Разрешимость задач управления для вырожденных эволюционных уравнений дробного порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Челябинский физико-математический журнал. 2017. Т. 2, вып. 1. С. 53-65.

УДК 517.977

РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ ДРОБНОГО ПОРЯДКА

М. В. Плеханова

Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия Южно-Уральский государственный университет, (национальный исследовательский университет), Челябинск, Россия [email protected]

Найдены условия разрешимости задач оптимального управления с различными целевыми функционалами для распределённых систем, описываемых как линейными, так и нелинейными уравнениями, не разрешимыми относительно дробной производной Герасимова — Капуто по времени. Абстрактные результаты использованы при исследовании задачи оптимального управления для системы уравнений динамики дробного вязкоупругого тела Кельвина — Фойгта.

Ключевые слова: оптимальное управление, 'распределённая система управления, вырожденное эволюционное уравнение, дробная производная Герасимова — Капуто.

Введение

Пусть X, У, и — банаховы пространства, оператор Ь Е С(Х; У) (линейный и непрерывный из X в У), оператор М Е С ¡(X; У) (линейный замкнутый плотно определённый в X и действующий в У), В Е С(Ы; У), нелинейный оператор N : (¿0 ,Т) х X —у У .В работе рассматривается задача оптимального управления

ЬБ^х^) = Мх(Ь) + N (г,х(г)) + Вп(Ь),

(Рх)(к)(го) = хи, к = 0,1,... ,т — 1, п Е Яд, 3 (х, п) — т£ .

Здесь Б'а — дробная производная Герасимова — Капуто порядка т — 1 < а < т, Яд — множество допустимых управлений, 3 — выпуклый функционал качества. Рассматриваемое уравнение предполагается вырожденным в том смысле, что кегЬ = {0}. Начальные условия, заданные с использованием проектора Р, о котором будет подробно сказано ниже, называются обобщёнными условиями Шоуолте-ра — Сидорова.

В последние десятилетия дробное исчисление активно применяется при моделировании различных процессов [1; 2]. В частности, дробная производная является удобным инструментом для описания свойств вязкоупругих жидкостей и тел [3]. Математическая теория дробного исчисления рассмотрена в работах многих авторов, отметим среди них [4; 5]. Ранее автором данной работы исследовались как

Работа выполнена при поддержке Правительства РФ (Постановление № 211 от 16.03.2013), соглашение № 02.A03.21.0011, и Министерства образования и науки РФ, задание № 1.6462.2017/БЧ.

вопросы разрешимости начальных задач для вырожденных эволюционных уравнений [6-9], так и задачи управления для них [10-13]. В данной статье исследуются задачи оптимального управления для линейного и полулинейного уравнений, не разрешимых относительно дробной производной по времени. При этом используются результаты о разрешимости задачи Шоуолтера — Сидорова в смысле сильных решений, полученные автором в работе [14].

Доказательство разрешимости задачи оптимального управления опирается на абстрактную теорему из [15]. Решение понимается в смысле пары состояние-управление, минимизирующей функционал стоимости, причём управление должно принадлежать множеству допустимых управлений, а соответствующее состояние являться сильным решением начальной задачи. В работе рассмотрены некоторые конкретные формы выпуклого целевого функционала 3, основным требованием к которым является выполнение условия коэрцитивности. Заметим, что сложности, связанные с наличием дробной производной, преодолеваются с использованием пространства 2ая, введённого в рассмотрение здесь же. Поскольку существование решения начальной задачи доказывается только в случае равномерно липши-цева нелинейного оператора, а в большинстве приложений это требование слишком ограничительное, в работе приведены теоремы о существовании оптимального управления, использующие вместо этого условия условие локальной липшицево-сти по фазовой переменной, равномерной по Ь. Это возможно в том случае, когда для задачи управления можно показать наличие функции из множества допустимых управлений, при которой существует решение начальной задачи. Подобным образом рассмотрены задачи управления для системы уравнений, описывающей динамику дробного вязкоупругого тела Кельвина — Фойгта.

1. Дробные производные

В этом параграфе дадим основные определения и свойства дробных интегралов и дробных производных, которые можно найти, например, в [4; 16]. Отметим, что интегралы от функций со значениями в абстрактном банаховом пространстве 2 понимаются в смысле Бохнера, а для числовых функций (2 = К или 2 = С) — в смысле Лебега.

Для в > 0, Ь > 0 определяются функции дв(Ь) = Ьв-1/Г(в), где Г(в) — гамма-функция в точке в. Для удобства будем использовать обозначение дв(Ь) = дв(Ь — Ь0).

Пусть в > 0, г € С([Ь0, Т]; 2) для некоторого Т > Ь0 и банахова пространства 2. Дробный интеграл Римана — Лиувилля порядка в > 0 определяется следующим образом:

* /3 1

3 г(Ь) = ! (Ь -() г(8)й8, Ь > Ьо.

¿0

Дробную производную Римана — Лиувилля порядка а > 0 можно определить для любой функции г € С([Ь0,Т]; 2), для которой существует Бт^-"2 в виде

(Ь) = В^З^^г (Ь),

где т — 1 < а < т, т € N В^ = ^рт — обычная производная целого порядка.

Дробная производная Герасимова — Капуто [17; 18] порядка а > 0 для функции г € Ст-1([Ь0,Т]; 2) определена как

(т-1 \

г(Ь) — £ г(к)(Ьо)дк+1(Ь — Ьо) , к=о '

если существует выражение в правой части этого равенства. В частности, это верно для г Е Ст([г0,Т]; 2), и тогда производную Герасимова — Капуто можно переписать в эквивалентном виде сБ<аг(¿) = Бтг (г).

