Слабые решения и проблема квадратического регулятора для вырожденного дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 9, № 2, 2004

СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ И ПРОБЛЕМА КВАДРАТИЧЕСКОГО РЕГУЛЯТОРА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ*

В. Е. Федоров, М. В. Плеханова Челябинский государственный университет, Россия e-mail: [email protected], [email protected]

The concept of weak solutions of the Cauchy problem for linear equation of Sobolev type Lx(t) = Mx(t) + y(t) allows to extend the set of admissible initial values of the problem and to relax the conditions on the smoothness of the function y(t). The existence and uniqueness of the weak solution of the Cauchy problem and the solution of the problem on quadratic regulator for this equation are established in the case of strongly (L,p)-radial operator M. The obtained abstract results are applied to the problem of optimal control for a certain class of partial differential equations.

Введение

Пусть X, У и Ы — гильбертовы пространства. Скалярные произведения в них будем обозначать через (•, •). Рассмотрим уравнение

ЫЦ) = ЫхЦ) + уЦ) + БпЦ), (0.1)

где операторы Ь € £(Х; У), кегЬ = {0}, Б € £(Ы; У) (т.е. линейные и непрерывные), оператор М € С1(Х; У) (т.е. линеен и замкнут с областью определения ^шМ, плотной в X, действует в У), у : (0,т) ^ У, и : (0,т) ^ Ы — некоторые функции. Задача Коши для такого уравнения является абстрактной формой многих неклассических уравнений математической физики, таких как линеаризованная система Навье — Стокса, система и уравнение Соболева, системы и уравнения внутренних и гравитационно-гироскопических волн в приближении Буссинеска, уравнение Буссинеска, уравнение стратификации объемного заряда в полупроводнике, уравнение ионно-звуковых волн [1], уравнение эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости, уравнение Баренблатта — Желтова — Кочиной, уравнение и система Осколкова [2].

* Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования России (грант № PD02-1.1.-82) и Правительства Челябинской области для молодых ученых и аспирантов.

© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2004.

Проблема линейного квадратического регулятора, т. е. задача минимизации квадрати-ческого функционала на решениях задачи Коши

x(0) = xo Е X (0.2)

для уравнения

X(t) = Ax(t) + Bu(t) (0.3)

с оператором A Е Cl(X), порождающим С0-непрерывную полугруппу операторов, рассмотрена в [3]. При этом разрешимость задачи понимается в слабом смысле, что позволяет брать произвольный вектор x0 и функцию u(t) Е L2(0,t; X). Именно слабым решением называется такая функция x(t), для которой при всех v Е domA* функция (x(t),y) абсолютно непрерывна, почти всюду на (0,т) имеет место тождество

d

-(x(t),v) = (x(t), A*v) + (y(t),v)

и lim (x(t),v) = (x(t),v).

Заметим, что уравнение (0.3) является частным случаем уравнения (0.1). При условии сильной ^,р)-радиальности оператора M [2, 4, 5] в данной работе введено такое понятие слабого решения задачи Коши для вырожденного (ker L = {0}) уравнения (0.1), которое согласуется с приведенным в предыдущем абзаце определением решения и позволяет исследовать задачу минимизации квадратического функционала на этом классе решений. Подчеркнем, что уравнения рассмотренного класса обладают сильно непрерывными разрешающими полугруппами.

Ранее задача оптимального управления сильными решениями для вырожденного уравнения (0.1) рассматривалась в работах Г.А. Свиридюка, А.А. Ефремова [6, 7]. При этом исследовались более узкие по сравнению с рассмотренным в данной работе классы уравнений с (L, а)-ограниченным и с сильно ^,р)-секториальным оператором M. Отметим также работы, касающиеся вопросов, связанных с задачей оптимального управления для вырожденного уравнения (0.1) в конечномерных или гильбертовых пространствах [8-10].

