Численное исследование задачи жесткого управления линеаризованной квазистационарной системой уравнений фазового поля Текст научной статьи по специальности «Математика»

Челябинский физико-математический журнал. 2016. Т. 1, вып. 2. С. 44-58.

УДК 517.977.5

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ ЖЁСТКОГО УПРАВЛЕНИЯ ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ КВАЗИСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМОЙ УРАВНЕНИЙ ФАЗОВОГО ПОЛЯ

М. В. Плеханова1'2 ", Г. Д. Байбулатова1'6

1 Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия

2 Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет), Челябинск, Россия "[email protected]; [email protected]

В работе использован метод условного градиента для численного исследования задачи жёсткого управления решениями линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля. Доказаны существование решения задачи, устойчивость метода и аппроксимация решений задачи. При некоторых значениях параметров задачи проведён численный эксперимент.

Ключевые слова: оптимальное управление, система с 'распределёнными параметрами, задача жёсткого управления, вырожденное эволюционное уравнение, численное решение, метод условного градиента.

Введение

В работе предложен алгоритм численного решения задачи оптимального управления для линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля

у(х, 0) = <^(х), ж е П, (1)

д-

в—(х,¿) + (1 - в)у(х,¿) = 0, (х,¿) Е дП х (0,Т), (2)

дп

ди>

в—(ж,¿) + (1 - в)Цх,¿) = 0, (ж,¿) е дП х (0,Т), (3) дп

-¿(х,£) + /адДх,£) = кАу(х,£) + и1 (ж, ¿), ж е П х (0,Т), (4)

Аад(х,£) + аге(х,г) + в-(х,*)+ «2(х,*) = 0, ж е П х (0,Т), (5)

11и1 ПН 1(0'Т;Ь2(П)) + 11и2 Нн1 (ОД^П)) ^ (6)

1 = 111у - УП12(0'Т;Ь2(П)) + 2 П^ - ^^(ОД^П)) ^ ^, (7)

где а, в, I, к, в, Я — константы, к > 0, У,гу е Ь2(0,Т; Ь2(П)) — заданные функции, у, ад — искомые функции, и1, и2 — функции управления. Задача заключается в минимизации функционала (7) на допустимых наборах (у,ад,м1,м2), где (м1,м2) принадлежат множеству допустимых управлений (6).

Задача (1)-(7) находит своё применение в металлургии — при изготовлении сплавов, в строительстве — при изучении изменения агрегатного состояния содержащейся в ограждениях влаги при колебаниях температуры наружного воздуха,

и др. Особенность системы уравнений (4), (5) в том, что она является вырожденной. Исследование вырожденных уравнений, т. е. не разрешимых относительно производной по времени, и задач оптимального управления для них проводилось ранее в работах [1-6]. Результатами этих работ являются условия существования решения, обычно единственного.

Алгоритм численного решения, представленный здесь, основан на методе условного градиента, который состоит из нескольких этапов: поиск численного решения начально-краевой задачи (1)-(5) на равномерной сетке, решение сопряжённой задачи и построение итерационной последовательности управлений. Построение численной схемы ранее проводилось для упрощённого варианта уравнений фазового поля в работах [7; 8]. Настоящая работа также посвящена исследованию вопросов устойчивости предложенных разностных схем.

1. Задача управления и разностная схема

Пусть П — ограниченная область с границей дП класса СРассмотрим задачу (1)-(7) жёсткого управления для линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля. Введём в рассмотрение пространства

Н2(П) = [г е Н2(П) : + 1 - ^ z(x) = 0, х е дП},

= {(V,™) е Н 1(0,Т; (¿2(П))2) : привсехг е [0,т] у(-,г),щ(-,г) е Н2(П), V + /щ — кАу е н 1(0,Т; ¿2(П)), Ащ е н 1(0,Т; ¿2(П))}

и самосопряжённый оператор А е С /(Ь2(П)) с областью определения domA = Н|(П), действующий по правилу Аг = Аг.

Теорема 1. Пусть 01 — а е ^(А). Тогда существует единственное решение (У,щ,йьи2) е х Н 1(0,Т; (¿2(П))2) задачи (1)-(7).

Доказательство. Доказательство теоремы заключается в проверке условий следствия 2.5.4 из монографии [6]. Выбирая X = У = (Ь2(П))2,

Ь = ( 1/1 \ м = ( кА 0

Ь = \ 0 0 ) , м = ^ 01 а1 + А

определим операторы Ь е С(Х), кегЬ = [0}хЬ2(П), М е С/(X), domM = (Н|(П))2. Как доказано в теореме 3 [9], условия —а + 01 е а(А), к > 0 гарантируют сильную (Ь, 0)-радиальность оператора М. Таким образом, с учётом очевидной ограниченности и выпуклости множества [(и1,и2) е (0,Т; Н 1(0,Т; Ь2(П)))2 : ||и1|Н 1(от-ь2(п)) + Ци2|я1(о т-ь2(п)) — } в пространстве Н 1(0,Т; Ь2(П))2 получим существование решения. Его единственность следует из инъективности оператора В при управлении, который в данной постановке является тождественным оператором. □

Построение разностной схемы будем проводить в прямоугольной области Q = П х [0, Т] = [0, п] х [0, Т] с шагом к = п/М по пространству и шагом т > 0 по времени, определив тем самым точки хп = пк, п = 0,..., N, и гт = тт, т = 0,..., М. Приближённые значения функций V, щ, и1,и2 в узлах с координатами (хп, гт) будем обозначать через УПт, Щт, ит, ит.