Далее во всех уравнениях будет рассматриваться только производная Герасимова — Капуто, которая для краткости обозначается через Б^.

2. Сильное решение неоднородной задачи Коши для вырожденного уравнения дробного порядка

Пусть X, У — банаховы пространства, Ь Е ; У), кег Ь = {0}. Оператор М Е С/(X; У) называется (Ь, а)-ограниченным [19], если

За> 0 Ур Е С (И >а) ^ ((^Ь — М)-1 Е £(У; X)).

При условии (Ь, а)-ограниченности оператора М существуют проекторы

Р = — [ ЫЬ — М)-1Ьф ЕL(X), д = — [ Ь(^Ь — М)-1 ф е£(у) 2пг ] 2пг ]

на пространствах X и У соответственно. Обозначим X0 = кег Р, X1 = тР, У0 = кег Q, У1 = imQ. Тогда X = X0 ©X1, У = У0 ©У1. Через Мк (Ьк) будем обозначать сужение оператора М (Ь) на БМк = Xк П Бм (Xк), к = 0,1.

Теорема 1. [19, с. 90, 91]. Пусть опеpатоp М [Ь, а)-ограничен. Тогда

(I) М1 1; У1), М0 ЕС/[X0; У0), Ь к Е ^^к; Ук), к = 0,1;

(II) существуют опеpатоpы М-1 Е £(У0; X0), Ь-1 Е £(У1; X^ .

Обозначим N = {0} и N С = М0-1Ь0. При р Е N оператор М называется (Ь,р)-ограниченным, если он (Ь, а)-ограничен, Ср = О, Ор+1 = О. Рассмотрим уравнение

ЬБ^х(г) = Мх(г) + N (г, х(г)) + f (г) (1)

с нелинейным оператором N : (¿0,Т) XX — У. Его сильным решением на интервале (г0,Т) назовём функцию х Е Ьд(¿0,Т; Бм) П Ст-1([г0,Т]; X), для которой

/ т-1 \

х — Е х(к)(0)#к+1 Е "^(^Т; X), для почти всех г Е (¿0,Т) имеет место

V к=0 )

равенство (1). Разрешимость обобщённой задачи Шоуолтера — Сидорова

(Рх)(к)(г0) = хк, к = 0,1,... ,т — 1, (2)

для уравнения (1) в классе сильных решений исследована в работе [14].

Теорема 2. [14]. Пусть опеpатоp М (Ь,p)-огpаничен, д > (а — т + 1)-1, f Е Ьд (¿0, Т; У), при к = 0,1,...,р (СБа)кМ--1(1 — Q)f Е Ст-1 ([¿0,Т]; X), Б?(СБ?)кМ0-1(/ — Q)f Е Ьд(г0,Т; X). Тогда существует единственное сильное решение задачи (2) для линейного уравнения (1) ^ = 0).

Теорема 3. [14]. Пусть а > 1, д > (а — т + 1)-1, оператор М (Ь, 0)-ограничен, отображение N : [¿0,Т] х X — У для всех г Е X и г Е [¿0,Т] удовлетворяет, равенству N (г, г) = N1(t,Pz) при некотором отображении N Е С 1([t0,T]хX1; У); QN1 равномерно липшицево по переменной V Е X1, (I — Q)N1 Е Ст([г0,Т] х X1; У), f Е "(^Т; У), (I — Q)f Е Ст([¿0,Т]; У), х0,хь ... ,х™-1 Е X, QNl(tо,Pxо) + Qf (¿0) = 0. Тогда существует единственное сильное решение задачи (1), (2).

3. Абстрактная задача управления

Коротко сформулируем некоторые общие результаты теории управления (см. [15]), которые в дальнейшем будем использовать.

Пусть ф, V — линейные нормированные пространства, фъ Я — рефлексивные банаховы пространства, причём непрерывно вложено в ф. Рассмотрим следующую задачу управления:

£(у,и) + Зо = 0, (3)

и е Яд, (4)

3(у, и) ^ Ы . (5)

Здесь Яд — непустое, замкнутое, выпуклое подмножество пространства управлений Я, функционал стоимости 3(у, и) выпуклый, полунепрерывный снизу и ограниченный снизу на ф х Яд, линейный оператор £ : х Я ^ V непрерывен, Зо е V — заданный вектор.

Множеством ОТ допустимых пар (у, и) задачи (3)-(5) называется множество пар (у, и) е х Я, удовлетворяющих соотношениям (3), (4), для которых 3(у, и) < то.

Предполагается выполнение условия нетривиальности (т. е. ОТ = 0) и ко-эрцитивность функционала 3, означающая, что для любого К > 0 множество {(у, и) е ОТ : 3(у,и) < К} ограничено в х Я.

Решением задачи (3)-(5) называется пара (у,П) е ОТ, для которой 3(у,П) = ^ 3 (у,и).

Теорема 4. [15]. Пусть выполнены все условия, сформулированные в данном параграфе. Тогда задача (3)-(5) имеет решение (у, и) е х Яд. Если функционал 3 строго выпуклый на ф х Яд, то это решение единственно.

