управлiння, нам може бути невщомий i ми протягом часу t > ta володiемо ресурсом управлiння, рiвним /u(ta). Аналопчне зауваження слщ мати на увазi в тих випадках, коли для запису оцшки управлшня u (г) при t > ta буде використовуватися загальний символ штенсивносп
х[и(т),г> ta\ .
Зауважимо, що завдання щодо гранично! швидкодп може бути поставлене i у тому випадку, коли систему (1) або (5) потрiбно перевести в найкоротший термiн з заданого стану x(ta) = xa у заздалегiдь визначену точку х33 фазового простору, а не в деяку область Q кшцевого стану х33. Слiд також мати на уваз^ що вектор х33 за умовами завдання може залежати вщ ^. Ця ситуацiя виникае, коли потрiбно розрахувати граничну швидкодiю об'екта, який рухаеться, х (t) не в нерухомш точцi х = х33, але потрiбно визначити його в заданий момент руху х = х33 (t) .
3. Р1шення завдання щодо граничноТ швидкодп iнформацiйно-технiчних систем локального оперативного мошторингу агробiологiчного стану сiльськогосподарських угщь
Для вирiшення поставлено! задачi потр1бно знайти закон управлiння u0(t), який переводить систему (1) 3i стану x(ta) = x" у стан x(tb) = xb за короткий час Т0 = t° - ta при зада-ному обмеженнi
x[u] <М (11)
Беручи до уваги правило мшмакса, можна вказати такий шлях виршення завдання щодо гранично! швидкодп.
Нехай ^ > ta - деякий фасований момент часу. Тодi може бути представлене рь
шення для оптимального впливу щ (t), переводячи систему (1) зi стану x(ta) = x" у поло-
ження x(tb) = xb за час Т = ^ - ta. Отже, маемо при цьому найменшу можливу норму
р*[щ ] = x[uT ] = min. Якщо тепер ми будемо змiнювати момент часу ^, то:
1) отримаемо, що всякому ^ > ta, а значить, кожному числу Т > 0 будуть вщповь дати певне оптимальне управлiння щ (t) i певна його iнтенсивнiсть x[uT ], яка е функщею вiд Т.
2) або, у всякому раз^ можливо розв'язати при значеннях tp з деяко! безлiчi Т . Змь ни, потрiбнi тодi в мiркуваннях, очевиднi.
Позначимо x[uT ] = xT i розглянемо нерiвнiсть
xT < м . (12)
Очевидно, що оптимальним часом перехщного процесу Т0 при обмеженнi (11) буде найменше з позитивних чисел Т i вiдповiдало б умовам (12). Накладаючi на цю обставину правило мшмакса, отримуемо такий результат.
Нехай Ь°(г) (" <г< tß= ta +Т) - мiнiмальна функцiя, знайдена зпдно з правилом мiнiмакса. Тодi
p[h0(r)] = mn p[B'sT (Г)] = Рт , (13)
де sT (t) - рух, пов'язаний системою (13), яка задовольняе крайовш умовi s't (tß) з (T) = 1. Тодi найменше iз чисел Т = ^ - ta задовольняе спiввiдношення
Рт - - (14)
М
i буде оптимальним часом перехiдного процесу T0, а вiдповiдно у цей час оптимальне управлшня буде описане таким рiвнянням: u°(t) = u0(t) (ta < t < t°ß = ta + Т0), оптимальним за швидкодiею управлiнням. При цьому, як випливае з правила м^макса, оптимальне за швидкодiею управлiння буде мати вигляд p"[u°(z)(г)] = ljр0 i буде видiлятися серед уах
допустимих управлiнь u(г) {ta < t < t0) з нормою p*[u(r)] = уp0 властивiстю максимуму
на мшмальнш функцп h00 (г) .
Сформульований споаб вирiшення завдання щодо гранично! швидкодп полягае в побудовi модел^ що дозволяе визначити найменше з позитивних чисел T, яке вщповщае
умовi (14). При цьому процес знаходження найоптимальшшого за швидкодieю управлiння слщ визначити властивiстю максимуму, що мютиться у правилi мiнiмакса. Якщо величина рт е безперервною функцieю Т (а це, дiйсно, мае мюце в широкому класi випадкiв), то для
вщшукання величини Т0 замють умови (4) зручно користуватися рiвнянням
Рт =■
Ш1П
В'(г) 5Т (г) =
при )с(Т) = 1.
(15)
Найменший позитивний коршь цього рiвняння i дасть оптимальний час перехщного процесу Т0 .
