Задача со смешанным управлением для одного класса линейных уравнений соболевского типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЗАДАЧА СО СМЕШАННЫМ УПРАВЛЕНИЕМ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА

В работе рассмотрена задача смешанного управления распределенными системами, не разрешенными относитеьно производной по времени, со слабым относительно функции состояния функционалом. Абстрактные результаты проиллюстрированы на примере задачи управления для уравнений фазового поля.

Ключевые слова: оптимальное управление, распределенная система, уравнение соболевского типа.

Введение

Пусть X, У, U — гильбертовы пространства, операторы L G L(X; У) (т. е. линейный и непрерывный, действует из X в У), ker L = {0}, B G L(U; У), M G Cl(X; У) (линеен, замкнут, плотно определен в X, действует в У). Будем исследовать задачу минимизации функционала

J (X,U,v) = Jo(x) + — \\и — щ\\2НР+1(0,Т U) +

+ \\v — v°\\2X + ”2”\\Mv — Mv°\\y ^inf (1)

на сильных решениях задачи Коши для уравнения соболевского типа

LX(t) = Mx(t) + y(t) + Bu(t), t G [0,T], (2)

x(0) = v, (3)

где y : [0,T] У, u0 G Hp+1(0,T; U) — заданные функции, vo G domM — заданный вектор, N1,N2 > 0, число p G N0 = N U {0} характеризует степень вы-рожденности уравнения (2) и будет определено ниже. При условии обратимости оператора L уравнение сводится к регулярному, задача оптимального управления для которого может быть исследована классическими методами (см., например [1]). Цель данной работы — получить результаты о разрешимости задачи управления (1)-(3) при kerL = {0}. При этом будет рассмотрен случай сильно (L, р)-радиального оператора M, т. е. случай существования сильно непрерывной полугруппы однородного уравнения (2) [2].

Ранее для распределенных систем вида (2), (3) рассматривались задачи либо с распределенным управлением, либо со стартовым [3-8]. В данной работе используется смешанное управление, т. е. функция управления присутствует и в уравнении, и в начальном условии.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ (код проекта 10-01-96007-р_урал_a).

Заметим, что для разрешимости задачи Коши для неоднородного уравнения соболевского типа (2) необходимо выполнение условия согласования начального условия с неоднородной частью уравнения в начальный момент времени. Учитывая это, в работах [3-6] начальное условие выбиралось из некоторого многообразия, определяемого управлением в начальный момент времени. Избавиться от подобных ограничений в данной работе удается с помощью схемы, описанной в монографии [9]. Она подразумевает введение в рассмотрение допустимых троек задачи управления, состоящих из допустимых стартового и распределенного управлений и соответствующего решения задачи Коши (2), (3). При этом разрешимость задачи Коши при любых возможных функциях управления не подразумевается.

Кроме того, в данной работе ослаблены условия на функционал качества по отношению к функции состояния х. От функционала .]0 требуется лишь выпуклость, неотрицательность и полунепрерывность снизу. Как частные его случаи рассмотрены функционал, содержащий квадрат нормы функции состояния в пространстве Лебега, и терминальный функционал, представляющий собой квадрат нормы функции состояния в фиксированный момент времени.

В статье сначала приведены необходимые для дальнейшего изложения следствия сильной (Ь,р)-радиальности оператора М. Затем рассмотрена задача смешанного оптимального управления для сингулярного (кег Ь = {0}) уравнения (2). Полученные абстрактные результаты проиллюстрированы на задаче со смешанным управлением для линеаризованной системы уравнений фазового поля в предположении нулевого времени релаксации.

1. Относительно р-радиальные операторы. Сильное решение задачи Коши

Пусть X, У — банаховы пространства, операторы Ь Е С(Х; У), М Е С 1(Х; У). Введем необходимые в дальнейшем обозначения:

рь(М) = {ы Е С : (ыЬ - М)-1 Е С(У; X)},

Щ„,Г)М) = П (ЫкЬ - М)-1Ь, Ь[р)(М) = П Ь(ыкЬ - М)-1, к=0 к=0

X0 = кег П^ЛМ), у" = кег Ь^(М),

Ьк = Ь

Мк = М

Хк

V ,р)У^> у "(р,Р)

Х1 =!т<р)(М)’ У1 = ™Ь(„,)(М).