Для рассмотрения задачи управления для нелинейного уравнения понадобятся дополнительные условия. Пусть ф-1 — такое линейное нормированное пространство, что вложение ф С непрерывно, и выполнены условия:

(1) вложение С ф-1 компактно;

(2) существует такое всюду плотное подмножество Б пространства V*, что для любого V е Б функционал у ^ (З(у),^)зд продолжается по непрерывности с на ф-1.

Рассмотрим задачу управления (4), (5) для нелинейного уравнения

£(у, и) + З(у) = 0, (6)

где нелинейный оператор З : ^ V непрерывен.

Определения множества допустимых пар и решения задачи управления переформулируются с учётом замены уравнения (3) на уравнение (6).

Теорема 5. [15]. Пусть выполнены условия, сформулированные в данном параграфе. Тогда задача (4)-(6) имеет решение (у, и) е х Яд.

4. Распределённое управление

для линейного вырожденного дробного уравнения

Теперь пусть X, У, Ы — банаховы пространства, Ь е С(Х; У), кегЬ = {0}, М е С1(Х; У) (Ь,р)-ограниченный оператор, В е С(Ы; У), f : (г0,Т) ^ У. Рассмотрим задачу

ьвах(г) = Мх(г) + f (г) + Ви(г), г е (го,т), (7)

(Px)(k)(to) = Xk, k = 0, 1,...,т - 1, u G Ud, J(x, u) ^ inf,

(9)

:iq)

где Ыд — множество допустимых управлений, 3 — функционал качества, т е N т — 1 < а < т.

Принимая во внимание вид уравнения (7), решения будем искать в пространстве

Д

a,q

{x G Lq(to,T; Dm) П Cm-1([to,T]; X) :

m— 1

JT-a[ x - E x(k)(to)9k+i ) G Wqm(to,T; X)}, q > 1.

k=0

Наряду с Za,q рассмотрим пространство

m1

Qa,q (to,T ; X ) = j z G Cm-1([to,T]; X ) : Jm-a[z - £ z(k) (to)gk+i) G Wm (to,T ; X ) Лемма 1. Qaq(t0,T; X) является банаховым пространством с нормой

llzllsa,q (to,T;X) = \z\cm-1([to,T];X) + \\D?z\\Lq (to,T;X).

Доказательство. По сути необходимо доказать замкнутость оператора D'tа : Cm-1([to,T]; X) ^ Lq(to,T; X) c областью определения Qa,q(to,T; X). Представим его в виде D'à = RDt*Sm, где RDf — дробная производная Римана — Лиувилля,

m- 1

Smz = z - £ z(k (to)gk+1. Очевидно, что оператор Sm действует непрерывно из k=o

Qa,q(to,T; X) с нормой пространства Cm-1([to,T]; X) в пространство Ra,q,o = {z G Lq(to,T; X) : Jm-az G W™(to,T; X)},

снабжённое нормой Lq(to,T; X). Оператор же RD'ta : Ra,q,o ^ Lq(to,T; X) замкнут в силу леммы 1.8 (a) [4, с. 15]. □

Лемма 2. При q(m - а) > 1 пространство Wm(to,T; X) непрерывно вложено в

Qa>q(to,T; X).

Доказательство. В силу теоремы Соболева пространство W^(to,T; X) непрерывно вложено в Cm-1([to,T]; X). Используя этот факт, а также неравенство Гёльдера, получим

\\z \ \ Qa,q (t0,T ; X ) < C1 \z\wm(to,T ; X ) +

+

Dm

to

(tr- ^V (z(s) - £ z(k)(to i(m — a) \ k!

- k=o

ds

C^N^^ (to,T ; X ) +

+

t-to

Dm

T

m—a— 1

Г(т - a)

z(t - T) - £ z(k(to)(t - tok- T) k=o k!

Lq (to,T ;X ) k

dT

Lq (to,T ;X )

C1 \z\wq"(to ,T ;X ) +

t-to

T

m—a—1

Г(т - a)

z(m) (t - T)dT

<

Lq(to,T;X)

t

k

(Т / I (т-д-1), \ 4-1 г \ 1/9

/ У (8 -(т - I)1 ^ / И*(т)0№^ ) <

< С1\\"\\жт(40,Т;Л') +

11( Т \ 1/4

+ (((,„. - а^-Шт - а)) ' ( / ^ " ' ) <

д - 1 N1-1/9 (Т - ¿о)т

чГ(ш - а)((т - а)д - 1)У ((т - а)д)1/^ """^т(*0,Т;Х)-

< С +

При получении цепочки этих неравенств используются свойства интеграла Бохнера. □

Лемма 3. 2а,д является банаховым пространством с нормой

\\х\\.2а,„ = \\А\ьч (*0,Т;Дм) + \\х\\ст-1 ([¿0,Т ];Х) + \\БГх\и? (Ь0,Т;Х)-

Доказательство. Рассуждая, как при доказательстве леммы 1, нетрудно показать замкнутость оператора

Б? : Ьд(1о,Т; Бы) П Ст-1([£о,Т]; X) ^ Ьд(Ъ,Т; X).

□

Множество пар (х, и) будем называть множеством допустимых пар Ш задачи (7)-(10), если х € 2а,д — сильное решение задачи (7), (8) с управлением и € Ыд и 3(х, и) < то. Задача оптимального управления (7)-(10) состоит в нахождении пар

(X, и) € Ш, минимизирующих функционал качества: 3(Х,и)= Ш 3(х,и).

(х,и)&ш

Введём в рассмотрение непрерывный оператор 70 : С([¿0,Т]; 2) ^ 2, 70х = х(Ь0). Естественно, он является непрерывным и на пространстве <2а,д(¿0,Т; 2), т. е. 7о €£(&,,,(1о,Т; 2); 2).

