Научная статья на тему 'Нелинейная обратная задача для системы Осколкова, линеаризованной в окрестности стационарного решения'

Нелинейная обратная задача для системы Осколкова, линеаризованной в окрестности стационарного решения Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
152
43
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
НЕЛИНЕЙНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА / ВЫРОЖДЕННАЯ ПОЛУГРУППА ОПЕРАТОРОВ / СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ОСКОЛКОВА / ВЯЗКОУПРУГАЯ ЖИДКОСТЬ / NONLINEAR INVERSE PROBLEM / DEGENERATE OPERATOR SEMIGROUP / OSKOLKOV EQUATIONS SYSTEM / VISCOELASTIC FLUID

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Иванова Наталья Дмитриевна, Федоров Владимир Евгеньевич, Комарова Клара Масновиевна

Исследован класс нелинейных обратных задач с неизвестными параметрами, зависящими от времени, для абстрактных уравнений соболевского типа в банаховых пространствах. В задаче наряду с условием Коши рассматривается обобщенное условие Шоуолтера. Доказаны теоремы существования и единственности слабого и гладкого решений. Общие результаты использованы при исследовании нелинейной эволюционной обратной задачи для линеаризованной системы Осколкова, моделирующей динамику вязкоупругой жидкости.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

A class of nonlinear inverse problems with unknown parameters depending on the time is researched for the abstract Sobolev type equation in Banach spaces. Along with the Cauchy condition, the generalized Showalter condition is used in the statement of the problem. Theorems of existence and uniqueness of mild and smooth solutions are proved. General results are applied to a nonlinear evolution problem for the linearized Oskolkov system modeling the dynamics of a viscoelastic fluid.

Текст научной работы на тему «Нелинейная обратная задача для системы Осколкова, линеаризованной в окрестности стационарного решения»

НЕЛИНЕЙНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ ОСКОЛКОВА, ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ В ОКРЕСТНОСТИ СТАЦИОНАРНОГО РЕШЕНИЯ

Исследован класс нелинейных обратных задач с неизвестными параметрами, зависящими от времени, для абстрактных уравнений соболевского типа в банаховых пространствах. В задаче наряду с условием Коши рассматривается обобщенное условие Шоуолтера. Доказаны теоремы существования и единственности слабого и гладкого решений. Общие результаты использованы при исследовании нелинейной эволюционной обратной задачи для линеаризованной системы Осколкова, моделирующей динамику вязкоупругой жидкости.

Ключевые слова: нелинейная обратная задача, вырожденная полугруппа операторов, система уравнений Осколкова, вязкоупругая жидкость.

Введение

Рассмотрим обратную задачу для системы уравнений

(1 — хV2)vt(ж,í) = — (V ■ У)г>(х, ¿) — (V ■ У)й(х, ¿)-

3 т

—г(ж,£) + ?1(£)(1 — х^2)^(ж,£) + 6(£)||^||а^ + ^qj(¿)/3(ж,£), (ж, ¿) € П х [0,Т],

3=2

(0.1)

V ■ ^(ж,^) = 0, (ж, ¿) € П х [0,Т], (0.2)

^(ж,^) = 0, (ж, ¿) € дП х [0,Т], (0.3)

^(ж, 0) = 'Уо(ж), ж € П, (0.4)

■и(жг,£) = фг(£), г = 1,...,т, £ € [0,Т]. (0.5)

Здесь П С К3 — ограниченная область с границей дП класса Т > 0, т € N. Параметр х € К характеризует упругие свойства жидкости, а параметр V € —

её вязкие свойства. Вектор-функции V = (^1,^2,^3) (вектор скорости жидкости), г = (г1, г2, г3) (градиент давления) и функции qj = ^ (¿), ^ = 1, 2,... , 3т, неизвестны. Вектор-функция V = ^^2^3), V*; = V*;(ж), к = 1, 2, 3, задана и означает стационарное решение исходной системы. Также заданы функция Ь = Ь(£), вектор-функции /3 = (/, /2, /3), характеризующие объемные силы, /3 = /3(ж,£), ^ = 2,..., 3т, вектор-функции фг = (Ф1 ,Ф2,Ф3), Фк = Фк(¿), к = 1,2,3, г = 1,... , т. Все точки ж* € П, г = 1,... , т, различны, ||V|0 = IV!(^2(п))3, а € К.

При Ь = 0, qj = 0, ^ = 1, 2,... , 3т, эта система является моделью в линейном приближении течения вязкоупругой несжимаемой жидкости [1] в окрестности стационарного решения г>.

Работа выполнена при поддержке РФФИ и Министерства образования и науки Челябинской области (грант 10-01-96007-р_урал_а).

Такие задачи возникают в приложениях, когда известен общий вид математической модели процесса, некоторые определяющие процесс параметры неизвестны и недоступны для непосредственного измерения, но могут быть воостанов-лены с помощью доступных для измерителя данных — условий переопределения (0.5).

Задача (0.1)—(0.5) будет исследована в данной работе в рамках абстрактной нелинейной обратной задачи для операторно-дифференциального уравнения, не разрешимого относительно производной — уравнения соболевского типа. Пусть Ы, Т и У — банаховы пространства, операторы Ь € ^(Ы; Т) (линеен и непрерывен), кегЬ = {0}, М € С/(Ы; Т) (линеен, замкнут и плотно определен),

N : [0,Т] х Ы х У ^ Т, В € £(Ы; У), заданы Ф : [0,Т] ^ У, и0 € Ы. Рассмотрим

соотношения

Ь^и(^) = Ми(£) + N(£,и(£),q(í)), £ € [0,Т], (0.6)

и(0) = и0, (0.7)

Ви(£) = Ф(£), £ € [0,Т]. (0.8)

Эволюционной обратной задачей будем называть задачу отыскания из соотношений (0.6)-(0.8) пары функций и € С([0,Т]; Ы) и q € С([0,Т]; У) (слабое решение) либо и € С 1([0, Т]; Ы) П С([0, Т]; Д(М)) и q € С 1([0, Т]; У) (гладкое решение).

Обратные задачи для уравнений соболевского типа в другой постановке, а также для других неклассических уравнений математической физики исследовались ранее в работах [2-8].

В данной работе так же, как и в работе [9], касающейся линейной эволюционной обратной задачи для уравнений соболевского типа, с помощью методов теории вырожденных полугрупп операторов [10] исходная обратная задача редуцирована к системе обратной задачи для уравнения, разрешенного относительно производной по времени, и прямой задачи для уравнения с нильпотентным оператором при производной. При исследовании нелинейной обратной задачи для невырожденного уравнения используются результаты монографии [11].

Помимо условия Коши (0.7) в данной работе используется также обобщенное условие Шоуолтера, которое позволяет отказаться от условия согласования начального значения с другими данными задачи.

1. Прямая задача для вырожденного уравнения

Через £(Ы; Т) будем обозначать банахово пространство линейных непрерывных операторов, действующих из банахова пространства Ы в банахово пространство Т. Множество линейных замкнутых операторов с областями определения, плотными в пространстве Ы, действующих в Т, будем обозначать С/(Ы; Т). Если Т = Ы, то обозначения сократятся до ^(Ы) и С/(Ы) соответственно.

Всюду в дальнейшем предполагаем, что Ь € £(Ы; Т), М € С/(Ы; Т). Обозначим рь(М) = {^ € С : (^Ь — М)-1 € £(Т;Ы)}, Я^(М) = (^Ь — М)-1Ь, Ь^(М) = Ь(^Ь — М)-1, К+ = {а € К : а > 0}, К+ = К+ и {0}, N = {0} и N.

Определение 1. Пусть р € ^. Оператор М называется сильно (Ь,р)-радиальным, если

(i) За Є К (а, +го) С рь(М);

(ii) ЗК > 0 У^. Є (а, +то) Уи Є N

К

ша*{||(^(А0Г(р+1>1к(И), «^{АОП'+’Чкл} « (/< _ а)„(р+1);

О

(iii) существует плотный в Т линеал Т, такой, что

|М(,<ь _ м)-1(ь£(м))р+‘/|^ < ^°_/2 У; Є^

при любом ^ Є (а, +го);

(іу) для любого ^ Є (а, +то)

К

||(^(М))р+1(мі _ м)-1|£(„и) « (<< _ а)р+2.

