CC BY
78
Радіотехнічні кола та сигнали
УДК 621.396.62:621.396.96
ФОРМУВАННЯ ТА ВЛАСТИВОСТІ ПОСЛІДОВНОСТЕЙ ГОЛДА
Мрачковський О. Д.к.т.н., доцент Часник А. А., магістрант Ганзенко В. А., студент
Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут», м.Київ, Україна
Вступ
Метод утворення послідовностей Голда заснований на виборі послідовностей відповідно до властивостей многочленів. Кожній M-послідовності довжини N=2n-1, де п - деяке ціле число, відповідає свій многочлен ступеня п, що не приводиться. Неприводним називається такий многочлен, який не може бути представлений у вигляді добутку многочленів з меншими ступенями. Кожному кореню многочлена ступеня п може бути поставлений у відповідність елемент поля Галуа GF(2n) [1] (кодова послідовність повного коду довжини п, за винятком елементу, що складається з одних нулів). Всього ненульових елементів є 2n-1. Корінь а , всі ступені якого а0,
а \ а 2 а 2n-1 = а0 дають різні елементи поля, називається первісним або
примітивним. Многочлен, що не приводиться, одним з коренів якого є примітивний елемент поля, називається примітивним. Відповідно до методу Г олда твірним M-послідовностям повинні відповідати примітивні многочлени, корені яких є а для першої і (а ) для другої послідовностей, де l — будь-яке ціле число, взаємно-просте з п. Вибираються такі послідовності досить просто за допомогою таблиць многочленів, що не приводяться [2]. Якщо M-послідовності вибрані по методу Г олда, то їх періодичні взаємно кореляційні функції (ВКФ) є трирівневими, тобто приймають тільки три значення [4, 3]:
QW
Q =-1/N < Q2 =л/2/N -1/N Q3 =-V2/N -1/N
(1)
Формування послідовностей Г олда
Послідовності Г олда - це послідовності не максимальної довжини. На рис.1. показана блок схема формування послідовності Голда за допомогою двох генераторів, що формують М-послідовність. Як показано на рис.1, послідовність Голда формується шляхом виконання операції складання по модулю 2 на виході двох генераторів М-послідовностей. Операція скла-
52
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№45
Радіотехнічні кола та сигнали
Якщо дві послідовності мають довжину 2т-1, то послідовність Голда буде також завдовжки 2т-1.
Приклад роботи генератора зображеного на рис.1, представлений в табл. 1. Генератори послідовностей Голда дозволяють генерувати послідовності великої довжини: якщо ми дозволимо регістру 1 затримати його значення без наявності будь-якого циклічного зсуву, а в регістрі 2 почнемо зсувати його значення циклічно, то коли буде закінчений повний цикл ми отримаємо послідовність Голда. Якщо зробити один циклічний зсув у регістрі 1 і зробити повний циклічний зсув у регістрі 2, то це дасть нам зовсім іншу послідовність Голда завдовжки 2 -1.
Таблиця 1
№ ітер. Регістр 1 Регістр 2 [5,3] [5,4,3,2] Вихід генератора
1 11111 11111 0 0 0
2 01111 01111 1 1 0
3 10111 10111 0 1 0
4 01011 11011 0 1 0
5 00101 11101 1 1 0
29 11001 11011 1 1 0
30 11100 11101 1 1 1
31 11110 11110 1 1 0
дання відбувається посимвольно.
Рис.1. Генерації послідовності Голда зі створюючими поліномами М-послідовностей [5, 3] і [5, 4, 3, 2]
Мультирегістровий генератор послідовності Г олда може генерувати nr немаксимальних послідовностей завдовжки 2n-1 і r максимальних послідовностей тієї ж довжини, де r - число регістрів, n - довжина регістра.
Спектр послідовністі Г олда.
Спектр послідовності Г олда визначається аналогічним шляхом, як і для М-послідовності або послідовностей Баркера, шляхом перетворення Фур’є:
S (ю)
U (t) e~ mtdt
— 00
де U(t) -послідовність, що аналізується.
На рис.3 представлений амплітудний і фазовий частотні спектри аперіодичної послідовності Голда. Параметри сигналу N=1023 та N=511, Ті=1 мс, де Ті - довжина парціального імпульсу, N - кількість імпульсів у послідовності. Спектри були розраховані в програмному пакеті Matlab за
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№45
53
is(f)i ismi
Радіотехнічні кола та сигнали
допомогою алгоритму швидкого перетворення Фур’є (FFT- Fast Fourier Transform) [6], з використанням процедури корекції стрибків фазового спектра на 2 л.
Рис.2а Спектр послідовності Голда довжиною 511 імпульсів
Рис.2б. Спектр послідовності Голда довжиною 1023 імпульсів
Смуга частот, що займає послідовність Г олда, з достатнім ступенем точності визначається співвідношенням:
2Д/ = / + \/ю] - [fo - \/то] = 2/то, (2)
де то=Ті.
Враховуючи те, що довжин елементарного імпульсу однакова в обох випадках то смуга частот за формулою (2) теж однакова.
Автокореляційна функція послідовностей Г олда.
В програмному пакеті Matlab була отримана аперіодична автокореляційна функція (ААКФ) послідовностей Голда (рис.3). Наведена на рисунку ААКФ була розрахована за допомогою вбудованої функції xcorr [6], використано послідовностей різної довжини N=31, N=127, N=511, N - кількість імпульсів у послідовності.
