CC BY
29
УДК 371.24+371.212 ГОРБАЧЕВ В.И.
доктор педагогических наук, профессор, директор естественно-научного института, Брянский государственный университет E-mail: enibgu@mail.ru
UDC 371.24+371.212 GORBACHEV V.I.
Doctor of Pedagogics, professor, Director of Institute of Natural Sciences, Bryansk State University E-mail: enibgu@mail.ru
ЗАКОНОМЕРНОСТИ СТАНОВЛЕНИЯ КОМПЕТЕНЦИИ СОДЕРЖАТЕЛЬНОГО АБСТРАГИРОВАНИЯ В СИСТЕМЕ КОМПЕТЕНЦИЙ МИРОВОЗЗРЕНЧЕСКОЙ ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
REGULARITIES OF FORMATION OF THE COMPETENCE OF MEANINGFUL ABSTRACTION IN THE SYSTEM OF COMPETENCES OF THE IDEOLOGICAL GOAL OF TEACHING MATHEMATICS
В анализе мировоззренческой цели общего математического образования в качестве предметной выделена компетенция содержательного абстрагирования. На базе философских, историко-математических исследований предмета математики, ее оснований установлены закономерные процессы деятельности содержательного абстрагирования: математическое отражение реального мира, идеальное конструирование абстрактных объектов математических пространств, теоретическое обоснование закономерностей математических пространств, логико-символический анализ математических теорий. В математических пространствах числовых систем, уравнений, неравенств, систем исследованы специфические формы представления процессов содержательного абстрагирования. В сочетании закономерных процессов и специфических способов конкретной реализации предметная компетенция содержательного абстрагирования может быть вполне сформирована.
Ключевые слова: общее математическое образование, методика обучения математикев компетентностном подходе, компетенция содержательного абстрагирования.
In the analysis of the ideological goal of general mathematical education the competence of meaningful abstraction is singled out as the subject matter. On the basis of philosophical, historical and mathematical research of the subject of mathematics, its foundations are established regular processes of activity of meaningful abstraction: mathematical reflection of the real world, ideal construction of abstract objects of mathematical spaces, theoretical substantiation of laws of mathematical spaces, logical and symbolic analysis of mathematical theories. In mathematical spaces of numerical systems, equations, inequalities, systems, specific forms of representing meaningful abstraction processes are investigated. In combination of regular processes and specific ways of concrete realization the subject competence of meaningful abstraction can be fully formed.
Keywords: general mathematics education, mathematics teaching methodology in a competence approach, competence of meaningful abstraction.
Дидактической закономерностью общего математического образования выступает процесс создания, представления, исследования в учебной математической деятельности «мира математических абстракций», структурируемого базовыми абстрактными пространствами математических объектов, отражающими в специфической форме объекты, отношения, зависимости реального мира. «Среди общих целей математического образования, - отмечает Г.В. Дорофеев, - центральное место занимает развитие абстрактного мышления, включающего в себя не только умение воспринимать специфические, свойственные математике абстрактные объекты и конструкции, но и умение оперировать с такими объектами и конструкциями по предписанным общим и конкретным правилам» [7, с. 60].
Отражая мировоззренческую значимость деятельности содержательного абстрагирования, Федеральный государственный образовательный стандарт среднего (полного) общего образования [15] в системе требований к предметным результатам освоения базового курса математики выделяет задачу ее сформированности в спектре чис-
ловых, предикатных, функциональных, геометрических, вероятностных представлений о способах описания на математическом языке явлений реального мира, в анализе математических понятий как важнейших математических моделей, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления, в осознании закономерностей аксиоматического построения математических теорий.
Историко-математической закономерностью тысячелетнего развития содержания математики в спектре фундаментальных и производных теорий выступает столь же длительный и глубокий философский анализ ее оснований, предмета, определяющий математико-мировоззренческие представления как математика-исследователя, так и субъекта воспроизводящей математической деятельности. В системе общего математического образования деятельность содержательного абстрагирования, направленная на формирование математико-мировоззренческих представлений, также является результатом совместных содержательных математических и философских аналитических действий, адекватных изучаемому уровню математических
© Горбачев В.И. © Gorbachev V.I.
теорий, их приложений.
В рамках выделения закономерностей становления деятельности содержательного абстрагирования представляется важным анализ тех мировоззренческих представлений, содержанием которых развитие математических теорий числа, фигур, функций, уравнений было обусловлено.
В историко-математических исследованиях развития предмета математики И.М. Яглом [17] представляет взгляды Платона о разработке общих принципов дедуктивных рассуждений, об анализе специфической структуры и особенностей математики, конструирующей свой мир не из реальных объектов, а из абстрактных понятий и идей. Также автором приводится система математико-мировоззренческих воззрений Аристотеля, который, относя математику к выводным наукам, выделяет фигурирующие в ней понятия и предложения, устанавливающие свойства данных понятий, при этом основное содержание выводной науки составляют цепочки следующих друг за другом предложений. Отмечая «характерный для всех древнегреческих ученых высочайший уровень математической абстракции и безукоризненность дедукции», И.М. Яглом логико-символическое описание предмета математики находит у Г. Лейбница, который утверждал, что «универсальная математика - это, так сказать, логика воображения», что предметом ее изучения является «все, что в области воображения поддается точному определению» [17, с. 32]. На этапе системного представления, вне исторических этапов становления базовых и производных понятий, предмета математики, развития теории и ее приложений «чистая математика», по И.М. Яглому, строится как некоторая логическая игра, базирующаяся на формулируемых самими математиками правилах или законах логического вывода - в содержании дедуктивного подхода. Однако мировоззренческое представление систематизированной математической теории вне этапа его зарождения, становления на базе представлений реального мира не формируется: «Логическая система «геометрии-математики» первоначально строилась на пути идеализации свойств реальных тел, на пути предельного упрощения наблюдаемых в окружающем нас мире явлений, сохранения лишь самых фундаментальных из относящихся к ним фактов, компактно записываемых в виде аксиом [17, с. 55].