Рассмотрим разностную схему для задачи (1)-(5)

?т+1 _ _ т — />т+1 — — />т к п_1П + _— (,,т + ) + мт

-Т--г1-т-— "2 - п + ^"+1 ) + и1"'

т — 0'...'М - 1, п — 1,...,Ж - 1, (8)

—т — 2—т + —т

-"-1-— + "+1 + «ад"8 + + МЩ — О, т — 0'...'М- 1, п — 1,...,Ж- 1, (9)

с граничными и начальными условиями, которые после преобразований для случая Q — [0,п] х [0,Т], примут вид

л л

л л

V" — Ро„, п —

Невязкой метода (8), (9) назовём сеточную функцию Ф — (СПТ'ППГ), где

ст _ - (хга,^т+1) - — (хп'£т) к ( ( + \

^п —--г 1--Т2 (^(хга-1'Гт)-

Т Т Д2

¿т) + '^,(хп+1' ^т)) м1 (хп' £т) '

т — (хп— 1,^т) 2—(хп,£т) + — (хп+1,£т,) . / , \ , п ! , \ . /

Пп — -'--+ а—(жга,*т) + в^(жга,^т) + М2(ж„,^т)-

Через г>(жП'£т)' —(хп,£т) обозначены истинные значения решения V,— задачи (1)-(5) в соответствующих точках. Будем говорить, что невязка имеет порядок тр1 + Др2, если существует константа С, не зависящая от т и что ||Ф||к2 < С(тр1 + Др2) для всех п — 1,..., N - 1, т — 0,..., М - 1.

Лемма 1. Пусть точное решение V, — задачи (1)-(5) таково, что функции V и — дважды непрерывно дифференцируемы по £ и четырежды непрерывно дифференцируемы по х. Тогда невязка метода (8), (9) имеет порядок т + Д2.

Доказательство. Пользуясь формулой Тейлора, сделаем замены

7Л+1 — + Т?Л + 1 т 2?Л

+ ' ^ 4 +2 ' й' —т+1 — —т + Т—т + 1Т 2—т

—п — п + ' — п 4 +2 ' —п 44'

vm — 7,т 4- '7,т + 1 '27)т + 1 '37)т +— '47)т °п±1 ^^п ± "^п ж +2 ' ипи ± 6 ' ^^п XXX + 24' ^^п хххх'

—т — —'т 4- т + 1 '2—т + 1 '3—т +— '4—т

п±1 п ± п X ^ 2 п XX ± б"" п ххх 2^ п хххх*

Таким образом, с учётом уравнений (8), (9) получаем выражение для невязки

С — 12 'Чххх(Хп,£т) 2 Т—Й(хп,£т)'

1 12'

Отсюда можно сделать вывод, что Ф — 0(т + Д2). □

1 0 ' —хххх (хп' £т).

Теорема 2. Пуать в/ > 0, а < 0, к > 0. Тогда схема (8), (9) устойчива, если выполнено условие кт — к2/2.

Доказательство. Обозначив через р^ коэффициенты д-х гармоник на т-м

v(xra,im) = p^*", ,tm) = , q = 0, ±1, ±2,... (10)

Подставим эти выражения в (8), получим

2kr

РГ+1 - РГ + - О = ^(cos qh - 1). (11)

Запишем (9) после подстановки (10) и затем упростим

2ar(cos qh - 1) + ah2ar + eh2pr = 0. (12)

V I ^^ "д I К- кд

Сделаем замену

т т т т т

^д = Рд + /ад , ад = ад Прежде чем произвести замену, введём некоторые изменения в запись (11) и (12

РГ+1 - рГ = (cos qh - 1)рГ + (cos qh - 1)< - ^(cos qh - 1)адГ,

2aq™(cos qh - 1) + ah2^ + eh2pr + ^h2/^ - ^h2/^ = 0. Теперь, выполнив подстановку в последние равенства, получим

2kr 2k/r

- КГ = ^^(cos qh - 1) - -hT^cos qh - 1), (13)

ah2- eh2/am + 2ar(cos qh - 1) + ^h2^ = 0.