, domMk = domM П Xк, к = 0, 1.

ёошМ^

Определение 1. Оператор М называется сильно (Ь,р)-радиальным, р Е М0,

если

(I) За Е К У^> а Ы Е рь(М);

(II) ЗК > 0 У^к > а, к = 0,р, Уп Е N

К

тах{||(Я£>р)(М))n\\£(X), \\(ьЬ[цр)(М))П||£(М} ^

П (Ык- а)п к=0

(ііі) существует плотный в У линеал У такой, что

\\М(ЛЬ - М)-1Ььм(Ы)у\\у ^ ----- Уу еу,

(Л — а) (^к - а)

к=0

К

№м(М)(ЛЬ - М)-1||£(у;Х)

р

(Л - а) п (^к - а) к=0

для всех Л, ц0,..., \ір > а.

Теорема 1 [2]. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален. Тогда

i) * = *0 ф X1, У = у0 0 у1;

ii) Ьк Є С(Хк; ук), Мк е С1(Хк; Ук), к = 0,1;

iii) существуют операторы М-1 е С( У°; X0) и Ь-1 е С (У1; X1);

іу) оператор С = М—1Ь0 е С(Х0) нильпотентен степени не больше р е М0; у) ауществует сильно непрерывная полугруппа {X* е С(Х) : і ^ 0} однородного уравнения Ьхс(ї) = Мх(і);

(уі) инфинитезимальным генератором С0-непрерывной полугруппы {Х\ : і ^ 0} является оператор Б = Ь-1М1 е С 1(Х1).

, Х\ = X*

ёошМк

Xі

Здесь Ьк = Ь , ёошМк = АошМ П Xк, Мк = М хк

Проектор вдоль X0 на X1 обозначим через Р, а проектор вдоль У0 на У1 через Q.

Замечание 1. Утверждения (іі) теоремы 1 следуют из имеющих место в ее

условиях равенств ЬР = QЬ, МРи = QMu для любого и е (\ошМ.

Введем обозначения пространств Лебега и Соболева: (X) = (0, Т; X),

Нк(X) = Ш2к(X) при к е М0, 1 ^ д ^ то. При этом Ьч(X) = ), Ь2^) =

= H0(X).

Рассмотрим задачу Коши

ЬХ(і) = Мх(і) + у (і), (4)

х(0) = х0. (5)

Функция х е Wq1(X) называется сильным решением задачи (4), (5), если она удовлетворяет условию (5) и почти всюду на (0,Т) — уравнению (4).

Теорема 2 [6]. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален. Тогда при любых у е Шр+1(У) и

х0 еМу = { х е аошМ : (I - Р)х = - ^ СкМ-1(1 - Q)y(k)(0)

к=0

существует единственное сильное решение х задачи (4), (5), при этом

р *

х(і) = - ^ СкМ-1(1 - Q)y(k) (і)+ Xt-sЬ-1Qy(s)ds + XV

к=0

ІМІт^ло ^ С + II + ІМІ^і+^у)) • (6)

2. Задача со смешанным управлением

Пусть X, У, и — гильбертовы пространства, операторы Ь Є С(Х; У), кег Ь = {0}, В Є С (и; У), оператор М Є С І(Х; У) сильно (Ь, р)-радиален. Обозначим Рм = &отМ и введем в рассмотрение пространство управлений Я = Ир+1{Ы) х

рм с нормой ІІ(и,у)ІІ2ц = ЬАІ2НР+і(и) + Ы\ЬМ = Ь42НР+і(и) + ||у||Л + ||Му||У и

соответствующим скалярным произведением. В силу замкнутости оператора М пространство Я гильбертово.

Для у Є Ир+1(У) множество пар (и, у) Є Ир+1{Ы) х Рм таких, что р р

^2 скм-1(і - о)Ви(к)(0) + (і - р)у = -^2 скм-1(і - О)у(к)(0), к=0 к=0

обозначим через Ид (у).

Лемма 1. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален. Если множество Ид (у) непусто при некотором у Є Ир+1(У); то оно является выпуклым и замкнутым в Ир+1(и) х Рм.