Характеризуя математику как своеобразный, формальный способ теоретического описания действительности, Н.И. Жуков [8] отмечает отсутствие в материальной действительности квадрата, треугольника, прямой линии и тому подобных объектов, подчеркивает свойственный математике способ их образования: «Формирование этих объектов нельзя понимать как результат выделения человеком каких-то математических свойств в явлениях внешнего мира. Они в значительной мере - результат творческого воображения, логического конструирования, приема идеализации» [8, с. 10]. Утверждению А. Гейтинга о том, математическая мысль не выражает истину о внешнем мире, а связана исключительно с умственными построениями, в определенной степени противопоставляется описание математических объектов, выступающих результатом и отражения реальных объектов материальной действительности, и логического конструирования. К планам отражения, идеализации создания математических объ-
ектов Н.И. Жуков вполне справедливо добавляет план их «интерсубъектного» существования: фундаментальные понятия, элементы математического знания создавались, накапливались в процессе развития и приложения математических теорий, приобрели форму, независимую от сознания отдельного человека, стали востребованными индивидуальным сознанием компонентами математической и общей культур. Предметом развитого этапа математического знания выступают абстрактные структуры с описываемыми в содержании аксиоматического метода идеализированными объектами: «Итак, использование формально-дедуктивного способа, соответствующего специфике идеализированных объектов, - самая характерная черта математики, которая помогает выяснению ее принципиальных возможностей, роли в познании действительности и места в системе наук» [8, с. 28].
Философский анализ исследований классических разделов математического анализа, неевклидовой геометрии, оснований математики позволил С. А. Яновской [19] установить несостоятельность математико-мировоззренческих представлений только в содержании формально-дедуктивного подхода развития математических теорий, выделить базовые положения, определяющие объективную природу математического знания:
- исходные понятия науки должны, во всяком случае, безусловно удовлетворять требованию быть отвлеченными, абстрагированными из реальной, материальной действительности, причем должен быть ясен способ их образования [19, с. 70];
- всякое истинное предложение, формулируемое с помощью этого понятия, есть ступень на пути к полному познанию отображаемого этим понятием момента действительности [19, с. 70];
- миллиарды раз повторяющаяся практика оперирования с некоторыми объектами и соответствующими им понятиями научает людей делать логические умозаключения, достаточные для нужд исторически возникающих областей науки, в том числе математики [19, с. 200].
В описании предмета «чистой математики» Г. Вейль [1], наоборот, отрицает значимость мировоззренческих процессов математического отражения объективного мира, идеального конструирования математических объектов: «Согласно современным воззрениям чистая математика представляет собой гипотетически-дедуктивное учение об отношениях, она разрабатывает теорию чистых логических форм, не заботясь о той или иной из возможных конкретных интерпретаций.... Чистая математика признает только одно - но зато совершенно обязательное - условие истины - именно, непротиворечивость» [1, с. 56]. Формализация математики по Д. Гильберту, на базе аксиоматического метода, точно определенных правил логического вывода признается Г. Вейлем в качестве программы восстановления прежней доброй славы непоколебимой строгости математики: «Подобно тому, как в системе геометрических аксиом не играет никакой роли реальный смысл в действительном пространстве понятий «точка», «плоскость», «между» и все внимание сосредоточивается на логической связи геометрических понятий и теорем, так и здесь, только еще более решительным образом, должно быть изжито какое бы то ни было, хотя бы чисто логическое значение понятий.Математика оказывается уже не знанием, а управ-
ляемой некоторыми условными правилами игрой в формулы, вполне подобной игре в шахматы» [1, с. 27].
Отечественная математическая школа в лице А.Д. Александрова, А.Н. Колмогорова, М.А. Лаврентьева [11], характеризуя дедуктивное развертывание математической теории, в котором значимы, действуют логико-символические правила вывода, лишь как отдельный ее уровень, воспринимаемый в целостном общественно-историческом процессе развития математики, в резкой форме отвергает сугубо субъектное описание предмета математики: «Идеалисты и метафизики не только путаются в решении этих коренных вопросов, но доходят до полного извращения математики, выворачивая ее в буквальном смысле наизнанку. Так, видя крайнюю отвлеченность и убедительность математических выводов, идеалисты воображают, что математика происходит из чистого мышления» [11, с. 10].
Классиками отечественной математики, математического образования указана причина представления предмета математики в содержании субъектного конструирования, в качестве продукта свободного дедуктивного мышления: «Это глубоко ошибочное идеалистическое представление происходит, в частности, от того, что математику рассматривают не в ее реальном возникновении и развитии, а в готовом виде» [11, с. 63].