Из последнего равенства выразим в следующем виде

т _ _вк_ т

д = в/к2 — ак2 — 2(^ дк — 1) . Подставим это выражение в равенство (13), тогда (13) примет вид

т+1 т 2кт 2к/т (cos дк — 1) вк2

- < = ^"Ч"» дк - 1)--р-в/к2 — ак2 — 2(cosдк — 1)*

Приведём подобные слагаемые в этом равенстве, сгруппируем их и получим

= 0 + Ж <cos «h - D 0 ■+ 2(cos qh - ff ah2 - в/hj) T <14>

Условие устойчивости можно записать в виде двух неравенств Z < 1, Z ^ 1, где

, Л 2кт, , eh2

Z = 1 + ^Г" (cos qh - 1)1+ ^

к2 4 * ' V 2(cosдк — 1) + ак2 — в/к2, Для начала покажем, что £ не превосходит единицы. Перепишем выражение (14):

'Г+1 = ( 1 - f(1 - cos9ft.) (l + 2(COsqh - ВТah2 - e/h2.) ) "T'

слое, имеем

Тогда достаточно показать, что

2кт / в/к2

- (1 — cos дк) 1 в , „ т 2 ^ > 0,

к2 4 * 2(cos дк — 1) + ак2 — в/к2

а с учётом неравенства 22т (1 — cos дк) > 0, что

_в/к_ > п

+ ТУГОк2—в/к2 >

или

—в/к2 <1 2(cos дк — 1) + ак2 — в/к2 — . Из условий теоремы и из последнего следует неравенство

в/к2 — — 2(^ дк — 1) — ак2 + в/к2.

В итоге получим

2(^ дк — 1) — —ак2, которое выполняется при а < 0 для всех д. Покажем, что £ > — 1, т. е.

2кт 1Ч( в/к2

— 1 — 1 — -тг (1 — сшдк) 1 +

к2 4 * ' V 2(cos дк — 1) + ак2 — в/к2

Очевидно, что достаточно выполнения неравенства

кт, в/к2

к"(1 — С°5дкЧ1 + 2(cos дк — 1) + ак2 — в/к^ — 1.

Так как кт — к2/2, то остаётся показать выполнение условия на один из множителей

1 +__—!

2(cos дк — 1) + ак2 — в/к2 —

или

в/к2

---< 0.

2(cos дк — 1) + ак2 — в/к2 —

Из того, что в/ > 0 и в/ > а, получим требуемое. □

2. Сопряжённая задача

Метод условного градиента использует решение сопряжённой задачи, строить которую будем с помощью функции Лагранжа для задачи (1)-(5)

1 2 1 2 £(у,щ) = 2 ||у — у||Ь2(0,Т;Ь2(П)) + 2 ||Щ — Н^О.Т;Ь2(П)) +

т

+ JJ 5(х, г)(у4(х, г) + /щ4(х, г) — кАу(х,г) — и1(х,г))^х^г + о п т

+ 11 Г(х, г)(Ащ(х, г) + ащ(х,г) + ву(х,г) + и2(х, оп

где £), г(х, £) — множители Лагранжа. Будем предполагать, что функции 5(5, £), г(х,£) являются достаточно гладкими в Q, ограничения на 5(5,£), г(х,£) опишем ниже. Возьмём вариации по переменным V, — и м1, м2, т. е. рассмотрим функции v(Х'í) + ^(х,£), —(х,£) + (х,£), м1(х,£)+ ^м1(х,£), м2(х,£) + $м2(х,£) при (х,£) € Q, причём будем предполагать, что вариации удовлетворяют граничным условиям. Тогда

¿(V + — + м1 + м2 + ¿м2) —

т

— 1 J У (v(Х' £) + ^(х, £) - ——(х, £))2 + (—(х, £) + (х, £) - —(х, +

о п

т

+ JJ 5(х, ¿)(^(х, £) + /—4(х,£) - fcAv(Х'í) - м1(х,£))^х^£ + оп т

+ 11 г(х, £)(-А—(х, £) - а—(х,£) - в^(х,£) - м2(х,£))^х^£ + оп

т

+ // .(^(Л**,^ М^М) - кАММ))<М +

оп

т

+ 11 г(х, £)(-А^—(х, £) - а#— (х,£) - в^(х, +

оп

т

+ // 8(х,()Л,1(х,() + ф.ОММ)^.

оп

Далее рассмотрим линейную часть функции Лагранжа т т

—J У^(х,£) - V(Х' ¿))^(х, + J У (—(х,£) - —(х, £))#—(х, + о п о п

т

+ УУ з(х, ¿)(^4(х, £) + 4(х,£) - кА^(х, +

оп т

+ 11 г(х, £)(-А^—(х, £) - а#— (х,£) - в^(х, -

оп

т

- I I г(х, £)^м2(х, £) + 5(х, ¿)^м1(х, £) —

оп

т

— У У^(х,£) - ——(х, £))^(х, £) + (—(х, £) - —(х, +

оп

т

+ 11 — в^(ж, +

0 п

т

+ J ^ж — J У з4(ж, ¿)$г>(ж, + J /з(ж,£)#^(ж,£)|т^ж —

п 0 п п

т т

— J У /з4(ж, — J У Ы-у(ж, ¿)Ая(ж, —

0 п 0 п

т

/г д$1> дя

——(ж, ¿)я(ж, ¿) — — (ж, Шг>(ж, —

У дп дп

0 дп

т т т

+ У У ^(ж, ¿)Аг(ж, — J У-^ , ) г(ж, ¿) + У У —( , )