В настоящей работе сначала изучены вопросы существования и единственности слабого решения задачи Коши для уравнения (0.1), затем исследована задача оптимального управления слабыми решениями с квадратическим функционалом стоимости и, наконец, приведен пример задачи оптимального управления для класса дифференциальных уравнений с многочленами от эллиптических дифференциальных по пространственным переменным операторов высокого порядка. Указаны задачи для одного уравнения теории фильтрации, попадающие в рассмотренный класс задач.

1. Относительно р-радиальные операторы

Напомним, что X, У — гильбертовы пространства, оператор L Е L(X; У), а оператор M Е Cl(X; У). Введем обозначения

pL(M) = {ß Е C : (ßL - M)-1 Е L(Y; X)},

p p

Rm(M) = П(ßkL - M)-1L, L^M) = П L(ßkL - M)-1, k=0 k=0

X0 = кег Я^м (М), У0 = кег Ь^р) (М)

Х1 = 1шЯ£,,Р)(М ) У1 =1шЬ£,;Р)(М),

Ьк = Ь

, Мк = М

, аошМк = а<эшМ п хк, к = 0,1.

йошЫк

Оператор М называется (Ь,р)-радиальным, если

(I) За € К Уц > а, ц € рЬ(М);

(II) ЗК > 0 Уц > а, к = 07р, Уп € Н,

шах{|(Д£,;Р)(М))п|£(х), Н^ДМ))!^)} <

К

р

П (Цк - а)т к=0

Оператор М называется сильно (Ь,р)-радиальным, если он (Ь,р)-радиален и существу-

о

ет плотный в У линеал У такой, что

||М(ЛЬ - М)-1Ь^)(М)у||у < -^^- Уу €У,

(Л - а) П (Цк - а)

к=0

К

||Я&^)(М)(ЛЬ - М)-1||£№*) < -р-

(Л - а) П (цк - а)

к=0

для всех Л, ц0,..., цр > а.

Теорема 1.1 [5]. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален. Тогда:

(I) X = X0 ®х1, У = У0 0У1;

(II) Ьк € ¿(Xк; Ук), Мк € С/(Xк; Ук), к = 0,1;

(III) существуют операторы М-1 € £(У°; X0) и Ь-1 € £(У1; X1);

(1у) оператор Н = М—1Ь0 € 0) нильпотентен степени не больше р; (у) существует полугруппа {X4 € ) : £ > 0} ({У4 € £(У) : £ > 0}), разрешающая уравнение ЬХ(£) = Мх(£) (Ь(аЬ - М)-1 у(£) = М(аЬ - М)-1 у(£), а € рь(М));

(у1) инфинитезимальным генератором С0-непрерывной полугруппы {Х^ : £ > 0} ({У/ : £ > 0}) является оператор Ь-1М1 € С/(X1) (М1Ь-1 € С/(У1)). Здесь Х1 (УЦ) — сужение оператора X4 (У4) на X1 (У1).

Проектор вдоль X0 на X1 обозначим через Р, а проектор вдоль У0 на У1 — через ф. Обозначим через </ = Ь0М- нильпотентный в силу пункта (1у) теоремы 1.1 оператор. Условимся также о следующих обозначениях пространств: Ьд(0,т; 2) = Ья(2) — пространства Лебега, (0,т; 2) = (2), д > 1, Ж>к(0,т; 2) = Нк(2), к € Н, — пространства Соболева вектор-функций, заданных на интервале (0,т), действующих в гильбертовом пространстве 2.

2. Слабое решение задачи Коши

Рассмотрим задачу Коши для линейного уравнения соболевского типа

ЬХ(£) = Мх(£)+ у(£), £ € (0,т); (2.1)

x(0) = xo. (2.2)

Функцию x(t) назовем слабым решением задачи (2.1), (2.2), если для всех v0 Е domM* v1 Е domM* функции ((I — P)x(t), L*v0) и (Px(t), L^v1) абсолютно непрерывны и удовлетворяют уравнениям соответственно d

-((I - P)x(t), L0v0) = ((I - P)x(t), M*v0) + ((I - Q)y(t), v0); (2.3)

d

- (Px(t),L1v1) = (Px(t),M*v1) + (Qy(t),v1) (2.4)

