Залежність бічних піків кореляційних функцій складного псевдошумового сигналу фазоманіпульованого М-послідовністю від довжини послідовності Текст научной статьи по специальности «Математика»

Радіотехнічні кола та сигнали

УДК 621.396.62:621.396.96

ЗАЛЕЖНІСТЬ БІЧНИХ ПІКІВ КОРЕЛЯЦІЙНИХ ФУНКЦІЙ СКЛАДНОГО ПСЕВДОШУМОВОГО СИГНАЛУ ФАЗОМАНІПУЛЬОВАНОГО М-ПОСЛІДОВНІСТЮ ВІД ДОВЖИНИ ПОСЛІДОВНОСТІ.

Мрачковський О.Д., к.т.н., доцент,

Боднарук О.Д., магістрант

Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут ”, м. Київ, Україна

Серед складних сигналів фазоманіпульованих бінарними кодами особливе місце займають кодові послідовності, які є послідовностями максимальної довжини, або М-послідовностями. Складні фазоманіпульовані сигнали іноді ще називають шумоподібними або псевдошумовими сигналами (ПШС). Такі послідовності володіють рядом властивостей, які особливо важливі в радіолокаційних системах:

- М-послідовність є періодичною, з періодом що складається з N-імпульсів (символів).

- Імпульси різного вигляду зустрічаються в періоді однакове число разів, тобто поширені рівномірно.

- Формування М-послідовностей відбувається за допомогою лінійних перемикаючих схем на базі регістрів зсуву. При цьому якщо використовується регістр з m розрядами із р різних видів імпульсів (що відрізняються фазами) період послідовності дорівнює:

,r m ,

N= p - 1

- Число розрядів регістра (ступінь послідовності):

log( N + 1) m = ----------

log( p)

- Бічні піки періодичної КФ дорівнюють - 1/N.

- Для неперіодичних (імпульсних) послідовностей максимум бічних

піків кореляційної функції має значення близьке до 1/VN. Тобто із зростанням N величина бічних піків зменшується.

Автокореляційна функція (АКФ) періодичного ФМ сигналу визначається згідно:

1 N *

R(^> = 77 Z ana^ , (1)

N п=ц+1

де ап = ±1.

90

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№46

Радіотехнічні кола та сигнали

Взаємокореляційна функція (ВКФ) періодичного ФМ сигналу визначається згідно:

1 п2 *

Rjk Ц) = N Zajnak^

^ п=пх

(2)

Позначивши символи М-послідовності через bn, отримаємо:

anan-v ^ bn Ф Ьп-ц (mod2)

Якщо ц ф IN для будь-якого 1=0, 1 ..., то сума двох М-послідовностей є теж M-послідовністю. Але в ній число одиниць в періоді на одиницю більше числа нулів. Тому сума по всіх bn ФЬп_ц при п=1 ..., N буде рівна

одиниці, а у виразі для АКФ сума буде рівна -1/N. При ц = IN для будь-якого l = 0, 1 ... часовий зсув між двома М-послідовностями рівний нулю. При цьому отримуємо, що R(ji) =1.

Об'єднуючи отримані результати, отримуємо

R(p)

-1/ N, якщо ц ф IN 0, якщо ц = IN

(3)

де l = 0, 1 ...

Всі попередні визначення ВКФ та АКФ (1) ... (3) також справедливі і для аперіодичного (імпульсного) режиму роботи передавача, тобто в тому випадку, коли випромінюється тільки один складний радіолокаційний ФМ імпульс [1].

На відміну від періодично ФМ сигналу, максимум бічних піків кореляційної функції для аперіодичного (імпульсного) сигналу має більше теоретичне значення, яке близьке до 1/VN. Однак, проведені ретельні розрахунки показали, що насправді ці значення можуть відрізняються від заданого теоретичного навіть в 5..6 разів, на що вперше було вказано в роботі Вара-кіна [1].

В даній роботі проведено розрахунки залежності бічних піків кореляційних функцій ФМ аперіодичного сигналу М-послідовності різної довжини. Для проведення дослідження була розроблена програма в середовищі Matlab. Параметри сигналу, який досліджується, наступні: fH = 8,8ГГц

Tc = Юмкс

На рис. 1 зображена АКФ М-послідовності з N=1023.