Враховуючи, що вираз р[В'5т (г)] однорiдний по вектору I = s(tp) , тому нерiвнiсть (14) або рiвняння (15) разом з умовою )с(Т) = 1 можна замшити нерiвнiстю
Ш1п ') с (т)+рв (г) (г)]} > о
або, вщповщно, рiвнянням
ш1п {^р[в'(г) 5т(г)]- 5'р) с (Т)}
= 0,
що часом може виявитися бiльш зручним для роботи з цими стввщношеннями. Далi рiв-няння (15) можна замiнити стввщношенням, що не мiстить р[^(г)],
Ш1П
Т1=1
р
шах |в' (г) 5Т (г)и (г) йг - 5' (^ ) с (Т)
= 0.
Запропонований споаб у виглядi обчислювального алгоритму не мае проблем з ро-зрахунком за допомогою використання чисельних методiв, як, наприклад, питання про ви-бiр початкового наближення або питання про швидкють збiжностi обчислювального про-цесу. При розглядi певних обмежень (11), а тим бшьше при вирiшеннi конкретних завдань щ загальнi труднощi можуть бути так чи шакше подоланi.
Припустимо, наприклад, що потрiбно вирiшити задачу граничного керування шфо-рмацшно-техшчно'1 системи локального оперативного мошторингу грунтового середовища сшьськогосподарських угiдь (1) при обмеженнi на енерпю керуючого впливу, тобто за умови
П>2
X [и ] =
| и (г)||2 йг
<и.
(16)
У цьому випадку завдання щодо гранично'1 швидкодп виконавчих робочих органiв шформацшно-техшчно'1 системи локального оперативного мошторингу грунтового середовища сшьськогосподарських упдь виршуеться з найменшими труднощами. Справа в тому, що оптимальне управлшня за умови мшмуму енергл знаходиться в замкнутiй формi i тому вдаеться, виключивши I0 (Т) iз спiввiдношень (3), записати штенсившсть хт оптимального управлшня, а отже, i величину рт = 1/хт , у виглядi явно'1 функцп часу Т . Дшсно, беручи до уваги рiвняння (11), одержуемо, що
и0 (г
йг
Е сгскПгк
1 ,к=1_
ъ
(17)
5
де с = с(Т) = {с (Т)} - вектор (15.2).
Неважко встановити, що хт (7) е безперервною функцieю Т, якщо тiльки Б ^ 0 . Але остання умова виконуеться у всякому раз^ якщо система (1) цшком керована. Тодi величина рт = 1/ хт буде також функцiею безперервною i для визначення Т0 можна скористатися рiвнянням (15), яке набуде вигляду
п
£ сг (Т )ск (Т) п1к (Т) Б(Т) = 0.
г,к=1
(18)
Таким чином, у даному випадку завдання щодо гранично! швидкоди зводиться до знаходження найменшого позитивного кореня Т0 рiвняння (18). Саме ж оптимальне за швидкодiею управлiння и 0(Х) визначаеться за формулами (18), в яких замють ^ тдстав-
Л , , т«
лено гр = ха+т .
Нехай матерiальну точку, рух яко! описуеться вже системою диференщальних рiв-нянь (18), потрiбно перевести з положення ха = {-1,0,1,0} при ^ = 0 в положення
хр = {0,0,0,0} найшвидшим чином. При цьому мае задовольнятися нерiвнiсть
| [и2 (г) + и22(г)] йт < и2.
(19)
Згiдно з обраним вище загальним шляхом виршення завдання, знаходимо функцiю рт . Спираючись на рiвнiсть (17), отримаемо
1
Рт=- =
i, вiдповiдно, рiвняння (18) записуеться так:
я 2т+24
£2т4 -и2т3 + 24 = 0.
(20)
(21)
На рис. 1 зображено графш функ-цп р (20). Як видно з цього графша, для того, щоб рiвняння (1) мало хоча б один позитивний коршь, число и повинно бути в мiру великим, в шшому випадку бажане положення хр = {0,0,0,0} взагалi виявляеться недосяжним ш при якому Т, що ясно з фiзичних мiркувань. Неважко встановити, що величина /Л повинна
бути не менше, шж 96(72)/4 . Якщо
// буде бшьше зазначеного значення, то рiвняння (21) буде мати два позитивних кореня.
Нехай Т0 - найменший iз цих корешв, тодi, згiдно з формулою (18), оптимальне за швидкодiею управлiння визначаеться стввщношеннями
6
) =
[Т0-,3 (т0 - 2),
u0(t) = ^з(Т0 - 2t) + g (0 < t <T0),
з яких випливае, що найшвидший спуск з точки {-1, 0, 1, 0} в точку {0, 0, 0, 0} здшснюеть-ся по прямш.
