CC BY
17
Челябинский физико-математический журнал. 2016. Т. 1, вып. 3. С. 15-36.
УДК 517.977
ЗАДАЧИ СТАРТОВОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ ДРОБНОГО ПОРЯДКА
М. В. Плеханова
Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия Южно-Уральский государственный университет, Челябинск, Россия mariner79@mail.ru
Найдены условия однозначной разрешимости начальной задачи Коши для линейного и нелинейного эволюционных уравнений с дробной производной Герасимова — Ка-путо в банаховых пространствах. Для задач стартового управления с различными функционалами качества для систем, описываемых такими уравнениями, доказаны теоремы существования решения, а в некоторых линейных случаях — и его единственности. Абстрактные результаты продемонстрированы на задачах для линеаризованного уравнения Осколкова — Бенджамена — Бона — Махони — Бюргерса и нелинейного уравнения метастабильных состояний полупроводников.
Ключевые слова: эволюционное уравнение, дробная производная Герасимова — Капуто, сильное 'решение, оптимальное управление, стартовое управление.
Введение
В работе рассматриваются задачи оптимального управления для эволюционных уравнений с дробной производной Герасимова — Капуто по времени вида
D?z(t) = Az(t) + B(t, z, D\z,..., Dtm-1z),
z(to) = uo, z'(to) = ui, ..., z(m-1)(to) = um-1,
u = (Uo,Ui, . . . ,Um-l) e U9,
J(z, u) ^ inf .
Здесь Da — дробная производная Герасимова — Капуто порядка m — 1 < а < m, m e N, D'k —обычные производные порядка k e {1, 2,... ,m— 1}, оператор A e L(Z) (линейный и ограниченный) задан на банаховом пространстве Z, B : (t0,T) х Zm ^ Z — нелинейный оператор, Uq - множество допустимых управлений, J — выпуклый функционал качества. В данной постановке управляющим воздействием является набор начальных данных для условий Коши, поэтому будем говорить о стартовом управлении.
Интерес к дробному исчислению в последние десятилетия связан с его активным применением в инженерных и естественнонаучных задачах [1; 2]. Математические аспекты решения уравнений с дробными производными раскрываются в многочисленных работах, к примеру, отметим [3; 4]. Ранее в работах автора исследовались как вопросы разрешимости начальных задач для вырожденных эволюционных уравнений [5-7], так и задачи управления для них [8-13]. Настоящая работа является шагом к исследованию задач оптимального управления для распределённых систем дробного порядка.
В работе сначала доказана разрешимость линейного уравнения с дробной производной = Лг(£) + / (£), £ € [0,Т), в классе сильных решений. При этом решение представлено с помощью функции Миттаг-Лёффлера. Затем рассмотрено нелинейное уравнение при условии каратеодориевости и равномерной липши-цевости по фазовой переменной нелинейного оператора В. Кроме того, в целях дальнейшего исследования задач стартового управления получены условия, гарантирующие повышенную гладкость решения.
Исследование задачи управления основано на применении абстрактной теоремы, приведённой, например, в монографии [14]. Решение понимается в смысле пары состояние-управление, минимизирующей функционал стоимости, причём управление должно принадлежать множеству допустимых управлений, а соответствующее состояние — разрешать начальную задачу в сильном смысле. Рассмотрены различные функционалы стоимости, при этом единственность решения задачи оптимального управления доказана лишь для линейных уравнений в гильбертовых пространствах. Заметим, что для работы с решениями дробных дифференциальных уравнений вводятся в рассмотрение функциональные пространства (£0,Т; 2).
Поскольку условие равномерной липшицевости нелинейного оператора по фазовой переменной во многих приложениях не выполняется, в работе приведены теоремы, использующие более мягкие требования. Во многих случаях нелинейный оператор удовлетворяет условию локальной липшицевости по фазовой переменной, равномерной по Тогда для разрешимости задачи стартового управления достаточно показать наличие допустимого управления, при котором существует решение начальной задачи. Подобным образом рассмотрены задачи управления для дробного уравнения метастабильных состояний в полупроводниках. На примере линеаризованного уравнения Осколкова — Бенджамена — Бона — Махони — Бюргер-са продемонстрированы результаты, касающиеся задач стартового управления для линейных дробных уравнений.
1. Сильное решение неоднородной задачи Коши для линейного уравнения дробного порядка
t
Определим для 8 > 0, t > 0 Jtsh(t) = (g s * h)(t) = f gs(t — s)h(s)ds, где gs(t) =
0
r(8)-1ts-1. Пусть a > 0, m — наименьшее целое, не превосходимое числом a, Df — обычная производная порядка m G N, Jt0 — тождественный оператор, D'à — дробная производная Герасимова — Капуто [3, 15, 16], т. е.
m—1
Dff (t) = Dmjm—a[ f (t) — £ f w(0)gfc+i(t) \ k=0
Для a, в > 0 определим функцию Миттаг-Лёффлера
n
E«,p (z) = £-Z-
n=0
Г(ап + в)'
Пусть 2 — банахово пространство. Введём в рассмотрение пространства Лебега Ьд(0,Т; 2) и пространства Соболева (0,Т; 2) = {/ € Ьд(о,Т; 2) : /(к) € Ьд(0,Т; 2)} при q € (1, то), к € N. Рассмотрим задачу Коши
г(к) (0) = гк, к = 0,1,...,т - 1, (1)
для неоднородного дифференциального уравнения
Б г(г) = Лг(г) + / (г), (2)
где а > 0, т — наименьшее натуральное число, не превосходимое числом а, Л Е С(2), / : [0,Т] ^2 при заданном Т > 0. Сильным решением задачи (1), (2)
/ т-1 \
назовём функцию г € Ст-1([0,Т]; 2), для которой дт-а * (г — ^ г(к\0)дк+1\ Е
\ к=0 ) Ш^т'(0,Т; 2), выполняются условия (1) и равенство (2) почти всюду на (0,Т).
Теорема 1. Пусть Л Е С(2), д > (а — т + 1)-1, / Е Ьч(0,Т; 2). Тогда щи любых гк Е 2, к = 0,1,... ,т — 1, существует единственное сильное pешениe задачи (1), (2), при этом оно имеет вид
1 г
т- 1
г (г) = ^ гк Еа>к+1(ЛЬа)гк + (г — в)а-1Еа>а (Л(г — в)а)/(в)ав. (3)
к=о 0
Доказательство. При к = 1, 2,... ,т — 1, I = 1, 2,... ,к имеем
1к-1Еа,к+1-1 (Лга), (4)
сР л Лп гап+к-1
— Ьк Еа,к+1(Ма) =У —- -тг
Г(ап + к + 1 — I)
п=0 4 '
агг
а при I = к + 1,к + 2,... ,т — 1
¿1 Лпгап+к-1
"777г Еа,к+1(Лга) = / ТГ,-17|1-а
аг Г(ап + к + 1 — I)
п=1 4 '
Поэтому для I = 1, 2,... ,т — 1 я т-1 1-1
^а+к I ЛЕа,а+к+1-1(Ма).
а1 Жг
т- 1
^гкЕт,к+1(Л1т) = ^ га+к-1 ЛЕа,а+к+1-1 (Лга) + ^ гк-г ЕМ-г (Лга),
к=0
к=0
аI т-1
Еа,к+1(Лга)гк
агг
к=0
ЕаЛ(Л1а)гг
г=о
к=1
г=о
гг.
Далее, используя формулы (4), получим почти всюду на (0,Т) при I 0,1,... ,т — 1
г
аг г
(г — в)а-1Еа,а(Л(г — в)а)/(в)ав =
г=о Л
агг
а
г-1
аг7-1
[(г — в)а-1Еа,а(Л(г — в)а)/(в)и] +
г=о
+
а
г-1
аг7-1
а
_ [(г — в)а-1Еа,а(Л(г — в)а)] /(в)ав
г=о
Так как д(а — т +1) > 1, в силу неравенства Гёльдера
(1 — в)а-тЕа,а-т+1(Л(1 — в)а) /(в)(1в
аг <
г
г
ч
г
q—1
(а — т)-
< С I / (г - в) -—=т- ¿в
Ь-(о,г,г) < СЛ/\\Ь-(о,г-,г).
