CC BY
15
Челябинский физико-математический журнал. 2016. Т. 1, вып. 2. С. 78-84.
УДК 517.977.5
ЗАДАЧИ СМЕШАННОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ СОБОЛЕВА
А. Ф. Шуклина1'", М. В. Плеханова1,26
1 Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия 2Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет), Челябинск, Россия "[email protected], ь[email protected]
В работе получены условия разрешимости задач жёсткого смешанного оптимального управления для системы уравнений Соболева. Рассмотрены задачи с функционалом качества с нормой в пространстве Лебега и с терминальным функционалом.
Ключевые слова: оптимальное управление, жёсткое управление, смешанное управление, терминальный функционал, система уравнений Соболева.
Введение
В работе рассматривается задача оптимального управления для системы уравнений Соболева, описывающей динамику малых внутренних движений стратифицированной жидкости в равновесном состоянии. Поскольку система Соболева относится к не разрешённым относительно производной по времени системам уравнений, её исследование проводится в рамках абстрактной задачи
Здесь и, X, У — гильбертовы пространства, операторы Ь € £(Х; У) (т. е. линейный и непрерывный, действует из X в У), кег Ь = {0}, В € С(Ы; У), М € С 1(Х; У) (линеен и замкнут, плотно определён в X, действует в У), Яд — непустое выпуклое и замкнутое множество допустимых управлений, 3 — выпуклый функционал качества, у : [0,Т] ^ У — заданная функция. Задачи оптимального управления с функционалом качества, в явном виде не зависящим от функции управления, часто называются задачами жёсткого управления [1]. При этом управляющее воздействие входит как в само уравнение, так и в начальное условие. Такое управление будем называть смешанным [2] (распределённое и стартовое управление [1; 3] одновременно). Отметим, что в приложениях часто естественным оказывается использование обобщённого условия Шоуолтера — Сидорова (2), где Р — проектор вдоль М-корневого подпространства оператора Ь.
Исследование опирается на результаты о разрешимости начально-краевых задач для вырожденных эволюционных уравнений, полученные в работах В. Е. Федорова [4; 5], результаты М. В. Плехановой, В. Е. Федорова и А. Ф. Исламовой
ьх(г) = Мх(г) + у (г) + Ви(г),
(1)
Рх(0) = V, (и, V) € Яд, 3 (х) ^ Ш.
(2)
(3)
(4)
[6-10] о разрешимости задач оптимального управления для вырожденных эволюционных уравнений, т. е. уравнений с вырожденным оператором при производной по времени.
В работе рассмотрены случаи функционала с нормой в пространстве Лебега и терминального функционала, однако аналогичным образом можно получить результаты и для близких по структуре задач с некоторыми другими функционалами (см. по этому поводу [3]).
1. Задача оптимального управления
Введём необходимые в дальнейшем обозначения: Ж2к(0,Т; X) = Ик(X) для к € N0 = {0} и Н, И0(Х) = ¿2(Х), рь(И) = (р € С : (рЬ — МИ)-1 € ¿(У; X)}. Оператор М называется (Ь, а)-ограниченным, если
За > 0 Ур € С (|р| > а) ^ (р € рЬ(М)).
Возьмём (Ь, а)-ограниченный оператор М, выберем в комплексной плоскости С замкнутый контур 7 = (р € С : |р| = Я > а}. Тогда операторы
р = 2~1 я£(м)йр € ¿(X), д = 2~1 ьцм)Ф € ¿(У)
7 7
являются проекторами. Положим X0 = кегР, X1 = тР, У0 = кегф, У1 = тф. Тогда X = X0 ф X1, У = У0 ф У1. Через Ьк (Мк) обозначим сужение оператора Ь (М) на Xk (Бмк = Дм П Xк), к = 0,1. Теорема [11]. Пусть оператор М (Ь, а)-ограничен. Тогда
(I) Ьк € ¿(Xк; Ук), к = 0, 1;
(II) М0 € €1^0; У0), М1 € ¿(X1; У1);
(III) существуют операторы Ь-1 € ¿(У1; X1), М—1 € ¿(У0; X0). Обозначим О = М—1Ь0. (Ь, а)-ограниченный оператор М назовём (Ь,р)-
ограниченным при р € Н0, если Ор = О, Ор+1 = О.
Решения уравнения (1) будем искать в гильбертовом пространстве (см. [7])
2 = (г € И^) : Ьг — Мг € ИР+1(У)},
наделённом нормой ||г\\% = Н-Ня^лг) + ||Ьг — М-ЦНр+^у). Выберем пространство управлений Я = Ир+1(и) XX и введём в рассмотрение оператор В € ¿(Ир+1(и); ИР+1(У)), (Вп)(г) = Вп(г), г € [0,Т].