А.Д. Александровым, А.Н. Колмогоровым, М.А. Лаврентьевым [11] выделены фундаментальные закономерности деятельности содержательного абстрагирования в становлении современных математико-мировоззренческих представлений:
- математические понятия, методы, выводы, при всей их отвлеченности, отражают законы материальной действительности; общие, не зависящие от качественных особенностей или конкретного содержания формы, отношения, взаимосвязи и законы, которые отражаются в математике, существуют объективно, независимо от нашего сознания;
- понятие геометрической фигуры является результатом отвлечения от всех свойств реальных предметов, кроме пространственной формы и размеров; только существование числа как объективного свойства совокупности предметов, независимость взаимоотношений между числами от качественных особенностей предметов, богатство этих взаимоотношений сделали арифметику возможной;
- полное отвлечение предмета математики от всякой конкретности и основанный на этом умозрительный характер математических выводов влекут за собой другую важную особенность математики; «в математике исследуют не только такие количественные отношения и пространственные формы, которые непосредственно абстрагируются из действительности, но и такие отношения и формы, которые определяются внутри самой математики на основе уже сложившихся математических понятий и теорий» [11, с. 63];
- математические абстракции создаются в закономерной последовательности ступеней (в отражении материальной действительности, при создании системы объектов пространства, на этапе становления содержательной теории, в условиях формализации теории), по этой причине «математика сама по себе вообще почти целиком вращается в кругу абстрактных понятий и связей», «не
только понятия, но и метод математики оказывается отвлеченным, умозрительным» [11, с. 6-7];
- определенность математических понятий вместе с общезначимостью самой логики оказывается причиной характерной для математики внутренней убедительности и логической необходимости ее выводов, «неизбежность умозрительных выводов математики дает повод к ошибочному представлению, будто математика имеет основание в чистом мышлении, будто она априорна, а не исходит из опыта, будто она не отражает действительности» [11, с. 63].
В анализе объекта и предмета математики А. Л. Жуланов [9] в качестве базовой выделяет закономерность отражения посредством развивающейся иерархической системы абстрактных идеализированных объектов (математической реальности) реальных свойств и отношений действительности: «История математики показывает нам, что математические объекты - не дар свыше, а продукт многовековой познавательной и практической деятельности людей, в ходе которой они создавали, подвергали многократной проверке, усовершенствовали, т.е. проводили селекцию не менее длительную и строгую, чем при выведении культурных сортов растений и пород животных. Именно потому, что математические объекты причастны действительному миру («плоть от плоти и кровь от крови этого мира»), т.е. отображают некоторые существенные его свойства и отношения, они позволяют не только описывать адекватно этот мир, но и предсказывать новое в нем, недоступное прямому наблюдению» [9, с. 79].
Другой, специфической закономерностью математического отражения объективной действительности является внутренний процесс абстрактного, логико-содержательного конструирования:
- математические объекты - результаты либо абстракции и идеализации некоторых реальных свойств и отношений действительности, либо мысленного конструирования, абстракции второго, третьего и т.д. порядков;
- предмет математики можно представить в виде «математической реальности» -иерархии последовательно конструируемых абстрактных идеализированных объектов, выступающих в единстве их идеального содержания и материальной, знаковой формы (числовые системы, системы функций, геометрических фигур и пр.) [9, с. 77];
- новые понятия математики вводятся часто как обобщение уже существующих, новые теории создаются на основе других математических теорий.
Автор подвергает анализу и третью важную законо-мерностьдеятельности содержательного абстрагирования - представление математики как искусственной знаковой языковой системы, абстрактного метода познания с «непостижимой эффективностью его приложений (по Е. Вигнеру)». Представление математики в спектре сугубо дедуктивных теорий, в логико-символической форме развертывания (по Г. Вейлю, Д. Гильберту, Н. Бурбаки) имеет, несомненно, мировоззренчески ограниченный характер, однако такой идеальный уровень представленности математической теории способствует ее систематизации, обеспечивает абсолютную логическую строгость, безукоризненность выводов. Если в историко-общественном плане главной ценностью признается завершенный образ развивающейся дедуктивной теории, то в личностном
плане наибольшую значимость представляет способность дедуктивной теории сформировать в процессе ее усвоения адекватный уровень субъектного математического мышления.
В содержании общего математического образования основу проектирования деятельности содержательного абстрагирования составляет устоявшаяся в математике периодизация: «Во всей истории математики можно выделить три больших этапа в развитии ее абстракций: на первом этапе отвлекаются от конкретной качественной природы объектов, на втором стали отвлекаться от чисел и величин, на третьем этапе, связанном с переходом к современной математике, стали отвлекаться не только от конкретной природы объектов, но и от конкретного смысла отношений между ними» [14, с. 27].
Процесс содержательного абстрагирования на этапе внутреннего логико-содержательного развертывания математических теорий также следует детализировать в рамках современных (А.Д. Александров [16]) представлений математического пространства как системы абстрактных математических объектов с заданными в ней отношениями, операциями.
В качестве первичного, имеющего самостоятельный объективный характер в деятельности содержательного абстрагирования И.С. Якиманская [18], Г.Д. Глейзер [2] выделяют процесс становления образных, содержательных представлений объектов, отношений, целостного математического пространства - не только геометрического, но и числового, функционального, векторного, предикатного, вероятно стного.
Задача исследования закономерностей пространства математических объектов приводит к новому этапу абстрагирования (понятийному, логико-содержательному, логико-символическому) в процессе развертывания дедуктивной теории - либо в содержании аксиоматического метода (теории числового, геометрического, векторного пространств), либо на основе ранее созданной теории (теории функционального, предикатного, вероятностного пространств).
