Нелинейная обратная задача для системы Осколкова, линеаризованной в окрестности стационарного решения Текст научной статьи по специальности «Математика»

НЕЛИНЕЙНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ ОСКОЛКОВА, ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ В ОКРЕСТНОСТИ СТАЦИОНАРНОГО РЕШЕНИЯ

Исследован класс нелинейных обратных задач с неизвестными параметрами, зависящими от времени, для абстрактных уравнений соболевского типа в банаховых пространствах. В задаче наряду с условием Коши рассматривается обобщенное условие Шоуолтера. Доказаны теоремы существования и единственности слабого и гладкого решений. Общие результаты использованы при исследовании нелинейной эволюционной обратной задачи для линеаризованной системы Осколкова, моделирующей динамику вязкоупругой жидкости.

Ключевые слова: нелинейная обратная задача, вырожденная полугруппа операторов, система уравнений Осколкова, вязкоупругая жидкость.

Введение

Рассмотрим обратную задачу для системы уравнений

(1 — хV2)vt(ж,í) = — (V ■ У)г>(х, ¿) — (V ■ У)й(х, ¿)-

3 т

—г(ж,£) + ?1(£)(1 — х^2)^(ж,£) + 6(£)||^||а^ + ^qj(¿)/3(ж,£), (ж, ¿) € П х [0,Т],

3=2

(0.1)

V ■ ^(ж,^) = 0, (ж, ¿) € П х [0,Т], (0.2)

^(ж,^) = 0, (ж, ¿) € дП х [0,Т], (0.3)

^(ж, 0) = 'Уо(ж), ж € П, (0.4)

■и(жг,£) = фг(£), г = 1,...,т, £ € [0,Т]. (0.5)

Здесь П С К3 — ограниченная область с границей дП класса Т > 0, т € N. Параметр х € К характеризует упругие свойства жидкости, а параметр V € —

её вязкие свойства. Вектор-функции V = (^1,^2,^3) (вектор скорости жидкости), г = (г1, г2, г3) (градиент давления) и функции qj = ^ (¿), ^ = 1, 2,... , 3т, неизвестны. Вектор-функция V = ^^2^3), V*; = V*;(ж), к = 1, 2, 3, задана и означает стационарное решение исходной системы. Также заданы функция Ь = Ь(£), вектор-функции /3 = (/, /2, /3), характеризующие объемные силы, /3 = /3(ж,£), ^ = 2,..., 3т, вектор-функции фг = (Ф1 ,Ф2,Ф3), Фк = Фк(¿), к = 1,2,3, г = 1,... , т. Все точки ж* € П, г = 1,... , т, различны, ||V|0 = IV!(^2(п))3, а € К.

При Ь = 0, qj = 0, ^ = 1, 2,... , 3т, эта система является моделью в линейном приближении течения вязкоупругой несжимаемой жидкости [1] в окрестности стационарного решения г>.

Работа выполнена при поддержке РФФИ и Министерства образования и науки Челябинской области (грант 10-01-96007-р_урал_а).

Такие задачи возникают в приложениях, когда известен общий вид математической модели процесса, некоторые определяющие процесс параметры неизвестны и недоступны для непосредственного измерения, но могут быть воостанов-лены с помощью доступных для измерителя данных — условий переопределения (0.5).

Задача (0.1)—(0.5) будет исследована в данной работе в рамках абстрактной нелинейной обратной задачи для операторно-дифференциального уравнения, не разрешимого относительно производной — уравнения соболевского типа. Пусть Ы, Т и У — банаховы пространства, операторы Ь € ^(Ы; Т) (линеен и непрерывен), кегЬ = {0}, М € С/(Ы; Т) (линеен, замкнут и плотно определен),

N : [0,Т] х Ы х У ^ Т, В € £(Ы; У), заданы Ф : [0,Т] ^ У, и0 € Ы. Рассмотрим

соотношения

Ь^и(^) = Ми(£) + N(£,и(£),q(í)), £ € [0,Т], (0.6)

и(0) = и0, (0.7)

Ви(£) = Ф(£), £ € [0,Т]. (0.8)

Эволюционной обратной задачей будем называть задачу отыскания из соотношений (0.6)-(0.8) пары функций и € С([0,Т]; Ы) и q € С([0,Т]; У) (слабое решение) либо и € С 1([0, Т]; Ы) П С([0, Т]; Д(М)) и q € С 1([0, Т]; У) (гладкое решение).

Обратные задачи для уравнений соболевского типа в другой постановке, а также для других неклассических уравнений математической физики исследовались ранее в работах [2-8].

В данной работе так же, как и в работе [9], касающейся линейной эволюционной обратной задачи для уравнений соболевского типа, с помощью методов теории вырожденных полугрупп операторов [10] исходная обратная задача редуцирована к системе обратной задачи для уравнения, разрешенного относительно производной по времени, и прямой задачи для уравнения с нильпотентным оператором при производной. При исследовании нелинейной обратной задачи для невырожденного уравнения используются результаты монографии [11].

Помимо условия Коши (0.7) в данной работе используется также обобщенное условие Шоуолтера, которое позволяет отказаться от условия согласования начального значения с другими данными задачи.

1. Прямая задача для вырожденного уравнения

Через £(Ы; Т) будем обозначать банахово пространство линейных непрерывных операторов, действующих из банахова пространства Ы в банахово пространство Т. Множество линейных замкнутых операторов с областями определения, плотными в пространстве Ы, действующих в Т, будем обозначать С/(Ы; Т). Если Т = Ы, то обозначения сократятся до ^(Ы) и С/(Ы) соответственно.

Всюду в дальнейшем предполагаем, что Ь € £(Ы; Т), М € С/(Ы; Т). Обозначим рь(М) = {^ € С : (^Ь — М)-1 € £(Т;Ы)}, Я^(М) = (^Ь — М)-1Ь, Ь^(М) = Ь(^Ь — М)-1, К+ = {а € К : а > 0}, К+ = К+ и {0}, N = {0} и N.

Определение 1. Пусть р € ^. Оператор М называется сильно (Ь,р)-радиальным, если

(i) За Є К (а, +го) С рь(М);

(ii) ЗК > 0 У^. Є (а, +то) Уи Є N

К

ша*{||(^(А0Г(р+1>1к(И), «^{АОП'+’Чкл} « (/< _ а)„(р+1);

О

(iii) существует плотный в Т линеал Т, такой, что

|М(,<ь _ м)-1(ь£(м))р+‘/|^ < ^°_/2 У; Є^

при любом ^ Є (а, +го);

(іу) для любого ^ Є (а, +то)

К

||(^(М))р+1(мі _ м)-1|£(„и) « (<< _ а)р+2.

Эквивалентность этого, более простого определения сильной (Ь,р)-радиаль-ности, и того, которое было использовано в [10], доказана в [12].

Обозначим через Ы0 (Т0) ядро кег(Я^(М))р+: (кег(Ь^(М))р+^, а через Ы1 (Т1) — замыкание линеала іш(Я^(М))р+1 (іш(Ь^(М))р+^ в норме пространства Ы (Т). Через Мк (Ьк) будем обозначать сужение оператора М (Ь) на Д(Мк) = Ык П £(М) (Ык), к = 0,1.

Теорема 1. [10] Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален. Тогда

(i) Ы = Ы0 ФЫ1, Т = Т0 ФТ1;

(ii) проектор вдоль Ы0 на Ы1 (вдоль Т0 на Т:) имеет вид

Р = з- Ііш (мД^(М))>'+1, (0 = 8- Ііш (^(М))р+1);

(iii) 0Ь = ЬР, 0Ми = МРи для всех и Є Д(М);

(іу) Ь Є £(Ык; Тк), Мк Є С/(Ык; Тк), к = 0,1;

(у) существуют операторы М—1 Є £(Т°;Ы0) и Ь-1 Є £(Т^Ы:);

(уі) оператор Н = М—1Ь0 нильпотентен степени не больше р;

(уіі) оуществует сильно непрерывная полугруппа {и(і) Є £(Ы) : і Є К+}, разрешающая уравнение Ьи(і) = Ми(і);

(уііі) оператор Ь-1М1 Є С/(Ы1) является инфинитезимальным генератором С0-непрерывной полугруппы {^(¿) = и(і)|^і Є £(Ы1) : і Є К+}.