Поэтому
в? J (г - в)а-1Еа,а(Л(г - в)а)/(в)<1в
о
г г-в
г вт—а—1 Г
ВТ ^-¡¿в (г - в - а)а—1 Еа,а(Л(г - в - а)а)/(а)ё.а
о
Г(т - а)
о
г г—в
/вт—а— 1 г
---¿в (г - в - а)а—тЕа,а—т+1(Л(г - в - а)а)/(а)ва
Г(т - а) ] оо
г г—а
Вг / (*)Ла
в
т—а—1
Г(т - а)
(г - в - я)а—тЕа,а—т+1(Л(г - в - а^в
г—а
Г Г лп{+ а _Ла(п+1)—т „т—а—1
Вг / (а)да £ / - в -а) ... в ¿в
о п=0 о
Г(т - а)Г(а(п +1) - т +1)
г 1
Г С (1 _ т)а(п+1)—ТтТ—а— 1
Бг /(а)^а£(г - а)апЛп I ^-^^-^--¿т
п=о
Г(т - а)Г(а(п +1) - т +1)
г г
= Бг! /(а)Еа,1(Л(г - а)а)^ = /(г) + |
оо
г
а1
в
¿гЕа,1(Л(г - в)а)
/ ^^ =
Л (г - в)а—1Еа,а(Л(г - в)а)/(в)(1в + /(г)
о
почти всюду на (0,Т). Используя при этом неравенство Гёльдера, получим
т г
Л (г - в)а—1Еа,а(Л(г - в)а)/(в)(1в
оо
¿г <
г
<
q— 1
а;-Т V Та тсю^гтю)) \и \\Ь-(о,Т ;Я),
поскольку ; > а 1 при а > 1 и ; > (а - т+1) 1 = а 1 при а € (0,1). Таким
т — 1
образом, функция дт—а * I г - ^ г(к)(0)дк+1 I лежит в Ж™(0,Т; 2) и г является
V к=о /
сильным решением задачи (1), (2).
Если существуют сильные решения у1 и у2 задачи (1), (2), то их разность г =
у1 - у2 является решением задачи Коши (1) с начальными данными гк = 0, к =
г
г
ч
0,1,...,т — 1, для однородного уравнения ^г(г) = Лг(г). Подействуем на обе части этого уравнения оператором и получим
г
т = I ( —(ар ЛгШв, (6)
о
при этом г € С([0,Т]; 2) даже при а € (0,1) по определению решения. Тогда
"г
тах ге[о,гл]
(г — в)
а—1
Г(а)
-Лz(в)dв
<
а гА
с(г)
Г(а + 1)
г ||с([0,*л] ;2).
Я
Поэтому интегральный оператор, определяемый правой частью равенства (6), является сжимающим в пространстве С ([0,£а]; 2) при выборе г а < (Г(а + 1)/||А||£(я)) а. Поэтому его единственная неподвижная точка — решение г = 0 на [0,£а]. Переходя к отрезку [¿а,¿2а] и т. д., получим единственность нулевого решения однородной задачи Коши на всём отрезке [0,Т]. □
Замечание 1. Нетрудно показать, что при / € С([0,Т]2) можно взять любое д > 1.
Следствие 1. Пусть д > (а — т + 1)—1, 7 € Ьд(0,Т; 2). Тогда щи любом г0 €2 существует единственное сильное pешениe задачи (1) для уравнения
ЭДг) = f (г),
г € [0,Т], при этом оно имеет вид
т—1 гк
м = £ Й гк +
к=0 ип
(г — в)
а1
Г(а)
7(в)
г
г
Доказательство. Возьмём в предыдущем случае непрерывный линейный оператор Л = 0 и получим требуемое. □
Следствие 2. Пусть Л € С(2), д> (а — т + 1) —1, 7 € Ьд(0,Т; 2), гк € 2, к = 0,1,... ,т—1. Тогда единственное сильное pешениe г задачи (1), (2) удовлетворяет, неравенству
т— 1
||г||Ст-1([0,Т];Я) < £ ак ||гк ¡Я + атМ (0,Т;Я) к=0
при некоторых константах ак > 0, к = 0,1,... ,т.
2. Задача Коши для полулинейного уравнения
Пусть Л € С(2), т € N т — 1 < а < т. Вообще говоря, нелинейный оператор В : (г0,Т) х 2т ^ 2 предполагается каратеодориевым, т. е. для всех г0,г1,..., гт—1 € 2 он задаёт измеримое отображение на (г0,Т) и для почти всех г € (г0,Т) является непрерывным по г0,г1,... , гт—1 € 2. Рассмотрим задачу Коши
г(к)(г0) = гк, к = 0,1,... ,т — 1
(7)
для полулинейного уравнения
D^ z(t) = Az(t) + B(t,z (t),z'(t),...,z(m-l)(t)). (8)
Сильным решением задачи (7), (8) на интервале (t0,T) называется функция z Е
/ m-l \
Cm-l([to,T]; Z), для которой 9m-a * z - £ z(k)(to)gk+i Е Wm(to,T; Z), выполня-
V k=0 J
ются условия (7) и почти всюду на (t0,T) выполняется равенство (8).
Лемма 1. Пусть д > (а — т+1)-1, А Е С,(2,), начальные значения z0, z1, . . . , zm-1 Е Z, отображение В : (Ь0,Т) х Zт ^ Z каратеодориево, для всех у0,у-\_,... ут-1 Е Z и почти всех Ь Е (Ь0,Т) выполняется оценка
m- l
\\b (t,vo,yi,.. .,vm-i )\\z < a(t) + \\vk\\z ,
k=0
где а Е Ья(Ь0,Т; К), с > 0. Тогда функция z является сильным решением задачи (7), (8) в том и только в том случае, когда для z Е Ст-1([Ь0,Т]; Z) и на [Ь0,Т] выполняется равенство
ml
z(t) = J2(t - to)kEa,k+l(A(t - to)a)zk +
k=0
+ ¡(1 - з)а-1Еаа(А(г — 8)а)В(8, z(s),z (1)(з),..., ¿т-1\8))й8. (10)
¿0
Доказательство. Пусть z — решение задачи (7), (8), тогда функция z Е Ст-1([Ь0, Т]; Z). В силу условия (9) оператор В является ограниченным и непрерывным из Шт-1(Ьо,Т; Z) (и тем более из Ст-1([Ь0,Т]; Z)) в Ьд(Ь0,Т; Z). Рассуждая, как при доказательстве теоремы 1, получим, что решение задачи удовлетворяет уравнению (10).
Пусть z Е Ст-1([Ь0,Т]; Z) на [Ь0,Т] удовлетворяет равенству (10), тогда В(•^(^),... ^(т-1">()) Е Ья(Ь0,Т; Z) и по аналогии с теоремой 1 проверяется, что z является сильным решением задачи (7), (8). □
Замечание 2. Вместо условия (9) можно наложить на оператор В условие непрерывности на [¿о,Т] х Zт по совокупности всех переменных. В таком случае для д достаточно, чтобы выполнялось условие д > 1.
Далее черта над символом будет означать, что речь идёт о наборе т элементов с индексами от нуля до т — 1, например г = ... ^т-1). Отображение В :
(Ь0,Т) х Zт ^ Z будем называть равномерно липшицевым по у, если существует такое I > 0, что при почти всех Ь Е (Ь0,Т), всех у, ^ из Zт выполняется неравенство
т- 1
\\В(Ь,у) — В(1,И)\\г < 1Т. \\Ук — zk\\г.
к=0
Теорема 2. Пусть д > (а — т + 1)-1, А Е С^), отображение В : (Ь0,Т) х Zm ^ Z каратеодориево, равномерно липшицево по у, при некотором V Е Zm В(•,ь) Е Ья(Ь0,Т; Z). Тогда при любых z0, z1,..., zm-1 Е Z задача (7), (8) имеет, единственное сильное решение на (Ь0,Т).
t
Доказательство. Из равномерной липшицевости следует, что для любого у € 2Г' при почти всех г € (г0,Т)
т— 1 т— 1
||В(г,у)||я < ЦВ(г,ь)у +1 £ К||я +1 £ ||ук||я,
к=0 к=0
т— 1
поэтому условие (9) выполняется с а(г) = ЦВ(г,7ю)Цг + 1 ^ ||^к||Я, с = I.