почти всюду на (0, т) и условиям

lim ((I - P)x(t),v0) = ((I - P)x0,v0), lim (Px(t),v1) = (Px0,v1). t—*0+ t—*0+

Замечание 2.1. Таким образом, под слабой разрешимостью задачи (2.1), (2.2) мы понимаем слабую разрешимость двух соответствующих задач на подпространствах

L0x0(t) = M0x0(t) + (I - Q)y(t), x0(0) = (I - P)x0,

x 1(t) = L-1M1x1(t) + L-1Qy(t), x1(0) = Px0.

С учетом расщепления пространств и действий операторов (теорема 1.1) такое определение слабого решения является естественным обобщением определения слабого решения, введенного в теореме 4.8.3 [3] для невырожденного эволюционного уравнения. Еще надо заметить, что для w1 = L^v1 Е L1[domM*] = dom(L-1 M1)* (2.4) означает, что

11

d_

dt

--1л/Г Л\ i / „..1

(Px(t),w1) = (Px(t),M*(L1)-1w1) + (Qy(t), (L1)-1w1)

= (Рж(*), (Ь-^)*™1) + (¿-1 ду^),™1).

Обозначим через 0) Ф Ь(^1) множество таких функций у, что (I — €

и ^у € Ьд(^1), 5 > 1. Определим операторы

A0 : У ^-J] Hk M0-1((1 - Q)y)(k)(t), A1 : y ^ Xt-sL-1Qy(s)ds. k=00

Теорема 2.1. Пусть оператор M сильно (L,p)-радиален, y Е W(p+1(y0) ф Lq(У1),

p

x0 Е My = {x Е X : (I - P)x = - ^ HkM0-1((1 - Q)y)(k)(0)}. (2.5)

Тогда существует единственное слабое решение задачи (2.1), (2.2), имеющее вид

ж(*) = X + (А° + Л)у(£). Доказательство. Покажем, что функция

г

Рж(*) = ж1^) = Хгх° + /

t

p

удовлетворяет равенству (2.4). Действительно, для V € ёотМ*

^ <Хгж°, Ь» + й ( I Х"^1 L1v

= ^ <Х Рж°, + Х^-1^)^, ^

°

1

= -<Рж°, (XIг^) + (ь-1^),^) + у ^(ь-1^), (х1--)*^>ж =

°

г

= <Рж°, (Х)*^-^)*^) + V) + У <Ь-1 ду(5), (Х^)*^-^)*^) ^

°

1

= <Хгж°,М*V) + Ш^) + I <Х М*^)

°

Здесь использованы теорема 1.1 и тот факт, что полугруппа {(Х1 )* : £ > 0} диффере:

н-

цируема на множестве ¿П^отМ**], которое является областью определения генератора (Ь-1М1)* = М*(Ь-1 )*.

С другой стороны, функция Рж(£) в силу замечания 2.1 является слабым решением в смысле [3] уравнения ж1 (£) = Ь-1М1х1(£) + Ь-1 у1(£), при этом оператор Ь-1М1 порождает С°-непрерывную полугруппу, а € (X1). Единственность слабого решения такого

уравнения показана в теореме 4.8.3 [3].

р

Докажем, что функция (I — Р)ж(£) = — ^ ИкМ°"1((/ — ^)у)(к)(£) удовлетворяет (2.3).

к=°

Действительно,

й ' р \ / р

■ £Икм0-1((/ — д)у)(к),= / — ^((/ — д)у) к=° / \ к=1

£ ИкМ°-1((1 — д)у)(к),М°*^ + ((I — д)у, V), V € аотМ°*. к=°

Если существуют две функции ж1 и ж2, удовлетворяющие (2.3), то их разность ж° = ж1 — ж2 для любого V € удовлетворяет уравнению

й

-(ж°(£),ВД = (ж°(£), М(*V). Обозначив = ад, получим уравнение

(ж°,ад) = | (х°,Ь°(М0* )-1ад).