Эквивалентность этого, более простого определения сильной (Ь,р)-радиаль-ности, и того, которое было использовано в [10], доказана в [12].

Обозначим через Ы0 (Т0) ядро кег(Я^(М))р+: (кег(Ь^(М))р+^, а через Ы1 (Т1) — замыкание линеала іш(Я^(М))р+1 (іш(Ь^(М))р+^ в норме пространства Ы (Т). Через Мк (Ьк) будем обозначать сужение оператора М (Ь) на Д(Мк) = Ык П £(М) (Ык), к = 0,1.

Теорема 1. [10] Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален. Тогда

(i) Ы = Ы0 ФЫ1, Т = Т0 ФТ1;

(ii) проектор вдоль Ы0 на Ы1 (вдоль Т0 на Т:) имеет вид

Р = з- Ііш (мД^(М))>'+1, (0 = 8- Ііш (^(М))р+1);

(iii) 0Ь = ЬР, 0Ми = МРи для всех и Є Д(М);

(іу) Ь Є £(Ык; Тк), Мк Є С/(Ык; Тк), к = 0,1;

(у) существуют операторы М—1 Є £(Т°;Ы0) и Ь-1 Є £(Т^Ы:);

(уі) оператор Н = М—1Ь0 нильпотентен степени не больше р;

(уіі) оуществует сильно непрерывная полугруппа {и(і) Є £(Ы) : і Є К+}, разрешающая уравнение Ьи(і) = Ми(і);

(уііі) оператор Ь-1М1 Є С/(Ы1) является инфинитезимальным генератором С0-непрерывной полугруппы {^(¿) = и(і)|^і Є £(Ы1) : і Є К+}.

Теорема 1 обобщает теорему Хилле-Иосиды [13] о порождении ^-непрерывных полугрупп операторов (см. [10]).

Снабдим область определения Д(М) оператора М Є С/(Ы; Т) нормой его графика | • ||д(м) = || • ||и + ||М• ||^• В силу замкнутости оператора М полученное таким образом нормированное пространство является банаховым.

Теорема 2. [10] Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален, и0 Є Д(М), функция д : [0, Т] ^ Т такова, что 0д Є С1 ([0,Т]; Т1), (і _ 0)д Є Ср+1([0,Т]; Т0),

(I _ Р)и = _ £ НкМ0-1((/ _ 0)д)(к)(0). (1.1)

к=0

Тогда существует единственное решение и € С 1([0,Т]; Ы) П С([0,Т]; Д(М)) задачи Коши

и(0) = ио (1.2)

для уравнения

Ьи(£) = Ми(£) + д(£), £ € [0,Т]. (1.3)

При этом

и(*) = и(¿)и° + / и(в)Ь-1дд(£ - ^ — ^] НкМ-1((1 - д)д)(к)(£). (1.4)

Й=0

Теорема 3. [10] Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален, и0 € Д(М1); функция д : [0, Т] ^ Т такова, что ^д € С 1([0, Т]; Т1), (I — ^)д € Ср+1([0, Т]; Т°). Тогда существует единственное решение и € С1([0,Т];и)ПС([0,Т]; Д(М)) обобщенной задачи Шоуолтера

Ри(0) = и° (1.5)

для уравнения (1.3). При этом решение имеет вид (1.4).

Теоремы 2, 3 посвящены условиям существования классических решений задач Коши и Шоуолтера для неоднородного вырожденного уравнения (1.3). Понятие слабого решения уравнения, как известно, состоит в том, что таковым является функция, по форме соответствующая классическому решению, но, возможно, не дифференцируемая. Для уравнения (1.3) под слабым решением естественно понимать функцию и € С([0,Т];Ы), имеющую вид (1.4). Тогда разница между слабыми решениями задач (1.2), (1.3) и (1.3), (1.5) состоит лишь в том, что для слабого решения первой из них необходимо выполнение условия согласования (1.1), а для слабого решения второй — нет. Формализуем высказанные соображения.

Определение 2. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален и выполняется условие согласования (1.1). Слабым решением задачи (1.2), (1.3) называется функция и € С([0,Т];Ы), имеющая вид (1.4).

Определение 3. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален. Слабым решением задачи (1.3), (1.5) называется функция и € С([0,Т];Ы), имеющая вид (1.4).

Теорема 4. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален, и° € Ы, функция д : [0,Т] ^ Т такова, что ^д € С([0,Т]; Т1), (/ — ф)д € Ср([0,Т]; Т°),

(I — Р)и° = — £ Н‘М°-1((/ — 0)д)(Ч(0).

Й=0

Тогда существует единственное слабое решение и € С([0,Т];Ы) задачи (1.2),

(1.3).

Теорема 5. Пусть оператор М сильно (Ь, р)-радиален, Ри° € Ы, функция д : [0,Т] ^ Т такова, что ^д € С([0,Т]; Т1), (I — ф)д € Ср([0,Т]; Т°). Тогда существует единственное слабое решение и € С([0,Т];Ы) задачи (1.3), (1.5).

С

Доказательство. Действительно, в условиях теорем 4 и 5 функция (1.4) определена и непрерывна. □

2. Невырожденная нелинейная обратная задача

Рассмотрим нелинейную обратную задачу для уравнения, разрешенного относительно производной,

г(Ь) = Аг(Ь) + д(Ь,г(Ь), д(Ь)), Ь € [0,Т], (2.1)

г(0) = г°, (2.2)

Вг(Ь) = Ф(Ь), Ь € [0,Т]. (2.3)

Задача заключается в отыскании функций г : [0,Т] ^ X, q : [0,Т] ^ У из соотношений (2.1)-(2.3), где А € С/(X) — инфинитезимальный генератор С°-непрерывной полугруппы операторов, д : [0,Т] х X х У ^ X, В € £(Х; У). Сформулируем условия разрешимости этой задачи в смысле слабых и в смысле гладких решений, найденные в работе [11].

Далее предполагается, что отображение д : [0,Т ] хXхУчX представимо в виде

д(Ь,г,д) = д1(Ь,г)+ д2(Ь,г,д) У(Ь,г,д) € [0,Т] XXX У. (2.4)

Введем следующие обозначения

Бх(а, Я) = {г 6 X : ||г — а||х < Я} , Бх(а,Я, Т) = [0,Т] х Бх(а,Я).

Считая функцию Ф дифференцируемой, определим значение

у° = Ф'(0) — ВАг° — Вд1(0,г°)

и потребуем выполнения условий:

(A) уравнение Вд2(0, г°, д) = у° относительно д имеет единственное решение 5° € У;

(B) существует отображение д3 : [0,Т] х У х У ^ У, такое, что

Вд2(ь,г,5) = дз(ь,Вг,5);

(C) существует число Я > 0, такое, что для любых Ь € [0,Т] отображение у = д3(Ь, Ф(Ь),д) как функция от д в шаре Бу(д°, Я) имеет обратное отображение 5 = ф(Ь,у);

(О) существует число Я > 0, такое, что отображение Ф непрерывно относительно (Ь,у) на множестве Бу(у°,Я,Т) и удовлетворяет условию Липшица относительно у;

(Е) существует число Я > 0, такое, что обе функции д1(Ь,г) и д2(Ь,г,д) являются непрерывными по совокупности всех переменных на Бхху((г°, д°), Я, Т) и удовлетворяют условию Липшица относительно (г, д).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Определение 4. Слабым решением задачи (2.1)-(2.3) на отрезке [0,Т1] называется такая пара функций (г, д) € С([0, Т1]; X) х С([0, Т1]; У), что для всех Ь € [0, Т1] выполняется условие (2.3) и

С

г(Ь) = V(Ь)г° + ^ V(Ь — з)д(з, г(з), д(з))^з,

°

где {V(Ь) € ) : Ь € К+} — С°-непрерывная полугруппа, порождаемая опера-

тором А.

