Задачи стартового управления для линейных уравнений соболевского типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

ЗАДАЧИ СТАРТОВОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА

М.В. Плеханова, В.Е. Федоров

В работе исследованы задачи минимизации квадратичных функционалов на решениях дифференциального уравнения первого порядка в гильбертовом пространстве с вырожденным оператором при производной, удовлетворяющих начальному условию Коши или обобщенному условию Шоуол-тера - Сидорова. Речь идет о задачах стартового управления, то есть задачах, в которых функцией управления является начальное значение функции состояния. Абстрактные результаты проиллюстрированы на примере задач стартового управления для системы уравнений фазового поля.

Введение

Пусть X и У - гильбертовы пространства, операторы Ь е Ь(X; У) (линейный и непрерывный), М е С1 (X;У) (линейный и замкнутый с областью определения ёошМ, плотной в X). В предположении кегЬ Ф {0} задача Коши

представляет собой абстрактную форму многих начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных, встречающихся в естествознании. Уравнение (1) с вырожденным оператором при производной часто называют уравнением соболевского типа [1-3]. Настоящая работа посвящена исследованию задачи оптимального управления

для системы (1). Здесь заданы Ud - выпуклое замкнутое подмножество пространства X, константа N>0, функции w е H!(0, T; X), u0 е X . Поскольку функция управления определяет начальное значение функции состояния, то задача называется задачей стартового управления. Такие задачи для уравнений вида (1) с оператором L=I рассматриваются, например, в [4].

Для уравнений соболевского типа ранее, по-видимому, рассматривались только задачи с распределенным управлением, когда функция управления u определяет правую часть уравнения (см. [5-10]). В перечисленных работах рассмотрены случаи, когда уравнение Lx(t) = Mx(t) обладает аналитической в плоскости разрешающей группой операторов [6], аналитической в секторе полугруппой [5, 8], сильно непрерывной разрешающей полугруппой [7, 9, 10].

Используемое в данной работе условие сильной (£,р)-радиальности оператора M гарантирует существование сильно непрерывной разрешающей полугруппы операторов однородного уравнения (1), вырождающейся на M-присоединенных векторах оператора L высоты не большеp [3, 11]. При этом все пространство распадается в прямую сумму ядра и образа полугруппы. Проектор на образ полугруппы вдоль ее ядра обозначим через P. При исследовании некоторых уравнений соболевского типа, описывающих реальные процессы, более естественным оказывается задание в начальный момент времени не условия Коши x(0) = x0, а так называемого обобщенного условия Шоуолтера - Сидорова Px(0) = Px0 (обоснование термина см. в [1, 12]). Именно такое условие используется при исследовании системы уравнений фазового поля, моделирующей фазовые переходы первого рода [13]. В работе помимо задачи (1)-(3) рассмотрена аналогичная задача со стартовым управлением Px(0) = u . Ранее задача оптимального управления для уравнения соболевского типа с распределенным управлением в правой части уравнения и с обобщенным условием Шоуолтера - Сидорова в случае существования аналитической полугруппы однородного уравнения была рассмотрена в работе [14].

Lx(t) = Mx(t) + y(t), x(0) = u

(1)

u eUd,

(2)

(3)

Также рассмотрены задачи с жестким управлением [4], когда функционал стоимости в явном виде не зависит от управления. Полученные абстрактные результаты использованы при исследовании линеаризованной в нуле системы уравнений фазового поля.

При доказательстве результатов в данной работе использована удобная для систем, описываемых некорректными задачами, схема исследования задач оптимального управления, предложенная в монографии [4]. Она позволяет, не выражая функции состояния х(') через функции управления и('), установить существование и единственность решения задачи оптимального управления при выполнении так называемого условия нетривиальности и условий ограниченности снизу, непрерывности, коэрцитивности и строгой выпуклости функционала стоимости. В задачах с жестким управлением функционал не является строго выпуклым, и единственность решения доказывается напрямую. При этом для доказательства коэрцитивности функционала используется дополнительное условие ограниченности множества допустимых управлений.