Наведений приклад показуе, що функщя pT не мае властивосп монотонностi, яка може бути корисною для чисельного визначення T0 з рiвняння (25). Однак, якщо в пред-ставленому прикладi вщкинути g, то функщя pT = (T3/ 24)12 буде строго монотонно зрос-таючою (рис. 1), i тодi при кожному ^ > 0 рiвняння (21) матиме единий позитивний ко-рiнь, який i доставляе оптимальний час перехщного процесу T0. Виявляеться, що зазначе-на властивiсть монотонностi функцп pT не е специфiчним лише для розглянутого прикладу i при вщповщних припущеннях ця властивють мае мiсце в досить загальному випадку обмежень (21) на штенсившсть керуючого впливу. А саме, нехай у рiвняннi (21) co(t) = 0
та xß = 0. Тодi можна показати, що функщя pT е монотонно не спадною функцiею Т. Для доказу цього факту нагадаемо, що величину pT можна шукати з умови
pT = min p[B' (т)лг(т)] = min p[B' (t)S[t, ta ]/] (22)
при s (ta)xa = l xa = —1. Припустимо, що для кожного T > 0 знайдено числа l°(T) = s°(ta) з умови (22). Тод^ беручи до уваги цю умову, отримаемо очевидну нерiв-нiсть
Рт + AT = р[в' (т)S[т,10 (T +AT), ta<т< ta +t + at] >р[(т) S [т,]10 (t +at), ta < т < ta + T] > min p[B «)S [т, ta]^ ,
ta < т < ta + T] = Pt ,(AT > 0). (23)
Таким чином, ми бачимо, що, дшсно, змшна е монотонною, а не спадною функщею величини T. Важливо пiдкреслити, що в багатьох випадках вибору штенсивносп x[u] за умови повно'1 керованостi системи (21) у стввщношенш (23) буде виконуватися сувора нерiвнiсть, тобто функщя pT буде строго монотонно зростаючою функцiею Т. Так, напри-
клад, у розглянутому вище випадку обмеження на енерпю управлшня (23) вщповщно до (2) i (23) буде
Pt+at — Рт2 > j ||в' (т^[т, ta ]l0 (T + AT)|2 ^т, (24)
tß
Права частина нерiвностi (24) строго позитивна, якщо тшьки система (1) щлком ке-рована, оскiльки тодi вектор-функци Я ](г) - стовпцi матриц В (г)£[г, 1а ] - лшшно не-залежнi. При обмеженш на максимум керуючо'1 сили (21) маемо
гр+АТ
рт+дт-рт> | /{В (г)£[г, 10(Т + АТ)}йг (25)
Ь
i права частина ще'1 нерiвностi за умови повно'1 керованостi системи знову буде строго позитивною.
У pa3i обмеження на iмпульс керуючого впливу (25) величина рiзницi fr+AT — fr е лише невiд'емною i тому вiдповiдае функцп
fr =min sup /[В (r)S[r, ta ]/] при lxa = —1.
1 т
Тобто лише неспадна функщя Т.
Безперервшсть функцiй, що описуе технолопчний процес, перевiряеться без особ-ливих зусиль за умов o(t) = 0, xВ = 0 для широкого кола величин x[u ], наприклад, у разi
вщповщального обмеження на енергiю управлшня або на максимум керуючоï сили, якщо система цiлком керована.
Властивосп сувороï монотонностi i безперервностi функци fr виявляються важли-вими для виршення завдання щодо гранично'1' швидкодп з таких причин. Нехай юнуе хоча б одне число T1, для якого серед управлiнь знайдеться управлiння u (1) (t ), що переводить
а В .(1) . т1 * Г (!Л Г (!)~ ^
систему з положення x в положення хВ за час ty — ta = Т за умови р ' = x W < /.
Тодi буде справедлива нерiвнiсть fr > 1//. Якщо функщя fr е безперервною i якщо справедливо стввщношення:
1) lim fr = 0 при Т —> 0 , то можна стверджувати, що юнуе найменше позитивне число Т°, при якому виконуеться рiвнiсть fr0 = 1//.
Якщо до того ж функщя fr строго монотонна, то таке число T0 буде единим, тобто при зроблених вище припущеннях, що забезпечують строгу монотоннiсть безперервно'1' функцп fr, рiвняння (25) мае единий позитивний коршь T = T0, який i визначае оптима-льний час перехщного процесу. Крiм того, спираючись на теореми про неявш функцп, не-важко перевiрити, що за умови суворо1 монотонностi змiнноl fr величина 1 - коршь рiв-няння (25) - залежить безперервно вщ координат x" i вiд параметрiв системи. Особливо кориснi зазначенi властивосп при вирiшеннi задачi в тих випадках, коли завдання про оп-тимальне управлшня за умови мшмуму вщповщно! iнтенсивностi не описуеться в замкну-тiй формi.