Теорема 6. [11] Пусть А — инфинитезимальный генератор С°-непрерывной

полугруппы в пространстве X, г° € X, В,ВА € ; У), Ф € С 1([0,Т]; У),

Вг° = Ф(0), а также выполняются условия (2.4), (А)-(Е). Тогда при некотором Т1 € (0,Т] существует единственное слабое решение (г,д) € С([0,Т1]; X) х С([0,Т1]; У) обратной задачи (2.1)-(2.3) на отрезке [0,Т1].

Определение 5. Гладким решением задачи (2.1)-(2.3) на отрезке [0,Т1] называется такая пара (г,д) € (С 1([0,Т1]; X) П С([0,Т1]; Д(А))) х С 1([0,Т1]; У), для которой выполняется (2.2) и соотношения (2.1), (2.3) при всех Ь € [0,Т1].

Для получения достаточных условий существования гладкого решения рассматриваемой обратной задачи условия (В) и (Е) требуется усилить, заменив их следующими условиями:

(Ох) существует число Я > 0 такое, что отображение Ф дифференцируемо по Фреше на множестве Бу (у°, Я, Т) и его частные производные ФС, Фу непрерывны в операторной норме и удовлетворяют условию Липшица относительно у ;

(Ех) существует число Я > 0 такое, что обе функции д1(Ь,г) и д2(Ь,г,д) являются дифференцируемыми по Фреше на множестве Бхху((г°, 5°), Я, Т) и их частные производные д1С, д1^, д2С, д2^, д2д непрерывны по операторной норме и удовлетворяют условию Липшица относительно (г,д).

Теорема 7. [11] Пусть А — инфинитезимальный генератор С°-непрерывной

полугруппы в пространстве X, г° € ^(А), В, ВА € ; У), Ф € С2([0,Т]; У),

Вг° = Ф(0), а также выполняются условия (2.4), (А)-(С), (Д1), (Е1). Тогда при некотором Т1 € (0,Т] существует единственное гладкое решение (г,д) € (С 1([0, Т1]; X) ПС([0, Т1]; ^(а))) х С1 ([0, Т1 ]; У) обратной задачи (2.1)-(2.3) на отрезке [0, Т1].

3. Нелинейная обратная задача для уравнения соболевского типа

Вернемся к обратной задаче для уравнения соболевского типа

Ьи(Ь) = Ми(Ь) + N(Ь,и(Ь),д(Ь)), Ь € [0,Т], (3.1)

и(0) = и°, (3.2)

Ви(Ь) = Ф(Ь), Ь € [0,Т]. (3.3)

Здесь и, Т, У — банаховы пространства, Ь € £(и; Т), М € С/(и; Т), В € £(и; У), N : [0,Т] х и х У ^ Т, Ф : [0,Т] ^ У. Неизвестными являются функции и : [0,Т] , д : [0,Т] ^ У.

Учитывая определение 2 слабого решения вырожденного уравнения, введем в рассмотрение следующее понятие слабого решения рассматриваемой задачи.

Определение 6. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален. Слабым решением задачи (3.1)—(3.3) на отрезке [0,Т1] называется такая пара функций (и,д) € С([0,Т1];и) х С([0,Т1 ]; У), для которой выполняется условие (3.2), (I — ^(-,и(-),д(-)) € Ср([0,Т1 ];Т),

(I - Р)ио = ^ НкМ(

к=0

л*

кл /г-1 л_

<Ик

(/ - д)ж (^,и(^),д(^)),

*=0

при всех І Є [0,Ті] выполняется условие (3.3) и

*

и(і) = и (¿)м0 + J и (і — ^Ь-1^^ (в, и(з), д(з))Лз— 0

л

£Нк Мо“1 л* (I — 3)^ (І,и(і),д(і))

к=0

к

Теорема 8. Пусть оператор М сильно (Ь, р)-радиален, ішЖ С Т1, и0 Є и1, В Є £(и; ^), ВЬ-1 Мі Є £(и1; У), и0 С кегВ, Ф Є С 1([0,Т]; У), Вщ = Ф(0),

а также выполняются условия (2.4), (А)-(Е) при X = и1, $ = Ь-1^, А =

Ь-1М1, г0 = и0. Тогда при некотором Т1 Є (0,Т] существует единственное слабое решение (и,д) Є С([0,Т1]; и) х С([0,Т1]; У) обратной задачи (3.1)-(3.3) на отрезке [0, Т1 ].

Доказательство. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален. Тогда функцию и(і) можно представить в виде и(і) = Ри(і) + (I — Р)и(і). Обозначим Ри(і) = г(і), (I — Р)и(і) = и(і). В силу теоремы 1 и вложения и0 С кег В задача (3.1)-(3.3) эквивалентна задаче нахождения функций г,и,д из соотношений

г(і) = Ь-1М1г(і) + Ь-1^^(і,г(і) + и(і),д(і)), І Є [0,Т], (3.4)

г(0) = г0 = Ри0 = и0, (3.5)

ВРи(і) = Вг(і) = Ви(і) = Ф(і), І Є [0,Т], (3.6)

Ни(і) = и(і) + М0_1(/ — ф)^(і,г(і) + и(і),д(і)), і Є [0,Т], (3.7)

и(0) = и0 = (I — Р )и0. (3.8)

Здесь оператор Н = М(-1Ь0 нильпотентен степени не больше р согласно утверждению теоремы 1 (уі).

Поскольку тЖ С Т1, то = N, (I — ф)Ж = 0. Тогда задача (3.4)-(3.8) принимает вид

¿(¿) = Ь^М^*) + Ь-1 N(¿, ^(¿) + ^(¿), ^(¿)), t € [0, Т],

г>(0) = ^о, (3.9)

Ви(£) = Ф(£), £ € [0,Т], (3.10)

Нгй(£) = ^(¿), £ € [0,Т], (3.11)

и>(0) = (I — Р )и0. (3.12)

Применим к задаче Коши (3.11), (3.12) теорему 6. Возьмем в качестве Ы = Т подпространство Ы0, в качестве Ь и М — операторы Н и I. Тогда при любом ^ Е С имеем

/ р \ р+1

((^Н — I)-1Н)р+1 = [^2 /Нк+1 ) = 0, (Н(^Н — I)-1 )р+1 = 0,

чк=0

поэтому оператор I сильно (Н, р)-радиален. Тогда при д = 0 по теореме 6 имеем единственное слабое решение задачи (3.11), (3.12) — функцию ,ш = 0, поскольку (/ — р )ио = 0.

Итак, задача (3.1)-(3.3) сведена к обратной задаче (3.9), (3.10) для разрешенного относительно производной уравнения

¿(¿) = Ь-1М1^(^) + Ь-1Ж(¿, ^(¿), ^(¿)), £ € [0, Т].

Если положить X = Ы1, д = Ь-1Ж : [0,Т] х Ы1 х ^ ^ Ы1, А = Ь-1М1, и0 = и0, то получится в точности задача (2.1)—(2.3). Условия теоремы 6 об однозначной локальной разрешимости этой задачи в данном случае выполняются. Тогда существует единственное слабое решение этой обратной задачи

t

г>(£) = и1(^)м0 + У и1(^ — в)Ь-1фЖ(в, и(з), д(з))^з =

0

= и (і)и0 + J и (і — в)Р1 (в, и(з), д(з))^з,

о

поскольку и(і) = і'(і). Полученное выражение по определению 6 и есть слабое решение задачи (3.1)—(3.3) в силу того, что (I — ф)Ж = 0. □

В случае когда отображение N не зависит от переменной (I — Р)и, при р = 0 можно отказаться от ограничения на образ ітЖ.