Теорема 1 обобщает теорему Хилле-Иосиды [13] о порождении ^-непрерывных полугрупп операторов (см. [10]).

Снабдим область определения Д(М) оператора М Є С/(Ы; Т) нормой его графика | • ||д(м) = || • ||и + ||М• ||^• В силу замкнутости оператора М полученное таким образом нормированное пространство является банаховым.

Теорема 2. [10] Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален, и0 Є Д(М), функция д : [0, Т] ^ Т такова, что 0д Є С1 ([0,Т]; Т1), (і _ 0)д Є Ср+1([0,Т]; Т0),

(I _ Р)и = _ £ НкМ0-1((/ _ 0)д)(к)(0). (1.1)

к=0

Тогда существует единственное решение и € С 1([0,Т]; Ы) П С([0,Т]; Д(М)) задачи Коши

и(0) = ио (1.2)

для уравнения

Ьи(£) = Ми(£) + д(£), £ € [0,Т]. (1.3)

При этом

и(*) = и(¿)и° + / и(в)Ь-1дд(£ - ^ — ^] НкМ-1((1 - д)д)(к)(£). (1.4)

Й=0

Теорема 3. [10] Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален, и0 € Д(М1); функция д : [0, Т] ^ Т такова, что ^д € С 1([0, Т]; Т1), (I — ^)д € Ср+1([0, Т]; Т°). Тогда существует единственное решение и € С1([0,Т];и)ПС([0,Т]; Д(М)) обобщенной задачи Шоуолтера

Ри(0) = и° (1.5)

для уравнения (1.3). При этом решение имеет вид (1.4).

Теоремы 2, 3 посвящены условиям существования классических решений задач Коши и Шоуолтера для неоднородного вырожденного уравнения (1.3). Понятие слабого решения уравнения, как известно, состоит в том, что таковым является функция, по форме соответствующая классическому решению, но, возможно, не дифференцируемая. Для уравнения (1.3) под слабым решением естественно понимать функцию и € С([0,Т];Ы), имеющую вид (1.4). Тогда разница между слабыми решениями задач (1.2), (1.3) и (1.3), (1.5) состоит лишь в том, что для слабого решения первой из них необходимо выполнение условия согласования (1.1), а для слабого решения второй — нет. Формализуем высказанные соображения.

Определение 2. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален и выполняется условие согласования (1.1). Слабым решением задачи (1.2), (1.3) называется функция и € С([0,Т];Ы), имеющая вид (1.4).

Определение 3. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален. Слабым решением задачи (1.3), (1.5) называется функция и € С([0,Т];Ы), имеющая вид (1.4).

Теорема 4. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален, и° € Ы, функция д : [0,Т] ^ Т такова, что ^д € С([0,Т]; Т1), (/ — ф)д € Ср([0,Т]; Т°),

(I — Р)и° = — £ Н‘М°-1((/ — 0)д)(Ч(0).

Й=0

Тогда существует единственное слабое решение и € С([0,Т];Ы) задачи (1.2),

(1.3).

Теорема 5. Пусть оператор М сильно (Ь, р)-радиален, Ри° € Ы, функция д : [0,Т] ^ Т такова, что ^д € С([0,Т]; Т1), (I — ф)д € Ср([0,Т]; Т°). Тогда существует единственное слабое решение и € С([0,Т];Ы) задачи (1.3), (1.5).

С

Доказательство. Действительно, в условиях теорем 4 и 5 функция (1.4) определена и непрерывна. □

2. Невырожденная нелинейная обратная задача

Рассмотрим нелинейную обратную задачу для уравнения, разрешенного относительно производной,

г(Ь) = Аг(Ь) + д(Ь,г(Ь), д(Ь)), Ь € [0,Т], (2.1)

г(0) = г°, (2.2)

Вг(Ь) = Ф(Ь), Ь € [0,Т]. (2.3)

Задача заключается в отыскании функций г : [0,Т] ^ X, q : [0,Т] ^ У из соотношений (2.1)-(2.3), где А € С/(X) — инфинитезимальный генератор С°-непрерывной полугруппы операторов, д : [0,Т] х X х У ^ X, В € £(Х; У). Сформулируем условия разрешимости этой задачи в смысле слабых и в смысле гладких решений, найденные в работе [11].

Далее предполагается, что отображение д : [0,Т ] хXхУчX представимо в виде

д(Ь,г,д) = д1(Ь,г)+ д2(Ь,г,д) У(Ь,г,д) € [0,Т] XXX У. (2.4)

Введем следующие обозначения

Бх(а, Я) = {г 6 X : ||г — а||х < Я} , Бх(а,Я, Т) = [0,Т] х Бх(а,Я).

Считая функцию Ф дифференцируемой, определим значение

у° = Ф'(0) — ВАг° — Вд1(0,г°)

и потребуем выполнения условий:

(A) уравнение Вд2(0, г°, д) = у° относительно д имеет единственное решение 5° € У;

(B) существует отображение д3 : [0,Т] х У х У ^ У, такое, что

Вд2(ь,г,5) = дз(ь,Вг,5);

(C) существует число Я > 0, такое, что для любых Ь € [0,Т] отображение у = д3(Ь, Ф(Ь),д) как функция от д в шаре Бу(д°, Я) имеет обратное отображение 5 = ф(Ь,у);

(О) существует число Я > 0, такое, что отображение Ф непрерывно относительно (Ь,у) на множестве Бу(у°,Я,Т) и удовлетворяет условию Липшица относительно у;

(Е) существует число Я > 0, такое, что обе функции д1(Ь,г) и д2(Ь,г,д) являются непрерывными по совокупности всех переменных на Бхху((г°, д°), Я, Т) и удовлетворяют условию Липшица относительно (г, д).

Определение 4. Слабым решением задачи (2.1)-(2.3) на отрезке [0,Т1] называется такая пара функций (г, д) € С([0, Т1]; X) х С([0, Т1]; У), что для всех Ь € [0, Т1] выполняется условие (2.3) и

С

г(Ь) = V(Ь)г° + ^ V(Ь — з)д(з, г(з), д(з))^з,

°

где {V(Ь) € ) : Ь € К+} — С°-непрерывная полугруппа, порождаемая опера-

тором А.

Теорема 6. [11] Пусть А — инфинитезимальный генератор С°-непрерывной

полугруппы в пространстве X, г° € X, В,ВА € ; У), Ф € С 1([0,Т]; У),

Вг° = Ф(0), а также выполняются условия (2.4), (А)-(Е). Тогда при некотором Т1 € (0,Т] существует единственное слабое решение (г,д) € С([0,Т1]; X) х С([0,Т1]; У) обратной задачи (2.1)-(2.3) на отрезке [0,Т1].

Определение 5. Гладким решением задачи (2.1)-(2.3) на отрезке [0,Т1] называется такая пара (г,д) € (С 1([0,Т1]; X) П С([0,Т1]; Д(А))) х С 1([0,Т1]; У), для которой выполняется (2.2) и соотношения (2.1), (2.3) при всех Ь € [0,Т1].