Таким образом, в деятельности содержательного абстрагирования, направленной на становление математико-мировоззренческих представлений, исследователи содержания математического образования, истории математики, философских оснований математики выделяют в качестве наиболее значимых:
- процесс образования абстрактных объектов учебной математической деятельности в отражении определенных закономерностей реального мира, подтверждаемый универсальностью приложений математических конструкций к многообразному исследованию явлений, процессов действительности, человеческой практики (математическое отражение реального мира);
- процесс математического абстрагирования в поэтапном создании пространств математических объектов на базе процедуры идеализации, в единстве с методом восхождения от абстрактного к конкретному, осуществляемых в образной и понятийной формах действий анализа и синтеза (идеальное конструирование абстрактных объектов математических пространств);
- процесс создания аппарата, теории по исследованию закономерностей каждого из пространств математи-
ческих объектов (вне анализа их природы), формирования математического языка - как для внутренних целей развития, так и востребованного различными предметными теориями естественнонаучного, гуманитарного планов (теоретическое обоснование закономерностей математических пространств);
- процесс логико-символического анализа объектов, отношений в содержании формально-дедуктивного развития учебной математической теории (в идеологии Д. Гильберта, Н. Бурбаки), вне явного опосредования математическими абстракциями закономерностей реального мира (логико-символический анализ математических теорий).
В анализе содержательных и мировоззренческих закономерностей становления деятельности содержательного абстрагирования уровня общего математического образования становится более определенной ее методология, направленная на достижение нормативно и методически поставленной задачи формирования.
В технологическом плане математико-мировоззренческая сфера формируется в выделенной в длительных многоплановых математико-философских исследованиях последовательности процессов математического отражения, идеального конструирования, теоретического обоснования, логико-символического анализа.
В содержательном плане математико-мировоззренческая сфера содержательного абстрагирования структурируется субъектными представлениями следующих базовых математических пространств, обладающих специфическими способами абстрагирования и идеализации, понятийного образования классов объектов, операций, зависимостей, методами установления их свойств, теоретическим исследованием пространственных закономерностей:
- числового пространства, отражающего закономерности счета (биективного соответствия абстрактных множеств), измерения (биективного соответствия объекта и его меры на определенной шкале), оперирования (в выбранной модели) в реальной человеческой практике, представленного в расширяющемся спектре числовых систем со свойствами конечности и бесконечности, дискретности и непрерывности;
- геометрического пространства, представленного в спектре классов геометрических фигур с системой пространственных, метрических, конструктивных свойств, исследуемых в содержании аналитико-синтетического метода, фундаментальных преобразований движения, подобия, проектирования, отражающего закономерности формы, взаимного расположения, ориентации реального физического пространства;
- функционального пространства, конструируемого на базе математических абстракций числа, точки, вектора, геометрической фигуры, события, отражающего закономерности функциональной зависимости (зависимости с однозначно определенными образами) в содержании как пространственно-векторной, пространственно-точечной, пространственно-метрической, векторно-координатной, вероятностной, логической, так и числовых (дискретной и непрерывной) функциональных моделей;
- евклидова пространства, отражающего в системе векторных, координатных абстракций, представлений
геометрического пространства фундаментальные свойства размерности, ориентации реального физического пространства, обосновывающего векторно-координатный и аналитический методы исследования геометрических фигур;
- предикатного числового пространства, представленного в системе абстрактных классов уравнений, неравенств, систем на числовых множествах, отражающего ситуации равновесия, сравнения на множестве числовых характеристик естественнонаучных, технологических процессов с задачей их исследования в содержании функционально-аналитического и функционально-графического методов;
- пространства случайных событий, величин (стохастического пространства), отражающего внутренние статистические закономерности, зависимости числовых характеристик происходящих в реальном мире, человеческой практике случайных событий, величин, представленного в содержании базовых законов распределения исследуемых комбинаторным и аналитическим методами дискретных и непрерывных случайных величин, статистических способов анализа случайных величин по их выборочным совокупностям.
В сочетании пространственно-теоретического подхода в анализе учебных математических теорий и структурного представления выделенных процессов деятельности содержательного абстрагирования становится возможным проектирование общей системы действий абстрагирования в каждом из отдельных пространств математических объектов.
Выделенная методология последовательного формирования деятельности содержательного абстрагирования имеет свое конкретное проявление, закономерности в становлении представлений каждого из пространств математических объектов, теории соответствующего пространства.
Пространство, теория числовых систем. Пространство числовых систем, одно из значимых в учебной математической деятельности общего образования, в субъектном становлении представлений наследует все закономерности деятельности содержательного абстрагирования - от этапа математического отражения количественных отношений в практической деятельности человека до этапа формального представления дедуктивных теорий, базовых моделей каждой из числовых систем.
Принципиальной в мировоззренческом плане является закономерность формирования деятельности содержательного абстрагирования в последовательности микроциклов - в схеме «пространство числовой системы - теория числовой системы - базовые модели теории числовой системы» для каждой из систем натуральных, целых, рациональных, действительных чисел с дифференциацией и поглощением представлений предыдущей числовой системы последующей в целостном представлении числового пространства.
Процесс мировоззренческого отражения реального мира в представлении пространства числовых систем задается деятельностью абстрагирования процедур счета, измерения, оперирования количественными отношениями в человеческой практике:
- понятия арифметики возникли путем абстракции, на основе анализа и обобщения громадного практического
опыта - сначала числа, связанные с конкретными предметами, потом отвлеченные числа и, наконец, понятие о числе вообще, о любом возможном числе [11, с. 18];
- чтобы считать, надо иметь не только предметы, подлежащие счету, но и обладать способностью отвлекаться при рассматривании этих предметов от всех прочих их свойств, кроме числа, а эта способность есть результат долгого, опирающегося на опыт исторического развития [19, с. 42];
- действия, операции над числами возникли, в свою очередь, как отражение реальных действий над конкретными предметами [11, с. 12];
- идея отрицательного числа (целого, рационального или действительного) связана с измерением величины, имеющей два противоположных смысла [16, с.158];
- исторически дроби возникли при переходе от счета к измерению [11, с. 57], в случае, когда единица измерения не укладывалась целое число раз в измеряемой величине, естественно возникало понятие о дробном числе [16, с. 172];
- существование несоизмеримых отрезков, известное еще в Древней Греции, поиск их точных значений приводит к понятию иррационального числа [16, с. 188].