Теорема 9. Пусть оператор М сильно (Р, 0)-радиален, отображение N : [0, Т] х и х У ^ У непрерывно по совокупности переменных (і, и, 5), для всех (і, и, 5) Є [0,Т ] х^х У выполняется N (і, и, 5) = N (¿,Ри,д), кроме того, и0 Є и, д(0) Є У,

(I — Р)«о = —Мо“1(/ — ^(0, Рио, 5(0)), (3.13)

С

В € £(Ы; У), ВЬ-1 М1 € £(Ы1; У), Ы0 С кегВ, Ф € С 1([0,Т]; У), Вщ = Ф(0), а также выполняются условия (2.4), (А)-(Е) при X = Ы1, д = Ь-1 А =

Ь-1М1, г>0 = Рщ0. Тог^а при некотором Т1 € (0,Т] существует единственное слабое решение (щ,д) € С([0,Т1]; Ы) х С([0,Т1]; У) обратной задачи (3.1)—(3.3) на отрезке [0, Т1 ].

Доказательство. Рассуждая, как при доказательстве теоремы 8, и используя сильную (Ь, 0)-радиальность оператора М и условия на отображение N, сведем задачу (3.1)—(3.3) к задаче (3.9), (3.10), (3.12) для уравнений

г>(£) = Ь-1М1^(^) + Ь-1фЖ(£, г>(£), д(£)), £ € [0,Т], (3.14)

0 = эд(£) + М0_1(/ — ф)Ж(£, ^(¿), ?(£)), £ € [0,Т]. (3.15)

Здесь оператор Н = 0. По теореме 6 задача (3.9), (3.10), (3.14) при некотором Т1 € (0,Т] имеет единственное слабое решение (г>,д) € С([0,Т1]; Ы1) х С([0,Т1]; У). Тогда из уравнения (3.15) следует, что

^(¿) = —М0_1(/ — ф)Ж(¿,г>(£),д(£)), £ € [0,Т1 ]. (3.16)

Функция и>(£) является непрерывной в силу непрерывности отображения N. Из условия (3.12) в таком случае следует необходимость условия согласования (3.13). Тогда функция

t

щ(£) = г>(£) + эд(£) = и1(£)щ0 + J и1(£ — s)Ь-1QN(в, ^(з), д(з))дз—

о

— Мо 1 (1 — (^ ^(£) д(£))

является слабым решением задачи (3.1)—(3.3) по определению 6 в силу того, что N(£, г>(£), д(£)) = N(£, щ(£), д(£)). □

Чтобы избавиться от необходимости выполнения неудобного для проверки условия согласования (3.13), которое к тому же дополнительно предполагает априорное знание величины д(0), заменим начальное условие (3.2) в обратной задаче на так называемое обобщенное условие Шоуолтера [10]

Рщ(0) = щ0. (3.17)

При этом слабым решением задачи (3.1), (3.3), (3.17) на отрезке [0,Т1] будем называть пару функций (щ, д) € С([0, Т1]; Ы) х С([0, Т1 ]; У), для которой справедливо включение (I — ( ■ ,щ( ■ ),д( ■ )) € Ср([0,Т1]; Т) и при всех £ € [0,Т1] выполняется

равенство (3.3) и

t

щ(£) = и(£)щ0 + J и(£ — s)Ь-1QN(в, щ(в), д(з))дз—

о

— Ак

гк ъ/г-1

Е М»-1 Ж(I — (і,и(і),«(()).

Теорема 10. Пусть оператор М сильно (Р, р)-радиален, imN С Т1, и0 Є и1, В Є £(Ы; У), ВР-1Мі Є £(Ы1; У), Ы0 С кегВ, Ф Є С 1([0,Т]; У), Вщ = Ф(0), а также выполняются условия (2.4), (А)-(Е) при X = и1, д = Р-1 N А = Р-1М1, ^0 = и0. Тогда при некотором Т1 Є (0,Т] существует единственное слабое решение (и, д) Є С([0,Т1];и) х С([0,Т1]; У) обратной задачи (3.1), (3.3),

(3.17) на отрезке [0,Т1].

Теорема 11. Пусть оператор М сильно (Р, 0)-радиален, отображение N : [0,Т ] хМхУ^У непрерывно по совокупности переменных (і,и,д), для всех (і, и, д) Є [0, Т ] х и х У выполняется N (і, и, д) = N (і, Ри, д), кроме того, и0 Є и1, В Є £(Ы; У), ВР-1М1 Є £(Ы1; У), и0 С кег В, Ф Є С 1([0,Т]; У), Вщ = Ф(0), а также выполняются условия (2.4), (А)-(Е) при X = и1, д = Р-1QN, А = Р-1М1, г>0 = и0. Тогда при некотором Т1 Є (0,Т] существует единственное слабое решение (и,д) Є С([0,Т1];и) х С([0,Т1]; У) обратной задачи (3.1), (3.3),

(3.17) на отрезке [0,Т1].

Доказательство. Задача (3.1), (3.3), (3.17) отличается от задачи (3.1)-(3.3) только отсутствием условия на (I — Р)и(0), которое при доказательстве теорем 8 и 9 лишь приводило к необходимости дополнительных условий согласования: и0 Є и1 в теореме 8 и условие (3.13) в теореме 9. С другой стороны, условие

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(3.17) само по себе предполагает принадлежность и0 Є Ы1. Поэтому условия тео-

рем 8 и 10 одинаковы, а теорема 11 отличается от теоремы 9 только заменой условия (3.13) на включение и0 Є Ы1. □

Определение 7. Гладким решением задачи (3.1)-(3.3) на отрезке [0,Т1] называется такая пара (и,д) Є (С 1([0,Т1];Ы) П С([0,Т1]; Д(М))) х С1 ([0,Т1 ]; У), для которой выполняется (3.2) и соотношения (3.1), (3.3) при всех і Є [0,Т1 ].

Теорема 12. Пусть оператор М сильно (Р,р)-радиален, при этом imN С Т1, щ Є Я(М1), В Є £(Ы; У), ВР-1М1 Є £(Ы1; У), Ы0 С кег В, Ф Є С2([0,Т]; У), Ви0 = Ф(0), а также выполняются условия (2.4), (А)-(С), (Д1), (Е1) при X = Ы1, д = Р-^, А = Р-1М1, г>0 = и0. Тогда при некотором Т1 Є (0,Т] существует единственное гладкое решение (и, д) Є (С 1([0, Т1]; Ы) П С([0, Т1]; Д(М))) х С 1([0,Т1]; У) обратной задачи (3.1)-(3.3) на отрезке [0,Т1].

Теорема 13. Пусть оператор М сильно (Р, 0)-радиален и выполняются следующие условия:

(i) для всех (і,и,д) Є [0,Т] х Ы х У выполняется N(і,и,д) = N(і,Ри,д);

(ii) щ Є ДМ), д(0) Є У, (I — Р)щ = —М0~1(/ — (0, Рзд, д(0));

(iii) В Є £(Ы; У), ВР-1М1 Є £(Ы1; У), Ы0 С кег В, Ф Є С2([0,Т]; У), Вщ =

Ф(0);

(іу) выполняются условия (2.4), (А)-(С), (Д1), (Е1) при X = Ы1, д = Р-1^, А = Р-1МЪ ^0 = Ри0;

(у) на множестве $иху ((и0,д0), Я, Т) отображение N : [0,Т ] хЫхУ^У дифференцируемо по Фреше, а его частные производные Д, ^, N непрерывны по совокупности переменных (і, и,д) в сильной топологии.

Тогда при некотором Т1 € (0,Т] существует единственное гладкое решение (щ,д) € (С1([0,Т1];Ы)ПС([0,Т1]; Д(М)))хС1([0,Т1]; У) обратной задачи (3.1)—(3.3) на отрезке [0,Т1].

Определение 8. Гладким решением задачи (3.1), (3.3), (3.17) на отрезке [0,Т1 ] называется такая пара (щ,д) € (С 1([0,Т1];Ы) П С([0,Т1 ]; Д(М))) х С 1([0,Т1]; У), для которой выполняется (3.17) и соотношения (3.1), (3.3) при всех £ € [0,Т1].