к=0
Согласно утверждению леммы 1 достаточно показать, что уравнение (10) имеет единственное решение г € Ст—1([г0,Т]; 2). В банаховом пространстве Ст—1([г0,Т]; 2) определим оператор С равенством
т— 1
С(у)(г) = £(г — г0)к Еа,к+М(г — г0)а)гк +
к=0
+ У (г — в)а—1Еа,а(Л(г — в)а)В(в,у(в),у(1)(в), . . .,у(т—1)(в)) dв. го
В силу теоремы 1 С : Ст—1([г0,Т]; 2) ^ Ст—1([г0,Т]; 2).
Через Сг обозначим г-ю степень оператора С, г € N а при Т — г0 < 1 заменим Т — г0 в дальнейших рассуждениях на единицу. Для г € [г0, Т], п = 0, 1,..., т — 1, г € N у, г € Ст— 1([г0, Т]; 2) докажем по индукции неравенства
||[СГ(у)](п)(г) — [Сг(г)](п)(г)||я < КГ(г — г0)а—т+Г||у — т-1(№), (11)
т(г — 1)!
где K = ml (а - m + 1)-1(T - to)a max Ea,a-n((T - to)a\\A\\c(z)). При r = 1,
n=0,...,m-1
n = 0,1,... ,m - 1 имеем в силу неравенства Гёльдера
\\[G(y)](n)(t) - [G(z)](n)(t)\\z < Ea,a-n((t - t0)a\\A\\c(z))x
t
x f(t - s)a-1-n\\B(s,y(s),.. .,y(m-1)(s)) - B (s,z(s),..., z(m-1)(s))\\z ds <
to
1(г _ г )а—т+1(Т _ г )т—1—п
< 1(г г0) г0)-Еа,а—п((Т — г0 )а ||Л||£(я))||у — г ||ст-1 (№).
В предположении, что при г — 1 неравенство (11) выполняется, получим
К }т— 1
||[СГ(у)](п)(г) — [Сг(г)](п)(г)|я < - £ ||[Сг—1(у)](к)(в) — [Сг—1(z)](k)(в)|zdв <
т I —'
K rm-1
:r(y)](n)(t) - [Gr(z)](n)(t)\u < K I V \\[Gr-1(
m
to k=0
t
< K i Kr-1(s - t0)a-m+;-1\y - z Bcm-.([,o,T];Z) ds <
J m(r - 2)!
to
< KГ (t - to)"-m+r\\y - Z\\pm-l ([to,T];Z) ^ Kr (t - to)"-m+r\\y - Z»Cm-l([<Q ДО) _ m(a - m + r)(r - 2)! m(r - 1)!
t
Из (11) следует, что при г Е N
Кг(Т - 1о)а-т+г\\у - г\\ст-Ч^0,т
\\[СГ(у)] - [СгШст-^тъг) <
(г - 1)!
Следовательно, если г достаточно большое, Ог является строгим сжатием в Ст-1([г0,Т]; 2), поэтому имеет в нём единственную неподвижную точку. Она и является единственным решением уравнения (10) в пространстве Ст-1([г0, Т]; 2), а значит, и единственным сильным решением задачи (7), (8) на интервале (г0,Т). □
Следствие 3. Пусть д > (а - т + 1)-1, отображение В : (г0,Т) х 2т ^ 2 карат,еодориево, равномерно липшицево по у, при некотором V Е 2т ВЕ Ьд (г0,Т; 2). Тогда для любых г0,г1,..., гт-1 Е 2 задача (7) для уравнения
Б?г(Ь) = В (г,г(г),г(1)(г),...,г(т-1)(г))
имеет единственное сильное решение на (г0,Т).
При дальнейшем исследовании нам понадобится дополнительная гладкость решения. Рассмотрим при а > 1 уравнение
Б^г^) = Лг (г) + В (г, г(г),г(1) (г),..., г(т-2)(г)) + f (г) (12)
с независящей от г и её производных функцией f, гладкость которой будет предполагаться минимально необходимой.
Теорема 3. Пусть а > 1, д > (а - т + 1)-1, Л Е С(2), п Е N В Е Сп([г0,Т] х 2т-1; 2) равномерно липшицево по у, f Е Шд(Ь0,Т; 2). При этом для г, удовлетворяющего условиям (7), (12), выполняются равенства
[В (г, г(г),г(1)(г),..., г (т-2)(г))] = -f (к)(1о), к = 0,1,...,п - 1. (13)
¿=¿0
Тогда для любых г0,г1,..., гт-1 Е 2 существует единственное сильное решение г задачи (7), (12), при этом г Е Ст-1+п([г0,Т]; 2).
Доказательство. Отметим, что при а > 1 получится т > 2.
Рассмотрим г(т)(г) как т-ю производную правой части выражения (10). Очевидно, что первая сумма в этом выражении бесконечно дифференцируема как целая функция, для интеграла же получим в силу условий на В
(г - в)а-1Еа>а(Л(г - в)а)В (в, г (в),г(1)(в),..., г(т-2)(в)^в =
¿0
г
= А У (г - в)а-тЕа,а-т+1(Л(г - в)а)В(в, г(в),г(1)(в),..., г(т-2\в))йв = ¿0
А у ва-тЕа>а-т+1(Лва)В(г - в, г (г - в),г(1)(г - в),..., г(т-2)(г - в)^в 0
= (г - го)а-т
(Л(г - го)а)В(го , . . . , гт—2 ) +
I
t-to
+ J (t - s)a-mEaa-m+i(A(t - s)a)Dt[B(s,z(s),z(l)(s),..., z(m-2)(s))]ds = 0
t-to
= f (t - s)a-mEa,a-m+i(A(t - s)a)Dt[B(s,z(s),z(l)(s),..., z(m-2)(s))]ds. 0
Имея производную m-го порядка, мы можем аналогичным образом вычислить следующую производную:
t
Dm+l J(t - s)a-lEa,a(A(t - s)a)B(s, z(s),z(l)(s),..., z(m-2)(s))ds =
to
t-to
сЛа-m ^ { Л {+ г
(t - s)a-mE«;«-m+l(A(t - s)a)D2[B(s,z(s),z(l)(s),... ,z(m-2)(s))]ds.
0
Продолжая этот процесс, получим требуемое. □
3. Абстрактная задача управления
Коротко сформулируем некоторые общие результаты теории управления (см. [14]), которые в дальнейшем будем использовать.
Пусть ф, V — линейные нормированные пространства, фъ Я — рефлексивные банаховы пространства, причём непрерывно вложено в ф. Рассмотрим следующую задачу управления
£(у,и) + до = 0, (14)
и е Яд, (15)
3(у,и) ^ Ы. (16)
Здесь Яд — непустое, замкнутое, выпуклое подмножество пространства управлений Я, функционал стоимости 3(у, и) выпуклый, полунепрерывный снизу и ограниченный снизу на ф х Яд, линейный оператор £ : х Я ^ V непрерывен, 5о е V — заданный вектор.
Множеством ОТ допустимых пар (у, и) задачи (14)-(16) называется множество пар (у,и) е х Я, удовлетворяющих соотношениям (14), (15), для которых 3(у, и) < то.
Предполагается выполнение условия нетривиальности (т. е. ОТ = 0) и ко-эрцитивность функционала 3, означающая, что для любого К > 0 множество {(у, и) е ОТ : 3(у,и) < К} ограничено в х Я.
Решением задачи (14)-(16) называется пара (у, и) е ОТ, для которой 3(у, и) = т£ 3(у, и).
(у,и)его
Теорема 4. Пусть выполнены все условия, сформулированные в данном параграфе. Тогда задача (14)-(16) имеет решение (у, и) е х Яд. Если функционал 3 строго выпуклый на ф х Яд, то это решение единственно.