Задача Коши для случая относительно ^-радиального оператора

Пусть X, Y- банаховы пространства, операторы L £L(X;Y), И£ Cl(X;Y). Введем необходимые в дальнейшем обозначения:

рь (M) = {¡л £ С: (¡4 - M)-1 £ L(Y;X)};

р) (И) = П - M)-1 р) (И) = ^С"^ - M)-1;

k=0 к=0

X0 = киЯ^ р) (И); Y0 = кет^ р} (И);

X1 = тЛ р) (И); Y1 = „) (И);

-'к ~

Lk - сужения оператора L на подпространства Хк, Ик - сужения оператора И на ёот Ик = ёот И п Хк , к=0,1.

к

Оператор И называется ^,р)-радиальным, если 1) За £ Я У л > а л £ р4 (И);

2) ЗК > 0 Улк > а, к = 0, р, Уп £ N

(< р)(И ))Ц,( х ^ 4л,р )(И ))п

тах<

к_К

Ь(?)) -Л,

П (Лк - а)п

к=0

Оператор И называется сильно (Ь,р)-радиальным, если он (Ь,р) -радиален, существует плотный в

0

Y линеал Y, такой, что

-1г 4 < С(у) 0

Y р

\\И (ЛЬ - И Г ^ р) (И) у\\7 <-^- Уу £ Y

(х - а)П (Лк - а)

к=0

К

Мр)(И)(х-И)ЦL(Y;Х} <-р-для всех х, ^ ••• , Лр > а .

(х - а)П (Лк- а)

к=0

Теорема 1. Пусть оператор И сильно (4,р)-радиален. Тогда (г) Х=Х0 Ф X1, Y = Y0 Ф Y1; (гг) £ L(Xk;Yk), Ик £ Cl(Xk;Yk), к=0,1; (///) существуют операторы И- £X0), 4-1 £X!); (/V) оператор Н = И-£ 0) нильпотентен степени не больше р; (у) существует полугруппа {X' £ X): t > 0} однородного уравнения 4х(') = Их('); (уг) инфинитезимальным генератором С0 -непрерывной полугруппы {X1' £ ):' > 0} является

оператор 411И1 £ С1 (X!).

Здесь Х[ (7/ ) - сужение оператора X' (Y') на X1 (YПроектор вдоль X0 на X1 обозначим через P, а проектор вдоль Y0 на Y1 - через Q. Рассмотрим задачу Коши

x(0) = x0 е dom M (4)

и обобщенную задачу Шоуолтера - Сидорова

Px(0) = Px0, x0 е dom M (5)

для уравнения

Lx(') = Mx(t) + y('). (6)

Функцию x(t) е H !(0, T; X) назовем сильным решением задачи (4), (6) ((5), (6)), если она почти всюду на (0, T) удовлетворяет уравнению (6) и условию (4) ((5)), в том смысле, что lim II x(t) - x0 |l = 0 (lim | Px (') - Px 0 |l = 0).

Теорема 2. Пусть оператор M сильно (L,р)-радиален. Тогда при любых y е Hp+1(0, T; Y) и

р

x0 еЛy = {x е domM :(I -P)x = HkM-l(I - Q)y(k)(0)} существует единственное сильное

k=0

решение задачи (4), (6), имеющее вид

x(t) = JX'-sL-1Qy(s)ds - tHkM-1 (I - Q)y(k> (') + X%. (7)

0 k=0

Доказательство. Используя теорему 1, редуцируем задачу (4), (6) к системе двух задач Ко-ши, заданных на подпространствах X 0 и X1 . Существование и единственность решения

р

x(t) = HkM0-1(I - Q)y(k)(t) задачи Коши x(0) = (I - P)x0 при x0 еЛy для уравнения

k=0

Hx(') = x(t) + M01 (I - Q)y(t) на подпространстве X0 доказаны в работе [10].