Именно в процессе математического отражения, в сопоставлении процедур образования содержательных абстракций с практической деятельностью счета, измерения, оперирования создаются первичные образные и символические представления натурального, целого, рационального, действительного чисел, арифметических операций, целостное представление каждого из числовых множеств с фундаментальными отношениями равенства, сравнения, свойствами бесконечности, упорядоченности.
Переход от числа, как свойства некоторой совокупности предметов к «отвлеченному числу» (по А.Д. Александрову) в процессе математического отражения выступает объективным основанием для ступени идеального конструирования совокупности абстрактных числовых множеств - в условиях перехода к числу вообще, в содержании отвлеченного мышления, во внутриматема-тических абстрактных построениях:
- выделением первичных и производных объектов числовых множеств, в спектре базовых арифметических операций с алгебраическими свойствами, удобствами и недостатками оперирования;
- построением содержательных образов числа, операций, целостной числовой системы в спектре геометрических, арифметических, алгебраических моделей;
- созданием универсального алгебраического аппарата представления, оперирования числовыми величинами в совокупности расширяющихся числовых систем;
- представлением каждого из числовых множеств как абстрактной системы чисел с ее свойствами и модельными образами, фундаментальными свойствами «конечности -бесконечности», «дискретности - непрерывности», «периодичности» во взаимной связи включения и наследования;
- анализа содержательных, модельных представлений целостного числового пространства в отражении человеческой практики счета, измерения, оперирования.
В идеальной конструкции числового пространства понятие числа, как абстрактного элемента определенной числовой системы, рассматривается в рамках отражения
идеализированной математической деятельности измерения (И. Ньютон): «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу. Число бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое число есть то, что измеряется единицей; дробное - кратное долей единицы; иррациональное число несоизмеримо с единицей» [13, с. 8].
Процессы отражения и идеализации в представлении пространства числовых систем не охватывают полностью деятельность содержательного абстрагирования. «Возникнув как инструмент в познании мира, - отмечает Н.Я. Виленкин, - понятие натурального числа стало предметом исследований, приведших к выявлению скрытых, но объективных свойств этого понятия» [14, с. 24]. Задаче исследования, обоснования закономерностей как системы натуральных чисел, так и остальных числовых систем соответствует новый (теоретический) этап деятельности содержательного абстрагирования, осуществляемый в «отвлечении от конкретных чисел и величин» [14, с. 27].
В процессе теоретического обоснования закономерностей числового пространства деятельность содержательного абстрагирования проектируется в дедуктивном построении последовательно расширяемых аксиоматических теорий: натуральных чисел - в системе аксиом Пеано с аксиомами индукции, арифметических операций; целых чисел - в системе аксиом алгебраической структуры кольца; рациональных чисел - в системе аксиом алгебраической структуры поля; действительных чисел - в системе аксиом непрерывного поля. Обоснованием расширения числовых систем в теоретическом плане выступает необратимость определенных алгебраических операций (вычитание, деление, извлечение корня). По Р. Дедекинду, «именно эта ограниченность в выполнении обратных операций всякий раз становилась настоящей причиной нового творческого акта» [6, с. 12]. Идея анализа числового пространства на теоретическом уровне содержательного абстрагирования, как отмечает А.Д. Александров, была доступна еще древним грекам, которые осознавали, что «можно оперировать не только с любыми данными числами, но и рассуждать о числе вообще, формулируя и доказывая общие теоремы о числах» [16, с. 17].
В деятельности содержательного абстрагирования значимость теоретического обоснования закономерностей числового пространства определяется созданием во внутреннем субъектном плане наряду с конструктом числового пространства нового конструкта - теории числового пространства - для цели изучения, обоснования закономерностей числового пространства. Абстрактные объекты числового пространства (определенной числовой системы или ее модели) в новом конструкте заменяются соответствующими понятиями - объектами теории числового пространства (последовательных теорий каждой из числовых систем). Если в числовом пространстве число - идеализированный абстрактный объект, отражающий закономерности практической деятельности счета, измерения, оперирования, то в теории числового пространства число - абстрактный объект произвольной природы, все свойства которого описываются аксиомами соответствующей числовой системы и интерпретируются в содержании одной из базовых моделей. Существенно различаются
и целостные представления числового пространства, его теории:
- представление числового пространства - результат систематизации, классификации его абстрактных объектов, анализа их свойств, установленных в содержании базовых моделей;
- представление теории числового пространства выступает итогом систематизации, классификации понятий теории, анализа их свойств, общих закономерностей числовых систем и пространства в целом, установленных в содержании теорем, соответствующих процедур доказательства и интерпретируемых в базовых моделях.
Лишь на ступени сформированности закономерностей числового пространства, абстрагирования его фундаментальных свойств в системах аксиом каждой из теорий числовых систем становится возможным логико-содержательное представление теории числового пространства - сферы профессиональной математической деятельности. Правомерность исследования теории числовых систем в формальной оторванности от представлений числового пространства обоснована Ф. Клейном: «Чисто логические концепции должны составить, так сказать, жесткий скелет организма математики, сообщающий ей устойчивость и достоверность» [10, с. 33].