Для рассмотрения задачи управления для нелинейного уравнения понадобятся дополнительные условия. Пусть ф-1 — такое линейное нормированное пространство, что вложение ф С непрерывно, и выполнены условия:
(1) вложение Yi С Y-1 компактно;
(2) существует такое всюду плотное подмножество S пространства V*, что для любого v E S функционал y ^ {F(y),v)V продолжается по непрерывности с Yi на
Y-i.
Рассмотрим задачу управления (15), (16) для нелинейного уравнения
L(y,u) + F(y) = 0, (17)
где нелинейный оператор F : Yi ^ V непрерывен. Определения множества допустимых пар и решения задачи управления переформулируются с учётом замены уравнения (14) на уравнение (17).
Теорема 5. Пусть выполнены условия, сформулированные в данном параграфе. Тогда задача (15)-(17) имеет решение (y,u) E Y1 х .
4. Стартовое управление для линейного уравнения дробного порядка
Пусть Z — банахово пространство, A Е L(Z), f : (t0,T) ^ Z. Рассмотрим задачу стартового управления
D^z(t) = Az(t) + f (t), t Е (to,T), (18)
z(k)(t0) = uk ,k = 0, l,...,m — 1, (19)
u = (Uo,Ui, . . . ,um-i) EUq , (20)
J(z, u) ^ inf, (21)
в которой управление осуществляется за счёт выбора начальных данных системы. Здесь Ud — множество допустимых управлений, J — функционал качества, m Е N, m — l < a < m.
Решения задачи (18), (19) будем искать в пространстве
Qaq (to,T ; Z ) = ^ z Е Cm-i([to,T]; Z ) : gm-a * (z z(k) (ta)gk+^j E Wm(to,T ; Z )
Лемма 2. Qa,q(t0,T; Z) является банаховым пространством с нормой
llzllsa,q (to,T;Z) = \\z\\cm-1([t0,T];Z) + llDrzIUq (to ,T ;Z).
Доказательство. По сути, необходимо доказать замкнутость оператора Df : Cm-i([t0,T]; Z) ^ Lq(t0,T; Z) c областью определения Qaqq(t0,T; Z). Представим его в виде Df = RLDaSm, где RLDa — дробная производная Римана — Лиувилля,
m- i
Smz = z — £ z(k')(to)gk+i. Очевидно, что оператор Sm действует непрерывно из k=0
Qa,q(t0,T; Z) с нормой пространства Cm-i([t0,T]; Z) в пространство Ra,q,o = {z E Lq(to,T; Z) : gm-a * z E Wm0(t0,T ; Z )} снабжённое нормой Lq (t0,T ; Z ). Оператор же RLD? : Ra,q,o ^ Lq(t0,T; Z) замкнут в силу леммы 1.8 (a) [3, с. 15]. □
Лемма 3. При q(m — a) > 1 пространство Wqm(t0,T; Z) непрерывно вложено в Qa,q (to,T ; Z ).
Доказательство. В силу теоремы вложения Соболева и неравенства Гёльдера имеем
\\z Wfia,, (to,T;Z) < CillzllWm(to,T ;Z) + WA^Uq (to,T;Z) <
<(с + ( д -1 У-1/д (г - г°)т-а\ .им
- ^ Чг(т - а)((т - а)д - 1) ^ ((т - а)^ I|гKm(íо'T;I),
что и требовалось доказать. □
Введём в рассмотрение непрерывный оператор 70 : С([10,Т]; 2) ^ 2, т0х = х(Ь0). Естественно, он является непрерывным и на пространстве (10,Т; 2), т. е.
70 €¿(2^(1о,Т; 2); 2).
Множество наборов (г, и) = (г,и0,и1,... , ит—1) будем называть множеством допустимых наборов ОТ задачи (18)-(21), если г € (10,Т; 2) — сильное решение задачи (18), (19) с и € Ыд и 3(г, и) < то. Задача (18)-(21) заключается в нахождении наборов (г, и) = (г,й0,й1,... ,йт—1) € ОТ, минимизирующих функционал качества: 3 (£,и)= т£ 3 (г,и).
Теорема 6. Пусть а > 0, д> (а - т + 1)-1, А € £(2), f € Ья(^,Т; 2), Ыд — непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства 2т, в банахово пространство ф С Ьд(10,Т; 2) непрерывно вложено (10,Т; 2), функционал качества 3 выпуклый, ограниченный снизу и полунепрерывный снизу на ф х 2т, коэрцитивный на пространстве (10,Т; 2) х 2т. Тогда существует решение (г, и) € 2а,д(10,Т; 2) х Ыд задачи (18)-(21). Если функционал 3 является строго выпуклым на ф х 2т, то решение задачи (18)-(21) единственно.
Доказательство. По теореме 1 существует единственное сильное решение задачи (18), (19) при любом и = (и0,и1,... ,ит-1) € Ыд, следовательно, множество допустимых пар ОТ непусто. Положим = (10, Т; 2), Я = 2т с нормой
(т— 1
У, 1КIII к=1
V = Ьд (10, Т; 2) х 2т, £ = -(Л 0, 0,..., 0) € V, линейный оператор £(г,и) = (Б^г - Аг,^0г - и0,^0г' - и1,... ,/у0г(т—1) - ит—1). Имеем
КБ?г - Аг,^0г - и0,ъг(1) - Щ,... ,ъг(т—1) - ит—1)Цьч(ь0,Т1)*1т -
- С1 (||г||еа,,(*о,Т;1) + Ы^) = С1|(г,и)|Са,,(*0,Т;1)хЯ. Поэтому оператор £ : хЯ ^ V непрерывен. По теореме 4 получим требуемое. □ Рассмотрим задачу с функционалом
т— 1
3(г, и) = ||г - г^||ст-1([4о,т];1) + 5 £ ||ик - иак ||| ^ т£ (22)
к=0
при заданных га € Ст— ^[¿^Т]; 2), иак € 2, к = 0,1,... ,т - 1, 5 > 0.
Следствие 4. Пусть а> 0, д> (а - т + 1) —1, А € £(2), f € Ьд(10,Т; 2), Ыд — непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства 2т. Тогда существует решение (г, и) € 2а,д(10,Т; 2) х Ыд задачи (18)-(20), (22).
Доказательство. Достаточно взять ф = Ст— ^[¿0,Т]; 2), чтобы все условия теоремы 6 выполнялись. Действительно, его выпуклость, ограниченность снизу и непрерывность на ф х Я очевидны, при этом
||г||аа,? (гоТ!) + ||и||1т = ||г ^^^([гоТ]!) + ||БГг|кч (*о,Т;1) + ||и||1т —
< (1 + (Т - 1о))1/*\\Л\\с{г)Шст-Ч[г0,т]г) + \И\\ьч{г0,т-г) + \\и\\гт <
< Сх3(г,и) + С2(3(г,и) + С3)1/2 + С4 < С1Я + С2(Я + С3)1/2 + С4,
если 3(г, и) < Я. Отсюда следует коэрцитивность функционала на х и. □
Пусть минимизируется функционал
т—1
3*(г, и) = \\г - оТ.г) + 5 ^ \\щ - щк\\| ^ (23)
при I е{0,1,... ,т - 1}, е Ш1д(го,Т; 2), иЛ , к = 0,1,...,т - 1, 5 > 0.
Следствие 5. Пусть а > 0, д > (а - т + 1)-1, А е С(Я), f е Ьд(г0,Т; Я), Ыд — непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства Ят. Тогда существует решение (г, и) е Я,а,д (к0,Т; Я) хЫд задачи (18)-(20), (23). Если Я — гильбертово пространство, а д = 2, то решение задачи (18)-(20), (23) единственно.
При доказательстве коэрцитивности функционала в условиях данного утверждения используется следствие 2:
\\4я*,ч(ь,т;г) + \\и\\г™ < (1 + (Т-Ьо))1/я\\А\\с(г))\\г\\ст-1{[г0,т]; z) + \\f \\ьч(г0,т-г) + \\и\\г™ <
< С1 (\\1 \\ьч (г0,т - г) + \\и\\гт) < С23, (г, и) + С3.
Аналогичным образом можно исследовать случай задачи с терминальным функционалом
т- 1
3о(г,и) = \\г(Т) - га\\% + 5 ^ \\ик - иак\\% ^ ^ (24)
к=0
при е Я, иак е Я, к = 0,1,... ,т - 1, 5 > 0.