0 п 0 дп 0 дп

Приравнивая к нулю коэффициенты при вариациях по условию стационарности = 0, с учётом граничных условий (2), (3) получим сопряжённую задачу

з4(ж,£) + вг(ж, ¿) + кАя(ж,£) = г>(ж, ¿) — г>(ж,£), (ж, ¿) € ф, (15)

/з4(ж,£) + (а + А)г(ж,£) = эд(ж,£) — и)(ж, ¿), (ж,£) € (16)

в(ж,Г) = 0, ж € П, (17)

дя

0—(ж, ¿) + (1 — 0Ыж, ¿) = 0, ж € дП, (18)

дп

дг

(ж, ¿) + (1 — 0)г(ж, ¿) = 0, ж € дП. (19)

дп

Исследование разрешимости, как и для исходной задачи, проведём с помощью редукции задачи (15)—(19) к абстрактной задаче в банаховых пространствах X, У

£ж = Мж(г) + Ви(г),

и € Яд, Рж(0) = Рж0(ж), </0(ж) ^ т£.

Здесь Яд — непустое выпуклое замкнутое множество в пространстве управлений Н*(0,Г; и), и, X, У — гильбертовы пространства, £ € £(Х, У), кег£ = {0}, М € С/(Х, У), В € £(и, У), Р € £(Х), Р — проектор на образ единицы разрешающей полугруппы однородного уравнения £ж = Мж(£) вдоль её ядра [6]. Выбирая X = У = (£2(П))2, определим операторы £ € £(Х), кег £ = {0} х £2(П), М € С 1(Х) с областью определения ёошМ = (Н|(П))2

£ = I / 0 ^ , М - 1 —кА "в/

1/ 0 У ' V 0 —(а/ + А)

Через {^т,т € М} будем обозначать ортонормированные в смысле скалярного произведения (•, •) в £2(П) собственные функции оператора А, занумерованные по невозрастанию собственных значений {Ат,т € М} с учётом их кратности.

Теорема 3. Пусть -а + в/ € а(А), к > 0, тогда оператор М сильно (-Ь, 0)-радиален.

Доказат,е.льст,во. Используя разложение по базису : т € м}, при

— = кЛт(а + Лт) а - в + Лт

получим операторы

-^Ь - М

+ кА

а/ + А

(-^Ь - М)

-1

/

^ (вг+«+Ат)(^-^т) ^ (в&+а+Ат)(и-Мт) т=1 т=1

(

V ^ (-в1+а+Ат)(^-^т) ^ (-в^+а+Ат)(^-^т) / \ т=1 т=1 /

(

п

(

и —

\

т=1

и-ит

. (-вг+а+Ат)(и-ит) 0 /

\ т=1 /

Ь-Ь(М) —

((

(Ат+а)(-,ут)у

(-в1+а+Ат)(и-Мт) (-в1+а+Ат)(и-ит)

т=1 т=1

^ (_ в

п

ЕЛ

(

\ (-вЛ+а+Ат)(и-ит) ■¿-ч, (-вЛ+а+Ат)(и-ит) /

\ т=1 т=1 /

^ (_ в

п

(

ДЛМ )(-^ - м)

1

(-

-(Ат+а)(-,ут)у

^ (_ в

(-вЛ+а+Ат)(и-ит)2 (-вЛ+а+Ат)(и-ит)2

т=1 т=1

(-вг+«+Ат)(и-ит)2 ^ (-вЛ+а+Ат)(и-ит)2 /

\ т=1 т=1 /

В условиях теоремы

тт | - в/ + а + Лт| > 0, тах

тем тем

Лт + а

-в/ + а + Лт

< то, тах тем

/кЛт

-в/ + а + Лт

<,

тах тем

в

-в/ + а + Л.

-/кЛ тт + а)

< то, тах тем

/(Лт + а)

-в/ + а + Лт

< то, тах тем

в/

-в/ + а + Лт

<,

тах тем

(-в/ + а + Лт)2

< то, тах тем

в/кЛ„

-в/ + а + Лт

< то, а — тах ят.

тем

Следовательно, существует К > 0, такое, что для всех ^ > а,

К

тах {||Я;Ь(М)||£(*), ||Ь-Ь(М)||£(У)} < |,

|Д/(М )(-^ - М )-1||£(у ) <

К

(^ - а)2

□

0

Теорема 4. Пусть —а + в € ^(А), & > 0. Тогда задача (15)-(19) имеет единственное решение (в, г) € Н:(0,Т; (¿2(П))2.