Для получения достаточных условий существования гладкого решения рассматриваемой обратной задачи условия (В) и (Е) требуется усилить, заменив их следующими условиями:

(Ох) существует число Я > 0 такое, что отображение Ф дифференцируемо по Фреше на множестве Бу (у°, Я, Т) и его частные производные ФС, Фу непрерывны в операторной норме и удовлетворяют условию Липшица относительно у ;

(Ех) существует число Я > 0 такое, что обе функции д1(Ь,г) и д2(Ь,г,д) являются дифференцируемыми по Фреше на множестве Бхху((г°, 5°), Я, Т) и их частные производные д1С, д1^, д2С, д2^, д2д непрерывны по операторной норме и удовлетворяют условию Липшица относительно (г,д).

Теорема 7. [11] Пусть А — инфинитезимальный генератор С°-непрерывной

полугруппы в пространстве X, г° € ^(А), В, ВА € ; У), Ф € С2([0,Т]; У),

Вг° = Ф(0), а также выполняются условия (2.4), (А)-(С), (Д1), (Е1). Тогда при некотором Т1 € (0,Т] существует единственное гладкое решение (г,д) € (С 1([0, Т1]; X) ПС([0, Т1]; ^(а))) х С1 ([0, Т1 ]; У) обратной задачи (2.1)-(2.3) на отрезке [0, Т1].

3. Нелинейная обратная задача для уравнения соболевского типа

Вернемся к обратной задаче для уравнения соболевского типа

Ьи(Ь) = Ми(Ь) + N(Ь,и(Ь),д(Ь)), Ь € [0,Т], (3.1)

и(0) = и°, (3.2)

Ви(Ь) = Ф(Ь), Ь € [0,Т]. (3.3)

Здесь и, Т, У — банаховы пространства, Ь € £(и; Т), М € С/(и; Т), В € £(и; У), N : [0,Т] х и х У ^ Т, Ф : [0,Т] ^ У. Неизвестными являются функции и : [0,Т] , д : [0,Т] ^ У.

Учитывая определение 2 слабого решения вырожденного уравнения, введем в рассмотрение следующее понятие слабого решения рассматриваемой задачи.

Определение 6. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален. Слабым решением задачи (3.1)—(3.3) на отрезке [0,Т1] называется такая пара функций (и,д) € С([0,Т1];и) х С([0,Т1 ]; У), для которой выполняется условие (3.2), (I — ^(-,и(-),д(-)) € Ср([0,Т1 ];Т),

(I - Р)ио = ^ НкМ(

к=0

л*

кл /г-1 л_

<Ик

(/ - д)ж (^,и(^),д(^)),

*=0

при всех І Є [0,Ті] выполняется условие (3.3) и

*

и(і) = и (¿)м0 + J и (і — ^Ь-1^^ (в, и(з), д(з))Лз— 0

л

£Нк Мо“1 л* (I — 3)^ (І,и(і),д(і))

к=0

к

Теорема 8. Пусть оператор М сильно (Ь, р)-радиален, ішЖ С Т1, и0 Є и1, В Є £(и; ^), ВЬ-1 Мі Є £(и1; У), и0 С кегВ, Ф Є С 1([0,Т]; У), Вщ = Ф(0),

а также выполняются условия (2.4), (А)-(Е) при X = и1, $ = Ь-1^, А =

Ь-1М1, г0 = и0. Тогда при некотором Т1 Є (0,Т] существует единственное слабое решение (и,д) Є С([0,Т1]; и) х С([0,Т1]; У) обратной задачи (3.1)-(3.3) на отрезке [0, Т1 ].

Доказательство. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален. Тогда функцию и(і) можно представить в виде и(і) = Ри(і) + (I — Р)и(і). Обозначим Ри(і) = г(і), (I — Р)и(і) = и(і). В силу теоремы 1 и вложения и0 С кег В задача (3.1)-(3.3) эквивалентна задаче нахождения функций г,и,д из соотношений

г(і) = Ь-1М1г(і) + Ь-1^^(і,г(і) + и(і),д(і)), І Є [0,Т], (3.4)

г(0) = г0 = Ри0 = и0, (3.5)

ВРи(і) = Вг(і) = Ви(і) = Ф(і), І Є [0,Т], (3.6)

Ни(і) = и(і) + М0_1(/ — ф)^(і,г(і) + и(і),д(і)), і Є [0,Т], (3.7)

и(0) = и0 = (I — Р )и0. (3.8)

Здесь оператор Н = М(-1Ь0 нильпотентен степени не больше р согласно утверждению теоремы 1 (уі).

Поскольку тЖ С Т1, то = N, (I — ф)Ж = 0. Тогда задача (3.4)-(3.8) принимает вид

¿(¿) = Ь^М^*) + Ь-1 N(¿, ^(¿) + ^(¿), ^(¿)), t € [0, Т],

г>(0) = ^о, (3.9)

Ви(£) = Ф(£), £ € [0,Т], (3.10)

Нгй(£) = ^(¿), £ € [0,Т], (3.11)

и>(0) = (I — Р )и0. (3.12)

Применим к задаче Коши (3.11), (3.12) теорему 6. Возьмем в качестве Ы = Т подпространство Ы0, в качестве Ь и М — операторы Н и I. Тогда при любом ^ Е С имеем

/ р \ р+1

((^Н — I)-1Н)р+1 = [^2 /Нк+1 ) = 0, (Н(^Н — I)-1 )р+1 = 0,

чк=0

поэтому оператор I сильно (Н, р)-радиален. Тогда при д = 0 по теореме 6 имеем единственное слабое решение задачи (3.11), (3.12) — функцию ,ш = 0, поскольку (/ — р )ио = 0.

Итак, задача (3.1)-(3.3) сведена к обратной задаче (3.9), (3.10) для разрешенного относительно производной уравнения

¿(¿) = Ь-1М1^(^) + Ь-1Ж(¿, ^(¿), ^(¿)), £ € [0, Т].

Если положить X = Ы1, д = Ь-1Ж : [0,Т] х Ы1 х ^ ^ Ы1, А = Ь-1М1, и0 = и0, то получится в точности задача (2.1)—(2.3). Условия теоремы 6 об однозначной локальной разрешимости этой задачи в данном случае выполняются. Тогда существует единственное слабое решение этой обратной задачи

t

г>(£) = и1(^)м0 + У и1(^ — в)Ь-1фЖ(в, и(з), д(з))^з =

0

= и (і)и0 + J и (і — в)Р1 (в, и(з), д(з))^з,

о

поскольку и(і) = і'(і). Полученное выражение по определению 6 и есть слабое решение задачи (3.1)—(3.3) в силу того, что (I — ф)Ж = 0. □

В случае когда отображение N не зависит от переменной (I — Р)и, при р = 0 можно отказаться от ограничения на образ ітЖ.

Теорема 9. Пусть оператор М сильно (Р, 0)-радиален, отображение N : [0, Т] х и х У ^ У непрерывно по совокупности переменных (і, и, 5), для всех (і, и, 5) Є [0,Т ] х^х У выполняется N (і, и, 5) = N (¿,Ри,д), кроме того, и0 Є и, д(0) Є У,

(I — Р)«о = —Мо“1(/ — ^(0, Рио, 5(0)), (3.13)

С

В € £(Ы; У), ВЬ-1 М1 € £(Ы1; У), Ы0 С кегВ, Ф € С 1([0,Т]; У), Вщ = Ф(0), а также выполняются условия (2.4), (А)-(Е) при X = Ы1, д = Ь-1 А =

Ь-1М1, г>0 = Рщ0. Тог^а при некотором Т1 € (0,Т] существует единственное слабое решение (щ,д) € С([0,Т1]; Ы) х С([0,Т1]; У) обратной задачи (3.1)—(3.3) на отрезке [0, Т1 ].