Следствие 6. Пусть а> 0, д> (а - т + 1)-1, А е С(Я), f е Ья(г0,Т; Я), Ыд — непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства Ят. Тогда существует решение (г, и) е (Ь,Т; Я) х Ыд задачи (18)-(20), (24).
Более сложной является задача с функционалом
т- 1
(г,и) = \\г - -,г) + 5^2 \\ик - иак\\2г ^ ^ (25)
к=0
при заданных е Шт(10,Т; Я), иак е Я, к = 0,1,... ,т - 1, 5 > 0.
Следствие 7. Пусть а > 0, д > тах{(а - т + 1)-1, (т - а)-1}, А е С (Я), f е Ш1(Ь0,Т; Я), f (10) = 0, Ыд — непустое выпуклое замкнутое подмножество Ят. Тогда существует решение (г, и) е ; Я) х Ыд задачи (18)-(20), (25).
Если Я — гильбертово пространство, а д = 2, то решение задачи (18)-(20), (25) единственно.
Доказательство. Возьмём = Ф = ,Т; Я). Тогда непустота множества
т. е. существование решения задачи (18), (19) из Шт(Ь0, Т; Я), следует из теоремы 3 о существовании решения повышенной гладкости, в которой надо взять нелинейный оператор В нулевым.
Непрерывность линейного оператора £ из доказательства теоремы 6 следует из леммы 3, условия на функционал (25) выполняются очевидным образом. □
Пусть теперь а = т € N т. е. уравнение имеет вид
Втг(1) = Аг(1) + f(1), 1 € (10,Т). (26)
Тогда возьмём = ^^(¿0,Т; 2), и теорема о разрешимости задачи со стартовым управлением примет следующий вид.
Теорема 7. Пусть д > 1, А € £(2), f € Ьд(10,Т; 2), Ыд — непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства 2т, в банахово пространство ф С Ьд(10,Т; 2) непрерывно вложено Ш^(10,Т; 2), функционал качества 3 выпуклый, ограниченный снизу и полунепрерывный снизу на ф х 2т, коэрцитивный на пространстве Шдр (10,Т; 2)х2т. Тогда существует решение (г, и) € Ш^(10,Т; 2)хЫд задачи (19)-(21), (26). Если функционал 3 является строго выпуклым на ф х 2т, то решение задачи (19)-(21), (26) единственно.
Доказательство. Рассуждая по аналогии с предыдущим доказательством, воспользуемся непрерывностью вложения Ш^(10,Т; 2) в Ст—1([10, Т]; 2). □
Для задачи минимизации функционала
т— 1
3д(г, и) = ||г - гаЦ^^^т-^) + 5 £ ||ик - Щк ||| ^ т£, (27)
к=0
I € {0,1,... ,т - 1,т}, 5 > 0, получим следующий результат.
Следствие 8. Пусть д > 1, А € £(2), f € Ьд(10,Т; 2), Ыд — непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства 2т. Тогда существует решение (г, и) € Ш^(10,Т; 2) х Ыд задачи (19), (20), (26), (27). Если при этом пространство 2 гильбертово, а д = 2, то решение задачи (19), (20), (26), (27) единственно.
Доказательство. Возьмём ф = ^(¿0,Т; 2). При I = т - 1 из условия 3д(г, и) — Я в силу уравнения (26) следует, что
||г||Щт(го ,Т;!) + ||и||!т = ||г||Щт-1(го,Т;1) + ||БГг|к„ (го,Т;!) + —
— (1+|А|£(|))|г|щт(го,Т;1) + |и||т + (го,Т;1) — С1(Я + С2)1/д + Сз(Я + С4 )1/2 + С5.
Поэтому функционал 3 д коэрцитивен на ,Т; 2) х 2т. При I = т утверждение
очевидно, при I € {0,1,... ,т-2} надо воспользоваться следствием 2, как в задачах с функционалами (23), (24).
Единственность решения следует из строгой выпуклости функционала 32, являющегося квадратом нормы в гильбертовом пространстве Ш1д(10,Т; 2) х 2т. □
Аналогичным образом с помощью следствия 2 можно исследовать задачу минимизации функционала (24) для уравнения (26). Соответствующий результат имеет следующий вид.
Следствие 9. Пусть д > 1, А € £(2), f € Ьд(10,Т; 2), Ыд — непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства 2т. Тогда существует решение (г, и) € Шт(г0,Т; 2) х Ыд задачи (19), (20), (24), (26).
5. Полулинейное невырожденное уравнение дробного порядка со стартовым управлением
Пусть 2 — банахово пространство, А € £(2), В : (Ь0,Т) х 2т— 1 ^ 2. Рассмотрим задачу стартового управления
^г(1) = Аг(Ь) + В(í,г(í),г/(í),...,г(m—2)(í)), Ь € (¿0,Т), (28)
г(к)(10) = ик, к = 0,1,...,т - 1, (29)
и = (и0,и1, . . . ,ит—1) € Ыд, (30)
3(г, и) ^ т£, (31)
где Ыд — множество допустимых управлений, 3 — некоторый функционал качества, т € М0, т - 1 < а — т.
Теорема 8. Пусть а> 1, д> (а - т + 1)—1, А € £(2), В : (Ь0, Т) х 2т—1 ^2 — карат,еодориево, равномерно липшицево по г € 2т—1 отображение, при некотором у € 2т—1 выполняется В(-,у) € Ьд(Ь0,Т; 2). Предположим, что Ыд — непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства 2т, пространство 2а,д(10,Т; 2) непрерывно вложено в банахово пространство ф, которое, в свою очередь, непрерывно вложено в Шд™-2(Ь0,Т; 2), функционал качества 3 выпуклый, ограниченный снизу и полунепрерывный снизу на ф х 2т, коэрцитивный на пространстве 2а,д(Ь0,Т; 2) х 2т. Тогда существует решение (г, и) € 2а,д(10,Т; 2) х Ыд задачи (28)-(31).
Доказательство. В силу теоремы 2 множество ОТ допустимых наборов непусто. Определим пространства = 2а,д(10,Т; 2), Я = 2т, V = Ьд(Ь0,Т; 2) х 2т и операторы
£(г,и) = (Б^г - Аг,^г - Щ,ъг/ - щ,... ,^0г(т-1) - «т— 1), £(г(-)) = -(В (-,г(-),г /(■),..., г(т-2) (■)), 0, 0,..., 0).
Непрерывность линейного оператора £ очевидна. Докажем непрерывность нелинейного оператора £ : 0-а,д(10,Т; 2) ^ V и выполнение остальных условий теоремы 5 при ф—1 = Шдт—2(10,Т; 2).
Из соотношения ||гп-г||да (¿отт) ^ 0 при п ^ то и равномерной липшицевости оператора В следует, что
|В(.,г„(-),гП1) (■),..., гПт-2)(-)) - В(-, г(-), г(1)(-),..., г(т—2)(-)) (го,т ;1) —
т— 2
— С1 £ ||гПк) - г(к) |С([го,т];|) ^ 0,
"п
к=0
отсюда получаем, что оператор £ : 2а,д(10, Т; 2) ^ V непрерывен.
Взяв ф—1 = Шд^-2(Ь0,Т; 2), проверим остальные условия теоремы 5. Пространство 2а,д(Ь0,Т; 2) вложено в Шт-1(Ь0,Т; X) и по теореме Реллиха — Кондрашова компактно вложено в Ш^™-2(10,Т; X). Для V* € (Ьд(Ь0,Т; 2))* в силу равномерной липшицевости В
^*(В (-,гп(-),гП1)(-),...,гПт—2)(-)) - В (■, г(-), г(1)(-),..., г(т—2)(-)))| —
— C1||v*||(Lq(го,Т;!))* 11гп - г^Щт-2(го,Т;Х).
Это позволяет сделать вывод о непрерывной продолжимости функционала эд(-) = v*(F(•)) из аа,д(10,Т; 2) на ф-1. □
Рассмотрим задачу с функционалом
т1
3(г, и) = \\г - га\ст-1([г0,т];г) + 5 ^ \К - Щк\\% ^ ^ (32)
к=0
при заданных е Ст-1([Ь0,Т]; Я), иак е Я, к = 0,1,... ,т - 1, 5 > 0.