Доказательство. Выпуклость множества Ид (у) очевидна, докажем его замкнутость. Пусть {(иі,уі)} С Ид(у), причем \иі - иЦНр+і(и) — 0 и ||щ - уЦх + \Муі -Му І у — 0 при І — то для некоторых и Є Ир+1(и) и V Є Рм. В силу вложения Ит+1(Х) — Ст([0,Т]; X) имеем

Л’

£ Ск М-1(І - О) В (иг (0) - и(0))(к) + (1 - Р )Щ - V)

к=0

« £ |\Ск'М-(І - О)В\ІС(и;Х)\І(иі(0) - и(0))(к)Іи+

к=0

+ І\(І - Р)(Уі - У)|л + І\(І - Р)(Муі - Му)\Іу «

р

^ С1 ^ ІІ(иі (І) - и(І))(к^\с ([0,Т];и) + С2 \уі - + С2^Муі - Му\у =

к=0

^ С1 \иі - и\ср(\0,Т]-Ц) + С2 ||уі - у\х + С2\Муі - Му\у ^

^ С3(\иі - и\н р+1(и) + \уі - у\^М) — 0 при І — то. Таким образом, (и,у) Є Ид (у). □

Рассмотрим задачу оптимального управления

Ьх(Ь) = Мх(Ь) + у(ї) + Ви(Ь), (7)

х(0) = V, (8)

(и,у) Є Яд, (9)

J (x,U,v) — Jo(x) + — \\u — Uo\\2H p+i(U) +

+||v — vo\x +—2\\Mv — Mvo||y — inf, (10)

где Ud — непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства U, пара (u,v) Е U задает управление, u0 Е Hp+1(U) и у Е Hp+1(Y) — заданные функции, v0 Е Dm — заданный вектор, константы —1, —2 > 0. Предположим, что функционал J0(x) выпуклый, неотрицательный на линейном нормированном пространстве Y, полунепрерывный снизу.

Решения уравнения (7) представляется естественным искать в гильбертовом пространстве

Zp+1 — {z Е H1(X) : Lz — Mz Е Hp+1(Y)},

наделенном нормой ||z|||;p+:L — \\z\\2H L(X) + \\LZ — Mz\2HP+L(y). Полнота пространства Zp+1 доказана в [8]. Потребуем также непрерывности вложения Zp+1 С у.

Введем в рассмотрение непрерывный оператор Y0 : H1(X) — X, действующий по правилу Y0x — x(0). Понятно, что отображение Y0 : Zp+1 — X также непрерывно.

Определение 2. Множество W троек (x,u,v) Е Zp+1 х U, удовлетворяющих условиям (7)-(9), назовем множеством допустимых троек задачи (7)-(10).

Замечание 2. Множество допустимых троек W, удовлетворяющих (7)-(9), выпукло.

Решение задачи (7)—(10) состоит в нахождении троек (x,U,v) Е W, минимизирующих функционал стоимости J:

J (x,U,v) — inf J (x,u,v).

(x,u,v)EW

Определение 3. Функционал J называется коэрцитивным, если для любого

R > 0 множество {(x,u,v) Е W : J(x,u,v) ^ R} ограничено в пространстве

Zp+1 х

Теорема 3. Пусть оператор M сильно (L, р)-радиален, Ud _ непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства U — Hp+1(U) х DM, u0 Е Hp+1(U), v0 Е Dm, у Е Hp+1(Y), константы —1, —2 > 0, функционал J0 выпуклый, неотрицательный на линейном нормированном пространстве у, полунепрерывный снизу, Ud П Hd(у) — Тогда существует единственное решение (x,u,v) Е Zp+1 х U

задачи (7)—(10).

Доказательство. Положим V — Hl(Y) х X, l Е {0,1,...,р + 1}, у1 — Zp+1. Непрерывность линейного оператора L : у1 х U — V, L(x,u,v) — (Lx — Mx — Bu, Y0x — v) следует из неравенств:

\\Lx — Mx — Bu\Hiy) + IlYox — v\\2X ^

^ 2\\Lx — Mx\\Hi(y) + 2\\Bu\\Hl(y) + 2ll7oxllX + 2llvllX ^

С1{\\Х\\2т(Х) + Н^Х — Мх\\нр+1(У)) + С2\\и\\ир+1(Ы) + Сз(|М|Х + 11Му11у) ^ С(Ы\1р+1 + \\и\\2НР+1(и) + 1М1рм)-