1

Теорема 6. Пусть а > 0, д > (а - т + 1) 1, р € М0, оператор М (Ь,р)-ограничен, I € Ьд(Ьо,Т; У), (СБ?)кМ-1(1 - Я)! € Ст-1([£о,Т]; X), БДОБ^М-1(1 - Я)! € Ьд(¿0,Т; X) при к = 0,1,... ,р, непустое выпуклое замкнутое подмножество Ыд в Ьд(Ьо,Т; Ы) содержит ио, для которого (СБ?)кМ0-1(/ - Я)Вио € Ст-1 ([¿о,Т]; X), Ба(СБ<а)кМо-1(/ - Я)Вио € Ьд(¿о,Т; X) при к = 0,1,... ,р; в банахово пространство ф С Ьд(¿0,Т; 2) непрерывно вложено 2а д, функционал качества 3 выпуклый, ограниченный снизу и полунепрерывный снизу на ф х Ьд(¿0,Т;Ы), коэрцитивный на 2а,д х Ьд(¿0,Т;Ы), х* € X1, к = 0,1,...,т - 1. Тогда существует, решение (х,и) € 2а,д хЫд задачи (7)-(10). Если функционал 3 строго выпуклый на ф х Ьд(¿0,Т;Ы), то решение задачи (7) —(10) единственно.

Доказательство. По теореме 2 существует сильное решение задачи (7), (8) при и = и0 € Ыд, поэтому множество Ш непусто. Положим = 2ад, Я = Ьд(¿0,Т;Ы), V = Ьд(г0,Т; У) XXт, $ = — (!, х0, х1,..., хт-1), £(х,и) = (ЬБ?х - Мх -Ви, 70Рх,..., 70Рх(т-1)). Непрерывность линейного оператора £ : х Я ^ V следует из неравенств

\\(ЬБ^х - Мх - Ви,7оРх,7оРх(1),...,7оРх(т-1))\\ь?{ь0,Ту)*Хт <

< С1 ^ \ \х \ \2а,д + \\и\^д(40,Т;М) + \х\ст-1 ([*0,Т];*)) < CЛ(x, и)\\га,чхЬч(10,Т;Ы).

По теореме 4 получим требуемое утверждение. □

Из теоремы 6 для задачи с функционалом

3(х,и) = ||х — ха\\ат-1([г0,т\-,х) + \\В?х — В"х<1\\ЧЬч(г0>т-,х) + 8\и — иЛ\ч(г0,т-Ц) ^ (11)

с заданными ха е Я,а,д(го,Т; X), иа е Ьд(го,Т;Ы), 8 > 0 получим следующий результат.

Следствие 1. Пусть а > 0, д > (а—т+1)-1, р е N, оператор М (Ь,р)-ограничен, f е Ьд(го,т; У), (СВ?)км-1(1 — е Ст-1([го,Т]; X), В?(ОВ?)км-1(1 — е Ьд(г0,Т; X) при к = 0,1,... ,р, непустое выпуклое замкнутое подмножество Ыд в Ьд(го,Т; Ы) содержит ио, для которого (ОВа)кМ-1(1 — <д)Вщ е Ст-1 ([го,Т]; X), Ва(ОВа)к М-1(1 — <<)Ви0 е Ьд (г0,Т; X), к = 0, 1,...,р, хк еX1, к = 0,1,... ,т — 1. Тогда существует решение (х,и) е 2а,д х Ыд задачи (7)-(9), (11).

Доказательство. Выберем пространство ф = 0-а,д(го,Т; X). Выпуклость, ограниченность снизу и непрерывность 3 на Я.а,д (го, Т; X), а также непрерывность вложения пространств Яа,д С Я,а,д(го,Т; X) очевидны, неравенства

ЫЫа^ + \и\чч(Ь0,Т;и) < С1\х\яа1Ч(Ьо,Т; X) + \Мх\чч(го,Т;У) + \и\чч(Ь0,Т-Ц) < < СЛх\\яа,ч (г0,Т; X) + С3\и\чч (г0,Т;и) + У \\чч (г0,Т;Я) <

< С3(х, и) + С4(3(х, и) + С5)1/д + Сб влекут коэрцитивность функционала 3 на 2а,д. П

5. Неполное полулинейное вырожденное дробное уравнение с распределённым управлением

Пусть X, X1 — рефлексивные банаховы пространства, X компактно вложено в X1, У, Ы — банаховы пространства, Ь е С^; У), кегЬ = {0}, В е С(Ы; У), М е С1(X; У) (Ь,р)-ограниченный оператор, N : (го,Т) х X ^ У. Рассмотрим задачу управления

ЬВ?х(г) = Мх(г) + N(г,х(г)) + Ви(г), г е (го,Т), (12)

(Рх)(к)(го) = хк, к = 0,1,... ,т — 1, (13)

и е Ыд, (14)

3(х,и) ^ Ш, (15)

где Ыд — множество допустимых управлений, 3 — функционал качества, т е N т — 1 < а < т.

Сначала докажем вспомогательный результат.

Лемма 4. [20]. Пусть X0, X1 — рефлексивные банаховы пространства, X — банахово пространство, X0 компактно вложено в X, которое непрерывно вложено в Xl, д,д1 е (1, +ю). Тогда (го,Т; Л0, Xl) = {г е Ьд (го,Т; Xо) : г' е Ьдг (го ,Т; Xl)} с нормой (г0,Т;Х0,Х1) = \\х\\Чс1 (г0,Т;Хо) + Цх'Цч?1 (г0,Т;Х1) является банаховым про-

странством, непрерывно вложенным в С([го,Т]; X]) и компактно вложенным в

Ьд (г0, Т; X).