Доказательство. Рассуждая, как при доказательстве теоремы 8, и используя сильную (Ь, 0)-радиальность оператора М и условия на отображение N, сведем задачу (3.1)—(3.3) к задаче (3.9), (3.10), (3.12) для уравнений

г>(£) = Ь-1М1^(^) + Ь-1фЖ(£, г>(£), д(£)), £ € [0,Т], (3.14)

0 = эд(£) + М0_1(/ — ф)Ж(£, ^(¿), ?(£)), £ € [0,Т]. (3.15)

Здесь оператор Н = 0. По теореме 6 задача (3.9), (3.10), (3.14) при некотором Т1 € (0,Т] имеет единственное слабое решение (г>,д) € С([0,Т1]; Ы1) х С([0,Т1]; У). Тогда из уравнения (3.15) следует, что

^(¿) = —М0_1(/ — ф)Ж(¿,г>(£),д(£)), £ € [0,Т1 ]. (3.16)

Функция и>(£) является непрерывной в силу непрерывности отображения N. Из условия (3.12) в таком случае следует необходимость условия согласования (3.13). Тогда функция

t

щ(£) = г>(£) + эд(£) = и1(£)щ0 + J и1(£ — s)Ь-1QN(в, ^(з), д(з))дз—

о

— Мо 1 (1 — (^ ^(£) д(£))

является слабым решением задачи (3.1)—(3.3) по определению 6 в силу того, что N(£, г>(£), д(£)) = N(£, щ(£), д(£)). □

Чтобы избавиться от необходимости выполнения неудобного для проверки условия согласования (3.13), которое к тому же дополнительно предполагает априорное знание величины д(0), заменим начальное условие (3.2) в обратной задаче на так называемое обобщенное условие Шоуолтера [10]

Рщ(0) = щ0. (3.17)

При этом слабым решением задачи (3.1), (3.3), (3.17) на отрезке [0,Т1] будем называть пару функций (щ, д) € С([0, Т1]; Ы) х С([0, Т1 ]; У), для которой справедливо включение (I — ( ■ ,щ( ■ ),д( ■ )) € Ср([0,Т1]; Т) и при всех £ € [0,Т1] выполняется

равенство (3.3) и

t

щ(£) = и(£)щ0 + J и(£ — s)Ь-1QN(в, щ(в), д(з))дз—

о

— Ак

гк ъ/г-1

Е М»-1 Ж(I — (і,и(і),«(()).

Теорема 10. Пусть оператор М сильно (Р, р)-радиален, imN С Т1, и0 Є и1, В Є £(Ы; У), ВР-1Мі Є £(Ы1; У), Ы0 С кегВ, Ф Є С 1([0,Т]; У), Вщ = Ф(0), а также выполняются условия (2.4), (А)-(Е) при X = и1, д = Р-1 N А = Р-1М1, ^0 = и0. Тогда при некотором Т1 Є (0,Т] существует единственное слабое решение (и, д) Є С([0,Т1];и) х С([0,Т1]; У) обратной задачи (3.1), (3.3),

(3.17) на отрезке [0,Т1].

Теорема 11. Пусть оператор М сильно (Р, 0)-радиален, отображение N : [0,Т ] хМхУ^У непрерывно по совокупности переменных (і,и,д), для всех (і, и, д) Є [0, Т ] х и х У выполняется N (і, и, д) = N (і, Ри, д), кроме того, и0 Є и1, В Є £(Ы; У), ВР-1М1 Є £(Ы1; У), и0 С кег В, Ф Є С 1([0,Т]; У), Вщ = Ф(0), а также выполняются условия (2.4), (А)-(Е) при X = и1, д = Р-1QN, А = Р-1М1, г>0 = и0. Тогда при некотором Т1 Є (0,Т] существует единственное слабое решение (и,д) Є С([0,Т1];и) х С([0,Т1]; У) обратной задачи (3.1), (3.3),

(3.17) на отрезке [0,Т1].

Доказательство. Задача (3.1), (3.3), (3.17) отличается от задачи (3.1)-(3.3) только отсутствием условия на (I — Р)и(0), которое при доказательстве теорем 8 и 9 лишь приводило к необходимости дополнительных условий согласования: и0 Є и1 в теореме 8 и условие (3.13) в теореме 9. С другой стороны, условие

(3.17) само по себе предполагает принадлежность и0 Є Ы1. Поэтому условия тео-

рем 8 и 10 одинаковы, а теорема 11 отличается от теоремы 9 только заменой условия (3.13) на включение и0 Є Ы1. □

Определение 7. Гладким решением задачи (3.1)-(3.3) на отрезке [0,Т1] называется такая пара (и,д) Є (С 1([0,Т1];Ы) П С([0,Т1]; Д(М))) х С1 ([0,Т1 ]; У), для которой выполняется (3.2) и соотношения (3.1), (3.3) при всех і Є [0,Т1 ].

Теорема 12. Пусть оператор М сильно (Р,р)-радиален, при этом imN С Т1, щ Є Я(М1), В Є £(Ы; У), ВР-1М1 Є £(Ы1; У), Ы0 С кег В, Ф Є С2([0,Т]; У), Ви0 = Ф(0), а также выполняются условия (2.4), (А)-(С), (Д1), (Е1) при X = Ы1, д = Р-^, А = Р-1М1, г>0 = и0. Тогда при некотором Т1 Є (0,Т] существует единственное гладкое решение (и, д) Є (С 1([0, Т1]; Ы) П С([0, Т1]; Д(М))) х С 1([0,Т1]; У) обратной задачи (3.1)-(3.3) на отрезке [0,Т1].

Теорема 13. Пусть оператор М сильно (Р, 0)-радиален и выполняются следующие условия:

(i) для всех (і,и,д) Є [0,Т] х Ы х У выполняется N(і,и,д) = N(і,Ри,д);

(ii) щ Є ДМ), д(0) Є У, (I — Р)щ = —М0~1(/ — (0, Рзд, д(0));

(iii) В Є £(Ы; У), ВР-1М1 Є £(Ы1; У), Ы0 С кег В, Ф Є С2([0,Т]; У), Вщ =

Ф(0);

(іу) выполняются условия (2.4), (А)-(С), (Д1), (Е1) при X = Ы1, д = Р-1^, А = Р-1МЪ ^0 = Ри0;

(у) на множестве $иху ((и0,д0), Я, Т) отображение N : [0,Т ] хЫхУ^У дифференцируемо по Фреше, а его частные производные Д, ^, N непрерывны по совокупности переменных (і, и,д) в сильной топологии.

Тогда при некотором Т1 € (0,Т] существует единственное гладкое решение (щ,д) € (С1([0,Т1];Ы)ПС([0,Т1]; Д(М)))хС1([0,Т1]; У) обратной задачи (3.1)—(3.3) на отрезке [0,Т1].

Определение 8. Гладким решением задачи (3.1), (3.3), (3.17) на отрезке [0,Т1 ] называется такая пара (щ,д) € (С 1([0,Т1];Ы) П С([0,Т1 ]; Д(М))) х С 1([0,Т1]; У), для которой выполняется (3.17) и соотношения (3.1), (3.3) при всех £ € [0,Т1].

Теорема 14. Пусть оператор М сильно (Ь, р)-радиален, при этом imN С Т1, Щ0 € ДМ1), В € £(Ы; У), ВЬ-1М1 € £(Ы1; У), Ы0 С кегВ, Ф € С2([0,Т]; У), Вщ0 = Ф(0), а также выполняются условия (2.4), (А)—(С), (Д1), (Е1) при X = Ы1, д = Ь-^, А = Ь-1М1, г0 = щ0. Тогда при некотором Т1 € (0,Т] существует единственное гладкое решение (щ, д) € (С 1([0, Т1]; Ы) П С([0, Т1]; Д(М))) х С 1([0,Т1]; У) обратной задачи (3.1), (3.3), (3.17) на отрезке [0,Т1].