Якщо потрiбно знайти оптимальне за швидкодiею управлшня при обмеженш на ште-нсившсть керованого впливу, маемо рiвняння виду
x[u] = sup max(|uj (т)|) < / (j = 1,..., г,т> ta) . (26)
Це спiввiдношення знову-таки виконуеться з очевиднiстю в разi обмеження на ене-ргiю або на максимум керуючого впливу i може не мати мюця при обмеженш на iмпульс керуючо! сили. В останньому випадку може виявитися T0 = 0 .
Рiвняння (25) для визначення T0 приймае вигляд
а+Т [ r n Л i
frT = Zl° (Т)hj &+Т,фт = 1, (27)
t„ V j=1 ' =1 J U
де h (tß,т) - елементи iмпульсноï перехiдноï матрицi, H \jß r] = S' [т, t^ ]B(r), а l0 (T) -числа, що дають рiшення задача
min
а 1 [ r n \
i I ZZ l.hj (а+Т,т)| йт\ = Рт (28)
j=1 i=1
a
пРи yM0Bi Е 1гСг (Т)= 1 •
г=1
Як нам вже вщомо, завдання (28) в загальному випадку не вирiшyeться в замкнутш формi. Тому, визначаючи T0 з рiвняння (28) яким-небудь чисельним способом, ми змуше-нi на кожному крощ чисельно знаходити новi значення величин l0 (Т) . Якщо встановлено, що фyнкцiя рт неперервна i мае властивiсть суворо! монотонносп, то для вiдшyкання Т0 можна запропонувати таку схему рахунку, що реалiзyе найпроспший процес послiдовного наближення. Вибираючи з розумних мiркyвань деяке число T1, визначимо мшмальну фу-нкцiю (г); якщо виявиться, що h^ (г)] = р^ > 1/ ß, то вiзьмемо T2, рiвне T12, а якщо
виконуеться нерiвнiсть протилежного змiстy рт < 1/ß, то слiд покласти T2 = 2T1. Отже,
нехай T2 визначилося. Якщо для початкового наближення Т1 було р > 1/ß i виявилося
рт > 1/ß, то вважаемо знову T3 = T2 2, i таким чином до тих тр, поки не прийдемо до не-
рiвностi рт < 1/ß. Тим самим шукане число T0 виявляеться захопленим у вилку
Т. < Т0 < Т . Далi зрозyмiлим чином складаемо послiдовнiсть обмежуючих вiдрiзкiв, що
мiстять T0. Якщо ж було рт < 1/ß i знову отримали р < 1/ß, то вибираемо T3 = 2T2 , i так
чинимо до тих пiр, поки не вийде рт > 1/ß • Тодi T0 знову потрапляе в вилку
Т < Т0 < Т. i т.д. Зазначений процес продовжимо до тих тр, поки не буде виконана з за-
даною точнiстю рiвнiсть р^h0 (г)] = 1/ß. В резyльтатi побудуеться послщовшсть чисел
Т1, Т2, ..., Тт, ..., що сходиться до T0. Ця збiжнiсть легко доводиться, якщо тшьки завдання мае ршення, тобто, якщо lim рт > 1/ß при Т ^ да . Ксля того, як T0 визначено, саме оп-тимальне за швидкодiею yправлiння в разi (26) запишеться згiдно з (22) формулою
uг=ßsgnг (ta<t<ta+т0,г=1,...,г). (29)
Зрозумшо, що для знаходження потрiбного нам кореня рiвняння (25), ^м описано! найпроспшо! схеми розрахунку, можуть бути застосоваш й iншi обчислювальнi процеси, якi ефективно виршують цю задачу. Припустимо, наприклад, що на j -му кроцi процесу послiдовних наближень при Т = Т. реалiзyвалася нерiвнiсть
р h° (г), ta < г < ta + Т ] = р. < Уß. Якщо наступне наближення Т;+1 пiдбирати з умови
р h° (г), ta < г < ta + Ту+1] = Уß, то Т;+1, будучи бiльше Т; , не перевищить шукано! ве-личини T, оскшьки
hT (г), ^<г<^+Т;+1 ] = рт j+1 < р\ К, (г), ia<T<ia+Tj 1
р
4. Висновки
ß
Забезпечення необхiдноi якостi виконання технолопчних процесiв можливе за рахунок те-хнiки нового поколiння з використанням шформацшно-техшчних систем локального оперативного мониторингу грунтового середовища з використанням засобiв оперативного контролю техшчного стану i робочих процеав машин (коефiцieнт вагомостi 0,22-0,73), точно-стi водiння мобiльних агрегатiв (0,08-0,32), оперативного керування робочими органами машин за ращональним алгоритмом (0,37-0,51).