Следствие 2. Пусть X0, X1 — рефлексивные банаховы пространства, Xо компактно вложено в X],, д е (1, Тогда (го,Т; X0) компактно вложено в Ьд (го1 Т; Xl).

Доказательство. Возьмём в предыдущей лемме д = д1, X = X;!, тогда ^д(Ь0, Т; X0) непрерывно вложено в W!,д(Ь0,Т; X0, X1), которое, в свою очередь, в силу леммы 4 компактно вложено в Ьд (Ь0, Т; X1). Композиция непрерывного и компактного операторов вложения (именно в таком порядке) является компактным оператором вложения Жд (Ь0, Т; X0) в пространство Ьд(Ь0,Т; X1). □

Теорема 7. Пусть а > 1, д > (а - т + 1)-1, оператор М (Ь, 0)-ограничен, N : [Ь0,Т] х X1 ^ У равномерно липшицево по " € X1, для всех Ь € [Ь0,Т] и х € X удовлетворяет равенству N(Ь,") = ^(Ь,Рг) при N € С 1([Ь0,Т] х X1; У), для которого (I - Я)^ € Ст([Ь0,Т] х X1; У). Предположим, что Ыд — непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства Ьд(Ь0,Т;Ы), существует управление и0 € Ыд П Жд(Ь0,Т;Ы), такое, что (I - Я)Ви0 € Ст([Ь0,Т]; У) и выполняется условие ЯВи0(Ь0) = —QN1(t0, Рх0); 2а д непрерывно вложено в банахово пространство ф, которое, в свою очередь, непрерывно вложено в Ьд(Ь0,Т; X1), функционал качества 3 выпуклый, ограниченный снизу и полунепрерывный снизу на множестве ф х Ьд(Ь0,Т;Ы), коэрцитивный на 2а,д х Ьд(Ь0,Т;Ы), х* € X1, к = 0,1,... ,т - 1. Тогда существует решение (х,и) € 2а,д х Ыд задачи (12)-(15).

Доказательство. Из равномерной липшицевости по " € X1 отображения N : [Ь0,Т] х X! ^ У следует, что : [Ь0,Т] х X1 ^ У также равномерно липши-

цево. Поэтому оператор N и функция / = Ви0 удовлетворяют условиям теоремы 3 и существует сильное решение задачи (12), (13) с и = и0 € Ыд. Таким образом, множество допустимых пар Ш непусто.

Чтобы воспользоваться теоремой 5, определим пространства = 2а д, Я = Ьд(Ь0,Т; Ы), V = Ьд(Ь0, Т; У) х Xт и операторы

д(х(-)) = (-,х(-)),хо,х1, . . . ,хт-1),

£(х, и) = (ЬБ^х - Мх - Ви, ъРх, 7о(Рх)(1),..., То(Рх)(т-1)).

Непрерывность линейного оператора £ : х Я ^ V показана при доказательстве теоремы 6.

Из соотношения \\хп - х\\яад ^ 0 при п ^ то следует, что

(■, хга(■)) - N(•,х(-))\и,(*0,Т;У) < С1\хга - х\с([*0,Т|;Х1) < С2\хга - х\с([*0,Т];Х) ^ 0,

отсюда получаем, что оператор д : 2а,д ^ V непрерывен.

После выбора ф-1 = Ьд(Ь0,Т; X1) проверим остальные условия теоремы 5. В силу следствия 2 2а д С Жд1(Ь0, Т; X) компактно вложено в Ьд(Ь0,Т; X1). Здесь учитывается, что а > 1, поэтому т - 1 > 1. Для V* € (Ьд(Ь0,Т; У))* в силу равномерной липшицевости оператора N

(Ь,хп(Ь)) - N (Ь,х(-)))| < С1 "V"(Lq (*0,Т;У))* \\хп - х\\ьч (*0,Т;Х1).

Это означает непрерывную продолжимость функционала т(-) = V*(д(')) из 2а д в

Ьд(Ьо,Т; Xl). '□

Сформулируем аналогичные результаты, не используя требование равномерной липшицевости оператора N.

Теорема 8. Пусть а,д > 1, оператор М (Ь, а)-ограничен, отображение N € С([Ь0,Т] х X1; У) локально липшицево по " € X1 равномерно по Ь € [Ь0,Т]; х* € X1, к = 0,1,... ,т - 1, Ыд — непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства Ьд(Ь0,Т;Ы), при некотором и0 € Ыд существует сильное решение задачи

(12), (13); 2а,д непрерывно вложено в банахово пространство ф, которое, в свою очередь, непрерывно вложено в Ьд(Ь0,Т; X1), функционал качества 3 выпуклый, ограниченный снизу и полунепрерывный снизу на ф х Ьд(Ь0,Т;Ы), коэрцитивный на 2а,д х Ьд(Ь0,Т; Ы). Тогда существует решение (х,и) € 2а,д хЫд задачи (12)-(15).