4

р

Заметим, что Ь*(М0*)-1 = Н*, и выберем V = (М0*)-1(Н*)% € аошМ0*, тогда ад = (Н*)% при некотором ^ € X0*. Отсюда

д

д

0, (Н*)pVp) = (х0, (Н*)p+1Vp) = (х0, (Hp+1)*Vp) = 0

(х .V" > ^ д£

Продифференцируем последнее равенство:

д

0 = -(х0, (Н*)pVp) = (х0, (Н*)p-1Vp).

Повторив эту процедуру р - 1 раз, получим

д

0 = (х0, Н*Vp) = (x0,Vp).

В силу произвольности ^ из подпространства X0* получим, что х0 = 0.

Необходимость условия (2.5) следует из того, что (I - ф)у € ЖР+1(У0), поэтому функция (I - Р)х € Жд1^0) непрерывна вплоть до нуля в силу вложения

ЮТ*1^) ^ Ст([0, т); X). (2.6)

□

Следствие 2.1. Слабое решение х(£) в условиях теоремы 2.1 при д = 2 является элементом пространства Ь2^).

Доказательство. Функция А0у(£) € Н 1(X0) является элементом пространства Ь2(X) в силу вложения Н) С Ь2^). Далее,

Х4х0 + / X4-5Ь-1фу(5)д5,Х4х0 + / Х4-5Ь-1ду(в)д5

¿2(Х )

= ||Х4х0|Хд£ + 2Б,е / (Х^, / Х4-5Ь-1ду(в)дП д£ +

Х 4-5Ь-1 ду(з)дз

0 0 1 0 ' х 0 0

Рассмотрим каждое слагаемое последнего выражения отдельно. Во-первых,

д£.

х

||Х4х0|Хд£ < тК2е2|"|т||х0||Х < ю

поскольку неравенство ||Х4|| < Ке"4 следует из построения полугруппы {Х4 : £ > 0} (см. [5]). Константы К € К+, а € К при этом взяты из определения сильной (Ь,р)-радиальности оператора М. Затем

* \

< тК2е2|"|т||х0|хНЬ-^Нду^У ||у(в)||хдв.

0

Сходимость последнего интеграла следует из вложения Ь2(У1) С Ь1(У1). Аналогичным образом получим

Хх0,у Х Ь1 фу(в)д^ д£

0 0 х

Х 4-5Ь-1ду(з)д5

д£ < тК2е2|"|т||Ь-1д|!(у;х)

в)|хдИ < ю.

х

□

4

4

2

г

t

т

т

2

2

4

т

т

3. Задача оптимального управления

Пусть пространства X, У, и — гильбертовы и задан оператор В € £(и; У). Будем рассматривать задачу Коши (2.2) для уравнения

£ж(г) = Мж(£) + у(£) + Ви(£). (3.1)

Введем в рассмотрение пространство управлений

{и(£) € Ир+1(и) : ((I — д)Вм)(к)(0) = 0, к = Т"р} = Яр+1 (и).

Выделим в Яр+1 (и) выпуклое замкнутое подмножество Ир+1 — множество допустимых управлений. Обозначим Ир+1(0) = {V € и : Зи(£) € И+1 и(0) = V}. Будем предполагать, что выполняется условие В[Ир+1(0)] 3 У°. Тогда для ж° € X, у(£) € Ир+1(У°) ф Ь2(У1) множество управлений и(£) € ИР+1 таких, что

р

(/ — д)Вм(0) = —м°(/ — р )ж° — зк ((/ — д)у)(к)(0), (3.2)

к=°

будет не пусто. Обозначим это множество управлений через Ид(ж°,у(£)). Тогда в силу теоремы 2.1 для любых ж° € X, у(£) € Ир+1(У°) ф Ь2(У1), и(£) € Ид(ж°,у(£)) выполняется условие (2.5) и поэтому существует единственное слабое решение

ж(£) = (А° + Л)(у(£) + Ви(£)) + X гж° (3.3)

задачи Коши (2.2) для уравнения (3.1).