Следствие 10. Пусть а > 1, д> (а-т + 1)-1, А е С(Я), В : (Ь0,Т) хЯт-1 ^ Я — карат,еодориево, равномерно липшицево по г е Ят-1 отображение, при некотором у е Ят-1 выполняется В(-,у) е Ьд(Ь0,Т; Я), Ыд — непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства Ят. Тогда существует решение (г,и) е (Ьо,Т; Я) х Ыд задачи (28)-(30), (32).
Доказательство. Имеют место непрерывные вложения Qa,q(Ь0,Т; Я) С ф = Ст-1([Ь0,Т]; Я) С Ш^-2(1о,Т; Я). Покажем коэрцитивность функционала качества из (32) на Qa,q(Ь0,Т; Я) х Ят. Имеем в силу условий на В
\\В(Ь,г(1),г(1)(1),...,г(т-2)(1))\Ьд{<0,т-г) <
т-2
< \\г(к - Ук К (10,т;г) + С1 < С2\\А\ст-1([ь0,т];г) + С3.
Поэтому
к=0
\\г\\еа,ч(ро,т-,г) + \\и\\гт < С4\\А\ст-1([ь0,т];г) + \\и\\гт + + \\В(Ь,г(1),г(1)(1),...,г(т-2)(1))\\Ьд^тг) < < (С2 + С4)\\г\\ст-1([г0,т]-г) + \\и\\гт + С3 < < (С2 + С4)3(г, и) + С5(3(г, и) + С6)1/2 + С7. Из теоремы 8 следует требуемое. □
Рассмотрим задачу стартового управления без предположения равномерной липшицевости оператора В, заменив его условием локальной липшицевости В по г е Я, равномерной по Ь е [Ь0, Т].
Назовём отображение В : [Ь0,Т] х Ят ^ Я локально липшицевым по г е Я равномерно по Ь е [Ь0,Т[, если для любого г е Я существуют 5,1 > 0, такие, что
т- 1
при всех у е Я, для которых £ \\ук - гк\\г < 5, для всех Ь е [Ь0,Т] выполняется
к=0
неравенство
т- 1
\\В(Ь,уо,у1,..., Ут-1) - В(Ь,го,г1,.. .,гт-1)\\г < 1^2 \\Ук - гк\\г.
к=0
Теорема 9. Пусть а > 1, д > 1, А е С(Я), В е С([Ьо,Т] х Ят; Я) — локально липшицево по у е Я равномерно по Ь е [Ь0,Т] отображение, Ыд — непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства Ят, для некоторого набора (и0,и1,... ,ит-1) е Ыд существует сильное решение задачи (28), (29); пространство Qa,q(Ь0,Т; Я) непрерывно вложено в банахово пространство ф, которое, в свою очередь, непрерывно вложено в пространство Ш*т'-2(10,Т; Я); функционал качества 3 выпуклый, ограниченный снизу и полунепрерывный снизу на ф х Ят, коэрцитивный на пространстве Qa,q(Ь0,Т; Я) х Ят. Тогда существует решение (г, и) е Qa,q(Ь0,Т; Я) хЫд задачи (28)-(31).
Доказательство. Если ||гп — г||е (¿0,тг) ^ 0 при п ^ то, то при достаточно большом п е N сразу для всех £ е [¿0, Т] ||гПк)(£) — г(к)(£) ||г < при к = 0,1,..., ш — 1, поэтому
ЦВ^О,^ (■),..., ^(О) — В(, г(-), г(1)(-),..., г (т-2)(-)) Ц^ ^т; я) <
т-2
< С Е ||гПк) — г(к) |к(4о,тг ^ 0. к=0
Следовательно, оператор ^ : (¿0,Т; 2) ^ V непрерывен. В остальном доказательство стандартно. □
Следствие 11. Пусть а > 1, д > 1, А е £(2), В е С([¿0,Т] х 2т; 2) - локально липшицево по у е 2 равномерно по £ е [¿0,Т] отображение, Ыд — непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства 2т, для некоторого набора (и0,и1,..., ит-1) е ид существует сильное решение задачи (28), (29). Тогда существует решение (¿,и) е <2«,д(¿0,Т; 2) х Ыд задачи (28)-(30), (32).
Доказательство. При 3(г, и) < Я получим
11 ^ | 0-а,д (*о ,Т;Я) + ||и|ят < С1||г||Ст-1([40,Т];г) + ||и|ят +
+ ||В(£,г(£),г(1)(£),... ,г(т-2)(£))|ьч^,т;г) < С1Я + С2(Я + Сз)1/2 + С4 +
+ С5тах{||В(¿,^0,^1,... ,^т-2)|и : £ е [¿0,Т], ||гк||г < Я, к = 0,1,... ,ш — 2}.
Следовательно, функционал (32) коэрцитивен на <2а,д(£0, Т; 2) х 2т, и из теоремы 9 при ф = Ст-1([£0, Т]; 2) следует требуемое. □
В случае функционала качества
т- 1
3(г, и) = ||г — ^||^т(4о,Т-г) + ^ £ И^к — «л||| ^ т£ (33)
к=0
при заданных е Ж™(£0, Т; 2), е2, к = 0,1,... , ш — 1, ^ > 0 получим теорему разрешимости следующего вида.
Теорема 10. Пусть а > 1, д > тах{(а — т + 1)-1, (ш — а)-1}, А е £(2), отображение В е С 1([£0,Т] х 2т; 2) равномерно липшицево по г е 2т, Ыд — непустое выпуклое замкнутое подмножество 2т. Тогда существует решение (г, и) е Ж(?т(£0,Т; 2) х Ыд задачи (28)-(30), (33).
Доказательство. Возьмём пространства ф = = (¿0,Т; 2), ф-1 =
Ждт-1(£0,Т; 2), Я = 2т, V = Ь„(¿0,Т; 2) х 2т. По теореме 3 задача (28), (29) имеет решение г из пространства Ж™(£0,Т; 2), поэтому множество ОТ непусто. В остальном доказательство аналогично предыдущим. □
Сформулируем аналогичное утверждение, не использующее равномерную лип-шицевость оператора В.
Теорема 11. Пусть а > 1, д > 1, А е £(2), В е С([¿0,Т] х 2т; 2) — локально липшицево по у е 2 равномерно по £ е [¿0,Т] отображение, — непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства 2т, для некоторого набора (и0, и1,..., ит-1) е задача (28), (29) имеет сильное решение из класса Ж™(£0,Т; 2). Тогда существует решение (г, и) е Ж™(£0,Т; 2) х задачи (28)-(30), (33).
6. Стартовое управление для линеаризованного уравнения Осколкова — Бенджамена — Бона — Махони — Бюргерса
Нелинейные поверхностные волны, распространяющиеся вдоль направления оси Ox с учётом вязкости, а также некоторые другие процессы моделируются псевдопараболическим уравнением Осколкова — Бенджамена — Бона — Махони — Бюргерса [17; 18]
wt — wxxt = pwxx + ywx — wë wx,
в котором заданы числовые параметры fi,Y,ô Е R. В случае в = 0, Y = ô = 1 получается уравнение Осколкова — Бенджамена — Бона — Махони. В области (a,b) х [t0, <х) рассмотрим начально-краевую задачу
д k w
(x, t0) = vk(x), k = 0,1,... ,m — 1, x Е (a,b), (34)
dw dw
w(a,t) = w(b,t), -7— (a,t) = -¿—(b,t), t > t0, (35)
dx dx
для линеаризованного в нуле (при ô > 0) уравнения Осколкова — Бенджамена — Бона — Махони — Бюргерса дробного порядка по времени
D> — Dtawxx = ewxx + jwx, x Е (a, b), t > t0. (36)
Теорема 12. Пусть в,Y Е R, vk Е X, k = 0,1,... ,m — 1. Тогда задача (34)-(36) имеет единственное сильное решение.