Логико-содержательный анализ дедуктивной теории числовых систем реализует многоплановые задачи деятельности абстрагирования. В содержательном плане исследуются свойства операций, отношений в моделях и в аксиоматической теории, их наследование в расширении числовых систем; в логико-содержательной форме систематизируются структурирующие теорию числовой системы определения понятий в их взаимосвязи с аксиомами, теоремами [3]. В методологическом плане в содержании доказательств конкретных теорем осуществляется анализ методов доказательства: математической индукции (в теории натуральных чисел), модельной представленности (в теории рациональных чисел), аналитико-синтетический (в теории целых чисел), предельного перехода (в теории рациональных чисел). В мировоззренческом плане в последовательности расширяющихся теорий числовых систем создаются представления о теоретической обоснованности процедур счета, измерения, оперирования, осуществляется формирование фундаментальных числовых понятий «конечности - бесконечности - счетности - континуальности», «дискретности - непрерывности», «линейности - периодичности» [4].
Пространство, теория числовых предикатов. Пространство числовых предикатов (уравнений, неравенств, систем уравнений, систем неравенств), структурирующее в модульном методическом подходе «класс числовых элементарных функций - функционально определенные классы уравнений, неравенств, систем -обобщенные способы исследования» [12] содержание общеобразовательного курса алгебры и начал анализа, несмотря на длительный историко-математический процесс своего становления, выступает производным по отношению к числовому, функциональному пространствам.
Первичный характер мировоззренческих, методологических представлений пространства числовых систем по отношению к предикатному пространству проявляется в двух аспектах:
- модельные, теоретические представления каждой из систем числового пространства выступают основой конструирования, преобразования числовых предикатов, постановки задач и выбора методов их исследования;
- алгебраические свойства операций, отношений упорядоченных полукольца натуральных, кольца целых, поля рациональных, непрерывного поля действительных чисел, представленные в форме тождеств, обосновывают спектр равносильных преобразований каждого из числовых предикатов - как в содержании обобщенного способа решения, так и в его конкретной реализации [5].
В неменьшей степени мировоззренческое представление пространства числовых предикатов опосредовано пространством числовых элементарных функций:
- базовые классы числовых элементарных функций (многочлены, дробно-рациональные, степенные, тригонометрические, показательные, логарифмические) определяют структуру предикатного пространства в спектре функционально определенных классов уравнений, неравенств, систем, исследуемых в содержании обобщенно-алгоритмической деятельности;
- функциональные операции комбинации, композиции, обращения приводят к существенному расширению функционально определенных классов числовых предикатов, их исследованию в содержании конкретно-эвристической деятельности;
- задача исследования каждого типа числовых предикатов, соответствующего функционально определенного вида или его расширения рассматривается в содержании либо функционально-аналитического, либо функционально-графического методов, либо в их интеграции;
- система тождеств каждого класса числовых элементарных функций определяет спектр равносильностей функционального плана, задающих общую стратегию равносильных преобразований предикатов.
Производный характер пространства числовых предикатов по отношению к числовому и функциональному обосновывает закономерность опосредованного формирования деятельности содержательного абстрагирования как на уровне представлений пространства числовых предикатов в схеме «числовое пространство пространство числовых предикатов пространство числовых элементарных функций», так и на уровне представлений теории в схеме «теория числового пространства теория пространства числовых предикатов теория функционального пространства».
Процесс мировоззренческого отражения реальной действительности задается деятельностью содержательного абстрагирования в исследовании средствами математического моделирования (А.Г. Мордкович [12]) условий равновесия, сравнения естественнонаучных, технологических, социальных ситуаций:
- характеризуемых измеряемыми величинами (установленными и неизвестными) на базе представлений пространства, теории числовых систем;
- обладающих системной зависимостью выделенных числовых характеристик в форме ранее зафиксированных функциональных связей на основе представлений пространства, теории числовых элементарных функций;
- описываемых определенным типом числовых пре-
дикатов (уравнений, неравенств, систем уравнений, систем неравенств) с последующими процедурами внутримодель-ного исследования, интерпретации.
Задачами процесса математического отражения, как начального в деятельности содержательного абстрагирования, выступают представленные в конкретной форме:
- анализ описывающей реальную действительность задачной ситуации с позиции выделения известных, неизвестных числовых характеристик в содержании определенной числовой системы;
- установление взаимных связей выделенных числовых характеристик в содержании конкретных функциональных зависимостей;
- составление уравнения, системы уравнений для ситуации равновесия, неравенства, системы неравенств для ситуации сравнения в качестве математической модели описанной в задаче ситуации;
- представление конкретного числового предиката как абстрактного математического объекта, анализ способа его преобразования для поиска множества решений;
- интерпретация решений конкретного числового предиката с позиции содержательного смысла задачной ситуации.
Достигаемыми результатами математического отражения условий равновесия, сравнения в деятельности содержательного абстрагирования являются представления [5]:
- о конкретных уравнениях, неравенствах, системах уравнений и неравенств как абстрактных математических объектах, выступающих математическими моделями содержательных задачных ситуаций;
- о заданной числовой системе, ее моделях как области определения числового предиката, о системе алгебраических тождеств как основы его равносильных преобразований;
- о способах преобразований конкретных уравнений, неравенств, систем с сохранением требования равносильности, множествах решений каждого типа числовых предикатов;
- о закономерностях метода математического моделирования в анализе процессов равновесия, сравнения.
Идеальное конструирование объектов пространства числовых предикатов, характеризующее новый уровень деятельности содержательного абстрагирования, в большей степени опирается на представления пространства числовых элементарных функций. Классам числовых элементарных функций, моделирующим равномерные, равноускоренные, периодические, экспотенциальные и т.д. зависимости, соответствуют функционально определенные классы числовых предикатов каждого типа (уравнения, неравенства, системы уравнений, неравенств), наследующие аналитические и графические представления, свойства класса функций. Функциональные операции композиции, комбинации, обращения приводят к существенному расширению функционально определенных классов числовых предикатов, полностью охватывая пространство числовых предикатов:
- объектами пространства являются предикаты одного из типов - уравнений, неравенств, систем уравнений, систем неравенств;
- каждый предикат данного типа либо принадлежит функционально определенному виду (линейных, рацио-
нальных, степенных, тригонометрических, показательных, логарифмических предикатов), либо является его композиционным, комбинационным расширением.