Множество ОТ троек (х,п,ь) € 2 X Я, удовлетворяющих условиям (1)-(3), назовём множеством допустимых троек задачи (1)-(4). Решением задачи (1)-(4) называется тройка (Х,П, V) € ОТ, минимизирующая функционал стоимости 3: 3(Х) = т£(х,„,„)е® 3(х).
Задачу (1)-(4) будем рассматривать с функционалами
3(х) = 1 ||х — ^\12(Х) ^ ^, (5)
3(х) = 1 ||х(Т) — Н|Х ^ ^, (6)
где и> € Ь2 (X) и и> € X заданы для (5) и (6) соответственно.
Из теоремы 4.2.1 [11] получим, что из (Ь,р)-ограниченности оператора М следует его сильная (Ь,р)-радиальность. Вкупе с ограниченностью оператора М1 и результатами работы [10] (следствия 1 и 2) это сразу влечёт следующие утверждения о разрешимости задач (1)-(3), (5) и (1)-(3), (6).
Предложение 1. Пусть оператор М (Ь,р)-ограничен, т € Ь2(Х), Яд — замкнутое, выпуклое и ограниченное в пространстве Я множество. Тогда существует, решение (Х,и, V) €2х Я задачи (1)-(3), (5). Решение задачи единственно только в случае инъективности оператора В.
Предложение 2. Пусть оператор М (Ь,р)-ограничен, т € X, Яд — замкнутое, выпуклое и ограниченное в пространстве Я множество. Тогда существует решение задачи (1)-(3), (6) (Х,и^) € Я х Я. Решение задачи единственно только в случае инъективности оператора В.
2. Задачи управления для системы уравнений Соболева
Пусть П С К3 — ограниченная область с границей дП класса СРассмотрим начально-краевую задачу для системы уравнений Соболева, описывающей динамику малых внутренних движений стратифицированной жидкости в равновесном состоянии [12],
v(x, 0) = д(х), x € П, (7)
3
^(х,г) = ^^(х,г)пДх) = 0, (х,г) € дП х [0,Т], (8)
г=1
^(х,г) = ^(х,г),ш>] - г(х,г)+ и(х,г), (х,г) € П х [0,Т], (9)
V- v(x,t) = 0, (х,г) € П х [0,Т]. (10)
Здесь п = (п^п2,п3) — вектор внешней нормали к границе области дП, v =
,v2,v3) — вектор скорости движения частиц жидкости, г = (г1,г2,г3) = (рХ1 ,рХ2 ,РХ3) —градиент нестационарного давления, [-,ш] —векторное произведение на вектор ш = (0, 0,ш) € К3, где ш — удвоенная угловая скорость вращения,
дvl дv2 дvз
V ■ v = ---+ ---+ —.
дх1 дх2 дх3
Неизвестными вектор-функциями являются v и г. Пара (и,д) задаёт управление.
Обозначим Ь2 = (Ь2(П))3, С = ^ € (С0°(П))3 : V ■ v = 0}. Замыкание линеала С по норме пространства Ь2 обозначим через . Это гильбертово пространство со скалярным произведением (■, ■) пространства Ь2. Существует представление Ь2 = Н ф Нп, где Нп — ортогональное дополнение к . Обозначим через П : Ь2 ^ Нп ассоциированный с этим ортогональным представлением ортопроектор.
Следуя подходу С. Л. Соболева [12], используем обобщённую постановку задачи (7)—(10), заменив уравнение несжимаемости (10) и граничное условие (8) на уравнение
ш(-,г) = 0, г € [0,т]. (11)
Очевидно, что оператор А : v ^ , ш = (0,0,ш), осуществляет линейное
непрерывное отображение из Ь2 в Ь2, при этом ||А|^(ь2) = |ш|. Нетрудно также показать, что имеет место действие оператора А : Нп ^ [13].
Положим £ = I — П, X = У = и = Н х Нп, Аа = А|н , тогда задачу (7), (9), (11) можно задать в виде (1), (2) с помощью операторов (подробнее см. в [14])
Ь = ( 0 0 ) € ^Л1), М = ( —I ) € ¿(Л1), в = 1 €Г(М).
В работе [14] показано, что в таком случае оператор М (Ь, 0)-ограничен.