Доказательство. Обозначим Z = {v Е H2(a,b) : v(a) = v(b),v'(a) = v'(b)}, У = L2 (a,b), L = 1 — d2", M = в + Y dx. Покажем, что в данном случае L—1 Е С(У; Z). Тогда задача (34)-(36) редуцируется к задаче Коши (1) для невырожденного уравнения (2) с линейным оператором A = L-1M, ограниченным на пространстве Z.
Действительно, многочлен P2(X) = 1 + X2 не имеет нулей на множестве а = {2nk(b — a)-1 : k Е Z} С R, что влечёт непрерывную обратимость оператора L. Тем самым уравнение принимает вид D'àv(t) = Av(t), где оператор A = L-1M : Z ^ Z непрерывен как композиция непрерывных операторов. По теореме 1 получим требуемое. □
Теперь рассмотрим задачу стартового управления д k w
(x, t0) = uk (x), k = 0,1,... ,m — 1, x Е (a,b), (37)
u Е Ud = {u Е Zm : \\u\\zm < R}. (38)
m— 1
J(w,u) = \\w — wd\w1(to,T;X) + ô Wuk — udk\\h2(a,b) ^ inf (39)
k=0
при заданных l Е {0,1,... ,m — 1}, wd Е Wq(t0,T; Z), udk Е X, R > 0, ô > 0, для системы, состояние которой описывается уравнением (36).
Теорема 13. Пусть в, Y Е R, а > 0, q> (а — m +1) —1. Тогда существует решение (w,u) Е Qa,q(t0,T; Z) х Uq задачи (36)-(39). При q = 2 решение единственно.
Доказательство. Опираясь на следствие 8, получим утверждение теоремы. В силу гильбертовости пространств Z и U = Zm то же следствие гарантирует единственность решения при q = 2. □
Задачу стартового управления д к и
д£к
(х, £0) = ик(х), к = 0,1,..., ш — 1, х е (а, 6), (40)
«к(х) > 0, х е (а,6), к = 0,1,... ,ш — 1, (41)
ди ди
и(а,£) = и(6,£), -г-(а,¿) = — (Ь,£), £ е (¿0,Т), (42)
дх дх
— = вт** + Тт* + /, х е (а, 6), £ е (¿0, Т), (43)
рассмотрим с функционалом качества
3(и, и) = ||и — ш^||^™(4о,Т;Х) + 8 £ |К — иЛ||Х ^ ^ (44)
к=0
при заданных и^ е Ж™(£0,Т; X), и^к е X, к = 0,1,...,т — 1, 8 > 0. В силу следствия 7 получим следующую теорему о её разрешимости.
Теорема 14. Пусть а > 0, д > тах{(а — т + 1)-1, (т — а)-1}, в, 7 е К, / е Жд1(£0,Т; 2), /(¿0,х) = 0 при п. в. х е (а,Ь). Тогда существует решение (и,и) е Ж™(£0,Т; X) х задачи (40)-(44). При д = 2 решение единственно.
7. Задача оптимального управления для дробного уравнения метастабильных состояний в полупроводниках
Рассмотрим в трёхмерном пространстве задачу стартового управления дк и
тгг(х1,х2, х3, ¿0) = ик(х1,х2, х3), к = 0,1,..., ш — 1, х, е (а,-,6,), = 1, 2, 3, (45) д£к
с периодическими граничными условиями
и(а1,х2,х3,¿) = и(Ь1,х2,х3,¿), (а1,х2,х3,¿) = (Ь1,х2,х3,¿),
и(х1, а2, х3, ¿) = и(х1, Ь2, х3, ¿), иХ2 (х1, а2, х3, ¿) = иХ2 (х1, Ь2, х3, ¿), и(х1,х2, а3, ¿) = и(х1,х2, Ь3, ¿), иХз(х1,х2, а3, ¿) = иХз(х1, х2, Ь3, £), £ > £0, (46) для уравнения
Даи + ДаДи + Ди + иЛ1 + ииЖ1 =0, х, е (а,,6,), ^ = 1, 2, 3, £ > £0, (47)
при а = 1 описывающего метастабильные состояния в полупроводниках при наличии отрицательной дифференциальной поляризуемости [19, (111.2.32)]. Пусть П = (а1, 61) х (а2, 62) х (а3, 63),
2 = {V е Н2(П) : г>(аьх2,х3) = г>(6ьх2,х3), г* (а1,х2,х3) = г* (6ьх2,х3),
г>(хьа2,х3) = ^(х1,&2,х3), (х1,а2,х3) = (хь&2,х3),
г>(хьх2,а3) = V(х 1, х2, 63), 1>Жз(х1,х2,а3) = г*(х1 ^2,63)} (48)
здесь и далее в параграфе. В качестве множества допустимых управлений 1Аэ возьмём множество и = (и0 ,и1,... , ит-1) е 2т, при х е П удовлетворяющих неравенствам
0 < ик(х) < 7к(£,х), к = 0,1,...,ш — 1, (49)
где 7к Е С(П) и 0 < 7к(х) при х Е П.
Задачу будем рассматривать с функционалом качества
т— 1
J(w,u) = \\w — Wd\\cm-i{[t0,T];X) + WUk - UdkWX ^ (50)
k=0
при заданных wd E Cm-1 ([t0, T]; X), udk E X, k = 0,1,... ,m — 1, 5 > 0. Теорема 15. Пусть q > 1,
k2 k2 k2 1
+ „ k2 ,2 + „ k3 ,2 = ilo (51)
(Ъх - ах)2 (Ъ2 - а2)2 (Ъ3 - а3)2 4п2
при любых кх ,к2,к3 Е Ъ. Тогда существует решение (и), и) Е Я,а,я (Ь0,Т; X) х Ыд задачи (45)-(47), (49), (50).
Доказательство. Обозначим Ь = I+Д, М = А, N (у) = уХ1 +ууХ1. При условии (51) оператор Ь непрерывно обратим из Ь2(П) в 2 и несложно показать, что нелинейный оператор В = Ь-1N(у) локально липшицев по V равномерно по Ь Е [Ьо,Т].
Из (49) следует, что допустимым является тривиальное управление и0 = 0, их = 0, ... , ит-х = 0, при котором существует тождественно нулевое решение начально-краевой задачи (45)-(47). Осталось сослаться на следствие 11. □
Список литературы
1. Учайкин, В. В. Метод дробных производных / В. В. Учайкин. — Ульяновск: Артишок, 2008. — 510 с.
2. Tarasov, V. E. Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media / V. E. Tarasov. — New York: Springer, 2011. — 450 p.
3. Bajlekova, E. G. Fractional Evolution Equations in Banach Spaces : PhD thesis / E. G. Bajlekova. — Eindhoven: Eindhoven Univ. of Technology, Univ. Press Facilities, 2001. — 107 p.
4. Псху, А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка / А. В. Псху. — М.: Наука, 2005. — 199 c.
5. Плеханова, М. В. Исследование линеаризованной системы уравнений Буссинеска методами теории вырожденных полугрупп / М. В. Плеханова, А. Ф. Исламова // Вестн. Челяб. гос. ун-та. — 2009. — № 20 (158). — Математика. Механика. Информатика. Вып. 11. — С. 62-69.
6. Федоров, В. Е. Уравнения в банаховых пространствах с вырожденным оператором под знаком дробной производной / В. Е. Федоров, Д. М. Гордиевских, М. В. Плеханова // Дифференц. уравнения. — 2015. — Т. 51, № 10. — С. 1367-1375.
7. Plekhanova, M. V. Strong solutions of quasilinear equations in Banach spaces not solvable with respect to the highest-order derivative / M. V. Plekhanova // Discrete and Continuous Dynamical systems. Series S. — 2016. — Vol. 9, no. 3. — P. 833-847.
8. Плеханова, М. В. Задача оптимального управления для одного класса вырожденных уравнений / М. В. Плеханова, В. Е. Федоров // Изв. РАН. Теория и системы упр. — 2004. — № 5. — C. 40-44.
9. Плеханова, М. В. Критерий оптимальности в задаче управления для линейного уравнения соболевского типа / М. В. Плеханова, В. Е. Федоров // Изв. РАН. Теория и системы упр. — 2007. — № 2. — С. 37-44.