Теорема 14. Пусть оператор М сильно (Ь, р)-радиален, при этом imN С Т1, Щ0 € ДМ1), В € £(Ы; У), ВЬ-1М1 € £(Ы1; У), Ы0 С кегВ, Ф € С2([0,Т]; У), Вщ0 = Ф(0), а также выполняются условия (2.4), (А)—(С), (Д1), (Е1) при X = Ы1, д = Ь-^, А = Ь-1М1, г0 = щ0. Тогда при некотором Т1 € (0,Т] существует единственное гладкое решение (щ, д) € (С 1([0, Т1]; Ы) П С([0, Т1]; Д(М))) х С 1([0,Т1]; У) обратной задачи (3.1), (3.3), (3.17) на отрезке [0,Т1].

Теорема 15. Пусть оператор М сильно (Ь, 0)-радиален и выполняются следующие условия:

(I) для всех (£,щ,д) € [0,Т ] хЫ х У выполняется N (£,щ,д) = N (£, Рщ,д);

(II) Щ0 € Я(М1), В € £(Ы; У), ВЬ-1М1 € £(Ы1; У), Ф € С2([0,Т]; У), Вщ = Ф(0), Ы0 С кег В;

(III) выполняются условия (2.4), (А)—(С), (Д1), (Е1) при X = Ы1, д = Ь-1QN, А = Ь-1М1, г0 = щ0;

(1у) на множестве $иху((щ0,д0), Д,Т) отображение N : [0,Т] хЫ х У ^ У дифференцируемо по Фреше, а его частные производные Nu; N5 непрерывны

по совокупности переменных (£,щ,д) в сильной топологии.

Тогда при некотором Т1 € (0,Т] существует единственное гладкое решение (щ,д) € (С1([0,Т1];Ы) П С([0,Т1]; Д(М))) х С1([0,Т1]; У) обратной задачи (3.1),

(3.3), (3.17) на отрезке [0,Т1 ].

Доказательство. При доказательстве теорем 8—11 исходная задача сводилась к задаче для невырожденного уравнения. Для нее в теореме 7 доказано, что дополнительная гладкость функции Ф, принадлежность г0 линеалу Д(А) и выполнение условий (Д1), (Е1) в условиях теоремы 6 приводят к существованию гладкого решения обратной задачи. Используя это наблюдение и рассуждая, как при доказательстве теорем 8 и 10, получим доказательства теорем 12 и 14. Надо при этом заметить, что непрерывность решения относительно нормы графика оператора А = Ь-1 М1 в силу гомеоморфности оператора Ь1 равносильна непрерывности в норме графика оператора М1, а поскольку в условиях теорем 12 и 14 щ(£) = Рщ(£), то это равносильно непрерывности решения в норме графика оператора М.

В условиях теорем 13 и 15 воспроизведем доказательства теорем 9 и 11 и к сказанному выше добавим, что функция (3.16) непрерывно дифференцируема в силу непрерывной дифференцируемости ее аргументов и требований дополнительной гладкости отображения N. Например,

||^(*,а(*),д(*))г;(*) — N(¿0,^*0), д(*0)М*0)||.т ^

^ Н^^Хі),^))^^) — г>(і0))||^ + II (^(і, г>(і),д(і)) — N„^0,-у(^), д(і0))Мі0) ||^ ^

{^(і,і'(і), д(і)) Є С(Ы; Т) : і Є (і0 — М0 + ¿)}

по теореме Банаха—Штейнгауза следует его равномерная ограниченность при малом 8 > 0.

При этом функция Ми>(£) = — (I — (£, г(£), д(£)) также непрерывна, а

4. Нелинейная обратная задача

для линеаризованной системы Осколкова

Редуцируем задачу (0.1)-(0.4) к задаче Шоуолтера (3.17) для уравнения

(3.1). Для этого обозначим через

соболевские пространства вектор-функций ш = (ш^ш^ш^), определенных в об-

обозначим через Н2, а по норме Н1 — через Н. Будем использовать также обозначение Н2 = Н^ П Н2. Обозначим через Нп ортогональное дополнение к Н2 в Ь2, через Е : Ь2 ^ Н2, П = I — Е — соответствующие ортопроекторы.

В пространстве С рассмотрим оператор А = ЕУ2. Известно (см. [14]), что оператор А, продолженный до замкнутого оператора в пространстве Н2 с областью определения Н^, имеет вещественный, отрицательный, дискретный, конечнократный спектр, сгущающийся только на —то. Обозначим через {Лк} его собственные значения, занумерованные по невозрастанию с учетом кратности, а через {^} — ортонормированную систему соответствующих собственных функ-

ций, которая, как известно, образует базис в Н2.

Пусть V Є Н1. Тогда формулой = VУ2ш — (V ■ У)ш — (ш ■ У)г; зададим

оператор Д Є С(Н2; Ь2).

Учитывая уравнение несжимаемости (0.2), положим

В данном случае элемент и € Ы имеет вид и = (г,г), а элемент f € Т — вид f = (д, Л,), где д = Ef, Л, = ^. Тогда формулой

определяется оператор Р Є С(Ы; Т). Если х 1 Є а(А), то кегР = {0} х Нп . При заданном V Є Н1 формулой

значит, решение непрерывно относительно нормы графика оператора М. □

Ь2 = (Р2(П))3, Н1 = (Ж1 (П))3, Н2 = (Ж>2(П))3

ласти П. Замыкание множества С = {V Є (С^П))3 : У ■ V = 0} по норме Ь2

Ы = Н2 х Нп, Т = Ь2 = Н2 х Нп.

(4.1)

(4.2)

(4.3)

определяется оператор М Є С(Ы; Т).

Теорема 16. Пусть пространства Ы и Т определены в (4.1), а операторы Р и М — в (4.2) и (4.3) соответственно, х = 0, х-1 Є а(А). Тогда оператор М сильно (Р, 0)-радиален, при этом

І 0\„ = / І О

хПУ2(/ — хА)-1ЕД + ПС О) , ^ V —хПУ2 (I — хА)-1 О

Доказательство. Для любого V Є Н2 имеем

Н(І — хА) 1 vНН. = (|(І — хА) МН. +ІІА(І — хА) МН.) =

^ (1 + Л! )|2 / С ^ I / _ \ 12 С ЦП

= Е |1 _ хЛк|2 « С1 1(-.^к)1 = С^Ь. ■

поэтому (I — хА)-1 Є С(Н2; Н). Следовательно,

||С(І — хА) ^ С2 Н (І — хА) 1V Н Н. ^ С3ІМк

и С(І — хА)-1 ЄС(НСТ; Ь2).

Таким образом, обратный оператор

(м(І — хА) — ЕС)"1 = І(І — хА)-1 ( І — ІЕВ(І — хА)-1

м V м

существует и непрерывно действует из Н2 в Н2 при

1м1 > НЕС(І — хА)-1Н£(Н.)

в силу того, что х = 0, (І — хА)-1 Є С(Н2; Н^). При таких м Є С имеем

мР—М=(м— МхлУІ-ЕС О

1

(мР — М)

1

(м(І — хА) — ЕС)-1 О

(мхПУ2 + ПС)(м(І — хА) — ЕС)-1 І

Непрерывность оператора С(І — хА)-1 из Н2 в Ь2 доказана выше, непрерывность оператора У2(І — хА)-1 из Н2 в Ь2 доказывается аналогично. Следовательно, оператор

(мхПУ2 + ПС)(м(І — хА) — ЕС)-1 = хПУ2 + ^ПС) (І — хА)-^І — 1ЕС(І — хА)-1" мм

непрерывно действует из Н2 в Нп. Из всего сказанного следует, что при достаточно больших |м| оператор (мР — М)-1 : Т ^ Ы непрерывен.