Пусть 2 — некоторое гильбертово пространство наблюдений, оператор С € ; 2) задает наблюдение г = Сж, а самосопряженные операторы Л, € £(и), 5 = 0,р + 1, удовлетворяют условиям

т

Зс, > 0 Уад € ¿2(и) J(Л,> с,|МИ2(м).

°

Построим функционал стоимости

т р+1 т

3(и)= / ||г(£) — г°(*)|Ц+ ^ / (Л,и(,)(£),и(,)(£))и(3.4) Б «=° С

Оптимальным управлением задачи назовем такое и° € Ид(ж°,у(£)), что

3 (и°) = т£ 3 (и).

«еЯе (хо,у(1))

Лемма 3.1. Отображение и ^ ж(и), задаваемое формулой (3.3), непрерывно действует из подпространства Нр+1 (и) пространства Ир+1(и) в ).

Доказательство. Действительно, пусть ||ик — иЦяр+^м) стремится к нулю при к ^ то. Рассмотрим ||ж(ик) — ж(и)||ь2(Х) = ||(А° + А1)В(ик — и)||^2(Х). Непрерывность оператора

А0В : Нр+1(и) ^ Ь2^) очевидна, докажем непрерывность оператора А1В : Нр+1(и) ^ Ь2(X). Как при доказательстве следствия 2.1, используя неравенство Гельдера, получим

Х Ь-1фВи(з)дз

< тКе|а|т||Ь- ;х)|Ык2(м) < со^ ■ ||и||Нр+1(м).

¿2 (х)

□

Теорема 3.1. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален, ВН1+1(0)] 3 У0. Тогда при любых х0 € X, у(£) € НР+1(У0) ф Ь2(У1) существует единственное оптимальное управление м0 € Н(х0,у(£)) задачи (2.2), (3.1).

Доказательство. Докажем замкнутость и выпуклость множества Н(х0, у(£)) при любых х0 € X, у(£) € НР+1(У0) ф Ь2(У1). Пусть последовательность {мк(£)} С Нд(х0,у(£)) стремится к м(£) в Нр+1(и). Тогда м(£) принадлежит множеству управлений НР+1 в силу его замкнутости. Понятно, что (I - ф)В € £(НР+1(и); НР+1(У)), поэтому в силу вложения (2.6) ||(1 - ф)В(мк(0) - и(0))||у < СДО - Ф)В(Мк(£) - и(£))|нр+1(у) ^ 0. Отсюда

р

(I- ф)Вм(0) = -М0(/-Р)х0 - Ё 3к-1((1 - Ф)у)(к)(0). Выпуклость множества Н(х0,у(£))

к=0

сразу следует из выпуклости НР+1 и линейности условия (3.2) по м(£).

Перепишем функционал качества 3 в виде 3(м) = ||^(и) - + С(м,м), где били-

Р+1

нейная форма С(м^) имеет вид С(м, V) = ^(^м(?,)(£)^(?,)(£))£2(и). Поскольку операторы

=0

С € £(Ь2^),Ь2(2)), N € £(Ь2(и)), д = 0,р + 1, согласно лемме 3.1

п(м, V) = (С(х(£,м) - х(£, 0)), С(х(£, V) - х(£, 0)))^) + С(«^) = = (С(А + Л)Вм, С(А + + С(м, V)

является билинейной непрерывной формой на Нр+1(и). Она симметрична, поскольку операторы N, д = 0,р + 1, самосопряженные. Кроме того, форма п(м,м) коэрцитивна. Действительно,

п(м,м) = ||С (х(£,м) - х(£ 0))|Ь2(Я) + С (м,м) > 0 + 0<т<1р1+1 С9 ||м||Н Р+1(М) = с||м||ЯР+1(М). Пусть

/(м) = (*)(£) - Сх(£, 0),С(х(£,м) - х(£, 0)))^(я) = (*)(£) - Сх(£, 0),С(А + А^Вм)^)

— линейная форма на Нр11(и). Ее непрерывность следует из того, что С(А0 + А1)Вм € £(Нр11(и); Ь2(2)), и из непрерывности скалярного произведения.