Докажем разрешимость задачи x(0) = Px0 для уравнения x(t) = Sx(t) + L-1Qy(t) с оператором S = L-1 M1 на подпространстве X1 в условиях данной теоремы. Имеем y е H!(0, T; Y), поэтому X'-sL-1Qy(s) е L1 (0, T; X1). Действительно,

J||X'-sL-1Qy(s)| ds < Ke^T \Щш }||y(s)||Yds < ю.

0 ( ' ' 0

Далее,

| '+A-sL-1Qy(s)ds - )xt-sL-1Qy(s)ds | =' J X'-^Q^^l^pMds +

Ä V 0 0 у

0

t

1 ä ~ 1 ' ~ + Jx'+Ä-sL-1Qy(s)ds - - \X'-sL-lQy(s)ds.

Ä 0 Ä t-Ä

Поскольку у е Н !(0, Т; У), то почти всюду на (0, Т) функция у дифференцируема в классическом смысле. Поэтому при почти всех 5 е (0, Т) и при любом е > 0

У (5 + Д) - у (5)

Ä

< y (s) Y + £

Y

для достаточно малых |ä| . Отсюда в силу теоремы Лебега следует существование предела

lim 7 X'-sL-1Qy(s + Ä) - y(s) ds = lim JX'^lQ(s + Ä) - y(s) - lim J X'-^Q^ + Ä) - y(s) ä^0 0 1 ^ Ä Ä^0 0 1 ^ Ä Ä^0 t-Ä 1 ^ Ä

= '\X'-sL-1Qy(s)ds - lim ÄXвL-1Qy(' ~ ° + Ä) - y(' - в) ='[X'^L^Qy(s)ds.

n Ä^0 Ä l

Поскольку y е Х1(0, T; Y), то y е С([0, T]; Y). Здесь 0 е (0, А) по теореме о среднем. Согласно теореме 1, оператор S порождает C0-непрерывную полугруппу {Х[ : t > 0} на пространстве X\ поэтому приведенные выкладки показывают, что

S )Xt-sL-lQy(s)ds = )Xt-sL?Qy(s)ds + XtL-1Qy(0) - L-Qy(t).

00

С другой стороны,

d (t \ t 1 t+А t

dI fXt-sL-1Qy(s)ds = S fXt-sL-1Qy(s)ds + lim- fXt+A-sL-1Qy(s)ds = S fXt-sL-1Qy(s)ds + L-1Qy(t).

dt V0 ) 0 A^> A t 0

Отсюда следует, что функция (7) является решением задачи (4), (6). Единственность решения показана в [10].

Теорема 3. Пусть оператор M сильно (L,р)-радиален. Тогда при любых y е Hp+1(0, T; Y) и

Px0 е domM1 существует единственное сильное решение задачи (5), (6), имеющее вид (7).

Доказательство. Рассуждая, как при доказательстве теоремы 2, придем к выводу, что решение задачи (5), (6) является суммой решений задачи Коши x(0) = Px0, x(t) = Sx(t) + L-1Qy(t) и

уравнения HX(t) = x(t) + M01 (I - Q)y(t). Заметим, что для единственности решения последнего уравнения не требуется задания начального условия. Таким образом, для разрешимости задачи (5), (6) выполнение условия x0 е Л уже не актуально.

Стартовое управление

В дальнейшем считаем, что X и Y — гильбертовы пространства. Рассмотрим задачу

Lx(t) = Mx(t) + y(t), (8)

x(0) = u, (9)

u еид, (10)

1 и ц2 Ж и ц2

J(x, u) = ^ Ix - HIh1(0,t;x) + yP - u0\\X ^ inf, (11)

где w е H1 (0, T; X), y е Hp+1 (0, T; Y), u0 е X — заданные функции, множество допустимых управлений Uд является выпуклым замкнутым подмножеством X. Сильные решения уравнения (8) естественно искать в пространстве Z = {z е H1 (0, T; X): Lz - Mz е Hp+1 (0, T; Y)}, наделенном нормой

2 2 2 z = z 1 + \LZ - Mz\ p+1 .