В процессе идеального конструирования вместе со структурным представлением пространства числовых предикатов формируются ограниченные представления функционально-графического и функционально-аналитического методов решения каждого типа предикатов. Основой функционально-графического метода решения уравнений, неравенств функционально определенного типа выступают свойства функций данного класса, интегрируемые в обобщенном графическом представлении. На базе тождеств данного класса функций, алгебраических тождеств числовой системы в функционально определенном классе числовых предикатов выделяется общая для предикатов класса форма функционально-аналитического метода решения.
Процесс теоретического обоснования закономерностей пространства числовых предикатов характеризует деятельность содержательного абстрагирования как понятийную, аналитико-синтетическую:
- понятия уравнений, неравенств, систем уравнений, систем неравенств задаются в общей форме числовых предикатов равенства, сравнения, их конъюнкций с постановкой задачи поиска области истинности на базе теоретических фактов определенной числовой системы;
- понятия решения уравнения, неравенства, системы уравнений, системы неравенств, представленные как в аналитической (в модели, в теории числовой системы), так и в функционально-графической (на координатной прямой, на координатной плоскости) формах, обосновывают необходимость использования теоретико-модельных представлений числовых систем, числовых элементарных функций;
- формирующееся в каждом из типов числовых предикатов понятие равносильности приводит к системному представлению в спектре соответствующих теорем равно-сильностей общего вида, равносильностей на базе тождеств числовой системы, функциональных равносильностей.
На приоритет обобщенного теоретического представления закономерностей пространства числовых предикатов (на примере уравнений) в сочетании с процессами математического отражения, идеального конструирования указывал И. Ньютон в не утратившем на уровне общего математического образования ценности произведении «Всеобщая арифметика или книга об арифметических синтезе и анализе»:
- уравнения представляют собой собрания величин, либо равных между собой, либо равных все вместе нулю;
- уравнения рассматривают главным образом с двух точек зрения: либо как последние заключения, к которым приходят при решении задач, либо как средства, при помощи которых получают окончательные решения;
- чтобы легче найти эту неизвестную величину, содержащее ее уравнение чаще всего необходимо подвергнуть различным преобразованиям, пока оно не примет возможно более простого для него вида;
- необходимо изложить методы преобразования уравнений, а также методы получения из уравнений промежуточных уравнений окончательных;
- если в уравнении имеются взаимно уничтожающиеся величины или величины, которые можно объединить посредством сложения или вычитания, то число членов следует, таким образом уничтожить;
- - иногда приведение можно осуществить, разделив уравнение на некоторую составную величину [13, с. 64-66].
Именно в процессе теоретического обоснования деятельности содержательного абстрагирования теория пространства числовых предикатов формируется как дедуктивная, обобщенно теоретическая деятельность исследования пространства числовых предикатов вплетается в обобщенно-алгоритмическую, ее обосновывает и систематизирует [5].
Содержательная объемность пространства числовых предикатов, его трехмерная представленность в деятельности субъекта (по типу предикатов, по функционально определенному виду, по методам исследования) востребуют для цели математико-мировоззренческого представления теории процесс ее логико-символического анализа.
Становление математико-мировоззренческой сферы в процессе логико-символического анализа теории, опосредованное методологической схемой деятельности содержательного абстрагирования «конкретный числовой предикат данного типа - функционально определенный вид предикатов данного типа - данный тип числовых предикатов - функционально-графический метод представления - функционально-аналитический метод исследования», осуществляется в содержании аналитико-синтетической деятельности:
- анализа развития функционально-аналитического метода исследования каждого из типов числовых предикатов в схеме «конкретный числовой предикат - функционально определенный вид числовых предикатов - композиционное расширение вида числовых предикатов - тип числовых предикатов»;
- анализа развития функционально-графического метода представления каждого из типов числовых предикатов в схеме «конкретный числовой предикат - функционально определенный вид числовых предикатов - композиционное расширение вида числовых предикатов - тип числовых предикатов»;
- исследования представлений пространства, теории числовых предикатов, обусловленных модельно-теоретическими представлениями конкретной числовой системы (включая систему комплексных чисел) и числового пространства в целом;
- исследования взаимной связи теории числовых элементарных функций и представлений пространства, теории числовых предикатов;
- становления функционально-графических и функционально-аналитических представлений пространства числовых предикатов с параметрами и его теоретических закономерностей, обобщенных способов исследования уравнений, неравенств с параметрами в схеме «конкретный числовой предикат - функционально определенный вид числовых предикатов - композиционное расширение вида числовых предикатов - тип числовых предикатов».
Библиографический список
1. Вейль Г. Философии математики. Сборник работ. М.-Л.: Гостехиздат, 1934. 128 с.
2. Глейзер Г.Д. Психолого-математические основы развития пространственных представлений при обучении геометрии // Преподавание геометрии в 9-10 классах. М.: Просвещение, 1980. С. 253-269.
3. Горбачев В.И. Теория уравнений, неравенств, систем уравнений на числовых множествах в методологии теоретического типа мышления // Ученые записки Орловского государственного университета. 2017. № 2 (75). С. 217- 227.
4. Горбачев В.И. Теория числовых систем в методологии теоретического типа мышления (общее представление числового пространства, теория) // Вестник Калужского университета. 2016. № 2. С. 37-45.