Доказательство. Непустота множества допустимых пар Ш следует из условий теоремы. В остальном доказательство не отличается от предыдущего. Для этого достаточно локальной липшицевости по фазовой переменной, равномерной по ", оператора N. □

Отсюда для задач с функционалами

3 (х,и) = \\х - х^\ст-1([*0,Т];Х) + \\БГх - БГх^\1д (40,Т;Х) + 6\\и - иЛ1ч (40,Т;М) ^ , (16)

3д (х,и) = \\х - х<1\\С1щп(г0,Т;Х) + - и^\\1ч (*0,Т;М) ^ (17)

следуют утверждения о существовании решения.

Следствие 3. Пусть а,д > 1, оператор М (Ь, а)-ограничен, отображение N € С([Ь0, Т] х X1; У) локально липшицево по " € X1 равномерно по Ь € [Ьо,Т]; х* € X1, к = 0,1,... ,т - 1, Ыд — непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства Ьд(Ь0,Т;Ы), при некотором и0 € Ыд существует сильное решение задачи (12),

(13). Тогда существует решение (х,и) € 2а,д х Ыд задачи (12)-(14), (16).

Следствие 4. Пусть а > 1, д > (т - а)-1, оператор М (Ь, а)-ограничен, отображение N € С([Ь0,Т] х X1; У) локально липшицево по " € X1 равномерно по Ь € [Ь0,Т]; х* € X1, к = 0,1,...,т - 1, Ыд — непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства Ьд(Ь0,Т;Ы), при некотором и0 € Ыд существует, сильное решение класса Ш^^Т; X) задачи (12), (13). Тогда существует решение (х,и) € 2т,д х Ыд задачи (12)-(14), (17).

Доказательство. Для первого из следствий в условиях теоремы 8 надо взять ф = 2«,д(Ь0,Т; X), для второго — ф = Шдт(Ь0, Т; X). В последнем случае при доказательстве коэрцитивности надо воспользоваться леммой 2. □

6. Задача оптимального управления

для дробных уравнений Кельвина — Фойгта

Рассмотрим задачу с распределённым управлением

(1 -х&)Б^^,Ь) = VAv(s,t) - (V-УММ) -т(в,Ь)+ и(в,Ь), (в,Ь) € П х (Ь0,Т), (18)

V- v(s,t) = 0, € П х (10, Т), (19)

v(s,Ь) = 0, (s,Ь) € 5П х (Ь0,Т), (20)

д * V

д^^0) = Ак = 0,1,... ,т - 1, s € П, (21)

\\и\ьд(0,Т;Ь2) < Я, (22)

3д и) = - ^¡^(^ТН ) + \\Г - ^т(40,Т ;Нп) + ^\\и - и^\\1? (¿0 ,Т ^ . (23)

Здесь П С К — ограниченная область с границей дП класса Параметр х € К, как правило, характеризует упругие свойства жидкости, а параметр V € К — её вязкие свойства. Вектор-функции V = ^1^2,... (вектор скорости жидкости),

Определим пространства Hk = (W2k(Q))d, k E N, где W20(Q) = L2(Q). Замыкание

г = (г1,г2,... ,Га) (градиент давления) неизвестны, вектор-функция и является функцией управления. Через т, как и прежде, обозначено наименьшее натуральное число, не превосходимое числом а > 0.

В случае а = 1 система (18)—(21) моделирует динамику вязкоупругой жидкости Кельвина — Фойгта [22], при дробных а > 0 в предположении, что в уравнении динамики системы присутствует та же дробная производная, что и в реологическом соотношении, описывает так называемые дробные вязкоупругие жидкости (тела) Кельвина — Фойгта [3].

ства Нк = (Ш2

линеала £ = {V е (С^(0,))а : V ■ V = 0} по норме Ь2 обозначим через Нст, а по норме Н1 — через Н*. Будем использовать также обозначения: НП — ортогональное дополнение к Нст в Ь2, НП — ортогональное дополнение к Н* в Н1, Нк = Н* П Нк, к е Н, Е : Ь2 ^ Н, П = I — Е, Е1 : Ь2 ^ Н, П1 = I — ^ — соответствующие ортопроекторы.

Выберем пространства и операторы

X = Н х Н, XX = Н х НП, у = Н1 = Н х НП, Ы = Н1,

Ь = ( 0 )-М = ( V & °1) ее (*У).

Обозначим Ыд = {и е Ьд(го, Т; Н1) : \\ и\\чч(г0,Т;Н1) < Щ, зададим

(г — г )т-2 (г — г )т-1

ф(в,г) = фо(в) + (г — го)ф1(в) + ■■■ + ^-фт^) + -фт-1 (в).

(т — 2)! (т — 1)!

Теорема 9. Пусть а > 1, д > (т — а)-1, и,х = 0, х-1 е а(А), фк е Н, к = 0,1,... ,т — 1, при некотором го е НП

\\(1 — х&)В?ф — иАф + (ф ■ Ч)ф + Го\\чч(*0,Т;Н1) < Я.

Тогда существует решение (V),г,П) е Шт(го,Т; Н) х Ш™(го,Т; НП) х Ыд задачи (18)-(23).

Доказательство. По следствию 2 пространство X компактно вложено в X!. Рассуждая как в работе [14], можно показать, что Ь, М е С(X; У), оператор М (Ь, 0)-ограничен. Нетрудно показать также, что соответствующий системе уравнений нелинейный оператор локально липшицев.

Из условий теоремы следует, что существует допустимое управление

ио = (1 — Х^)В?ф — иАф + (ф + Го е Ыд,

которому соответствует сильное решение (ф,го) е (го,Т; X) начально-краевой задачи (18)-(21). Поэтому существует допустимый набор (ф,го,ио) е ОТ ив силу следствия 4 справедливо утверждение теоремы. □

Список литературы

1. Tarasov, V. E. Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media / V. E. Tarasov. — N. Y. : Springer, 2011. — 450 p.