II II Z II IIh1(0,t;x) II IIhp+1(0,t;y)

Нетрудно показать, что пространство Z гильбертово относительно скалярного произведения

(x, Z)z = (x, 4h1(0,t;x) + L - Mx, Lz - M^)hp+'(0,t;y). Введем в рассмотрение оператор следа y0x = x(0).

Лемма 1. Оператор у0 : Z ^ X непрерывен.

Доказательство. Очевидны неравенства ||x(0)|l <1 1x11 „ < C||x|| „i,n„„, < Cllxll . Лемма

II IIX II IIC ([0,7 ]; X) II IIH (0,T ; X) II IIZ

доказана.

Множеством W допустимых пар задачи (8)-(11) назовем множество пар (x, u) е Z х X, удовлетворяющих (8)-(10). Решение задачи (8)—(11) состоит в нахождении пары (x,u) е W , минимизирующей функционал стоимости J(x,u): J(x,u) = inf J(x,u).

( x,u )eW

Функционал J(x,u) назовем коэрцитивным, если для любого R> 0 множество {(x,u) е W : J(x,u) < R} ограничено в пространстве Z х X.

Теорема 4. Пусть Uд пЛ y ф 0. Тогда существует единственное решение (x, u) е Z х X задачи (8)—(11).

Доказательство. Заметим, что задача Коши (8), (9) разрешима при условии принадлежности управления и множеству Л , определенному в теореме 2. Поэтому при условии ид пЛ Ф 0 множество допустимых пар Ж непусто и выполняется условие нетривиальности [4].

Положим U=X, У= Н1 (0,Т; У) х X , I е{0, 1, ... ,р +1}, У= Н!(0,Т;X), У^г, вектор Б0= (-у,0) е У. Непрерывность линейного оператора ЬУ х и ^У, Ь(х,и)=(Ьх - Мх, /0х - и) следует из непрерывности у0 (лемма 1). Действительно,

II 1|2 || ||2 || ||2 ц ц2 ц ц2

11Ьх - Мх\\н'(0,Т;У) + Г0х - и\\X ^ 4г + 21Н^ ^ С2 ||(х,ЩгхX . Строгая выпуклость и непрерывность функционала J в пространстве У X и очевидны, докажем его коэрцитивность в Ух х и. Имеем

2 2 2 2 2 х + и = х , + \Ьх - Мх\\ р+, + и <

II 12 II IX II 11н 1(0,Т; X) Н 11нр+1(0,Т;У) II \\x

II 1|2 || ||2 || ||2

^ 11х11н1(0,Т;X) +1 У|1нР+1(0,Т;У) + НЬ ^ С1 -1 (х,и) + С2 ^ С1К + С2 . Таким образом, все условия теоремы 1.2.3 [4] выполнены. Отсюда следует существование решения задачи (8)—(11), а из строгой выпуклости функционала стоимости - единственность решения. Теорема доказана.

Теперь рассмотрим задачу оптимального управления (8), (10), (11) с заданной функцией

и0 е X1 и с обобщенным условием Шоуолтера — Сидорова

Рх(0) = и . (12)

С учетом теоремы 3 нетрудно получить следующий результат.

Теорема 5. Пусть ид п ёош М1 Ф 0. Тогда существует единственное решение (х,и) е г х X1 задачи (8), (10)—(12).

В отличие от предыдущего доказательства надо положить и = Xх, Ь(х,и)= (Ьх - Мх, Ру0х - и).

Задачи с жестким управлением

Теперь рассмотрим задачу (8)—(10) с функционалом стоимости

12

J(х) = 2х - Н1н 1(0,Т;X) ^ (13)

Теорема 6. Пусть ид - ограниченное множество в пространстве X, причем ид пЛу Ф 0.

Тогда существует единственное решение (х, и) е 2 х X задачи (8)—(10), (13).

Доказательство. Доказательство существования решения аналогично доказательству теоремы 4. Отметим только, что при доказательстве коэрцитивности функционала стоимости используется ограниченность множества ид . При этом функционал не является строго выпуклым, поэтому о единственности решения задачи (8)—(10), (13) сразу утверждать нельзя.