Теорема 15. Пусть оператор М сильно (Ь, 0)-радиален и выполняются следующие условия:

(I) для всех (£,щ,д) € [0,Т ] хЫ х У выполняется N (£,щ,д) = N (£, Рщ,д);

(II) Щ0 € Я(М1), В € £(Ы; У), ВЬ-1М1 € £(Ы1; У), Ф € С2([0,Т]; У), Вщ = Ф(0), Ы0 С кег В;

(III) выполняются условия (2.4), (А)—(С), (Д1), (Е1) при X = Ы1, д = Ь-1QN, А = Ь-1М1, г0 = щ0;

(1у) на множестве $иху((щ0,д0), Д,Т) отображение N : [0,Т] хЫ х У ^ У дифференцируемо по Фреше, а его частные производные Nu; N5 непрерывны

по совокупности переменных (£,щ,д) в сильной топологии.

Тогда при некотором Т1 € (0,Т] существует единственное гладкое решение (щ,д) € (С1([0,Т1];Ы) П С([0,Т1]; Д(М))) х С1([0,Т1]; У) обратной задачи (3.1),

(3.3), (3.17) на отрезке [0,Т1 ].

Доказательство. При доказательстве теорем 8—11 исходная задача сводилась к задаче для невырожденного уравнения. Для нее в теореме 7 доказано, что дополнительная гладкость функции Ф, принадлежность г0 линеалу Д(А) и выполнение условий (Д1), (Е1) в условиях теоремы 6 приводят к существованию гладкого решения обратной задачи. Используя это наблюдение и рассуждая, как при доказательстве теорем 8 и 10, получим доказательства теорем 12 и 14. Надо при этом заметить, что непрерывность решения относительно нормы графика оператора А = Ь-1 М1 в силу гомеоморфности оператора Ь1 равносильна непрерывности в норме графика оператора М1, а поскольку в условиях теорем 12 и 14 щ(£) = Рщ(£), то это равносильно непрерывности решения в норме графика оператора М.

В условиях теорем 13 и 15 воспроизведем доказательства теорем 9 и 11 и к сказанному выше добавим, что функция (3.16) непрерывно дифференцируема в силу непрерывной дифференцируемости ее аргументов и требований дополнительной гладкости отображения N. Например,

||^(*,а(*),д(*))г;(*) — N(¿0,^*0), д(*0)М*0)||.т ^

^ Н^^Хі),^))^^) — г>(і0))||^ + II (^(і, г>(і),д(і)) — N„^0,-у(^), д(і0))Мі0) ||^ ^

{^(і,і'(і), д(і)) Є С(Ы; Т) : і Є (і0 — М0 + ¿)}

по теореме Банаха—Штейнгауза следует его равномерная ограниченность при малом 8 > 0.

При этом функция Ми>(£) = — (I — (£, г(£), д(£)) также непрерывна, а

4. Нелинейная обратная задача

для линеаризованной системы Осколкова

Редуцируем задачу (0.1)-(0.4) к задаче Шоуолтера (3.17) для уравнения

(3.1). Для этого обозначим через

соболевские пространства вектор-функций ш = (ш^ш^ш^), определенных в об-

обозначим через Н2, а по норме Н1 — через Н. Будем использовать также обозначение Н2 = Н^ П Н2. Обозначим через Нп ортогональное дополнение к Н2 в Ь2, через Е : Ь2 ^ Н2, П = I — Е — соответствующие ортопроекторы.

В пространстве С рассмотрим оператор А = ЕУ2. Известно (см. [14]), что оператор А, продолженный до замкнутого оператора в пространстве Н2 с областью определения Н^, имеет вещественный, отрицательный, дискретный, конечнократный спектр, сгущающийся только на —то. Обозначим через {Лк} его собственные значения, занумерованные по невозрастанию с учетом кратности, а через {^} — ортонормированную систему соответствующих собственных функ-

ций, которая, как известно, образует базис в Н2.

Пусть V Є Н1. Тогда формулой = VУ2ш — (V ■ У)ш — (ш ■ У)г; зададим

оператор Д Є С(Н2; Ь2).

Учитывая уравнение несжимаемости (0.2), положим

В данном случае элемент и € Ы имеет вид и = (г,г), а элемент f € Т — вид f = (д, Л,), где д = Ef, Л, = ^. Тогда формулой

определяется оператор Р Є С(Ы; Т). Если х 1 Є а(А), то кегР = {0} х Нп . При заданном V Є Н1 формулой

значит, решение непрерывно относительно нормы графика оператора М. □

Ь2 = (Р2(П))3, Н1 = (Ж1 (П))3, Н2 = (Ж>2(П))3

ласти П. Замыкание множества С = {V Є (С^П))3 : У ■ V = 0} по норме Ь2

Ы = Н2 х Нп, Т = Ь2 = Н2 х Нп.

(4.1)

(4.2)

(4.3)

определяется оператор М Є С(Ы; Т).

Теорема 16. Пусть пространства Ы и Т определены в (4.1), а операторы Р и М — в (4.2) и (4.3) соответственно, х = 0, х-1 Є а(А). Тогда оператор М сильно (Р, 0)-радиален, при этом

І 0\„ = / І О

хПУ2(/ — хА)-1ЕД + ПС О) , ^ V —хПУ2 (I — хА)-1 О

Доказательство. Для любого V Є Н2 имеем

Н(І — хА) 1 vНН. = (|(І — хА) МН. +ІІА(І — хА) МН.) =

^ (1 + Л! )|2 / С ^ I / _ \ 12 С ЦП

= Е |1 _ хЛк|2 « С1 1(-.^к)1 = С^Ь. ■

поэтому (I — хА)-1 Є С(Н2; Н). Следовательно,

||С(І — хА) ^ С2 Н (І — хА) 1V Н Н. ^ С3ІМк

и С(І — хА)-1 ЄС(НСТ; Ь2).

Таким образом, обратный оператор

(м(І — хА) — ЕС)"1 = І(І — хА)-1 ( І — ІЕВ(І — хА)-1

м V м

существует и непрерывно действует из Н2 в Н2 при

1м1 > НЕС(І — хА)-1Н£(Н.)

в силу того, что х = 0, (І — хА)-1 Є С(Н2; Н^). При таких м Є С имеем

мР—М=(м— МхлУІ-ЕС О

1

(мР — М)

1

(м(І — хА) — ЕС)-1 О

(мхПУ2 + ПС)(м(І — хА) — ЕС)-1 І

Непрерывность оператора С(І — хА)-1 из Н2 в Ь2 доказана выше, непрерывность оператора У2(І — хА)-1 из Н2 в Ь2 доказывается аналогично. Следовательно, оператор

(мхПУ2 + ПС)(м(І — хА) — ЕС)-1 = хПУ2 + ^ПС) (І — хА)-^І — 1ЕС(І — хА)-1" мм

непрерывно действует из Н2 в Нп. Из всего сказанного следует, что при достаточно больших |м| оператор (мР — М)-1 : Т ^ Ы непрерывен.

Далее,

(м — (І — хА)-1 ЕС)-1 О

(мхПУ2 + ПС)(м — (І — хА)-1ЕС)-1 — хПУ2 О

- (І — - (І — хА)-1 ЕС)-1 О

(хПУ2 і (І — хА)-1ЕС + І ПС)(І — І (І — хА)-1ЕС)-1 О

Здесь использованы преобразования

хПУ^ І — -(І — хА)-1Е^ — хПУ2 =

= хПУ2 £ - ((І — хА)-1 ЕС)к — хПУ2 = хПУ2 £ - ((І — хА^ЕС)'

к=0 м к=1 м

= хПУ2-(І — хА)-1Ес£- ((І — хА)-1ЕС)к =

м к=0 м

= хПУ2-(І — хА)-1ЕС (І — -(І — х-АГ^С мм

У оператора Д^(М)(мР — М)-1 второй столбец также нулевой, а первый имеет вид

12 (І — і (І — хА)-1ЕС)-2 (І — хА)-1

(хПУ2І, (І — хА)-1ЕС + І, Пс) (І — і (І — хА^ЕС^І — хА)

поэтому для / Є Ь2

М(мР — М)-1Р,^(М)/ = ( ПП<£( І

І2 ( І

ЕС <12 (І — 1 (І — хА)-1ЕС)-2 (І — хА)-1Е/ ПС -12 (І — 1 (І — хА)-1ЕС)-2(І — хА)-1Е/

г, ч і 1 (І — 1 ЕС(І — хА)-1)-1 О

р£(м) = I - 1 1

^ V— 1 хПУ2 (І — хА)-1(І — 1 ЕС(І — хА)-1)-1 О

Из непрерывности оператора ЕС : Н^ ^ Н2 следует, что (І — хА) 1ЕС Є С(Н2). Поэтому при м > «1 = Н(І — хА)-1ЕСН£(Н2)

Н(м — (І — хА)-1 ЕС)-1||£(Н.) ^ ,

м — «1

непрерывен оператор

хПУ2-(І — хА)-1 ЕС + -Пс) (і — -(І — хА)-1Е^ : Н ^ Н

м м У V м У

хПУ2-(І — хА)-1ЕС + -пс) (і — -(І — хА)-1ес' м м У V м

Далее,

2

«-С*.