2. Учайкин, В. В. Метод дробных производных / В. В. Учайкин. — Ульяновск : Артишок, 2008. — 510 с.

3. Mainardi, F. The time fractional diffusion-wave equations / F. Mainardi // Radiophysics and Quantum Electronics. — 1995. — Vol. 38. — P. 13-24.

4. Bajlekova, E. G. Fractional Evolution Equations in Banach Spaces : PhD thesis / E. G. Bajlekova. — Eindhoven : Eindhoven Univ. of Technology, Univ. Press Facilities, 2001. — 107 p.

5. Псху, А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка / А. В. Псху. — М. : Наука, 2005. — 199 c.

6. Плеханова, М. В. Исследование линеаризованной системы уравнений Буссинеска методами теории вырожденных полугрупп / М. В. Плеханова, А. Ф. Исламова // Вестн. Челяб. гос. ун-та. — 2009. — № 20 (158). — Математика. Механика. Информатика. Вып. 11. — С. 62-69.

7. Федоров, В. Е. Уравнения в банаховых пространствах с вырожденным оператором под знаком дробной производной / В. Е. Федоров, Д. М. Гордиевских, М. В. Плеханова // Дифференц. уравнения. — 2015. — Т. 51, № 10. — С. 1367-1375.

8. Plekhanova, M. V. Strong solutions of quasilinear equations in Banach spaces not solvable with respect to the highest-order derivative / M. V. Plekhanova // Discrete and Continuous Dynamical systems. Ser. S. — 2016. — Vol. 9, no. 3. — P. 833-847.

9. Plekhanova, M. V. Nonlinear equations with degenerate operator at fractional Caputo derivative / M. V. Plekhanova // Mathematical Methods in the Applied Sciences. — 2016. — doi: 10.1002/mma.3830.

10. Федоров, В. Е. Слабые решения и проблема квадратического регулятора для вырожденного дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве / В. Е. Федоров, М. В. Плеханова // Вычисл. технологии. — 2004. — Т. 9, № 2. — С. 92-102.

11. Плеханова, М. В. Задача оптимального управления для одного класса вырожденных уравнений / М. В. Плеханова, В. Е. Федоров // Изв. РАН. Теория и системы упр. — 2004. — № 5. — C. 40-44.

12. Плеханова, М. В. Критерий оптимальности в задаче управления для линейного уравнения соболевского типа / М. В. Плеханова, В. Е. Федоров // Изв. РАН. Теория и системы упр. — 2007. — № 2. — С. 37-44.

13. Plekhanova, M. V. Mixed control problem for the linearized quasi-stationary phase field system of equations / M. V. Plekhanova // Materials Science Forum. — 2016. — Vol. 845. — P. 170-173.

14. Плеханова, М. В. Сильные решения нелинейного вырожденного эволюционного уравнения дробного порядка / М. В. Плеханова // Сиб. журн. чистой и приклад. математики. — 2016. — Т. 16, № 3. — C. 61-74.

15. Фурсиков, А. В. Оптимальное управление распределёнными системами. Теория и приложения / А. В. Фурсиков. — Новосибирск : Науч. кн., 1999. — 350 с.

16. Kilbas, A. A. Theory and Applications of Fractional Differential Equations / A. A. Kilbas, H. M. Srivastava, J. J. Trujillo. — Amsterdam ; Boston ; Heidelberg : Elsevier Science Publ., 2006. — 541 p.

17. Герасимов, А. Н. Обобщение линейных законов деформации и их приложение к задачам внутреннего трения / А. Н. Герасимов // Приклад. математика и механика. — 1948. — Т. 12. — С. 529-539.

18. Caputo, M. Linear model of dissipation whose Q is almost frequency independent. II / M. Caputo // Geophysical J. of the Royal Astronomical Soc. — 1967. — Vol. 13. — P. 529-539.

19. Sviridyuk, G. A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov. — Utrecht; Boston : VSP, 2003. — vii+216 p.

20. Лионс, Ж!.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Ли-онс. — М. : Мир, 1972. — 588 с.

21. Корпусов, М. О. Нелинейный функциональный анализ и математическое моделирование в физике: Геометрические и топологические свойства линейных пространств / М. О. Корпусов, А. Г. Свешников. — М. : Красанд, 2011. — 416 c.

22. Осколков, А. П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина — Фойгта и жидкостей Олдройта / А. П. Осколков // Тр. Мат. ин-та АН СССР. — 1988. — Т. 179. — С. 126-164.

Поступила в 'редакцию 30.01.2017 После переработки 20.03.2017

Сведения об авторе

Плеханова Марина Васильевна, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математического анализа, Челябинский государственный университет, доцент кафедры вычислительной механики, Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет), Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].

Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2017. Vol. 2, iss. 1. P. 53-65.

SOLVABILITY OF CONTROL PROBLEMS FOR DEGENERATE EVOLUTION EQUATIONS OF FRACTIONAL ORDER

M.V. Plekhanova

Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia

South Ural State University (National Research University), Chelyabinsk, Russia [email protected]

Solvability conditions are found for optimal control problems with various goal functionals for the distributed systems described by both linear and nonlinear equations not resolved with respect to the fractional time derivative of Gerasimov — Kaputo. Abstract results are applied for the research of optimal control problem to the equations system of the dynamics of the fractional viscoelastic Kelvin — Voigt body.