54
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№45
Радіотехнічні кола та сигнали
Кореляційна функція
<
<
....
10 20 30 40 50 60 Час (мс) Кореляційна функція
п = : : : : 8- 1 6^ -4- 1 ; 1 ' -
50
100 150
Час (мс)
200
250
Рис.3. Аперіодична автокореляційна функція для послідовності Голда
Порівнюючи рівень бічних викодів (ААКФ) послідовностей Голда , з М-послідовностями[5], при однакових значеннях періоду послідовності, слід сказати, що у М-послідовності він менший, ніж у послідовності Г олда,
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№45
55
Радіотехнічні кола та сигнали
приблизно в 2,6 разів (на 4дБ). Тому М-послідовності мають кращі характеристики з точкм зору радіолокації, ніж сигнали послідовності Голда. Проте послідовності Голда знайшли широке застосування в супутниковій радіонавігації, в системах GPS (Global Positioning System).
Рис.4. Періодична автокореляційна функція для послідовності Голда;
Як вже згадувалося вище, якщо M-послідовності вибрані за методом Г олда, то їх періодичні ВКФ є трирівневими, тобто приймають тільки три значення (1).
Вірогідність появи цих значень наступна:
1
2
- N P 2 2
1 1 АГ
- + — N -4 4
1
V8N
P = - + і N + 3 4 4
1
V8N
(3)
Періодичні ВКФ циклічної системи можуть приймати тільки значення (1), причому вірогідність (3) відповідає випадку усереднювання по всіх ВКФ всіх циклічних перестановок.
Висновки
Послідовності Голда мають більший рівень бічних викидів в порівнян-
ні з М-послідовностями, приблизно 2.6 у -1 , де N - кількість імпульсів у
послідовності, що робить недоцільним використання послідовностей Голда в радіолокації. Проте в порівнянні з М-послідовностями, послідовності Г о-лда мають більший об'єм ансамблю, тобто більша кількість послідовностей для заданого m. Об'єм ансамблів послідовностей Голда на декілька порядків перевершують об'єми ансамблів М-послідовностей. Так при m =10 ансамбль збільшується від 1023 (М-послідовності) до 388000 (послідовності Голда), що, безумовно, ускладнює процедуру можливого розкриття сигналів ФМн послідовністю Г олда.
Література
1. Чеботарев Н.Г., Основы теории Галуа. Ч. I Изд. 2., 2004. с.224
56
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№45
Радіотехнічні кола та сигнали
2. Пітерсон У., Уелдон Э. Коди, що виправляють помилки: Пер. з англ./Под ред. Р.Л. Добрушина, С.И. Самойленко. -.М: Мир, 1976. -594 з.
3. Gold R. Maximal Recursive Sequences with 3-valued Recursive Cross-correlation Functions/-IEEE Trans. Inf. Th., 1968, v. IT-14, N 1, р. 154-156.
4. Gold R. Optimal Binary Sequences for Spread Spectrum Multiplexing.-IEEE Trans., Inf. Th., 1967, v. IT-13, N 4, p. 619-621.
5. Варакин Л.Е. Теория сложных сигналов. - М.: Сов. радио, 1978 - 304 с.
6. Holly Moore. MATLAB for Engineers (2nd Edition)
Мрачковськй О.Д. Часник А.А. Ганзенко В.А. Формування та властивості послідовностей Голда. У статті докладно розглянуто принципи формування послідовності Голда, наведена структурна схема генератора послідовності на базі регістрів зсуву і докладний опис її роботи. Були розраховані спектральні характеристики послідовностей різної довжини. Виходячи з аналітичного подання спектра даної послідовності, було отримано вираз для розрахунку смуги частот. Для послідовностей Голда різної довжини розраховані Автокореляційні функції та рівні бічних викидів у порівнянні з М-послідовністю, також розглянута періодична автокореляційна.
Ключові слова: Послідовність Голда, АКФ, спектр, формування
Мрачковский О.Д. Часнык А.А. Ганзенко В.А. Формирование и свойства последовательностей Голда. В статье подробно рассмотрены принципы формирования последовательности Голда, приведена структурная схема генератора последовательности на базе сдвиговых регистров и пошаговое описание ее работы. Были рассчитаны спектральные характеристики последовательностей различной длинны. Исходя из аналитического представления спектра данной последовательности, было получено выражение для расчета полосы частот. Для последовательностей Голда различной длинны рассчитаны автокорреляционные функции и уровни боковых выбросов в сравнении с М-последовательностью, также рассмотрена периодическая автокорреляционная.
Ключевые слова: Последовательность Голда, АКФ, спектр, формирование
O. Mrachkovkiy A. Chasnyk V. Ganzenko Generation and properties of Gold’s sequence
The article shows principles generation of Gold's sequences, shown a block diagram of sequence generator, based on shift registers and step by step description of its work. We calculated the spectral characteristics of sequences of different lengths. Based on the analytical representation of the spectrum of the sequence was obtained expression for calculating the bandwidth. For Gold’s sequences of different length were calculated autocorrelation functions and levels of lateral release in comparison with the max length sequence, also were considered a periodic autocorrelation.
Key words: Gold’s sequences, correlation, formation, Fourier analysis
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№45
57