Рассмотрим задачу оптимального управления с ограничением на функции управления
|¿2(0,Т;Ь2) + НУНИСТ
и с функционалом качества
Я2 (12)
1 2 1 2 3(г,г) = 2 ||г — ^0 ||Ь2(0,Т;Ь2) + 2 ||г — Г0^Ь2(0,Т^ 1п£ (13)
либо
1 2 1 2 3(г, г) = 2 |№) — ^ + 1 |г(Т) — Г0|^2 ^ ^ (14)
для системы (7), (9), (11). Определим пространства
2 = И2(0,Т; ) X И 1(0,Т; ), Я = Ь2(0,Т; Ь2) X .
Нетрудно заметить, что определённое таким образом пространство 2 соответствует пространству 2 из предыдущего параграфа при заданных X, У, и и операторах Ь, М.
Теорема 1. Пусть г0,г0 € Ь2(0,Т; Ь2). Тогда существует единственное решение (г),г,П,)) € 2 X Я задачи (7), (9), (11)—(13).
Доказательство. В силу очевидной выпуклости, замкнутости и ограниченности множества Яд, заданного условием (12), в пространстве Я утверждение теоремы следует из предложения 1. Поскольку оператор В инъективен, решение задачи управления единственно. □
Аналогичным образом из предложения 2 получим следующий результат.
Теорема 2. Пусть г0,г0 € Ь2. Тогда существует единственное решение (г),г,П,) € 2 X Я задачи (7), (9), (11), (12), (14).
Список литературы
1. Фурсиков, А. В. Оптимальное управление распределёнными системами. Теория и приложения / А. В. Фурсиков. — Новосибирск : Науч. кн., 1999. — 350 с.
2. Исламова, А. Ф. Задачи смешанного управления для линейных распределенных систем соболевского типа : дис. ... канд. физ.-мат. наук / А. Ф. Исламова. — Челябинск, 2012.
3. Плеханова, М. В. Оптимальное управление вырожденными распределёнными системами / М. В. Плеханова, В. Е. Федоров. — Челябинск: Издат. центр ЮУрГУ, 2013. — 174 с.
4. Федоров, В. Е. О гладкости решений линейных уравнений соболевского типа / В. Е. Федоров // Дифференц. уравнения. — 2001. — Т. 37, № 12. — С. 1646-1649.
5. Федоров, В. Е. Обобщение теоремы Хилле — Иосиды на случай вырожденных полугрупп в локально выпуклых пространствах / В. Е. Федоров. // Сиб. мат. журн. — 2005. — Т. 46, № 2. — С. 426-448.
6. Плеханова, М. В. Задача оптимального управления для одного класса вырожденных уравнений / М. В. Плеханова, В. Е. Федоров // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2004. — № 5. — С. 40-44.
7. Плеханова, М. В. Критерий оптимальности в задаче управления для линейного уравнения соболевского типа / М. В. Плеханова, В. Е. Федоров // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2007. — № 2. — С. 37-44.
8. Плеханова, М. В. Исследование линеаризованной системы уравнений Буссинеска методами теории вырожденных полугрупп / М. В. Плеханова, А. Ф. Исламова // Вестн. Челяб. гос. ун-та. — 2009. — № 20 (158). Математика. Механика. Информатика. Вып. 11. — С. 62-69.
9. Плеханова, М. В. О существовании и единственности решений задач оптимального управления линейными распределёнными системами, не разрешёнными относительно производной по времени / М. В. Плеханова, В. Е. Федоров // Изв. РАН. Сер. мат. — 2011. — Т. 75, вып. 2. — С. 177-194.
10. Исламова, А. Ф. Минимизация функционалов со слабой нормой на решениях вырожденного линейного уравнения. / А. Ф. Исламова // Вестн. ЮУрГУ. — 2011. — № 17 (234). Сер. «Мат. моделирование и программирование». Вып. 8. — С. 36-45.
11. Sviridyuk, G. A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov. — Utrecht; Boston : VSP, 2003. — vii+216 p.
12. Соболев, С. Л. Об одной новой задаче математической физики / С. Л. Соболев // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1954. — Т. 18. — С. 3-50.
13. Уразаева, А. В. Задачи прогноз-управления для некоторых систем уравнений гидродинамики / А. В. Уразаева, В. Е. Федоров // Дифференц. уравнения. — 2008. — Т. 44, № 8. — С. 1111-1119.
14. Гордиевских, Д. М. Решения начально-краевых задач для некоторых вырожденных систем уравнений дробного порядка по времени / Д. М. Гордиевских, В. Е. Федоров // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. «Математика». — 2015. — Т. 12. — С. 12-22.
Поступила в 'редакцию 15.05.2016 После переработки 12.06.2012
Сведения об авторах
Шуклина Анна Фаридовна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].
Плеханова Марина Васильевна, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры прикладной математики, Южно-Уральский государственный университет, доцент кафедры математического анализа, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2016. Vol. 1, iss. 2. P. 78-84.