Keywords: optimal control, distributed control system, degenerate evolution equation, Gerasimov — Caputo fractional derivative.

References

1. Tarasov V.E. Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media. New York, Springer, 2011. 450 p.

2. Uchaykin V.V. Metod drobhykh proizvodnykh [Fractional derivatives method]. Ulyanovsk, Artishok Publ., 2008. 510 p. (In Russ.).

3. Mainardi F. The time fractional diffusion-wave equations. Radiophysics and Quantum Electronics, 1995, vol. 38, pp. 13-24.

4. Bajlekova E.G. Fractional Evolution Equations in Banach Spaces: PhD thesis. Eindhoven, Eindhoven University of Technology, University Press Facilities, 2001. 107 p.

5. Pskhu A.V. Uravneniya v chastnykh proizvodnykh drobnogo poryadka [Partial differential equations of fractional order]. Moscow, Nauka Publ., 2005. 199 p. (In Russ.).

6. Plekhanova M.V., Islamova A.F. Issledovaniye linearizovannoy systemy uravneniy Bussineska metodami teorii vyrozhdennykh polugrupp [Research of the linearized Boussinesq equations system by the methods of the degenerate semigroups theory]. Vestnik Chelyabinskogo gosudarstvennogo universiteta [Bulletin of Chelyabinsk State University], 2009, no. 20 (158), pp. 62-69. (In Russ.).

7. Fedorov V.E., Gordievskikh D.M., Plekhanova M.V. Equations in Banach spaces with a degenerate operator under a fractional derivative. Differential equations, 2015, vol. 51, no. 10, pp. 1360-1368.

8. Plekhanova M.V. Strong solutions of quasilinear equations in Banach spaces not solvable with respect to the highest-order derivative. Discrete and Continuous Dynamical systems. Series S, 2016, vol. 9, no. 3, pp. 833-847.

9. Plekhanova M.V. Nonlinear equations with degenerate operator at fractional Caputo derivative. Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2016, doi: 10.1002/mma.3830.

10. Fedorov V^., Plekhanova M.V. Slabye resheniya i problema kvadraticheskogo regulyatora dlya vyrozhdennogo differentsial'nogo uravneniya v gil'bertovom prostranstve [Weak solutions and the quadratic regulator problem for a degenerate differential equation in Hilbert space]. Vychislitel'nye tekhnologii [Computational technologies], 2004, vol. 9, no. 2, pp. 92-102. (In Russ.).

11. Plekhanova M.V., Fedorov V.E. An optimal control problem for a class of degenerate equations. Journal of Computer and System Sciences International, 2004, vol. 43, no. 5, pp. 698-702.

12. Plekhanova M.V., Fedorov V.E. An optimality criterion in a control problem for a Sobolev-type linear equation. Journal of Computer and System Sciences International, 2007, vol. 46, no. 2, pp. 248-254.

13. Plekhanova M.V. Mixed control problem for the linearized quasi-stationary phase field system of equations. Materials Science Forum, 2016, vol. 845, pp. 170-173.

14. Plekhanova M.V. Sil'nye resheniya nelineynogo vyrozhdennogo evolyutsionnogo uravneniya drobnogo poryadka [Strong solutions of a nonlinear degenerate evolution equation of fractional order]. Sibirskiy zhurnal chistoy i prikladnoy matematiki [Siberian Journal of Pure and Applied Mathematics], 2016, vol. 16, no. 3, pp. 61-74. (In Russ.).

15. Fursikov A.V. Optimal'noye upravleniye raspredelyonnymi sistemami. Teoriya i prilozheniya [Optimal control for distributed systems. Theory and applications]. Novosibirsk, Nauchnaya Kniga Publ., 1999, 350 p. (In Russ.).

16. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam, Boston, Heidelberg, Elsevier Science Publ., 2006, 541 p.

17. Gerasimov A.N. Obobshcheniye lineynykh zakonov deformatsii i ikh prilozheniye k zadacham vnutrennego treniya [Generalization of the linear deformation laws and their application to the internal friction problems]. Prikladnaya matematika i mekhanika [Applied mathematics and mechanics], 1948, vol. 12, pp. 529-539. (In Russ.).

18. Caputo M. Linear model of dissipation whose Q is almost frequency independent. II. Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society, 1967, vol. 13, pp. 529-539.

19. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht, Boston, VSP, 2003. vii+216 p.

20. Lions J.-L. Quelques Méthodes De Résolution Des Problèmes Aux Limites Non-Linéaires. Paris, Dunod Gauthier-Villars, 1969. xx+554 p.

21. Korpusov M.O., Sveshnikov A.G. Nelineynyy funktsional'nyy analiz i matematicheskoye modelirovaniye v fizike: Geometricheskiye i topologicheskiye svoystva lineynykh prostranstv [Nonlinear functional analysis and mathematical modeling in physics: Geometric and topological properties of linear spaces]. Moscow, Krasand Publ., 2011, 416 p. (In Russ.).

22. Oskolkov A.P. K teorii ustoychivosti resheniy polulineynykh dissipativnykh uravneniy tipa S.L. Soboleva [To the stability theory for solutions of the semilinear dissipative Sobolev type equations]. Zapiski nauchnykh seminarov POMI RAN [Notes of scientific seminars of POMI RAS], 1992, vol. 200, pp. 139-148. (In Russ.).

Accepted article received 30.01.2017 Corrections received 20.03.2017