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№46

91

mls1 Obit: auto correlation function

Радіотехнічні кола та сигнали

Рис. 2 АКФ М-послідовності з N=1023 (область бічних піків

92

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№46

mlsIObit: correlation function 0.9 mls1 Obit: correlation function 0.9

Радіотехнічні кола та сигнали

На рис. 3-8 представлені взаємокореляційні функції (ВКФ) М-послідовності з N=1023, для яких рівень кореляції падає на -1, -3, -6 дБ відповідно.

sec х 10*

Рис. 4 ВКФ, N=1023 на рівні -1 дБ (область бічних піків)

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№46

93

mls1 Obit: correlation function 0.7 m,s10bit: corre|ation function 07

Радіотехнічні кола та сигнали

Рис.6 ВКФ, N=1023 на рівні -3 дБ (область бічних піків)

94

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№46

mls1 Obit: correlation function 0.5

Радіотехнічні кола та сигнали

Рис. 8 ВКФ, N=1023 на рівні -6 дБ (область бічних піків)

В роботі Варакіна [1] рекомендовано для аналізу рівня бокових піків АКФ та ВКФ ШПС використовувати наступні оцінки:

• середньоквадратичне значення бічних піків Ri, що визначається через дисперсію:

^ R

1 N-1

— У Rr

2N i=_(N-1)

2

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№46

95

Радіотехнічні кола та сигнали

• середнє значення модулів бічних піків:

m

,,1\r\

і N-1

— yRJ

2 N i=-(N-1)

• середньоквадратичне значення модулів бічних піків, що визначається через дисперсію:

2 2 2

^R| _ ®R — m\R\

а також значення максимального бічного піку Rmax.

Приведемо оцінки основних кореляційних характеристик М-послідовностей, які можна розрахувати з АКФ та ВКФ.

Таблиця 1

Кореляційні функції OrJN тщл/N СТ| R|VN RmtJN

АКФ М-послідовностей 0,4 0,32 0,26 0,7...1,25

ВКФ М- послідовностей 0,73 0,54 0,48 1,4.5

КФ випадкових послідовностей 0,7 0,56 0,43 2,1...3,5

У табл. 1 [1] приведені оцінки основних характеристик кореляційних функцій (АКФ і ВКФ) М-послідовностей і випадкових послідовностей. Останні приведені для порівняння їх властивостей з властивостями М-послідовностей.

У табл. 1 всі характеристики приведені в ненормованому вигляді, тобто помножені на VN. В результаті цифри, приведені в табл. 1, характеризують перевищення характеристиками рівня VN.

Однак, таблиця 1 містить тільки теоретичні розрахунки, які насправді можуть відрізнятися від дійсних значень, що і є зазначено в літературі. Надається тільки приблизний рівень ймовірного перевищення теоретичного значення [1]. Під час розрахунку АКФ та ВКФ нашому випадку ми маємо можливість оцінити дійсні статистичні характеристики. Наведемо кореляційні характеристики для М-послідовності з довжиною N=1023:

Таблиця 2.

Кореляційні функції СТ| r|VN тщл/N Rma^/N

АКФ 0.28304 0.40557 1.12555

ВКФ -1 дБ 0.25318 0.42295 1.05305

ВКФ -3 дБ 0.26557 0.50243 1.36005

ВКФ -6 дБ 0.27715 0.55239 1.53631

96

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№46

Радіотехнічні кола та сигнали

У табл. 2 приведені характеристики кореляційних функцій М-послідовності із m=10, N=1023

Особливу увагу приділимо залежності значень максимального бічного піку Rmax від довжини послідовності, адже ця характеристика є надзвичайно важливою в радіолокаційних системах.

Таблиця 3.

N Функція R vmax RmaJN N R vmax Rmax'/N

3 АКФ 0.32987 0.57135 7 0.14458 0.14458

ВКФ -1 дБ 0.32862 0.56919 0.20037 0.20037

ВКФ -3 дБ 0.31975 0.55382 0.33360 0.33360

ВКФ -6 дБ 0.36435 0.63108 0.39046 0.39046

15 АКФ 0.26355 1.02072 31 0.19293 1.07421

ВКФ -1 дБ 0.25111 0.97255 0.17948 0.99932

ВКФ -3 дБ 0.23637 0.91547 0.16720 0.93096

ВКФ -6 дБ 0.22948 0.88876 0.20073 1.11763

63 АКФ 0.11981 0.95097 127 0.08203 0.92448

ВКФ -1 дБ 0.11351 0.90092 0.07955 0.89654

ВКФ -3 дБ 0.12444 0.98770 0.08287 0.93389

ВКФ -6 дБ 0.11990 0.95168 0.08896 1.00255

255 АКФ 0.06960 1.11148 511 0.07352 1.66202

ВКФ -1 дБ 0.06469 1.03307 0.07189 1.62517

ВКФ -3 дБ 0.06862 1.09576 0.06743 1.52438

ВКФ -6 дБ 0.07753 1.23811 0.07320 1.65465

1023 АКФ 0.05985 1.91425 2047 0.04400 1.99060

ВКФ -1 дБ 0.05522 1.76615 0.04407 1.99379

ВКФ -3 дБ 0.05120 1.63750 0.04505 2.03844

ВКФ -6 дБ 0.04957 1.58537 0.04445 2.01117

У табл. 3 приведена Залежність рівня бокового піку кореляційних характеристик М-послідовності від довжини послідовності N.