Доказательство. При замене т = Т — г получаем задачу, которая сводится к абстрактному уравнению ¿¿(т) = Мх(т) + у(т), где ¿(т) = (в(Т — т), г(Т — т)), у(т) = (^(ж,Т — т) — £(ж,Т — т),и(х, Т — т) — г)(ж,Т — т)). Операторы М заданы выше. Как показано в предыдущей теореме, оператор М сильно (—0)-радиален при условии —а + в € 0"(А). Согласно теореме 1.4.2 [6] однозначная разрешимость задачи (15)-(19) следует из условия (V — г),и — и)) € Н:(0,Т; (¿2(П))2). А поскольку является решением задачи (1)-(5), последнее очевидно выполняется. □

3. Численное решение сопряжённой задачи

Аналогично исходной задаче построим разностную схему для сопряжённой задачи (15)-(19) в прямоугольнике Q = [0,п] х [0,Т].

в4(ж, г) + вг(х, ¿) + &Дв(ж, г) = ^(ж, г) — )(ж, г), (х, г) € Q,

/в4(ж, г) + (а + Д)г(ж, г) = г) — г)(ж, г), (х, г) € Q, в(х,Т) = 0, х € П,

дв

0—(¿, г) + (1 — 0)в(ж, г) = 0, х € дП,

дп

дг

(¿, г) + (1 — 0)г(ж, г) = 0, х € дП.

дп

Заменяя производные на разностные аналоги, получим

„т _ „т—1

вп вп

т

+ее + &

ат _ 9ет -I- ет вп—1 2вп + в

к2

гт _ п т I „■ ' п_ 1 2г п +

п ' п+1 т ~ 1

= — )п, т = 1,

„т _ „т—1 _

1Сп-^^ + агт + 'п—1 2'п ' 'п+1 = < — Ип, т = 1,

т

к2

,М, п = 1,

. ,М, п = 1,

т в0

вМ =0, п = 0,..., Ж, 0

т в ЛГ -

0 + к — 0к 0

т с1 ,

т = 0,

* = 0 + к — 0квт—^ т = 0,

М, , М.

N — 1, (20)

— 1,

(21) (22)

(23)

(24)

Разностная задача (20)-(24) позволяет получить явную схему для сП и неявную

для гп

в

т1

= твт+втгт +

гт _ 2гт + гт

агт + _п—1-+ п+1 — —

тт вп—1 2вп 1 вт + вп+1 — <

к2

вт 2вт вп—1 2вп 1 вт + вп+1 = <

к2

тт = Ип — и — 1(^п — г>п).

к2

Невязкой метода (20)-(24) назовём сеточную функцию Ф = (хП^ТП), где

Хг

в(хп,гт) в(хп,гт—1)

+ вг(Хп,£т) +

в(хп— 1,гт) 2в(хп,гт) + в(хп+1,гт)

к2

т в(хп,^т) в(хп,гт—1) . / . \ . г(хп— 1,гт) 2г(¿n, ^т) + г(хп+1, ^т)

7п = 1--+ аг(Жп,гт)Н--

т

к2

п

п

Лемма 2. Пусть точное решение (в, г) задачи (15)-(19) таково, что функция 5 дважды непрерывно дифференцируема по функции 5, г четырежды непрерывно дифференцируемы по х. Тогда невязка метода (20)-(24) имеет порядок т + Д2.

Доказательство. С помощью формулы Тейлора получим равенства

5т-1 — 5т _ т + 1Т2 5т 5п 5п ' 5п 4 + 0 ' 5п 44'

„г _ „т I J„m + 1 h2sm + 1 h3sm h4 sm

sn±1 sn ± hsn x + 2 ' S" xx ± g h sn xxx + 24 ' „n xxxx,

rm _ rm i Jrm + 1 h2rm + 1 h3rm + — h4rm

' n±1 n ± ,b' n x _r ^ n xx ± g n xx^ 24 n xxxx ■

Таким образом, после всех преобразований невязка примет вид

1 k 2 Хп 2 тstt(xn,tm) 12 h „xxxx (xn j tm) ,

Tn 1тstt(xn,tm) 12h rxxxx(xnjtm).

Отсюда следует требуемое. □

Теорема 5. Пусть в > 0, а < 0, k > 0. Тогда схема (20)-(24) устойчива при т < h2/2.