Далее,

(м — (І — хА)-1 ЕС)-1 О

(мхПУ2 + ПС)(м — (І — хА)-1ЕС)-1 — хПУ2 О

- (І — - (І — хА)-1 ЕС)-1 О

(хПУ2 і (І — хА)-1ЕС + І ПС)(І — І (І — хА)-1ЕС)-1 О

Здесь использованы преобразования

хПУ^ І — -(І — хА)-1Е^ — хПУ2 =

= хПУ2 £ - ((І — хА)-1 ЕС)к — хПУ2 = хПУ2 £ - ((І — хА^ЕС)'

к=0 м к=1 м

= хПУ2-(І — хА)-1Ес£- ((І — хА)-1ЕС)к =

м к=0 м

= хПУ2-(І — хА)-1ЕС (І — -(І — х-АГ^С мм

У оператора Д^(М)(мР — М)-1 второй столбец также нулевой, а первый имеет вид

12 (І — і (І — хА)-1ЕС)-2 (І — хА)-1

(хПУ2І, (І — хА)-1ЕС + І, Пс) (І — і (І — хА^ЕС^І — хА)

поэтому для / Є Ь2

М(мР — М)-1Р,^(М)/ = ( ПП<£( І

І2 ( І

ЕС <12 (І — 1 (І — хА)-1ЕС)-2 (І — хА)-1Е/ ПС -12 (І — 1 (І — хА)-1ЕС)-2(І — хА)-1Е/

г, ч і 1 (І — 1 ЕС(І — хА)-1)-1 О

р£(м) = I - 1 1

^ V— 1 хПУ2 (І — хА)-1(І — 1 ЕС(І — хА)-1)-1 О

Из непрерывности оператора ЕС : Н^ ^ Н2 следует, что (І — хА) 1ЕС Є С(Н2). Поэтому при м > «1 = Н(І — хА)-1ЕСН£(Н2)

Н(м — (І — хА)-1 ЕС)-1||£(Н.) ^ ,

м — «1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

непрерывен оператор

хПУ2-(І — хА)-1 ЕС + -Пс) (і — -(І — хА)-1Е^ : Н ^ Н

м м У V м У

хПУ2-(І — хА)-1ЕС + -пс) (і — -(І — хА)-1ес' м м У V м

Далее,

2

«-С*.

м — «1

£(Н. ;Нп )

£(!. ;Н.) (м — 01)2

Аналогично оценивается второй элемент первого столбца рассматриваемой операторной матрицы — М)-1 по норме в £(Н2; Нп). Кроме того, при / € Ь2

Им - м)-1^(м)/||Ь2 =

(I - ^‘(і - хА)-1 ЕВ)-2 (I - хА)-1е/

С6

Ь2

(^ - <3‘)

2

Наконец, заметим, что ЕС(1 — хА) 1 € £(Н2), и при выбранном значении параметра ^ > а2 = ||ЕС(1 — хА)-1 Иди.) выполняется

1

1

£(НСТ)

1

1

с

7

г;Нп)

Таким образом, оператор М сильно (Р, 0)-радиален. Формулы для проекторов нетрудно найти по формулам из теоремы 1 (іі). □

При і Є [0,Т] зададим матрицу размера (3т) х (3т)

(

Л(і)

Фі‘(і) ((і - хА)-‘Е/2)1 (х‘,і) Ф‘(і) ((і - хА)-‘Е/2)2(х‘,і) Фз‘(і) ((і - ха)-‘Е/2)3(х‘,і)

ФГ(і) ((і - хА)-‘Е/2)1(хт,і)

Ф2т(і) ((і - хА)-‘Е/2)2(Хт,і)

(і) ((і - хА) ‘Е/2)3(хт,і)

т 2

\ф3т

((і - хА)-зЕ/3т)з(хз,і) \ ((і - хА)-зЕ/3т)2(хз,і)

((і - хА)-зЕ/3т)3(хз,і)

((і - хА)-зЕ/3т)з(хт,і) ((і - хА)-зЕ/3т)2(хт,і) ((і - хА)-зЕ/3т)3(Хт,і) У

где ((I — хА) 1Е/^)к — к-я компонента вектор-функции (I — хА) 1Е/^, к =1, 2, 3, ^ = 2,..., 3т.

Теорема 17. Пусть п < 4, а € К, € Н2, = 0 при а < 1, Ь € С([0,Т]; К),

/ € С ([0, Т ]; Ь2), ^ = 2,..., 3т, ^ € С 1([0,Т]; К3), г = 1,...,т, ае^(*) =

0 для всех £ € [0,Т], выполняются условия согласования и0(ж^) = фг(0), г = 1,...,т. Тогда при некотором Т1 € (0,Т ] слабое решение V € С ([0,Т1]; Н2), г € С([0,Т1 ]; НП), € С([0,Т1]; К), ] = 1, 2,..., 3т, обратной задачи (0.1)—(0.5) на

отрезке [0,Т1 ] существует и единственно.

Доказательство. Сразу заметим, учитывая вид проектора Р в утверждении теоремы 16, что задача (0.4) для системы (0.1)—(0.3) является обобщенной задачей Шоуолтера. При этом = Нп, Т1 = Н2, и0 = Нп, и1 изоморфно Н2. Отсюда следует требование v0 € Н2 = С(М1). Поэтому, опять же в силу теоремы 16, доказательство можно свести к проверке условий теоремы 11.

Положим У = Е3т, тогда для д = (дз, д2,... , д3т)

N (і, V, г, д) = дз(1 - х^2)и + 6||г>|

+ 5] д#/ 7 (-,і) #=2

N (і, V, д) = N (і, Ри, д) Є Т,

£

а

поскольку /^(-,£) € Ь2.

Так как

(v(xl)

... | € У,

v(жm)

а при размерности области п < 4 имеет место вложение Ж|(П) С С(П), то

= 1М1с(П;К3) ^ С 1М1(Ж2(П))3 ,

и поэтому В € £(и; У). Имеем В(0,г) = 0, следовательно, и0 С кегВ. Так как

М € £(и), то автоматически выполняется условие ВР-1 М1 € £(и1; У). Осталось

проверить условия (2.4), (А)-(Б).

Отметим, что Р-1 = (I — хА)-1. В условии (2.4) возьмем

(3т \ 3т

?1(1 — хV2)v + ^ д,^МП = д^ + ^ д,(1 — хА)-1/

,=2 / ,=2

Тогда уравнение

01 МН (1 — хА) V.

/ 3т \

д^оО^О + Е д,(1 — хА)-1Е/' (хъ 0) ,=2

V

д^о(Жт) + Е д, (I — хА) 1Е/^ (Хт, 0)

,=2

/

(ф1)/(0) — (I — хА) ^о^ — Ь(0)|Ы|? ^ — хА)

(фт)/(0) — (I — хА) 1 ЕDVо (Хт) — Ь(0)|^0|г2 (I — хА) 1V (Хт)

относительно вектора д € У имеет единственное решение в силу условия ёе1Л(0) = 0, поэтому выполняется условие (А).

Далее,

д^ж^ + Е д,(I — хА)-1Е/(Х1,*) ,=2

V

д^ОО + Е д, (I — хА) 1ЕЯ (хт^

,=2

Следовательно, условие (В) выполняется. Из равенства

У = #3(£, ФС0,д)

^ д^СО + Ед,^ — хА) 1Е/(Х1,*)

д^М) + Е д,(I — хА) 1е/(^ ^

Е

,=2

Е

,=2

следует, что в условии (С) д = Ф(£, у) = Л(£)-1у при всех £ € [0,Т], у,д € У. Из того, что /7 € С([0,Т]; Ь2), следует включение (I — хА)-1!/7 € С([0,Т]; Н2) и поэтому по теореме вложения Соболева все элементы матрицы Л, а значит, и Л, непрерывны по £ на [0,Т]. Следовательно, по теореме Вейерштрасса | ёе1Л| достигает своего минимума на этом отрезке. Этот минимум больше нуля, поскольку detЛ не обращается в ноль на отрезке [0,Т]. Поэтому Ф — непрерывное по (£,у) отображение на [0, Т] х У. Кроме того, из сказанного следует, что элементы обратной матрицы Л-1 также непрерывны по £ на [0, Т] и для всех £ € [0, Т], у1, у2 € К

|Ф(£,У1) — Ф(£,У2)| ^ тах |Л(£)-1|£(Кзт)|у1 — у2||кзт.

*е[0,Т]

Это означает выполнение условия (В).