Зобразимо графічно залежність максимального бокового піка від довжини послідовності. Також, для порівняння зобразимо теоретичну залежність, яка дорівнює 4n

Як видно з рис. 9, бічні піки мають різні нормовані значення відносно теоретичного рівня VN. Ті послідовності які знаходяться нижче теоретичного рівня явля-від довжини послідовності ються підмножиною мініма-

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№46

97

Радіотехнічні кола та сигнали

ксних послідовностей [2], ті які вище - підтверджують спостереження про можливі перевищення теоретичного рівня [1].

Висновки

Застосування ФМ сигналів маніпульованих М-послідовністю дає значні переваги в порівнянні з простими зондуючи ми сигналами. Однак, використання таких сигналів у якості зондуючи радіолокаціяних сигналів вимагає ретельного аналізу кореляційних та статистичних характеристик ФМ сигналу послідовності певної довжини. При правильному виборі довжини сигналу можна досягнути мінімальних значень бокових піків, що позитивно впливає на роздільну здатність радіолокаційної системи.

Література

1. Варакин Л.Е. «Системы связи с шумоподобными сигналами».- М.: Радио и связь, 1985. - 384 с., ил.

2. Маркіян Сумик, Іван Прудиус, Ростислав Сумик «Теорія сигналів». - Бескмд Біт, 2008. - 231с.

Мрачковський О.Д., Боднарук О.Д. Залежність максимальних бокових піків кореляційних функцій ФМ аперіодичного сигналу М-послідовності від довжини послідовності. Сигнали Баркера мають обмежений період послідовності, тому проектувальники радіолокаційних систем досліджують сигнали які можуть забезпечити більшу кількість відліків. В статті розглянуто основні властивості та особливості формування фазоманіпулованих сигналів з М-послідовності. Основною частиною є докладний розгляд та аналіз характеристики автокореляційної функції та взаємно кореляційної функції фазоманіпульованого сигналу послідовності максимальної довжини в залежності від порядку послідовності. Проведене порівняння з теоретичними даними, що наведенні в літературі, показало що рівні бічних піків та кореляційні характеристики відрізняються від теоретичних даних. Отримані результати можна використовувати при виборі довжини послідовності сигналу.

Ключові слова: М-послідовність, АКФ, ВКФ, мінімаксна послідовність

Мрачковский О.Д., Боднарук О.Д. Зависимость максимальных боковых пиков корреляционных функций ФМ апериодического сигнала М-последовательности от длины последовательности. Сигналы Баркера имеют ограниченный период последовательности, поэтому проектировщики радиолокационных систем исследуют сигналы которые могут обеспечить большее количество отсчетов. В статье рассмотрены основные свойства и особенности формирования фазоманипулированных сигналов с М-последовательности. Основной частью является подробное рассмотрение и анализ характеристики автокорреляционной функции и взаимно корреляционной функции фа-зоманипулированного сигнала последовательности максимальной длины в зависимости от порядка последовательности. Проведенное сравнение с теоретическими данными, наведении в литературе, показало что уровни боковых пиков и корреляционные характеристики отличаются от теоретических данных. Полученные результаты можно использовать при выборе длины последовательности сигнала.

Ключевые слова: М-последовательность, АКФ, ВКФ, минимаксная последовательность

98

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№46

Радіотехнічні кола та сигнали

O. Mrachkovkiy, O. Bodnaruk. Dependence of maximum correlation peaks of a maximum length sequence a periodic PM signal from the sequence length. Barker's sequence can't provide required signal length for modern radar systems as it is limited only to 13 symbols. The article shows a detailed description and analysis of generation PM signal with maximum length sequence. The main part of this article consists of analyses of dependence of correlation characteristics of M-sequence PM signal from the length of the sequence, also it has a compression with the theoretical data that is available in the literature. The results of this article could be used while selecting a length of sequence for particular signal usage cases.

Keywords: maximum-length sequence, correlation function, mini-max sequence

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№46

99