Подальше зростання ефективносп мехашзацп рослинництва пов'язане з тдвищен-ням якостi виконання технолопчних процесiв у першу чергу за рахунок оперативного контролю техшчного стану i робочих процеав машин, точностi водiння мобiльних агрегатв, оперативного керування робочими органами машин за ращональним алгоритмом.
Розробленi зразки техшки нового поколiння з керованою якiстю виконання техно-логiчних процеав дозволяють забезпечити збiльшення продуктивностi пращ до 20%, зме-ншення витрат палива i технологiчних матерiалiв на 15-20%, одержати економiчний ефект понад 1700 грн/га та зменшити шкщливий антропогенний вплив технiки на навколишне середовище.
Значимiсть вказано! роботи для економши, продовольчо! забезпеченостi та екологь чно! безпеки Украши при пiдтримцi п зацiкавленими вiдомствами та виробниками - запо-рука безумовного впровадження у рослинництво Украши передових iнформацiйних тех-нологiй на основi досягнень в^чизняно! аграрно! науки та розробок засобiв управлiння.
СПИСОК ДЖЕРЕЛ
1. Гарам В.П., Пашко А.О. Сучасне управлшня агротехнолопчним процесом у рослинництвь Наука та тновацп. 2005. Т. 1, № 2. С. 110-116.
2. Жук З.Я., Победоносцев А.Ю. Концепция и возможные направления развития технологий и техники сельскохозяйственного будущого. Тракторы и сельскохозяйственные машины. 1992. № 1. C. 1-6.
3. Луценко Е.В., Лойко В.И. Семантические информационные модели управления агропромышленным комплексом. Краснодар: КубГАУ, 2005. C. 15-20.
3. Улезько А.В., Денисов Я.И., Тютюнников А.А. Информационное обеспечение адаптивного управления в аграрных формированиях. Воронеж: Истоки, 2008. 106 с.
4. Адамчук В.В., Мойсеенко В.К., Кравчук В.1., Войтюк Д.Г. Техшка для землеробства майбутньо-го. Мехатзащя та електрифтащя альського господарства. Глеваха: ННЦ „1МЕСГ", 2002. Вип. 86. С. 20-32.
5. Сучасш тенденцп розвитку конструкцш сшьськогосподарсько! техшки / за ред. В.1. Кравчука, М.1. Грицишина, С.М. Коваля. К.: Аграрна наука, 2004. 398 с.
6. Ормаджи К.С. Контроль качества полевых работ. М.: Росагропромиздат, 1991. 191с.
7. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983. 392 с.
8. Бурачек В.Г., Железняк О.О., Зацерковний В.1. Геошформацшний анал1з просторових даних: монограф1я. Кжин: ТОВ Видавництво «Аспект-Полшраф», 2011. 440 с.
9. Масло 1.П., Мироненко В.Г. Автоматизована система локально-дозованого внесення добрив i х1м1чних засоб1в захисту рослин. УААН: Розробки-виробництву. К.: Аграрна наука, 1999. С. 348349.
10. Гуков Я.С., Линник Н.К., Мироненко В.Г. Автоматизированная система локально-дозированного внесения удобрений, мелиорантов и средств защиты растений. Труды 2-й МНПК по
проблемам дифференциального применения удобрений в системе координатного земледелия. Рязань, 2001. С. 48-50.
11. Мироненко В.Г. Техшчш засоби забезпечення якосп виконання технолопчних процешв у рос-линництвк монограф1я. К., 2005. 271 с.
12. Пастушенко С.И. Оптимизация сельскохозяйственных технических систем. Техтка АПК. 1999. № 8. С. 12-15.
13. Броварець О. Вщ безплужного до глобального розумного землеробства. Техшка i технолога АПК. 2016. № 9 (84). С. 19-23.
14. Броварець О. Вщ безплужного до глобального розумного землеробства. Техтка i технолога АПК. 2016. № 10 (85). С. 28-30.
15. Броварець О. Розумш машини для розумних господар1в. Зерно. 2016. № 9 (81). С. 262-266.
Стаття надтшла до редакцп 19.02.2018