При любом Я > 0 для всех (£,и1,д1), (¿,г>2,д2) € $н2хКз™((г>0,д0),Я, Т) выполняется

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

||02(*,^1,91) — £2(М2,д2)||и2 ^

^7 чз,

с

qfy1 - qy + (qj- q2)(1 - xA) 1 £/j(•,*)

j=2

с

H2

с (|Ivq||h2 + R) ■ |qj — q21 + (||qo||R3m + R) ■ ll^1 — v2||h2+

3m

+C1 lqjj — j n|a'Xi II fj (^’ S)||L2 С C2 (||q1 — q2|R3m + ||v1 — ^|ІН2)

j=2 S€l0’T|

Ilg1(t,v1) - g1(t,v2)|H2 с |b(t)| HKlla(1 - xA) V - ІИІ^(1 - xA) 1vlH2 с с fioMi* I|(1 - xA)-V - v2)|h2 + bo ||(1 - xA)-1v2|H2||v1|L2 - П«2П£2| С

Ih2

ll„.2|| a

|H2 + b0 I|(J - XA) v ||H2 |llv IIL2

^ C3(||vo||h2 + R)a IIvl — v2 ||l2 + C4( || v0 ||h2 + R) I ll^1 ||l2 — ИМ ^ C5 ||v1 — v2||h2 ,

где b0 = max |b(t)|. При a < 1 для справедливости предпоследнего неравен-

i€[0,T ]

ства требуется выполнение условий v0 = 0, R < ||v0||h2 , поскольку используется ограниченность в шаре с центром в v0 выражения ||v||H-1. Здесь использовано вытекающее из формулы Лагранжа неравенство

|х“ — xa| ^ |a|xa-1 |x1 — x2|,

где 0 ^ Xi = || V1 |l2 ^ X2 = || V2 |l2 , Хз G [Xi ,X2].

Тем самым доказана липшицевость отображений g1, g2 на множестве SH2XR3m((v0,q0),R,T). Докажем непрерывность их по совокупности переменных. Для всех троек (^v^q1), (s,v2,q2) G SH2xR3m((v0,q0),R,T) также выполняется

I|g2(t,v1 ,q1) — g2(s,v2,q2)|H2 ^

^ Ig2(t,v1,q1) — #2(t, v2, q2) |h2 + |g2(t,v2,q2) — g2(s, v2, q2) ||*> ^

3m

^ C1 (|q1 — q2|R3m + llv1 — ^IIh2) + C2 ^ |q21 (-,t) — (•, s)|L2 ,

j=2

ИУ^М1) - £1(з,^2)||н2 ^ ||^1 (¿У) - 01(М2)|Н2 + ||£1(М2) - 01(^2)||н2 ^

^ С'зН'У1 — ^||н2 + С4|Ь(£) — Ь(^)| | ||^2^н2 •

Из полученных неравенств в силу непрерывности Ь и непрерывности по переменной * функций /, ] = 2, 3, • • • , 3т, в пространсттве Ь2 следует непрерывность

отображений 01, у2 на множестве 5^2 хк3т ((^о, ?о), Л, Т) по совокупности переменных. Отсюда следует выполнение условия (Е).

Осталось доказать непрерывность по совокупности переменных отображения N. Имеем

11#(£ + + 8) — N(£,^,5)|ь2 ^ |?1 + ^1||(1 — xV2)w|L2 + |^1||(1 — xV2)v|L2 +

+ + з)11^ + ^ — ЬС01М1а2 Нк2 +

3т 3т

+£ |«>+^ I у/1 ы+*) — / ы)|и+£ | / «

1=2 1=2

^ С1|?1 + ¿1 М* + С1|81 НМ1н2+

+ |Ь(* + в) — Ь(£)||^ + Ш^1 + |Ь(£)| ^ — И^1 П^Пь2 + |ЬС01М1^ 11ш|Ь2 +

3т 3т

+ |?1 + 811 ||/1 (•;* + в) — /1 (•>*)||ь2 + |811 11/1 (',£)||Ь2 ^ 0

1=2 1=2

при 8 ^ 0, |М|ь2 ^ 0, 8 = (8Ь ¿2, • • • , ¿3т) ^ 0.

Теперь воспользуемся теоремой 11 и получим требуемое. □

Теорема 18. Пусть а € К, и0 € Н2, и0 = 0 при а < 3, Ь € С 1([0,Т]; К), / € С 1([0, Т]; Ь2), ^ = 2, • • •, 3т, фг € С2([0, Т]; К3), г = 1, • • •, т, ёе1 Л(*) = 0 для всех * € [0,Т], выполняются условия согласования и0(ж^) = фг(0), г = 1, • • •, т. Тогда при некотором Т1 € (0,Т] гладкое решение V € С 1([0,Т1]; Н2), г € С 1([0,Т1]; Нп), ^ € С 1([0,Т1]; К), ] = 1, 2, • • •, 3т, обратной задачи (0.1)-(0.5) на отрезке [0,Т1] существует и единственно.

Доказательство. С учетом предыдущей теоремы остается доказать выполнение условий (Д1), (Е1) при X = и1, у = Р-1 , А = Р-1М1, v0 = и0 и сослаться на

теорему 15.

Отображение д = Ф(*, у) = Л(*)-1у двух переменных дифференцируемо,

ф*(*,у) = — лс^л^л^ГМ

Для того чтобы в этом убедиться, достаточно продифференцировать по * тождество Л(*)Л(*)-1у = у:

Л/(*)Л(*)-1у + Л(*) (Л(*)-1у); = 0-

Непрерывность Ф* по (¿,у) очевидна в силу непрерывности Л(*)-1 (см. доказательство предыдущей теоремы) и непрерывной дифференцируемости Л(*). При этом

||Ф*(*,у1) — Ф*(*,У2)|н2 ^ тах ||Л(*)-1Л/(*)Л(*)-1|£(кзт}|у1 — у2||кзт,

*е[0,Т ]

где максимум существует по теореме Вейерштрасса.

Кроме того, производная Фу(t, у) = Л(£)-1 непрерывна по (t, у) и липшицева

по у.

Производная g1t(t,v) = b/(t)|v|a2(I — xA)-1v непрерывна в норме R х H2 по совокупности переменных (t,v). При этом для всех (t,^1,^1), (t,v2,q2) G sh2 xR3m q0^ R T)

Ilg1t(t,v1) — g1i(t,v2)lk ^ C1|b/(t)| (ll^ll^ — |v2lli.2) IIv1Hh2+

+ C1|b/(t)| Hv2|l2 (Mh2 — ||v2|H2 ) ^ C2 11v 1 — v2|H2 •

Как и при доказательстве предыдущей теоремы, в случае а < 1 потребуем чтобы v0 = 0, при этом возьмем R < ||v0||H2.

Для (t^q1), (t, v + h,q2) G SH2 xR3m((vo,qo),R,T)

v + h) — g1(t,v) = b(t)|v + h|a2(1 — XA)-1(v + h) — b(t)|v|L2(1 — XA)-1v =

a

b(t)(v+h,v+h)L2 (1—XA)-1 (v+h)—b(t)|v|a2(1—XA)-1(v+h)+b(t)|v|a2(1—XA)-1h =

a

= b(t)|v|L2 i1 +2|v|-22(v,h)L2 + llv|-22|h|LJ2 (1 — XA)-1 (v + h) —

— b(t)|v|L2 (1 — XA)-1(v + h) + b(t)|v|L2 (1 — XA)-1h =

= ^WIMIL-2^ h)L2 (1 — XA)-1v + b(t)|v|L2 (1 — XA)-1h + 0 (|h|L2 ) •

Таким образом,

g1v(^ v)h = a^lHIL-2^ h)L2(1 — XA)-1 v + b(t)|v|L2(1 — XA)-1 h поэтому при (t, v, q1), (t + s, v + w, q2) G SH2 xR3m ((v0, q0), R, T)