5. Горбачев В.И. Теория числовых систем в методологии теоретического типа мышления (проектирование учебной деятельности) // Вестник Калужского университета. 2017. № 2 (35). С. 27-32.
6. ДедекиндР. Непрерывность и иррациональные числа / Под ред. С.О. Шатуновского. Одесса, 1923. 44 с.
7. Дорофеев Г.В. Гуманитарно-ориентированный курс - основа учебного предмета математика в общеобразовательной школе // Математика в школе. 1997. № 4. С. 59-66.
8. Жуков Н.И. Философские основания математики. Мн.: Университетское, 1990. 110 с.
9. Жуланов А.Л. Объект и предмет математики // Вестник Вятского государственного гуманитарного университета. Философия и социология, культурология. 2012. № 1(4). С. 75-81.
10. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: В 2-х томах. Т. 1. Арифметика. Алгебра. Анализ / Под ред. В.Г. Болтянского. М.: Наука,1987. 432 с.
11. Математика, ее содержание, методы и значение. Т. 1. М.: Изд-во АН СССР, 1956. 296 с.
12. Мордкович А.Г. Новая концепция школьного курса алгебры // Математика в школе. 1996. № 6. С. 28-33.
13. Ньютон И. Всеобщая арифметика или книга об арифметических синтезе и анализе. М.: Изд-во АН СССР, 1948. 448 с.
14. Современные основы школьного курса математики: Пособие для студентов пед. ин-тов / Н.Я. Виленкин, К.И. Дуничев, Л.А. Калужнин, А.А. Столяр. М.: Просвещение, 1980. 240 с.
15. Федеральный государственный образовательный стандарт среднего (полного) общего образования (утвержден приказом Минобрнауки России от 17 мая 2012 г. № 413). [Электронный ресурс]. Режим доступа:М1р://минобрнауки.рф/документы/2365
16. Энциклопедия элементарной математики / Под ред. П.С. Александрова, А.И. Маркушевича, А.Я. Хинчина. Книга первая. Арифметика. М.-Л.: Гостехиздат, 1951. 448 с.
17. ЯгломИ.М. Математика и реальный мир. М.: Знание, 1978. 64 с.
18. ЯкиманскаяИ.С. Развитие пространственного мышления школьников. М.: Педагогика, 1980. 240 с.
19. Яновская С.А. Методологические проблемы науки. М.: Мысль, 1972. 280 с.
References
1. Weyl G. Philosophy of mathematics. Collection of works. M.-L.: Gostekhizdat, 1934. 128 p.
2. Glazer G.D. Psychological and mathematical foundations for the development of spatial representations in the teaching of geometry // Teaching geometry in 9-10 grades. Moscow: Prosveshchenie, 1980. Pp. 253-269.
3. Gorbachev V.I. Theory of equations, inequalities, systems of equations on numerical sets in the methodology of theoretical type of thinking // Scientific notes of Orel state university. No. 2 (75). Pp. 217-227.
4. Gorbachev V.I. Theory of numerical systems in the methodology of theoretical type of thinking (general representation of a numerical space, theory) // Bulletin of Kaluga University. 2016. № 2. Pp. 37-45.
5. Gorbachev V.I. The theory of numerical systems in the methodology of theoretical type of thinking (designing of educational activity) // Bulletin of Kaluga University. 2017. No. 2 (35). Pp. 27-32.
6. DedekindR. Continuity and irrational numbers, Ed. S.O. Shatunovsky. Odessa, 1923.44 p.
7. Dorofeev G.V. The humanities-oriented course is the basis of the mathematics subject in the general school // Mathematics in the school. 1997. № 4. Pp. 59-66.
8. ZhukovN.I. Philosophical grounds of mathematics. University: 1990. 110 p.
9. Zhulanov A.L. Object and subject of mathematics // Vestnik of Vyatka State Humanitarian University. Philosophy and sociology, culturology.2012. No. 1 (4). Pp. 75-81.
10. Klein F. Elementary mathematics in terms of higher: In 2 volumes. T. 1. Arithmetic.Algebra.Analysis / Ed. V.G. Boltyansky. Moscow: Nauka, 1987. 432 p.
11. Mathematics, its content, methods and meaning. T. 1. Moscow: Publishing House of the Academy of Sciences of the USSR, 1956. 296 p.
12. MordkovichA.G. A new concept of the school course in algebra // Mathematics in school. 1996. № 6. Pp. 28-33.
13. Newton I. Universal arithmetic or a book on arithmetic synthesis and analysis. Moscow: Izd-vo AN SSSR, 1948. 448 p.
14. Modern foundations of the school course of mathematics: A handbook for studentsped. in-tov / N.Ya. Vilenkin, K.I. Dunichev, L.A. Kaluzhnin, A.A. Stolyar. Moscow: Education, 1980. 240 p.
15. The federal state educational standard of secondary (complete) general education (approved by the order of the Ministry of Education and Science of Russia on May 17, 2012 № 413). [Electronic resource]. Access mode: http: //minobarnauk.rf/documents/2365
16. Encyclopedia of elementary mathematics. Ed. P.S. Alexandrova, A.I. Markushevich, A.Ya. Khinchin.The first book.Arithmetic. M.-L.: Gostekhizdat, 1951. 448 p.
17. Yaglom I.M. Mathematics and the real world. Moscow: Knowledge, 1978. 64 p.
18. YakimanskayaI.S. Development of spatial thinking of schoolchildren. Moscow: Pedagogika, 1980. 240 p.
19. Yanovskaya S.A. Methodological problems of science. Moscow: Thought, 1972. 280 p.