м — «1

£(Н. ;Нп )

£(!. ;Н.) (м — 01)2

Аналогично оценивается второй элемент первого столбца рассматриваемой операторной матрицы — М)-1 по норме в £(Н2; Нп). Кроме того, при / € Ь2

Им - м)-1^(м)/||Ь2 =

(I - ^‘(і - хА)-1 ЕВ)-2 (I - хА)-1е/

С6

Ь2

(^ - <3‘)

2

Наконец, заметим, что ЕС(1 — хА) 1 € £(Н2), и при выбранном значении параметра ^ > а2 = ||ЕС(1 — хА)-1 Иди.) выполняется

1

1

£(НСТ)

1

1

с

7

г;Нп)

Таким образом, оператор М сильно (Р, 0)-радиален. Формулы для проекторов нетрудно найти по формулам из теоремы 1 (іі). □

При і Є [0,Т] зададим матрицу размера (3т) х (3т)

(

Л(і)

Фі‘(і) ((і - хА)-‘Е/2)1 (х‘,і) Ф‘(і) ((і - хА)-‘Е/2)2(х‘,і) Фз‘(і) ((і - ха)-‘Е/2)3(х‘,і)

ФГ(і) ((і - хА)-‘Е/2)1(хт,і)

Ф2т(і) ((і - хА)-‘Е/2)2(Хт,і)

(і) ((і - хА) ‘Е/2)3(хт,і)

т 2

\ф3т

((і - хА)-зЕ/3т)з(хз,і) \ ((і - хА)-зЕ/3т)2(хз,і)

((і - хА)-зЕ/3т)3(хз,і)

((і - хА)-зЕ/3т)з(хт,і) ((і - хА)-зЕ/3т)2(хт,і) ((і - хА)-зЕ/3т)3(Хт,і) У

где ((I — хА) 1Е/^)к — к-я компонента вектор-функции (I — хА) 1Е/^, к =1, 2, 3, ^ = 2,..., 3т.

Теорема 17. Пусть п < 4, а € К, € Н2, = 0 при а < 1, Ь € С([0,Т]; К),

/ € С ([0, Т ]; Ь2), ^ = 2,..., 3т, ^ € С 1([0,Т]; К3), г = 1,...,т, ае^(*) =

0 для всех £ € [0,Т], выполняются условия согласования и0(ж^) = фг(0), г = 1,...,т. Тогда при некотором Т1 € (0,Т ] слабое решение V € С ([0,Т1]; Н2), г € С([0,Т1 ]; НП), € С([0,Т1]; К), ] = 1, 2,..., 3т, обратной задачи (0.1)—(0.5) на

отрезке [0,Т1 ] существует и единственно.

Доказательство. Сразу заметим, учитывая вид проектора Р в утверждении теоремы 16, что задача (0.4) для системы (0.1)—(0.3) является обобщенной задачей Шоуолтера. При этом = Нп, Т1 = Н2, и0 = Нп, и1 изоморфно Н2. Отсюда следует требование v0 € Н2 = С(М1). Поэтому, опять же в силу теоремы 16, доказательство можно свести к проверке условий теоремы 11.

Положим У = Е3т, тогда для д = (дз, д2,... , д3т)

3т

N (і, V, г, д) = дз(1 - х^2)и + 6||г>|

+ 5] д#/ 7 (-,і) #=2

N (і, V, д) = N (і, Ри, д) Є Т,

£

а

поскольку /^(-,£) € Ь2.

Так как

(v(xl)

... | € У,

v(жm)

а при размерности области п < 4 имеет место вложение Ж|(П) С С(П), то

= 1М1с(П;К3) ^ С 1М1(Ж2(П))3 ,

и поэтому В € £(и; У). Имеем В(0,г) = 0, следовательно, и0 С кегВ. Так как

М € £(и), то автоматически выполняется условие ВР-1 М1 € £(и1; У). Осталось

проверить условия (2.4), (А)-(Б).

Отметим, что Р-1 = (I — хА)-1. В условии (2.4) возьмем

(3т \ 3т

?1(1 — хV2)v + ^ д,^МП = д^ + ^ д,(1 — хА)-1/

,=2 / ,=2

Тогда уравнение

01 МН (1 — хА) V.

/ 3т \

д^оО^О + Е д,(1 — хА)-1Е/' (хъ 0) ,=2

3т

V

д^о(Жт) + Е д, (I — хА) 1Е/^ (Хт, 0)

,=2

/

(ф1)/(0) — (I — хА) ^о^ — Ь(0)|Ы|? ^ — хА)

(фт)/(0) — (I — хА) 1 ЕDVо (Хт) — Ь(0)|^0|г2 (I — хА) 1V (Хт)

относительно вектора д € У имеет единственное решение в силу условия ёе1Л(0) = 0, поэтому выполняется условие (А).

Далее,

3т

д^ж^ + Е д,(I — хА)-1Е/(Х1,*) ,=2

3т

V

д^ОО + Е д, (I — хА) 1ЕЯ (хт^

,=2

Следовательно, условие (В) выполняется. Из равенства

У = #3(£, ФС0,д)

^ д^СО + Ед,^ — хА) 1Е/(Х1,*)

д^М) + Е д,(I — хА) 1е/(^ ^

3т

Е

,=2

3т

Е

,=2

следует, что в условии (С) д = Ф(£, у) = Л(£)-1у при всех £ € [0,Т], у,д € У. Из того, что /7 € С([0,Т]; Ь2), следует включение (I — хА)-1!/7 € С([0,Т]; Н2) и поэтому по теореме вложения Соболева все элементы матрицы Л, а значит, и Л, непрерывны по £ на [0,Т]. Следовательно, по теореме Вейерштрасса | ёе1Л| достигает своего минимума на этом отрезке. Этот минимум больше нуля, поскольку detЛ не обращается в ноль на отрезке [0,Т]. Поэтому Ф — непрерывное по (£,у) отображение на [0, Т] х У. Кроме того, из сказанного следует, что элементы обратной матрицы Л-1 также непрерывны по £ на [0, Т] и для всех £ € [0, Т], у1, у2 € К

|Ф(£,У1) — Ф(£,У2)| ^ тах |Л(£)-1|£(Кзт)|у1 — у2||кзт.

*е[0,Т]

Это означает выполнение условия (В).