Доказательство. Обозначив через р™, коэффициенты q-х гармоник на m-м

слое, имеем

s(xn, tm) _ pmeiqxn, r(xn, tm) _ , q _ 0, ±1, ±2,...

v(xn,tm) - v(xn) _ ereiqxn , w(xn,tm) - W(Xn) _ П^" , ? _ 0, ±1, ±2, Подставим эти выражения в (18) и (19), получим

„m,gigxn _ pm-1giqx„ k

' q ' q i /Э_г iqxn . k / „m iq(xn — h) о „m iq(xn) i „m iq(xn+h)\ _ /-m

т

+ e^meiqx" + —(pmeiq(xn-h) - 2pmeiq(xn) + pmeiq(x"+h)) _ ^eiqx",

„mgiqxn _ pm-1 giqx„ 1

^--+ affqme'qi" + — (a^V^"-1 - 2a;;Vqx" + aqVqx"+1) _ nqVqx"

'q ~ 1 ^^ q q ^ 1 ~ / lq

Умножим на те iqx"

2kT

pm - pm-1 + ^ + -h2-Pm(COS qh - 1) _ т£\ (25)

2т h2

Умножим (25) на l и вычтем (26):

l(pm - pm-1) + ат^Г + T2 -m(cos qh - 1) _ -n. (26)

2—lk 2т

вl-^Г + pm(cos qh - 1) - ата^™(cos qh - 1) - — a^cos qh - 1) _ ¿т^7, - тп^™

и выразим а^™ из получившегося равенства

2т 2тlk

а^т - ат - —(cos qh - 1)) _ -^p^cos qh - 1) + ¿(т^ + т^),

г(^/к2 - ак2 - 2(cos gh- 1)) 2Wk + + ^

-h2-= —W(cos -1) + ( + )

m -2k/(cos gh - 1) (/em - nm)k2

= TTT^-"To-nt_____т-77 Pa +

в/h2 - ah2 - 2(cos gh - 1)Kq в/h2 - ah2 - 2(cos gh - 1)' После подстановки этого выражения в (25) получим

m m-1 о 2k/(cos gh - 1) 2кт

Pm - Pm 1 - eTe/h2 -ah2-2(cosgh - 1)< + 2*^«» gh - 1) +

(/C - C)h2

+вт-———-= emT

в/h2 - ah2 - 2(cos gh - 1)

или

m. 2к/вт(cos gh - 1) 2kr,

' 1 - e/h2 - ah2 - 2(cos gh - 1) + (coS gh - 1)

pm-1 +

h2ernm - ah2£mr - 2£mr(cos gh - 1)

в/h2 - ah2 - 2(cos gh - 1) Преобразуем последнее равенство

m Л 2k^ Л в/h2

pm 1 —TT(1 - cos gh) 1 -

Здесь константа

h2 4 * 4 в/h2 - ah2 - 2(cos gh - 1)

m— i + h2erngm - ah2emr - (cos gh - 1) (2?)

Pq + в/h2 - ah2 - 2(cos gh - 1) ' ( )

h2ernm - ah^r - 2^(cos gh - 1) в/h2 - ah2 - 2(cos gh - 1)

не оказывает влияния на устойчивость разностной задачи (20)-(24). В (27) Pm—1 заменим на pm+1, так как переход по временным слоям происходит в обратном порядке, и (m - 1)-й слой по порядку станет (m + 1)-м. Коэффициент при р? есть (, поэтому последующие рассуждения о необходимой для доказательства устойчивости ограниченности Z по модулю единицей были ранее приведены в теореме 2. □

4. Метод условного градиента

Обозначим вектор-функции z(x, t, u) = (v(x,t, u),w(x,t, u)), z(x) = (z(x), w(x)), u(x,t) = (u1(x, t), u2(x, t))' И, соответственно, z(x,t, uk) = zk, z(x,t, ) = zk, где Ufc — вспомогательное управление, k — номер итерации. Определим оператор A, действующий по правилу Au = z. Оператор A определяется видом решения начальной задачи (приведён, например, в теореме 1.4.2 [6]) и фактически является оператором, который по формуле, задающей решение задачи (1)-(7) с нулевым начальным условием, управлению ставит в соответствие функцию состояния.

Определим оператор A*, сопряжённый к оператору A. Учитывая, что (s,r) — решение сопряжённой задачи (15)-(19), при c = (v - v,w - w) имеем

(Au, C)L2(0,T;L2(Q)2) =

T T

= J J z(z - z)dx = J J v(x, t)(-st(x, t) - вг(х, t) - kAs(x, t))dxdt +

0 П 0 П

т

+1 I ¿)(—¿) — аг(я,£) — Дг(ж,£))^ж^ =

о п

т

= J У —г>(я, ¿^(я, ¿) — в^(я, ¿)г(я, ¿) — ки(я, ¿)Дз(я, + оп т

+ J У — /ад(я, ¿)з4(я, ¿) — ¿)г(я, ¿) — ад(я, ¿)Дг(я, =

оп т

= У У з(я, ¿)(г>4(я, ¿)/ад4(я, ¿)) — в^(я, ¿)г(я, ¿) — кз(я, ¿)Дг>(я, ¿) +

оп

т

+ У У — ¿)г(я, ¿) — г (я, ¿)Дад(я, =

оп т

= // 5(;М)(,,(х,г) + /ГО<(х,() — ^.¿»«ЬЛ +

оп т

+ 11 г(я, ¿)(—¿) — аад(я, ¿) — Дад(я,£))^я^£ =

оп

т

= J У в(ж,*)и1(ж,*) + г(я,£)и2(ж,^я^ = (и, А*е)Ь2(от;Ь2(п)2).

