CC BY
38
Радіотехнічні кола та сигнали
УДК 621.396.62:621.396.96
КОРЕЛЯЦІЙНІ ВЛАСТИВОСТІ ПОСЛІДОВНОСТЕЙ ГОЛДА
Мрачковський О.Д., к.т.н., доцент,
Часник А. А. аспірант
Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут ", м. Київ, Україна
Вступ
Періодична послідовність Г олда має трирівневу АКФ та ВКФ. Що дозволяє використовувати її в якості навігаційних сигналів за рахунок можливості їх швидкого захвату [5]. Послідовність Голда формується, як сума за модулем два двох М-послідовностей. Кожній M-послідовності довжини N=2n-1, де п - деяке ціле число, відповідає свій многочлен ступеня п, що не приводиться. Відповідно до методу Голда твірним M-послідовностям повинні відповідати примітивні многочлени, корені яких є a-v для першої і (a 2l+1)'v для другої послідовностей, де l — будь-яке ціле число, взаємно-просте з п. Вибираються такі послідовності досить просто за допомогою таблиць многочленів, що не приводяться [2]. Якщо M-послідовності вибрані по методу Голда, то їх періодичні ВКФ приймають значення [4, 3]:
г а=-і/n
б(Л)
< Q:
Q3
V27N -1/N (і) -V27N -1/N
Кореляційні функції послідовностей Г олда.
На рис.іа приведена аперіодична автокореляційна функція ФМ сигналу з кодом Г олда.
50
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№47
Радіотехнічні кола та сигнали
а)
б)
Рис.1. Аперіодична автокореляційна функція: а) для послідовності Г олда; б) для М- послідовності при однакових #=1023
Порівнюючи рівень бічних сплесків аперіодичної автокореляційної функції (ААКФ) ФМ сигналів, фазоманіпульованих послідовністю Голда, з ФМ сигналами, фазоманіпульованих М-послідовністю (рис.1б), при однакових значеннях періоду послідовності N=1023, слід сказати, що у ФМ сигналів з М-послідовності він менший, ніж у сигналів з кодами Г олда, приблизно в 2,6 разів.
Як вже згадувалося вище, якщо M-послідовності вибрані за методом Г олда, то їх періодичні ВКФ є трирівневими, тобто приймають тільки три значення (1).
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№47
51
Радіотехнічні кола та сигнали
Вірогідність появи цих значень наступна: P = - -1N P = 1 +1N - 1
D 1 1 лг 1
P=-+-N+
2 2 2 4 4 V8N 2 4 4
Відома оцінка ВКФ сигналів циклічної системи [7]:
V8N
Rmax (A) ^ rnax|Q(A)| + max|Q(A, p)\S
(2)
(3)
Таким чином, оцінка першого доданку в (3) дається максимальним зна-
Г2 1
ченням (1), рівним J-і—. Максимум модуля періодичної ВФН
V N N
max|Q(A,p)| < (23/2^N~1/2 + N 1)112 * 0.94N~1/4 (4)
Підставляючи в (3) оцінки (1), (4), знаходимо оцінку максимальних піків ВКФ циклічної системи:
R (A) <J — + — + 0.94-^= mx( ) VN N \[N
(5)
На рис. 2-4 представлені взаємокореляційні функції (ВКФ) послідовності Голда періоду N=1023, для яких рівень кореляції падає на -1, -3, -6 дБ.
Рис.2 ВКФ послідовність Голда на рівні -1 дБ
52
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№47
Радіотехнічні кола та сигнали
Рис.3 ВКФ послідовність Голда на рівні -3 дБ
і
0.9 0.8 . 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
І і
пі їм і, і rtWlMHrwwi'i
1
sec.
1.8 2 х 10‘9
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№47
53
Радіотехнічні кола та сигнали
Рис.4. ВКФ послідовність Голда на рівні -6 дБ
З рисунків видно, що при зміні рівня кореляції спостерігається спад бічних піків з рівня 0,71(-1 дБ) до рівня 0,62 (-6 дБ), на відміну від М-послідовності, де, навпаки, із спадом кореляції відбувається ріст бічних піків. Це є важливим фактом з боку застосування неперіодичних послідовностей Г олда з погляду радіолокації.
На рис.5 приведена періодична автокореляційна функція для сигналу з послідовністю Голда з параметрами N= 1023, Г=1 мс.
0.1 0.08 0.06 0.04
и_ 0.02 <
4 о -0.02 •0.04 -0.06 -0.08
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
sec. х10-9
Рис.5. Періодична автокореляційна функція ФМ сигналу з послідовністю Голда.
54
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№47
Радіотехнічні кола та сигнали
З рисунка видно, що в області між основними списами автокореляційна функція приймає 3 значення. Нижче розраховані теоретичні значення при
N=1023.
в(Л)
Q = -1/N = -0.00098 < Q =4lTN -1/N = 0.043 Q3 = -4ЇШ -1/N = -0.045
Функція невизначеності послідовностей Г олда.