(ии)

Полунепрерывность функционала .] снизу в пространстве У х Я очевидна, докажем его коэрцитивность на допустимых тройках в у1 х Я, используя оценку (6) и замечание 1. Действительно, в силу неотрицательности .]0

I II 2 , II || 2 , || || 2

\Х\\гр+1 + \\и\\нр+1(и) + ЫЬы

^ \\х\\н 1(Х) + \\Ви + У\\нр+1(У) + \\и\\нр+1(и) + (МЬм

^ С1(1М1х + + \\Ви\\нР+1(У) + \\у\\нР+1(У)) + \\и\\нр+1(и) + 1МЬм

С2 (||У||х + 11^1 М1Ру\\х + \и\нР+1(У) + \у\нР+1(У)) + 11^1»м

= С2(|М|х + 11^1 ЯМу\\х + \и\нР+1(У) + \\у\\нР+1(У)) + (М^м

С3(||У|1х + II \у + С ||и\н Р+1(У) + 11у \нр+1(У )) ^ С47 (х,и,У) + С5-

Докажем единственность решения. Пусть существуют два решения (Х1,и1,У1), (Х2,и2,У2), причем (Х1,и1,Х1) — (Х2,и2,У2). Это означает, что щ — и2 или У1 — У2 в силу единственности решения задачи (7), (8). Из замечания 2 следует, что тройка (Х1+х2, и1+и2, '°1++'°2) является допустимой. Тогда с учетом выпуклости .10 и строгой выпуклости функционала Цг \\и — и0 \ |2нР+1(и) + Ц22 IIу — Уо 11X + Ц2\\Му — Му0\Х в ИР+1(Ы) х Ом получим

'Х1 +Х2 Щ + и2 Щ + 1>2

.1

2

2

2

+N

2

Щ + и

2

ио

нР+1(и)

т2

+ т

У1 + У2

2

Уо

X

т2

+т

м I У1 + У2

М ( — ---------------------------у0

т1

< 2(/0(Х1) + 70 (Х2)) + ^(||и1 — ио\нР+1(и) + \\и2 — ио\\нР+1(и)) +

2

<

У

+ 2“ (11У1 — Уо\Хх + \\У2 — Уо\\Х) + 2“ (|МУ1 — Муо\У + || МУ2 — Муо\\У) —

= 2/1(х1,и1,{)1) + Мх2,и2,У2)).

Это противоречит предположению, что на тройках (х1,и1,У1), (х2,и2,У2) функционал .] достигает минимума.

Условие непустоты множества Ид (у) П Яд гарантирует существование такого управления (и, у) Е Ид (у) П Яд, что у Е ЛЛу+ви и, следовательно, выполняются условия теоремы 2 о разрешимости задачи Коши (7), (8). Таким образом, все условия теоремы 1.2.3 [9] выполнены. □

2

2

2

В качестве частных случаев функционала .] рассмотрим функционалы

т / \ 1 и 112 —1 и 112

.11(Х,и) = 2\\Х — Ш\Ь2(Х) + ~2\\и — ио\\нР+1(и) +

+ 2 ИУ — уо\\Х + ~2~\\Му — Муо\\У ^ ) (11)

■12(Х,и) = 2\\х(т ) — ™\\Х + “2“\\и — ио \\н р+1 (и)+

+||у — Уо\\Х +—2\\Му — Муо\\У ^ 1п£, (12)

где т Е Ь2(Х) в (11) и т Е X для (12).

Следствие 1. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален, Яд — непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства Я — Ир+1(Ы) х Ом, и0 Е Ир+1(Ы), Уо ЕОм, у Е Ир+1(у), константы —1}—2 > 0, Яд П Ид (у) — Тогда существует единственное решение (Х,и) Е 2р+1 х Я задачи (7)-(9), (11).

Доказательство. Выберем пространство У — Ь2(Х). Понятно, что вложение

У1 — 2р+1 С У непрерывно. Непрерывность функционала .]0 — 1 ||х — т\2Ь2(х) в пространстве У и его неотрицательность очевидны. Кроме того, согласно следствию 1.2.1 [9] функционал .]0 строго выпуклый. Таким образом, все условия

теоремы 3 выполнены. □

Следствие 2. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален, Яд — непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства Я — Ир+1(Ы) х Ом, и0 Е Ир+1(Ы), У0 Е Ом, у Е Ир+1(У), константы —1}—2 > 0, Яд П Ид (у) — %. Тогда существует единственное решение (х,и) Е 2р+1 х Я задачи (7)-(9), (12).