Докажем единственность решения. Нетрудно показать, что множество допустимых пар Ж

выпукло. Предположим, что существуют два решения (хри 1), (х2,и2) задачи (8)—(10), (13). В

силу выпуклости Ж пара

/ ^ ^ ^ ^ \ + х 2 и + и 2

22

V у

строгой выпуклости функционала J относительно одной переменной х

(~ ~ ^ , х, + хо 1

J

является допустимой. Пусть х1 Ф х 2 , тогда в силу

х1 + х 2 2

V У

< J (х 1) + J (х 2)).

Это неравенство противоречит тому, что J(х 1) = J(х2) = тГ J(х). Следовательно, х1 = х2. По-

( х,и )еЖ

этому и 1 = х1 (0) = х2 (0) = и 2 . Теорема доказана.

Очевидным образом доказывается следующая теорема.

Теорема 7. Пусть Vд - ограниченное множество в подпространстве X1, Vд п ёот И1 Ф 0. Тогда существует единственное решение (х, и) £ 2 х X1 задачи (8), (10), (12), (13).

Задачи оптимального управления для системы уравнений фазового поля Рассмотрим начально-краевую задачу

в( х,0) + р( х,0) = у0( х),

дв

— (х,') + Хв( х,') = 0, дп

— (х,') + Хр( х,') = 0, дп

х £П, (х,') £дПх (0, Т),

(х,') £дПх (0, Т),

(14)

(15)

(16)

для системы уравнений

в'(х,') + р'(х,') = Дв(х,') + /(х,'), (х,') £Ох(0,Т), (17)

Др(х,') + ар( х,') + в(х,') + g (х,') = 0, (х,') £Ох (0, Т), (18)

которая является линеаризацией в нуле системы уравнений фазового поля, описывающих в рамках мезоскопической теории фазовые переходы первого рода [13]. Здесь Пс Яв - ограниченная область с границей дП класса С " , X, а £ Я. Искомыми функциями являются в(х,'), р(х,').

Редуцируем задачу (14)-(18) к задаче (5), (6). С помощью замены в(х,') + р(х,') = у(х,'), р(х,') = w(х,') получим систему

у(х,0) = у0 (х)

ду

— (х,') + Ху(х,') = 0, дп

— (х,') + Хш( х,') = 0, дп

х £ П, (х,') £дПх (0, Т),

(х,') £дПх (0, Т),

(19)

(20)

(21)

у' (х,') = Ду(х,') - Дш(х,') + /(х,'), Дш(х,') + (а - 1)ш(х,') + у(х,') + g(х,') = 0,

(х,') £ П х (0, Т), (22) (х,') £ П х (0, Т). (23)

Возьмем X = Y = (42(П))2

4=

10 00

И=

Д

-Д

1 а -1 + Д

(

\ 2

ёот И =

Н2

V дп

-+Х

(П)

, где Н 2д (П) = {г £ Н 2(П): |—+ XI г(х) = 0, х £дП}. Тем самым опре-

дп

-+х

дп

делены операторы 4 £ X), И £ С1 (X). Причем, кет4 = {0} х (П).

Обозначим Аг = Дг, ёотА = Н2д (П). В работе [15] доказана следующая лемма.

—+х

дп

Лемма 2. Пусть (1 - а) £ ст(А). Тогда оператор Мсильно (4,0)-радиален. Из этой леммы и из теоремы 3 сразу следует

Лемма 3. Пусть (1 - а) £а(А), /, g £ Н !(0, Т; 42(П)), у0 £ Н 2д (П). Тогда существует

дп

-+х

единственное сильное решение (у, Ш) £ (Н!(0,Т;(42(П)))2 задачи (19) - (23). Рассмотрим задачу оптимального управления

у(х,0) = и(х), х £ П,

и £ V д,

1

2'

■I2 1м ||2

, +--Ш - 2

11Н1(0,Т ;42(П)) 2 11

3(у, и) = - ||у - гН1 (0 Т; ^ (О)^ - 11^ 2 02 || Н1 (0 Т; Г, (О)) ^ ~ Г ~ и 0 ||42(П)

^11 - 112 Н(0,Т^(П)) + 2 IIй и0

^ inf,

(24)

(25)

(26)

для системы (20)-(23). Здесь ид - выпуклое замкнутое подмножество пространства Т2 (П). 201,202 £ Н1 (0, Т; (Ь2 (П)), и0 £ (П) - заданные вектор функции, константа N > 0 .