MIXED CONTROL PROBLEMS FOR SOBOLEV'S SYSTEM A.F. Shuklina1'", M.V. Plekhanova1'2'6
1 Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia
2South Ural State University (National Research University), Chelyabinsk, Russia "[email protected], [email protected]
In the paper solvability conditions are obtained for robust mixed optimal control problems to the Sobolev's system of equations. Problems with a quality functional using the norm in Lebesgue space and with a terminal functional are considered.
Keywords: optimal control, robust control, mixed control, terminal functional, Sobolev's system of equations.
References
1. Fursikov A.V. Optimal'noe upravlenie raspredelyonnymi sistemami. Teoriya i prilozheniya. [Optimal control of distributed systems. Theory and Applications]. Novosibirsk, Nauchnaya kniga Publ., 1999. 350 p. (In Russ.).
2. Islamova A.F. Zadachi smeshannogo upravleniya dlya lineynykh raspredelyonnykh sistem sobolevskogo tipa [Mixed control problems for linear distributed systems of Sobolev type. Thesis]. Chelyabinsk, 2012. (In Russ.).
3. Plekhanova M.V., Fedorov V.E. Optimal'noye upravleniye vyrozhdennymi raspredelyonnymi sistemami [Optimal control for degenerate distributed systems]. Chelyabinsk, Publishing Center of South Ural State University, 2013. 174 p. (In Russ.).
4. Fedorov V.E. Smoothness of solutions of linear equations of Sobolev type. Differential Equations, 2001, vol. 37, no. 12, pp. 1731-1735.
5. Fedorov V.E. A generalization of the Hille — Yosida theorem to the case of degenerate semigroups in locally convex spaces. Siberian Mathematical Journal, 2005, vol. 46, no. 2, pp. 333-350.
6. Plekhanova M.V., Fedorov V.E. An optimal control problem for a class of degenerate equations. Journal of Computer and Systems Sciences International, 2004, vol. 43, no. 5, pp. 698-702.
7. Plekhanova M.V., Fedorov V.E. An optimality criterion in a control problem for a Sobolev-type linear equation. Journal of Computer and Systems Sciences International, 2007, vol. 46, no. 2, pp. 248-254.
8. Plekhanova M.V., Islamova A.F. Issledovanie linearizovannoy sistemy uravneniy Bussineska metodami teorii vyrozhdennykh polugrupp [Study of the linearized Boussinesq equations system by the methods of the theory of degenerate semigroups]. Vestnik Chelyabinskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika. Mekhanika. Informatika [Bulletin of Chelyabinsk State University. Mathematics. Mechanics. Informatics], 2009, no. 20, pp. 62-69. (In Russ.).
9. Plekhanova M.V., Fedorov V.E. On the existence and uniqueness of solutions of optimal control problems of linear distributed systems which are not solved with respect to the time derivative. Izvestiya: Mathematics, 2011, vol. 75, no. 2, pp. 395-412.
10. Islamova A.F. Minimizatsiya funktsionalov so slaboy normoy na resheniyakh vyrozhdennogo lineynogo uravneniya [Minimization of functionals with a weak norm on solutions of degenerate linear equation]. Vestnik Yuzhno-Ural'skogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya «Matematicheskoye modelirovaniye i programmirovaniye» [Bulletin of South Ural State University. Ser. Mathematical modeling and programming], 2011, no. 17 (234), pp. 36-45. (In Russ.).
84
A. fflyK^HHa, M. B. n^exaHOBa
11. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht, Boston, VSP, 2003. vii+216 p.
12. Sobolev S.L. Ob odnoy novoy zadache matematicheskoy fiziki [On a new problem of mathematical physics]. Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Ser. matematicheskaya [News of Academy of Sciences of USSR. Ser. mathematical], 1954, vol. 18, pp. 3-50. (In Russ.).
13. Urazaeva А.V., Fedorov V.E. Prediction-control problem for some systems of equations of fluid dynamics. Differential Equations, 2008, vol. 44, no. 8, pp. 1147-1156.
14. Gordievskikh D.M., Fedorov V.E. Resheniya nachal'no-kravevykh zadach dlya nekotorykh vyrozhdennykh sistem uravneniy drobnogo poryadka po vremeni [Solutions of initial boundary value problems for certain time fractional order degenerate systems of equations]. Izvestiya Irkutskogo gosudarstvennogo universiteta. Ser. Matematika [News of Irkutsk State University. Ser. Mathematics], 2015, vol. 12, pp. 12-22. (In Russ.).
Accepted article received 15.05.2016 Corrections received 12.06.2016