Доказательство. Докажем непрерывность функционала ,10(х) — 1 \\х(Т) — т\2х в пространстве У — И 1(Х). Пусть {хп} сходится к х в И 1(Х). Тогда

\70(хп) — 70 (х)| — ^ \\\Хп(Т) — т\\Х — \\х(Т) — т\\Х \ —

— 2ИХ(Т) — т\\х — \\х(Т) — т\\х\(\\хп(Т) — т\\х + \\х(Т) — т\\х) ^

^ С\\хп(Т) — х(Т)\\х ^ С\\хп — х||н 1(х) ^ 0, п ^ ж.

Покажем теперь, что функционал ,10(х) — \\х(Т) — т\2х с функцией т Е X является выпуклым на пространстве И 1(Х).

Для а Е [0,1] очевидны неравенства

а(1 — а)(а — Ь)2 ^ 0;

а(1 — а)а + а(1 — а)Ь — 2а(1 — а)аЬ ^ 0;

(а — а2)а2 + ((1 — а) — (1 — а)2)Ь2 — 2а(1 — а)аЬ ^ 0;

(аа + (1 — а)Ь)2 ^ аа2 + (1 — а)Ь2.

Отсюда имеем при любых х1,х2 Є Н 1(Х)

■1о(ах\ + (1 — а)х2) — ||ахі(Т) + (1 — &)х2(Г) — ш||Х ^

^ (аІІхі(Т) — + (1 — а)11х2(Т) — ш||х)2 ^

^ аЦхі(Т) — шЦХ + (1 — а)Цх2(Т) — іиЦ\ — а,1о(хі) + (1 — а),1о(х2).

Таким образом, выполнены все условия теоремы 3.

□

3. Задача управления для линеаризованной системы уравнений фазового поля

Пусть О С К5 — ограниченная область с границей дО класса Сгх, А, а, в Є К. Рассмотрим начально-краевую задачу

Искомыми в задаче являются функции г, в.

Замечание 3. Система (16), (17) является, с точностью до линейной замены, линеаризацией в нуле системы уравнений фазового поля, описывающей в рамках мезоскопической теории фазовые переходы первого рода [10] в предположении того, что время релаксации равно нулю.

Редуцируем задачу (13)-(17) к задаче Коши (7), (8). Положим X — У —

операторы Ь Є С(Х), В Є С(Х), М Є С 1(Х). Причем кегЬ — {0} х Ь2(О), Рм — &отМ — (Н д +х(О))2.

дп +

Обозначим Аш — Дш, ^шА — Нд+Х(О) С Ь2(О). Через {рк ■ к Є М} обо-

дп

значим ортонормированные в смысле скалярного произведения ■) в Ь2(О) соб-

ственные функции оператора А, пронумерованные по невозрастанию собственных значений {Ак ■ к Є М} с учетом их кратности.

Теорема 4 [11]. Пусть —в Є а(А). Тогда оператор М сильно (Ь, 0)-радиален.

Пусть, Ц9 — непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства Я —

— Н1 ((Ь2(О))2) х (Ь2(О))2. Зададим условие допустимости управлений

г(х, 0) — у1(х), х Є О,

в(х, 0) — у2(х), х Є О,

(13)

(14)

(15)

(16) (17)

— (х,і) + Аг(х,і) — —(х, і) + Ав(х,і) — 0, (х,і) Є дО х [0,Т],

дп дп

гі(х, і) — Дг(х, і) — Дв(х, і) + и(х, і), (х, і) Є О х [0,Т],

Дв(х, і) + вв(х, і) + аг(х, і) — ш(х, і), (х, і) Є О х [0, Т].

и —(Ь2(О))2,

Н2_в_ д(О) — {ш Є Н2(О) ■ (у-Щ + А^)ш(х) — 0, х Є дО}. Тем самым определены

дп +

(и, ш, у1 ,у2) Є Яд.