Отсюда получаем 3(м) = п(м,м) - 2/(м) + ||^0(£) - Сх(£, 0) |ь2(^>. Поскольку все требования теоремы 1.1 [11] выполнены, существование и единственность оптимального управления доказаны. □

4. Приложения

п т

Пусть многочлены Рп(Л) = ^ сДг, фт(Л) = ^ д-Л-7 таковы, что с^д- € К, сп,дт = 0,

г=0 7=0

т > п. Далее, П С К5 — ограниченная область с границей 5П класса Снабор операто-

4

ров А, В^... Вг — регулярно эллиптический [12], где оператор

(Ат)(ж) = ^ а«(ж)Рат(ж), а« € С~(П),

|а|<2г

удовлетворяет требованию

3£ > 0 Уж € П У£ € К5, Ие(-1)^ ^ а«(ж)£а > ¿|£|

|а|=2г

2г

(4.1)

операторы

(Вт)(ж) = ]>] 6г«(ж)Даад(ж), 6га(ж) € С~(дП), 1 = 1,7.

|«|<гг

Потребуем также самосопряженности оператора А1 € С/(¿2(П)) с областью определения ёошА = ^22,{Бг}(П) [12], = Ат, т € ёошА1. Через : к € М} обозначим ор-

тонормированные в смысле скалярного произведения (•, •) в Ь2(П) собственные функции оператора А1, занумерованные по невозрастанию собственных значений {Л& : к € М} с учетом их кратности. Здесь мы учли, что спектр оператора А1 вещественный и ограничен справа согласно условию (4.1).

Редуцируем начально-краевую задачу

Рга(А)ш4(ж,г) = гфт(А)ш(ж,г) + у(ж,*) + и(ж,*), (ж,*) € П х (0,т); (4.2)

ВгАкт(ж,*) = 0, к = 0,т - 1, 1 = ТТг, (ж,*) € 5П х (0,т); (4.3)

т(ж, 0) = т0(ж), ж € П, (4.4)

к задаче (2.2), (3.1). Для этого возьмем

X = {т € Ж>2гга(П) : ВгАкт(ж) = 0, к = 0,и - 1, 1 = 1,7, ж € дП},

у = и = ¿2(П),

где (П) — пространство Соболева, 7 = 0,1,... Операторы зададим следующим образом:

В = I, Ь = Р„(А), М = г^т(А),

аошМ = {т € Ж>2гт(П):ВгАкт(ж) = 0, к = 0,т - 1, 1 = 1,7, ж € дП}.

Теорема 4.1. Пусть т > и, спектр а(А1) не содержит общих корней многочленов Рп(Л) и ^т(Л). Тогда оператор М сильно (Ь,0)-радиален.

Доказательство. В условиях теоремы числа ^ = )/Рп(Лк) при тех к, при кото-

рых Рга(Лк) = 0, лежат на мнимой оси и при этом составляют множество аь(М). Поэтому можно взять а = 0 в определении (Ь,р)-радиальности оператора. Проверим оценки из определения (Ь, 0)-радиальности. При V > 0, т € X, у € Ь2(П)

1№м)у||!2(п) = ]>]

Рп(А^=0

^ — г

Рп(Лк)

2 <

2

1^2(П)

(М )т|Ц2гп(П) = -/Л \ ■

т|

Рп^ )=0

^ — г-

Рп (Лк)

2 <

Ж|гп(П)

2

2

HRL(M)(vL - M)-1~"2

Wfrn(fi) —

< const

E

(1 + |Ak r'^'OKy.Vk )L2 (П) |2

const I

Pn(Afc)=0 |pra(Afc) |2

• Qm(Afc ) 2 • Qm(Afc )

(Afc) V — Pra(Afc)

2 <

12

lL2(n)