Пространство Z составляют пары функций (v, w) е (H!(0,T;(L2(Q)))2 такие, что

vt - Av + Aw е H!(0, T; L2 (Q)), (1 - a - A)w - v е H1 (0, T; L2 (Q)). Применение теоремы 5 приводит к следующему результату.

Теорема 8. Пусть Uдп H 2д (Q) Ф 0. Тогда существует единственное решение

—+я

дп

((v, w),u) е Z х L2 (Q) задачи (20)-(26).

Рассмотрение аналогичной задачи с жестким управлением

1 2 1 2

J(v, w) = Iv - Z0JIH 1(0,T;L2(Q)) + 2Iw - z0^1 H 1(0,T;L2(Q)) ^ lnf (27)

приводит к следующему результату.

Теорема 9. Пусть Uд - ограниченное множество в пространстве L2 (Q), Uд n H 2д (Q) Ф 0.

—+я

дп

Тогда существует единственное решение ((v, w), u) е Z х L2 (Q) задачи (20)-(25), (27).

Литература

1. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов// Успехи мат. наук. - 1994. - Т. 49. - № 4. - С. 47-74.

2. Демиденко Г.В., Успенский С.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. - Новосибирск: Научная книга, 1998.

3. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. - Utrecht; Boston: VSP, 2003.

4. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. - Новосибирск: Научная книга, 1999.

5. Свиридюк Г.А., Ефремов А.А. Оптимальное управление линейными уравнениями типа Соболева с относительно р-секториальными операторами// Дифференц. уравнения. - 1995. -Т. 31. - № 11. - С. 1912-1919.

6. Свиридюк Г.А., Ефремов А.А. Задача оптимального управления для линейных уравнений типа Соболева// Изв. вузов. Математика. - 1996. - № 12. - C. 75-83.

7. Плеханова М.В. Задача оптимального управления с относительно р-радиальным оператором// Уравнения соболевского типа: Сб. науч. работ. - Челябинск: Челяб. гос. ун-т. - 2002. - С. 206-214.

8. Fedorov V.E., Plekhanova M.V. Problem of Optimal Control for a Class of Degenerate Equations// Modelling and Analysis of Logic Controlled Dynamic Systems. IFAC Workshop. - Irkutsk, Russia. - 2003. - P. 215-221.

9. Федоров В.Е., Плеханова М.В. Слабые решения и проблема квадратического регулятора для вырожденного дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве// Вычислительные технологии. - 2004. - Т. 9. - № 2. - С. 92-102.

10. Федоров В.Е., Плеханова М.В. Оптимальные управление линейными уравнениями соболевского типа// Дифференц. уравнения. - 2004. - Т. 40. - № 11. - С. 1548-1556.

11. Федоров В.Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов// Алгебра и анализ. - 2000. - Т. 12. - Вып. 3. - С. 173-200.

12. Свиридюк Г.А., Федоров В.Е. Линейные уравнения соболевского типа. - Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2003.

13. Плотников П.И., Клепачева А.В. Уравнения фазового поля и градиентные потоки маргинальных функций// Сиб. мат. журн. - 2001. - Т. 42. - № 3. - С. 651-669.

14. Плеханова М.В., Федоров В.Е. Задача оптимального управления для одного класса вырожденных уравнений// Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2004. - № 5. - С. 40-44.

15. Федоров В.Е., Уразаева А.В. Обратная задача для одного класса сингулярных линейных операторно-дифференциальных уравнений// Тр. Воронежской зимней мат. школы. - Воронеж: ВГУ - 2004. - С. 161-172.

Поступила в редакцию 19 мая 2005 г.