При любом Я > 0 для всех (£,и1,д1), (¿,г>2,д2) € $н2хКз™((г>0,д0),Я, Т) выполняется

||02(*,^1,91) — £2(М2,д2)||и2 ^

3т

^7 чз,

с

qfy1 - qy + (qj- q2)(1 - xA) 1 £/j(•,*)

j=2

с

H2

с (|Ivq||h2 + R) ■ |qj — q21 + (||qo||R3m + R) ■ ll^1 — v2||h2+

3m

+C1 lqjj — j n|a'Xi II fj (^’ S)||L2 С C2 (||q1 — q2|R3m + ||v1 — ^|ІН2)

j=2 S€l0’T|

Ilg1(t,v1) - g1(t,v2)|H2 с |b(t)| HKlla(1 - xA) V - ІИІ^(1 - xA) 1vlH2 с с fioMi* I|(1 - xA)-V - v2)|h2 + bo ||(1 - xA)-1v2|H2||v1|L2 - П«2П£2| С

Ih2

ll„.2|| a

|H2 + b0 I|(J - XA) v ||H2 |llv IIL2

^ C3(||vo||h2 + R)a IIvl — v2 ||l2 + C4( || v0 ||h2 + R) I ll^1 ||l2 — ИМ ^ C5 ||v1 — v2||h2 ,

где b0 = max |b(t)|. При a < 1 для справедливости предпоследнего неравен-

i€[0,T ]

ства требуется выполнение условий v0 = 0, R < ||v0||h2 , поскольку используется ограниченность в шаре с центром в v0 выражения ||v||H-1. Здесь использовано вытекающее из формулы Лагранжа неравенство

|х“ — xa| ^ |a|xa-1 |x1 — x2|,

где 0 ^ Xi = || V1 |l2 ^ X2 = || V2 |l2 , Хз G [Xi ,X2].

Тем самым доказана липшицевость отображений g1, g2 на множестве SH2XR3m((v0,q0),R,T). Докажем непрерывность их по совокупности переменных. Для всех троек (^v^q1), (s,v2,q2) G SH2xR3m((v0,q0),R,T) также выполняется

I|g2(t,v1 ,q1) — g2(s,v2,q2)|H2 ^

^ Ig2(t,v1,q1) — #2(t, v2, q2) |h2 + |g2(t,v2,q2) — g2(s, v2, q2) ||*> ^

3m

^ C1 (|q1 — q2|R3m + llv1 — ^IIh2) + C2 ^ |q21 (-,t) — (•, s)|L2 ,

j=2

ИУ^М1) - £1(з,^2)||н2 ^ ||^1 (¿У) - 01(М2)|Н2 + ||£1(М2) - 01(^2)||н2 ^

^ С'зН'У1 — ^||н2 + С4|Ь(£) — Ь(^)| | ||^2^н2 •

Из полученных неравенств в силу непрерывности Ь и непрерывности по переменной * функций /, ] = 2, 3, • • • , 3т, в пространсттве Ь2 следует непрерывность

отображений 01, у2 на множестве 5^2 хк3т ((^о, ?о), Л, Т) по совокупности переменных. Отсюда следует выполнение условия (Е).

Осталось доказать непрерывность по совокупности переменных отображения N. Имеем

11#(£ + + 8) — N(£,^,5)|ь2 ^ |?1 + ^1||(1 — xV2)w|L2 + |^1||(1 — xV2)v|L2 +

+ + з)11^ + ^ — ЬС01М1а2 Нк2 +

3т 3т

+£ |«>+^ I у/1 ы+*) — / ы)|и+£ | / «

1=2 1=2

^ С1|?1 + ¿1 М* + С1|81 НМ1н2+

+ |Ь(* + в) — Ь(£)||^ + Ш^1 + |Ь(£)| ^ — И^1 П^Пь2 + |ЬС01М1^ 11ш|Ь2 +

3т 3т

+ |?1 + 811 ||/1 (•;* + в) — /1 (•>*)||ь2 + |811 11/1 (',£)||Ь2 ^ 0

1=2 1=2

при 8 ^ 0, |М|ь2 ^ 0, 8 = (8Ь ¿2, • • • , ¿3т) ^ 0.

Теперь воспользуемся теоремой 11 и получим требуемое. □

Теорема 18. Пусть а € К, и0 € Н2, и0 = 0 при а < 3, Ь € С 1([0,Т]; К), / € С 1([0, Т]; Ь2), ^ = 2, • • •, 3т, фг € С2([0, Т]; К3), г = 1, • • •, т, ёе1 Л(*) = 0 для всех * € [0,Т], выполняются условия согласования и0(ж^) = фг(0), г = 1, • • •, т. Тогда при некотором Т1 € (0,Т] гладкое решение V € С 1([0,Т1]; Н2), г € С 1([0,Т1]; Нп), ^ € С 1([0,Т1]; К), ] = 1, 2, • • •, 3т, обратной задачи (0.1)-(0.5) на отрезке [0,Т1] существует и единственно.

Доказательство. С учетом предыдущей теоремы остается доказать выполнение условий (Д1), (Е1) при X = и1, у = Р-1 , А = Р-1М1, v0 = и0 и сослаться на

теорему 15.

Отображение д = Ф(*, у) = Л(*)-1у двух переменных дифференцируемо,

ф*(*,у) = — лс^л^л^ГМ

Для того чтобы в этом убедиться, достаточно продифференцировать по * тождество Л(*)Л(*)-1у = у:

Л/(*)Л(*)-1у + Л(*) (Л(*)-1у); = 0-

Непрерывность Ф* по (¿,у) очевидна в силу непрерывности Л(*)-1 (см. доказательство предыдущей теоремы) и непрерывной дифференцируемости Л(*). При этом

||Ф*(*,у1) — Ф*(*,У2)|н2 ^ тах ||Л(*)-1Л/(*)Л(*)-1|£(кзт}|у1 — у2||кзт,

*е[0,Т ]

где максимум существует по теореме Вейерштрасса.

Кроме того, производная Фу(t, у) = Л(£)-1 непрерывна по (t, у) и липшицева

по у.

Производная g1t(t,v) = b/(t)|v|a2(I — xA)-1v непрерывна в норме R х H2 по совокупности переменных (t,v). При этом для всех (t,^1,^1), (t,v2,q2) G sh2 xR3m q0^ R T)

Ilg1t(t,v1) — g1i(t,v2)lk ^ C1|b/(t)| (ll^ll^ — |v2lli.2) IIv1Hh2+

+ C1|b/(t)| Hv2|l2 (Mh2 — ||v2|H2 ) ^ C2 11v 1 — v2|H2 •

Как и при доказательстве предыдущей теоремы, в случае а < 1 потребуем чтобы v0 = 0, при этом возьмем R < ||v0||H2.

Для (t^q1), (t, v + h,q2) G SH2 xR3m((vo,qo),R,T)

v + h) — g1(t,v) = b(t)|v + h|a2(1 — XA)-1(v + h) — b(t)|v|L2(1 — XA)-1v =

a

b(t)(v+h,v+h)L2 (1—XA)-1 (v+h)—b(t)|v|a2(1—XA)-1(v+h)+b(t)|v|a2(1—XA)-1h =

a

= b(t)|v|L2 i1 +2|v|-22(v,h)L2 + llv|-22|h|LJ2 (1 — XA)-1 (v + h) —

— b(t)|v|L2 (1 — XA)-1(v + h) + b(t)|v|L2 (1 — XA)-1h =

= ^WIMIL-2^ h)L2 (1 — XA)-1v + b(t)|v|L2 (1 — XA)-1h + 0 (|h|L2 ) •

Таким образом,

g1v(^ v)h = a^lHIL-2^ h)L2(1 — XA)-1 v + b(t)|v|L2(1 — XA)-1 h поэтому при (t, v, q1), (t + s, v + w, q2) G SH2 xR3m ((v0, q0), R, T)