оп

Таким образом, А*с = (з, г).

Задача заключается в минимизации функционала (7). Реализация решения осуществляется методом условного градиента. Метод представляет собой выполнение шагов следующего алгоритма:

1) выбираются начальное управление и0 и необходимые константы;

2) построение итерационной последовательности проводится по формуле

Щ+1 = и + (и — щ),

где (

Яз(я,£, и*.) Яг(я,г, щ)

и*

т 1т

(//(з2(х,^, ик) + г2(я, ¿, ик1 ^ ^з2(я,£, ик) + г2(я,£, ик1 о п о п

ак = ш1п{1, а*}.

Здесь з(я, ¿), г(я, ¿) — решение сопряжённой задачи, — значение функций управления на к-м итерационном шаге. Параметр а* определяется следующими рассуждениями. Функционал (7) на каждом шаге итерации примет вид

J К ) = 1)—^И2(0,т;Ь2(П)) + 1 ик) — Й|||2(0,т;Ь2(П)) = ^ ||я(ик ) —5||Ь2(П)2 .

Несложно получить цепочку равенств

3(щ + - и)) = 2||гк + агй - о-г*, - г|Ц2(0;Т.¿з(п))

2 (гк - г + агй - агй, - г + агй - агй)й2(0,т;Ь2(0))

1

1

2 || —

2 ||2к - ^|Ь2(0,Т;Ь2(П)) + а(гк - г - ) ¿2(0,^2(0)) + 2а_ ||гк - 11 ¿2(0,^2(0)).

Относительно параметра а последнее выражение представляет собой квадратный многочлен, минимум которого достигается в точке

= -

-

2

1Ь2(0,Т ;Ь2(П))

Согласно определению оператора А и вида сопряжённого к нему оператора получим

(гк - , - )^2(0,Т;Ь2(П)) = - , А(ик - ик))Ь2(0,Т;Ь2(0)) = = (А*(г - ), и - ик)Ь2(0,Т;Ь2(0)) = - (А*(г - ), и - ик)Ь2(0,Т;Ь2(0)) .

Окончательно, учитывая полученное выше выражение для А*с, получим формулу т т

/ / з(ж,г)(й1к(ж,г) - И1к(ж,г))^ж^£ + // г(ж,г)(й2к(ж,г) - и2к(ж,г))^ж^г 0 0 0 0

а,.

(/(^(ж, г) - ^(ж, г))2 + (ад^(ж, г) - ^(ж, г))2^ж)1 0

Интерфейс написанной авторами программы, реализующей метод условного градиента для исследуемой задачи, позволяет выполнить следующие действия:

— задавать отрезки изменения пространственной и временной переменной;

— устанавливать начальное значение, количество итераций;

— строить графики решения начально-краевой задачи для системы уравнений фазового поля, графики решения сопряжённой задачи управления, приближённое управление.

Выполнена программная реализация метода условного градиента при и0(ж,г) = 0, а = -0.75, в = 0.02, Я = 0.5, к = 0.75, I = 0.04, = вт2(ж), N =15, М = 50. Найденные значения функционала (7) для 10 итераций указаны в таблице. Скорости сходимости помогает сравнение значений функционала стоимости на итерационной последовательности оптимальных наборов.

№ п/п 3 (V, ад)

1 0.223330

2 0.222587

3 0.221412

4 0.219651

5 0.217918

6 0.216242

7 0.214619

8 0.213048

9 0.211527

10 0.210054

Список литературы

1. Федоров, В. Е. О гладкости решений линейных уравнений соболевского типа / В. Е. Федоров // Дифференц. уравнения. - 2001. - Т. 37, № 12. - С. 1646-1649.

2. Плеханова, М. В. Задача оптимального управления для одного класса вырожденных уравнений / М. В. Плеханова, В. Е. Федоров // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2004. — № 5. — С. 40-44.

3. Плеханова, М. В. Критерий оптимальности в задаче управления для линейного уравнения соболевского типа / М. В. Плеханова, В. Е. Федоров // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2007. — № 2. — С. 37-44.

4. Плеханова, М. В. О существовании и единственности решений задач оптимального управления линейными распределёнными системами, не разрешёнными относительно производной по времени / М. В. Плеханова, В. Е. Федоров // Изв. РАН. Сер. мат. — 2011. — Т. 75, № 2. — С. 177-194.

5. Исламова, А. Ф. Задачи смешанного управления для линейных распределённых систем соболевского типа : дис. ... канд. физ.-мат. наук. — Челябинск, 2012.

6. Плеханова, М. В. Оптимальное управление вырожденными распределёнными системами / М. В. Плеханова, В. Е. Федоров. — Челябинск : Издат. центр ЮУрГУ, 2013. — 174 с.