Функція невизначеності для всіх послідовностей Голда аналітично записується як
R(MT0,
R>(Q)
N
П=П2 *
^ an ап-Ц n1
exp(i(n - 1)Qr0)
де ап - символи послідовності Голда, р = т/т0, R0(Q) - функція невизначеності одиночного прямокутного імпульсу, яка залежить тільки від двох параметрів частоти Q і тривалості 0.
Ro(n)
^ sin(o.5QT0)^
v 0.5 Qto у
exp
(i-0.5Q^o)
межі підсумовування визначаються наступною рівністю:
n1 = р + 1, n2 = N при р>0; n1 = 1, n2 = N - |р| при р<0;
Виходячи з обмеженості об'єму тіла невизначеності довільного сигналу, середньоквадратичне значення ФН рівне 1/N. На рис.6 приведена ФН послідовності Голда з N= 1023, f0=1500 МГц, Г=1 мс.
Рис.6 Функція невизначеності для ФМ сигналу з послідовністю Голда.
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№47
55
Радіотехнічні кола та сигнали
Як видно з рисунка, як і в М-послідовності, тіло невизначеності має малі бічні сплески в області слабкої кореляції.
На рис.7 приведені ізокореляти в області сильної кореляції.
к ю7
2 і---
-б дБ -3 дБ
-1 дБ
(
І
-1 -0 8 -0 6 -0 4 -0 2 0 02 04 06 08 1
sec х 10 12
Рис.7 Ізокореляти в області сильної кореляції.
Нижче приведені ізокореляти в області слабкої кореляції.
Рис.8 Ізокореляти в області слабкої кореляції.
Як видно з рис. 6 по осі швидкості присутні бічні викиди, які викликані тим, що частотна кореляційна функція, як і для М-послідовності, описується виразом sin(x) /х, де x=Qx/2.
56
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія - Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№47
Радіотехнічні кола та сигнали
Висновки
Застосування послідовностей Г олда в радіолокації не доцільно з огляду на те, що М-послідовності мають менші бічні викиди кореляційних функцій, чим послідовності Г олда при однакових значеннях періоду послідовності N. Крім того, для генерування послідовності Голда необхідно витратити більше матеріальних ресурсів, чим на М-послідовності (приблизно у 2 рази). Проте, у послідовностей Г олда зі зменшення рівня кореляції знижується і рівень бічних викидів, на відміну від М-послідовностей.
Послідовності Г олда широко використовуються в системах GPS із-за їх швидкої синхронізації (високої частоти синхронізації), хороших показників взаємної кореляції [5]. Крім того, вони володіють такою якістю, як хорошим криптографічним захистом даних [6], що є важливою умовою в радіонавігації. Послідовності Г олда використовуються в системах GPS в грубих C/A кодах з довжиною послідовності 1023 елементів (чіпів) і частотою 1 МГц, і в точному P коді з довжиною 7 днів і частотою 10 МГц.
Література
1. Чеботарев Н.Г., Основы теории Галуа. Ч. I Изд. 2., 2004. с.224
2. Питерсон У., Уэлдон Э., Коды, исправляющие ошибки, пер. с англ., 2 изд., под ред. Р.Л. Добрушина, С.И. Самойленко. -.М: Мир, 1976. -594 с
3. Gold R. Maximal Recursive Sequences with 3-valued Recursive Cross-correlation Functions/-IEEE Trans. Inf. Th., 1968, v. IT-14, N 1, р. 154-156.
4. Gold R. Optimal Binary Sequences for Spread Spectrum Multiplexing.-IEEE Trans., Inf. Th., 1967, v. IT-13, N 4, p. 619-621.
5. Peter H. Dana. Global positioning system overview.
http: //www.colorado. edu/geography/gcraft/notes/gps/gps. html, 1999
6. F. Jessie MacWilliams and Neil A. Sloane. Psuedo-random sequences and arrays. Proceedings of the IEEE, 1976.
7. Варакин Л.Е. Теория сложных сигналов. - М.: Сов. радио, 1978 - 304 с.
Мрачковськй О.Д. Часник А.А. Кореляційні властивості послідовностей Голда. В
статті докладно розглянені АКФ та ВКФ послідовностей Голда, в порівнянні з М-послідовністю. Також наведена функція невизначеності та її перерізи на різних рівнях.
Ключові слова: Послідовність Голда, АКФ, ВКФ, функція невизначеності.
Мрачковский О.Д. Часнык А.А. Корреляционные свойства последовательностей
Голда. В статье подробно рассмотрены АКФ и ВКФ последовательности Голда, в сравнении с М-последовательностью. Приведена функция неопределенности, и ее сечения на различных уровнях.
Ключевые слова: Последовательность Голда, АКФ, ВКФ, функция неопределенности
O. Mrachkovkiy A. Chasnyk Properties of correlation functions of Gold’s sequence The
article shows detailed analysis of correlation function and cross correlation function of Gold’s sequence in comparison with max length sequence. The ambiguity function has been calculated.
Key words: Gold’s sequence, correlation analyze, ambiguity function.
Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2011.-№47
57