^2V 2

При этом принято во внимание, что последовательность |Рга(Лк)| 2(1 + |Л&| ) сходится к

|сп| 2 при к ^ то и поэтому ограничена. Взяв у € ^шМ =у, получим

||М(^ - М)-1^(М)у||2(П) <

<

Е —

Р.(Л.)=0 |Pn(Ak)|2

-2

• Qm(Afc ) 2 • Qm(Afc )

Pra(Afc) V — Pra(Afc)

2<

2

¿2(П)

^2V 2

□

Здесь мы использовали тот факт, что Зс > 0 Ук € N (Рп(Лк) = 0) ^ (|Рп(Лк)| > с). Имеем

Р = Q = ^ (■, ^, У0 = 8рап{^ : Р„(Лк) = 0}, У1 = арапок : Р„(Лк) = 0}.

Далее, возьмем = Н 1(и) = Н 1(Ь2(П)), 2 = X, С = I, N = N = I. Поэтому условие, определяющее множество Н(и>0,у), имеет вид

(м(ж, (ж)) = (Лк)(шо(ж),^к(ж)) - (у(ж, 0),^(ж)) при Р„(Лк) = 0.

Функционал стоимости при этом выглядит следующим образом:

J(u) = / ||w(x,i) - z0(x,t)|W22rn(Q)dt + llu(x.t)|L2(fi)dt +

du(x, t)

3t

dt.

L2(fi)

Оптимальным управлением, как и прежде, будем называть минимизирующую этот функционал функцию управления.

Следствие 4.1. Пусть т > и, спектр а(А1) не содержит общих корней многочленов Рп(Л) и Qm(Л). Тогда при любых и>0 € X, у(г) € Н 1(У0)фЬ2(У1) существует единственное оптимальное управление м0 € Н(и>0,у) задачи (4.2)-(4.4). Задачи

м(ж, г) = Дм (ж, г) = 0, (ж, г) € 5 П х (0, т), и (ж, 0) = м0(ж), ж € П,

и

d d

—u(x,t) = — Au(x,t) = 0, (x,t) G 5П x (0,т), dn dn

u(x, 0) = u0(x), x G П,

для уравнения

(Л - ДН(ж,г) = «Д«(ж,г) - вД2м(ж,г), (ж,г) € п х (0,т),

теории фильтрации, первая из которых рассмотрена в [6], являются частными случаями рассмотренного в этом параграфе примера.

т

2

Список литературы

[1] ДЕмидЕнко Г.В., УспЕнский С.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск: Научная книга, 1998.

[2] SviRIDYüK G.A., FedüRöv V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht; Boston: VSP, 2003.

[3] БАЛАКРИШНАН А.В. Прикладной функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

[4] ФЕДОРОВ В.Е. Линейные уравнения типа Соболева с относительно р-радиальными операторами // Докл. РАН. 1996. Т. 351, № 3. С. 316-318.

[5] ФЕДОРОВ В.Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов // Алгебра и анализ. 2000. Т. 12, вып. 3. С. 173-200.

[6] СВИРИДЮК Г.А., ЕФРЕМОВ А.А. Оптимальное управление линейными уравнениями типа Соболева с относительно р-секториальными операторами / / Дифференц. уравнения. 1995. T. 31, № 11. C. 1912-1919.

[7] СВИРИДЮК Г.А., ЕФРЕМОВ А.А. Задача оптимального управления для линейных уравнений типа Соболева // Изв. вузов. Математика. 1996. № 12. C. 75-83.

[8] LEWIS F.L. A survey of linear singular systems // Circuits, Systems and Signal Processing. 1986. Vol. 5, N 1. P. 3-36.

[9] КУРИНА Г.А. Сингулярные возмущения задач управления с уравнением состояния, не разрешенным относительно производной // Обзор. Изв. РАН. Сер. техн. кибернетика. 1992. № 4. С. 20-48.

[10] БОЯРИНЦЕВ Ю.Е., Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные системы. Методы решения и исследования. Новосибирск: Наука, 1998.

[11] ЛИОНС Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972.

[12] ТРИБЕЛЬ Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.

Поступила в редакцию 16 декабря 2003 г.