|g1v (t + s,v + w) — g1v (t,v)|£(H2) =

= sup ||ab(t + s)||v + w|a-2(v + w,h)L2 (I — xA)-1(v + w) +

IWIh2 =1

+ b(t + s)|v + w 1 a2 (1 — XA)-1 h —

— ^WIMIL-2^ h)L2 (1 — XA)-1 v — b(t) 11 v 11 а2 (1 — XA)-1h|H2 =

= sup Ha(b(t + s) — b(t))|v + w|a-2(v + w,h)L2 (I — xA)-1(v + w) +

IWIh2=1

+ab(t) (llv + w|L2 2 — llv|L2 2) (v + W, h)L2 (1 — xA) 1(v + w) +

+аb(t)|v|L2-2(w, h)L2 (1 — XA)-1(v + w) + аЬС01М1а-2(^ h)L2 (1 — XA)-1w +

+ (b(t + s) — b(t))|v + w 11 a2 (1 — XA)-1h+

+ b(t) (|v + WIIl2 — II v|a2) (1 — XA) 1h|H2 ^

^ C1|b(t + s) — b(t)||v + W1 a2 + C1|b(t)| ||v + w|a-2 — IMIa-2| |v + HIL2 +

+ C1 |b(t)||v|L- 2|w|L2 IIv + w|L2 + C1|b(t)||v|L- 1|w|L2 +

+ С2|Ь(£ + з) - Ь(£)Ц|^ + И1а2 + С2|Ь(У)| + И|"2 -

а 1^1! “

^2 | *

Последнее выражение стремится к нулю при в ^ 0, ||т||н2 ^ 0, что означает непрерывность в операторной норме производной 01« по совокупности переменных.

Возьмем в = 0, V + т = V1, V = V2, тогда

||01«(М1) - 01«(М2)||£(И2) ^

.1II а-2

V 11Ь2 - 1^ ПЬ2

2|| а-2| ц„Д ||2

£2

1>1||1( + C1|6(í)||v2|L-2|v1 - 1>2Ь2 ||v1|L, +

+C•1|Ь(t)||v2|£-1|v^ - г,2||ь + 6'2|Ь(()| -

ии, | < а,»-«1 - V2!

При а < 3 считаем, что Vo = 0, Я <

Наконец, непосредственно вычисляются соотношения

3т д / 3 ( *)

02*(* v, д) = ^ д,-(1 - ХА)-1^ —7^-—, 02«(* V д^ = д^

02^1 (М,з) = v, 02,.- - ХА) 1е—3 ОУ .7 = 2,..., 3т

||02*(* + в, V + т, д + 5) - 02*(У, V, д) ||Н2 ^

3т

^ С1 X/ |д3 + 53|

3=2

— (-,У + в) — (-,У)

5*

3т

+ С,£ |5,|

£2 3=2

5—3 (•,*)

0

£2

3т

^СМ1^ - 02*(* v2, д2)||н2 ^ |д1 - д21

3=2

5—3 (•,*)

£2

||02«(* + + т,д + 5) - 02«(У, V, д) ||£(Н2) = вир ||51^||Н2 = |511 ^ 0

1М1н|=1

при 5 = (51,52,... ,5зт) ^ 0,

И02«(*, V1,д1) - 02«(*,V2,д2)|£(и2) ^ Нд1 - д2||кзт,

II02,1 (* + + т,д + 5) - 02,1 (М,д)||Н2 = |И|Н2 ^ 0

при |т|Н2 ^ 0,

II 02,1 (М1^1) - 02,1 = |К - ^||И2 ,

||029,- (* + + т,д + 5) - 02,. ^ С1|—3 (',У + в) - —3 (',*)|£2 ^ 0

при в ^ 0,

11029. (¿УУ) - 02,. (М2,д2)||И2 = °.

т

Тем самым доказана непрерывность в операторной норме и липшицевость всех производных отображения 02 = Р-1^Ж. Аналогично доказываются эти же свойства операторов

3m

N(t, v, q) = J2 Nv(i,v,q)h = qi(1 - xV2)/i,

j=2

Nqi(t,v,q) = (/ - xV )V, Nj(t,v,q) = f (-,i), j = 2,..., 3m. Действительно,

IINt(t + s, v + w, q + ¿) - Nt(t, v,

|L2

3m

^ |qt + 1

j=2

d/j (,t + s) d/j (•,t)

dt

dt

3m

dt

L2

при s ^ 0, 5 = (¿1 ,¿2, . . . , ¿3m) ^ 0,

IINv(t + s,v + w,q + 5) - Nv(t, v, q) ||l(h2;l2) = sup ||5i(1 - xV2)fr||L2 ^ Ci|5i| ^ 0

llhL 2 =1

при 5 = (5i, ¿2, . . . , ¿3m) ^ 0, |Nqi(t + s,v + w,q + ¿) - Nqi(t,v,q)|L2 = II(I - xV2)w||L2 ^ C^HIh ^ 0

при |w|H2 ^ 0,

||Nq.(t + s, v + w,q + ¿) - Nq.(t, v,

IL2

'(-,t + s) - /j (-,t)|L2 ^ 0

при в ^ 0. Тем самым выполнены все условия теоремы 15.

□

СГ

Список литературы

1. Осколков, А. П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта и жидкостей Олдройта / А. П. Осколков // Тр. Мат. ин-та АН СССР. - 1988. - Т. 179. - С. 126-164.

2. Kozhanov, A. I. Composite Type Equations and Inverse Problems / A. I. Kozhanov / Utrecht : VSP, 1999.

3. Abasheeva, N. L. Determination of a right-hand side term in an operator-differential equation of mixed type / N. L. Abasheeva // J. Inv. Ill-Posed Problems. — 2002. — Vol. 10, № 6. — P. 547-560.

4. Fedorov, V. E. An inverse problem for linear Sobolev type equations / V. E. Fedorov,

A. V. Urazaeva // J. Inv. Ill-Posed Problems. — 2004. — Vol. 12. — P. 387-396.

5. Al Horani, M. An identification problem for first-order degenerate differential equations / M. Al Horani, A. Favini // J. of Optimization Theory and Applications. — 2006. — Vol. 130. — P. 41-60.

6. Аниконов, Ю. Е. Обратные задачи для эволюционных уравнений [Итоговый научный отчет по междисциплинарному интеграционному проекту СО РАН: «Разработка теории и вычислительной технологии решения обратных и экстремальных задач с приложением в математической физике и гравимагниторазведке»] / Ю. Е. Аниконов, Н. Л. Абашеева, Н. Б. Аюпова, А. И. Кожанов, М. В. Нещадим, И. Р. Валитов // Сиб. электрон. мат. изв. — 2008. — Вып.5. — C. 549-580.

7. Уразаева, А. В. Задачи прогноз-управления для некоторых систем уравнений гидродинамики / А. В. Уразаева, В. Е. Федоров // Дифференц. уравнения. — 2008. — Вып. 44. — С. 1111-1119.

8. Уразаева, А. В. О корректности задачи прогноз-управления для некоторых систем уравнений / А. В. Уразаева, В. Е. Федоров // Мат. заметки. — 2009. — Т. 85, вып. 3. — С. 440-450.

9. Федоров, В. Е. Линейная эволюционная обратная задача для уравнений соболевского типа / В. Е. Федоров, А. В. Уразаева // Неклассические уравнения математической физики : сб. науч. работ. Новосибирск : Изд-во Ин-та математики. — 2010. — C. 293-310.

10. Федоров, В. Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов /

В. Е. Федоров // Алгебра и анализ. — 2000. — № 12. — С. 173-200.

11. Prilepko, A. I. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics / A. I. Prilepko, D. G. Orlovsky, I. A. Vasin. — N. Y. ; Basel : Marcel Dekker Inc., 2000.

12. Фёдоров, В. Е. Свойства псевдорезольвент и условия существования вырожденных полугрупп операторов / В. Е. Федоров // Вестн. Челяб. гос. ун-та. — 2009. — № 20 (158). Математика. Механика. Информатика. Вып. 11. — С. 12-19.

13. Хилле, Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлипс. — М. : Иностр. лит., 1962.

14. Ладыженская, О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О. А. Ладыженская. — М. : Физматлит, 1961.