(18)

В качестве функционала стоимости выберем функционал (11), который для данной задачи после несложных преобразований можно привести к виду

1,1 —112 , 1\\п п\\2

З (г,в,и,ш,Уі,У2) — 211г — г\\Ь2 (Ь2(п)) + 211в — в11ЫЫ^)) +

Ль, ~||2 I Л1 || ~ II2 I

+~2"и — и\\н 1(Ь2(П)) + ~2— и}\\н 1(Ь2(П)) +

N2,1 - 1,2 + N

11^1 - 'и1\\н2(п) +

где г,в Е Ь2(Ь2(П)), и,и Е Н г(Ь2(0,)), у1,ь2 Е Нд ,х(^) заданы.

дп +л

В работе [11] получены выражения для проекторов

ІІуі — ^Лтіп) + 11^2 — у2Іи2(п) ^ , (19)

р I 1 0 \ ( — ( 1 А(в + А) 1

Р 1 —а(в + А)-1 0 ) , 4 I 0 0

соответствующих определенным в этом параграфе операторам Ь и М. Используя эти формулы, нетрудно установить, что множество Нд(0) для данной задачи является множеством кортежей (и,и,у1,у2) Е Нг((Ь2(0,))2) х (Нд х(^))2 таких,

дп

что

и(х, 0) — —ау1(х) — (в + Д)у2(х).

Кроме того, непосредственно вычисляется множество

21 — {(г, в) Е Н 1((Ь2(П))2) : г* — Дг Е Н 1(Ь2(П)), Дв Е Н 1(Ь2(П))}.

Таким образом, следствие 1 влечет следующий результат.

Теорема 5. Пусть Яд _ непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства и — н 1((ь2(&))2) х (Нд+Л^))2, ид п Нд(о) — ф, г, в е ь2(ь2(&)),

дп

и,и} Е Нг(Ь2(0,)), у1,у2 Е Нд х(^), константы М1}М2 > 0. Тогда существует

^ дП

единственное решение (2,в,и,га,у1,у2) Е 21 х Я задачи (13)—(19).

Список литературы

1. Лионс, Ж!.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Ж.-Л. Лионс. — М. : Мир, 1972.

2. Федоров, В. Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов /

B. Е. Федоров // Алгебра и анализ. — 2000. — Т. 12, вып. 3. — С. 173-200.

3. Свиридюк, Г. А. Задача оптимального управления для линейных уравнений типа Соболева / Г. А. Свиридюк, А. А. Ефремов // Изв. вузов. Математика. — 1996. — № 12. — С. 75-83.

4. Свиридюк, Г. А. Оптимальное управление одним классом линейных вырожденных уравнений / Г. А. Свиридюк, А. А. Ефремов // ДАН. — 1999. — Т. 364, № 3. —

C. 323-325.

5. Плеханова, М. В. Задача оптимального управления для одного класса вырожденных уравнений / М. В. Плеханова, В. Е. Федоров // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2004. — № 5. — С. 40-44.

6. Федоров, В. Е. Оптимальное управление линейными уравнениями соболевского типа / В. Е. Федоров, М. В. Плеханова // Дифференц. уравнения. — 2004. — Т. 40, № 11. — С. 1548-1556.

7. Плеханова, М. В. Задачи стартового управления для линейных уравнений соболевского типа / М. В. Плеханова, В. Е. Федоров // Вестн. ЮУрГУ. — Сер. Математика. Физика. Химия. — 2005. — № 6. — С. 43-49.

8. Плеханова, М. В. Критерий оптимальности в задаче управления для линейного уравнения соболевского типа / М. В. Плеханова, В. Е. Федоров // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2007. — № 2. — С. 37-44.

9. Фурсиков, А. В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения / А. В. Фурсиков. — Новосибирск : Науч. кн., 1999.

10. Плотников, П. И. Уравнения фазового поля и градиентные потоки маргинальных функций / П. И. Плотников, А. В. Клепачева // Сиб. мат. журн. — 2001. — Т. 42, № 3. — С. 651-669.

11. Федоров, В. Е. Обратная задача для одного класса сингулярных линейных операторно-дифференциальных уравнений / В. Е. Федоров, А. В. Уразаева // Тр. Воронеж. зим. мат. шк. — Воронеж : ВГУ. — 2004. — С. 161-172.