7. Омельченко, Е. А. Численное решение линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля с запаздыванием / Е. А. Омельченко, М. В. Плеханова, П. Н. Давыдов // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер.: Математика. Механика. Физика. — 2013. — Т. 5, № 2. — С. 45-51.

8. Плеханова М. В. Метод условного градиента для одной задачи жёсткого управления вырожденной эволюционной системой / М. В. Плеханова, Г. Д. Байбулатова // Челяб. физ.-мат. журн. — 2016. — Т. 1, вып. 1. — С. 81-92.

9. Федоров, В. Е. Нелокальная по времени краевая задача для линеаризованной системы уравнений фазового поля / В. Е. Федоров, Н. Д. Иванова // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер.: Математика. Механика. Физика. — 2015. — Т. 7, № 3. — С. 10-15.

Поступила в 'редакцию 02.05.2016 После переработки 12.06.2016

Сведения об авторах

Плеханова Марина Васильевна, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математического анализа, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; доцент кафедры прикладной математики, Южно-Уральский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: [email protected]. Байбулатова Гузель Дамировна, студентка математического факультета, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].

Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2016. Vol. 1, iss. 2. P. 44-58.

NUMERICAL STUDY OF A ROBUST CONTROL PROBLEM FOR THE LINEARIZED QUASISTATIONARY SYSTEM OF THE PHASE FIELD EQUATIONS

M.V. Plekhanova1'2'", G.D. Baybulatova1b

1 Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia

2South Ural State University (National Research University), Chelyabinsk, Russia "[email protected]; [email protected]

The conditional gradient method is used for the numerical study of a robust control problem for the linearized quasistationary system of the phase field equations. The existence of a solution of the control problem is obtained, the method stability and approximation of solutions are proved. For some values of the problem parameters the numerical experiment was carried out.

58

M. B. n^exaHOBa, T. Baft6ynaTOBa

Keywords: optimal control, system with distributed parameters, robust control problem, degenerate evolution equation, numerical solution, conditional gradient method.

References

1. Fedorov V.E. Smoothness of solutions of linear equations of Sobolev type. Differential Equations, 2001, vol. 37, no. 12, pp. 1731-1735.

2. Plekhanova M.V., Fedorov V.E. An optimal control problem for a class of degenerate equations. Journal of Computer and Systems Sciences International, 2004, vol. 43, no. 5, pp. 698-702.

3. Plekhanova M.V., Fedorov V.E. An optimality criterion in a control problem for a Sobolev-type linear equation. Journal of Computer and Systems Sciences International, 2007, vol. 46, no. 2, pp. 248-254.

4. Plekhanova M.V., Fedorov V.E. On the existence and uniqueness of solutions of optimal control problems of linear distributed systems which are not solved with respect to the time derivative. Izvestiya: Mathematics, 2011, vol. 75, no. 2, pp. 395-412.

5. Islamova A.F. Zadachi smeshannogo upravleniya dlya lineynykh raspredelyonnykh sistem sobolevskogo tipa [Mixed control problems for linear distributed systems of Sobolev type. Thesis]. Chelyabinsk, 2012. (In Russ.).

6. Plekhanova M.V., Fedorov V.E. Optimalnoye upravleniye vyrozhdennymi raspredelyonnymi sistemami [Optimal control for degenerate distributed systems]. Chelyabinsk, Publishing Center of South Ural State University, 2013. 174 p. (In Russ.).

7. Omelchenko E.A., Plekhanova M.V., Davydov P.N. Chislennoye resheniye linearizovannoy kvazistatsionarnoy sistemy uravneniy fazovogo polya s zapazdyvaniyem [Numerical solution of the linearized quasistationary phase field system of equations with delay]. Vestnik Yuzhno-Ural'skogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya "Matematika. Mekhanika. Fizika" [Bulletin of South Ural State University. Ser.: Mathematics. Mechanics. Physics], 2013, vol. 5, no. 2, pp. 45-51. (In Russ.).

8. Plekhanova M.V., Baybulatova G.D. Metod uslovnogo gradienta dlya odnoy zadachi zhyostkogo upravleniya vyrozhdennoy evolyutsionnoy sistemoy [Conditional gradiend method for a robust control problem to a degenerate evolution system]. Chelyabinskiy phiziko-matematicheskiy zhurnal [Chelyabinsk physical and mathematical journal], 2016, vol. 1, iss. 1, pp. 81-92. (In Russ.).

9. Fedorov V.E., Ivanova N.D. Nelokal'naya po vremeni krayevaya zadacha dlya linearizovannoy sistemy uravneniy fazovogo polya [Time nonlocal boundary value problem for a linearized phase field equations system]. Vestnik Yuzhno-Ural'skogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya "Matematika. Mekhanika. Fizika" [Bulletin of South Ural State University. Ser.: Mathematics. Mechanics. Physics], 2015, vol. 7, no. 3, pp. 10-15. (In Russ.).

Accepted article received 02.05.2016 Corrections received 12.06.2016