10. Плеханова, М. В. О существовании и единственности решений задач оптимального управления линейными распределёнными системами, не разрешёнными относительно производной по времени / М. В. Плеханова, В. Е. Федоров // Изв. РАН. Сер. мат. — 2011. — Т. 75, № 2. — С. 177-194.
11. Исламова, А. Ф. Минимизация функционалов со слабой нормой на решениях вырожденного линейного уравнения. / А. Ф. Исламова // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер. Мат. моделирование. - 2011. - № 17 (234). - С. 36-45.
12. Plekhanova, M. V. Mixed control problem for the linearized quasi-stationary phase field system of equations / M. V. Plekhanova // Materials Science Forum. — 2016. — Vol. 845. — P. 170-173.
13. Plekhanova, M. V. Nonlinear equations with degenerate operator at fractional Caputo derivative / M. V. Plekhanova // Mathematical methods in the applied sciences. — 2016. — doi: 10.1002/mma.3830.
14. Фурсиков, А. В. Оптимальное управление распределёнными системами. Теория и приложения. / А. В. Фурсиков. — Новосибирск : Науч. кн., 1999. — 350 с.
15. Герасимов, А. Н. Обобщение линейных законов деформации и их приложение к задачам внутреннего трения / А. Н. Герасимов // Приклад. математика и механика. — 1948. — Т. 12. — С. 529-539.
16. Caputo, M. Lineal model of dissipation whose Q is almost frequancy independent. II / M. Caputo // Geophysical J. of the Royal Astronomical Soc. — 1967. — Vol. 13. — P. 529-539.
17. Benjamin, T. B. Model equations for long waves in nonlinear dispersive systems / T. B. Benjamin, J. L. Bona, J. J. Mahony // Philosophical Transactions of the Royal Soc. A. — 1972. — Vol. 272, no. 1220. — P. 47-78.
18. Осколков, А. П. К теории устойчивости решений полулинейных диссипатив-ных уравнений типа С. Л. Соболева / А. П. Осколков // Зап. науч. семинаров ПОМИ. — 1992. — Т. 200. — С. 139-148.
19. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А. Г. Свешников, А. Б. Альшин, М. О. Корпусов, Ю. Д. Плетнер. — М. : Физматлит, 2007. — 736 с.
Поступила в редакцию 03.10.2016 После переработки 14.10.2016
Сведения об авторе
Плеханова Марина Васильевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры вычислительной механики, Южно-Уральский государственный университет (НИУ); доцент кафедры математического анализа, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: mariner79@mail.ru.
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2016. Vol. 1, iss. 3. P. 15-36. START CONTROL PROBLEMS
FOR FRACTIONAL ORDER EVOLUTION EQUATIONS M.V. Plekhanova
Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia
South Ural State University (National Research University), Chelyabinsk, Russia mariner79@mail.ru
Unique solvability conditions are found for the Cauchy initial value problem to linear and nonlinear evolution equations with the Gerasimov — Caputo fractional derivatives in Banach spaces. For start control problems with various quality functionals to systems that described by such equations, solution existence theorems are proved, and in some linear cases the uniqueness of the problem solution is proved also. Abstract results are demonstrated on problems for the linearized Oskolkov — Benjamin — Bona — Mahony — Burgers equation and for the nonlinear equation of semiconductors metastable states.
Keywords: evolution equation, Gerasimov — Caputo fractional derivative, strong solution, optimal control, start control.
References
1. Uchaykin V.V. Metod drobhykh proizvodnykh [Fractional derivatives method]. Ulyanovsk, Artishok Publ., 2008. 510 p. (In Russ.).
2. Tarasov V.E. Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media. New York, Springer, 2011. 450 p.
3. Bajlekova E.G. Fractional Evolution Equations in Banach Spaces. PhD thesis, Eindhoven, Eindhoven University of Technology, University Press Facilities, 2001. 107 p.
4. Pskhu A.V. Uravneniya v chastnykh proizvodnykh drobnogo poryadka [Partial differential equations of fractional order]. Moscow, Nauka Publ., 2005. 199 p. (In Russ.).
5. Plekhanova M.V., Islamova A.F. Issledovaniye linearizovannoy systemy uravneniy Bussineska metodami teorii vyrozhdennykh polugrupp [Research of the linearized Boussinesq equations system by methods of degenerte semigroups theory]. Vestnik Chelyabinskogo gosudarstvennogo universiteta [Bulletin of Chelyabinsk State University], 2009, no. 20 (158), iss. 11, pp. 62-69. (In Russ.).
6. Fedorov V.E., Gordievskikh D.M., Plekhanova M.V. Equations in Banach spaces with a degenerate operator under a fractional derivative. Differential equations, 2015, vol. 51, no. 10, pp. 1360-1368.
7. Plekhanova M.V. Strong solutions of quasilinear equations in Banach spaces not solvable with respect to the highest-order derivative. Discrete and Continuous Dynamical systems. Series S, 2016, vol. 9, no. 3, pp. 833-847.
8. Plekhanova M.V., Fedorov V.E. An optimal control problem for a class of degenerate Equations. Journal of Computer and System Sciences International, 2004, vol. 43, no. 5, pp. 698-702.
9. Plekhanova M.V., Fedorov V.E. An optimality criterion in a control problem for a Sobolev-type linear equation. Journal of Computer and System Sciences International, 2007, vol. 46, no. 2, pp. 248-254.
10. Plekhanova M.V., Fedorov V.E. On the existence and uniqueness of solutions of optimal control problems of linear distributed systems, which are not solved with respect to the time derivative. Izvestiya Mathematics, 2011, vol. 75, no. 2, pp. 395-412.
36
M. B. n^exaHOBa
11. Islamova A.F. Minimizatsiya funktsionalov so slaboy normoy na resheniyakh vyrozhdennogo lineynogo uravneniya [Minimization of functionals with a weak norm on solutions of a degenerate linear equation]. Vestnik Yuzhno-Ural'skogo gosudarstvennogo universiteta. Ser. Matematicheskoye modelirovaniye i programmirovaiye [Bulletin of South Ural State University. Mathematical modelling and programming], 2011, no. 17 (234), pp. 36-45. (In Russ.).
12. Plekhanova M.V. Mixed control problem for the linearized quasi-stationary phase field system of equations. Materials Science Forum, 2016, vol. 845, pp. 170-173.
13. Plekhanova M.V. Nonlinear equations with degenerate operator at fractional Caputo derivative. Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2016, doi: 10.1002/mma.3830.
14. Fursikov A.V. Optimal'noye upravleniye raspredelyonnymi sistemami. Teoriya i prilozheniya [Optimal control for distributed systems. Theory and applications]. Novosibirsk, Nauchnaya Kniga Publ., 1999, 350 p. (In Russ.).
15. Gerasimov A.N. Obobshcheniye lineynykh zakonov deformatsii i ikh prilozheniye k zadacham vnutrennego treniya [Generalization of linear deformation laws and their application to internal friction problems]. Prikladnaya matematika i mekhanika [Applied mathematics and mechanics], 1948, vol. 12, pp. 529-539. (In Russ.).
16. Caputo M. Lineal model of dissipation whose Q is almost frequancy independent. II. Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society, 1967, vol. 13, pp. 529-539.
17. Benjamin T.B., Bona J.L., Mahony J.J. Model equations for long waves in nonlinear dispersive systems. Philosophical Transactions of the Royal Society A, 1972, vol. 272, no. 1220, pp. 47-78.
18. Oskolkov A.P. K teorii ustoychivosti resheniy polulineynykh dissipativnykh uravneniy tipa S.L. Soboleva [To the stability theory for the solutions of the semilinear dissipative Sobolev type equations]. Zapiski Nuachnykh Seminarov POMI RAN [Notes of scientific seminars of POMI], 1992, vol. 200, pp. 139-148. (In Russ.).
19. Sveshnikov A.G., Al'shin A.B., Korpusov M.O., Pletner Yu.D. Lineynye i nelineynye uravneniya sobolevskogo tipa [Linear and nonlinear Sobolev type equations], Moscow, Fizmatlit Publ., 2007. 736 p. (In Russ.).
Accepted article received 03.10.2016 Corrections received 14.10.2016