|g1v (t + s,v + w) — g1v (t,v)|£(H2) =

= sup ||ab(t + s)||v + w|a-2(v + w,h)L2 (I — xA)-1(v + w) +

IWIh2 =1

+ b(t + s)|v + w 1 a2 (1 — XA)-1 h —

— ^WIMIL-2^ h)L2 (1 — XA)-1 v — b(t) 11 v 11 а2 (1 — XA)-1h|H2 =

= sup Ha(b(t + s) — b(t))|v + w|a-2(v + w,h)L2 (I — xA)-1(v + w) +

IWIh2=1

+ab(t) (llv + w|L2 2 — llv|L2 2) (v + W, h)L2 (1 — xA) 1(v + w) +

+аb(t)|v|L2-2(w, h)L2 (1 — XA)-1(v + w) + аЬС01М1а-2(^ h)L2 (1 — XA)-1w +

+ (b(t + s) — b(t))|v + w 11 a2 (1 — XA)-1h+

+ b(t) (|v + WIIl2 — II v|a2) (1 — XA) 1h|H2 ^

^ C1|b(t + s) — b(t)||v + W1 a2 + C1|b(t)| ||v + w|a-2 — IMIa-2| |v + HIL2 +

+ C1 |b(t)||v|L- 2|w|L2 IIv + w|L2 + C1|b(t)||v|L- 1|w|L2 +

+ С2|Ь(£ + з) - Ь(£)Ц|^ + И1а2 + С2|Ь(У)| + И|"2 -

а 1^1! “

^2 | *

Последнее выражение стремится к нулю при в ^ 0, ||т||н2 ^ 0, что означает непрерывность в операторной норме производной 01« по совокупности переменных.

Возьмем в = 0, V + т = V1, V = V2, тогда

||01«(М1) - 01«(М2)||£(И2) ^

.1II а-2

V 11Ь2 - 1^ ПЬ2

2|| а-2| ц„Д ||2

£2

1>1||1( + C1|6(í)||v2|L-2|v1 - 1>2Ь2 ||v1|L, +

+C•1|Ь(t)||v2|£-1|v^ - г,2||ь + 6'2|Ь(()| -

ии, | < а,»-«1 - V2!

При а < 3 считаем, что Vo = 0, Я <

Наконец, непосредственно вычисляются соотношения

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

3т д / 3 ( *)

02*(* v, д) = ^ д,-(1 - ХА)-1^ —7^-—, 02«(* V д^ = д^

02^1 (М,з) = v, 02,.- - ХА) 1е—3 ОУ .7 = 2,..., 3т

||02*(* + в, V + т, д + 5) - 02*(У, V, д) ||Н2 ^

^ С1 X/ |д3 + 53|

3=2

— (-,У + в) — (-,У)

5*

+ С,£ |5,|

£2 3=2

5—3 (•,*)

0

£2

^СМ1^ - 02*(* v2, д2)||н2 ^ |д1 - д21

3=2

5—3 (•,*)

£2

||02«(* + + т,д + 5) - 02«(У, V, д) ||£(Н2) = вир ||51^||Н2 = |511 ^ 0

1М1н|=1

при 5 = (51,52,... ,5зт) ^ 0,

И02«(*, V1,д1) - 02«(*,V2,д2)|£(и2) ^ Нд1 - д2||кзт,

II02,1 (* + + т,д + 5) - 02,1 (М,д)||Н2 = |И|Н2 ^ 0

при |т|Н2 ^ 0,

II 02,1 (М1^1) - 02,1 = |К - ^||И2 ,

||029,- (* + + т,д + 5) - 02,. ^ С1|—3 (',У + в) - —3 (',*)|£2 ^ 0

при в ^ 0,

11029. (¿УУ) - 02,. (М2,д2)||И2 = °.

т

Тем самым доказана непрерывность в операторной норме и липшицевость всех производных отображения 02 = Р-1^Ж. Аналогично доказываются эти же свойства операторов

3m

N(t, v, q) = J2 Nv(i,v,q)h = qi(1 - xV2)/i,

j=2

Nqi(t,v,q) = (/ - xV )V, Nj(t,v,q) = f (-,i), j = 2,..., 3m. Действительно,

IINt(t + s, v + w, q + ¿) - Nt(t, v,

|L2

3m

^ |qt + 1

j=2

d/j (,t + s) d/j (•,t)

dt

dt

3m

dt

L2

при s ^ 0, 5 = (¿1 ,¿2, . . . , ¿3m) ^ 0,

IINv(t + s,v + w,q + 5) - Nv(t, v, q) ||l(h2;l2) = sup ||5i(1 - xV2)fr||L2 ^ Ci|5i| ^ 0

llhL 2 =1

при 5 = (5i, ¿2, . . . , ¿3m) ^ 0, |Nqi(t + s,v + w,q + ¿) - Nqi(t,v,q)|L2 = II(I - xV2)w||L2 ^ C^HIh ^ 0

при |w|H2 ^ 0,

||Nq.(t + s, v + w,q + ¿) - Nq.(t, v,

IL2

'(-,t + s) - /j (-,t)|L2 ^ 0

при в ^ 0. Тем самым выполнены все условия теоремы 15.

СГ

Список литературы

1. Осколков, А. П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта и жидкостей Олдройта / А. П. Осколков // Тр. Мат. ин-та АН СССР. - 1988. - Т. 179. - С. 126-164.

2. Kozhanov, A. I. Composite Type Equations and Inverse Problems / A. I. Kozhanov / Utrecht : VSP, 1999.

3. Abasheeva, N. L. Determination of a right-hand side term in an operator-differential equation of mixed type / N. L. Abasheeva // J. Inv. Ill-Posed Problems. — 2002. — Vol. 10, № 6. — P. 547-560.

4. Fedorov, V. E. An inverse problem for linear Sobolev type equations / V. E. Fedorov,

A. V. Urazaeva // J. Inv. Ill-Posed Problems. — 2004. — Vol. 12. — P. 387-396.

5. Al Horani, M. An identification problem for first-order degenerate differential equations / M. Al Horani, A. Favini // J. of Optimization Theory and Applications. — 2006. — Vol. 130. — P. 41-60.

6. Аниконов, Ю. Е. Обратные задачи для эволюционных уравнений [Итоговый научный отчет по междисциплинарному интеграционному проекту СО РАН: «Разработка теории и вычислительной технологии решения обратных и экстремальных задач с приложением в математической физике и гравимагниторазведке»] / Ю. Е. Аниконов, Н. Л. Абашеева, Н. Б. Аюпова, А. И. Кожанов, М. В. Нещадим, И. Р. Валитов // Сиб. электрон. мат. изв. — 2008. — Вып.5. — C. 549-580.

7. Уразаева, А. В. Задачи прогноз-управления для некоторых систем уравнений гидродинамики / А. В. Уразаева, В. Е. Федоров // Дифференц. уравнения. — 2008. — Вып. 44. — С. 1111-1119.

8. Уразаева, А. В. О корректности задачи прогноз-управления для некоторых систем уравнений / А. В. Уразаева, В. Е. Федоров // Мат. заметки. — 2009. — Т. 85, вып. 3. — С. 440-450.

9. Федоров, В. Е. Линейная эволюционная обратная задача для уравнений соболевского типа / В. Е. Федоров, А. В. Уразаева // Неклассические уравнения математической физики : сб. науч. работ. Новосибирск : Изд-во Ин-та математики. — 2010. — C. 293-310.

10. Федоров, В. Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов /

В. Е. Федоров // Алгебра и анализ. — 2000. — № 12. — С. 173-200.

11. Prilepko, A. I. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics / A. I. Prilepko, D. G. Orlovsky, I. A. Vasin. — N. Y. ; Basel : Marcel Dekker Inc., 2000.

12. Фёдоров, В. Е. Свойства псевдорезольвент и условия существования вырожденных полугрупп операторов / В. Е. Федоров // Вестн. Челяб. гос. ун-та. — 2009. — № 20 (158). Математика. Механика. Информатика. Вып. 11. — С. 12-19.

13. Хилле, Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлипс. — М. : Иностр. лит., 1962.

14. Ладыженская, О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О. А. Ладыженская. — М. : Физматлит, 1961.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.