Задачи об изгибных колебаниях стержней при гармонических и случайных воздействиях Текст научной статьи по специальности «Физика»

Задачи об изгибных колебаниях стержней при гармонических и

случайных воздействиях

А.М. Казиев, И.А. Казиев, К.Х. Хамизов, А.В. Шуганов, А.А. Ахохов,

А.Б. Каскулов, Рамадан Анас, Р.А. Эдоков Кабардино-Балкарский государственный университет им Х.М. Бербекова.

Аннотация: Решена задача расчёта стержней на векторные возмущения состоящей из пяти компонент: 1.кинематические поперечные колебания левого конца; 2.кинематические поперечные колебания правого конца; 3. динамический изгибающий момент на левом конце; 4.динамический изгибающий момент на правом конце; 5 динамическая равномерно распределённая поперечная нагрузка по длине стержня. Получены передаточные функции от каждого возмущения отдельно. Используя эти функции, получены элементы спектральной матрицы для стационарных случайных процессов, с учётом их коррелированности. Рассмотрены наиболее распространённые виды процессов: экспоненциально-коррелированный случайный процесс; процесс со скрытой периодичностью (с характерной частотой); усечённый белый шум. Показана формула для получения дисперсии перемещения сечений.

Ключевые слова: стержень, гармонические колебания, собственная частота, кинематические возмущения, динамические возмущения, передаточная функция, корреляционная матрица, случайный процесс, дельта-коррелированный случайный процесс, скрытая периодичность, усечённый белый шум.

Введение

Изгибные поперечные колебания стержней (балок) постоянного сечения при наличии вязкого трения [1-5] описываются неоднородным дифференциальным уравнением в частных производных

р w + 2yw + EJwIV = q(z, т), ze (0; /) , т> - да, (В.1)

где w(z, т) - функция прогибов; z, т- пространственная и временная координаты; р - линейная плотность масс; у - коэффициент демпфирования; EJ -жесткость стержня на изгиб, q(z, т) - внешняя линейная нагрузка, распределённая по длине. Наличие точки над переменными означает дифференцирование по времени, штрихи соответствуют дифференцированию по x. Введём безразмерные величины

u = cw, x = z / /, t= Тл/EjTp/l2, 8 = yl2/VEjp , f(x,t) = q(z, T)c/4p/EJ,

с - произвольно выбираемая масштабирующая константа, и уравнение (В.1) примет вид

и + 281Д + и™ = ^х,г), хе (0; 1), (В.2) Уравнение (В.2) может иметь различные начально-краевые условия динамические и кинематические [6], [7].

I. Свободные колебания

Свободные колебания стержня описываются однородным дифференциальным уравнением в частных производных эллиптического типа

и + 28и + и™ = 0, 0 <х<1, г> - да, (1.1)

к которому присоединяются начальные и граничные условия. В задаче об определении спектров собственных частот и собственных форм начальные условия не требуются. В качестве примера возьмём однопролётный стержень, у которого граничные условия однородные и имеют вид

и(0, г) = 0, и''(0, г) = 0, и(1, г) = 0, и''(1, г) = 0. (1.2) Решение задачи (1.1), (1.2) отыскивается с помощью метода разделения переменных

и(х, г) = Х(х) ехг, (1.3)

где

X = - ^ + ю (1.4)

- характеристический показатель, ^ и ю - подлежащие определению коэффициент затухания и частота свободных колебаний. Подстановка (1.3) в (1.1), (1.2) даёт

(X2 + 28Х)Х + Х™ =0, Х(0) = 0, Х''(0) = 0, Х(0) = 0, Х''(1) = 0. (1.5) Введём обозначение

Ь4 = - X2 - 28Х (1.6)

и перепишем задачу (1.5)

Ххх - Ь4Х =0, Х(0) = 0, Х''(0) = 0, Х(0) = 0, Х''(1) = 0. (1.7) Тогда её общее решение имеет вид

X(x) = Asinbx + Bcosbx + Cshbx + Dchbx. (1.8) Дифференцирование даёт

X'(x) = b(Acosbx - Bsinbx + Cchbx + Dshbx), (1.9)

X''(x) = b2(-A sin bx - B cos bx + C shbx + D chbx), (1.10)

X'''(x) = b3(-A cos bx + B sin bx + C chbx + D shbx). (1.11) Из граничных условий (7) следует

B = D = C = 0, sinb = 0, ^ b = kn. (1.12) Найденное значение b подставим в (1.6), учтём (1.4) и получим

- ю2 - 2ф + kV + i 2ю(- ^ + s) = 0. (1.13)

Поскольку левая часть уравнения (1.13) является комплекснозначной величиной, то оно эквивалентно системе из двух уравнений

2 2 4 4

^ - ю - + k п = 0, 2ю(- ^ + е) = 0.

Решая её, получим коэффициент затухания и спектр собственных частот

^ = е, Юек = V^lk-ё2, keN. (1.14)

Здесь ю0к = к2 п2 - частоты свободных колебаний при отсутствии вязкого трения, юек - то же при наличии трения. Из (1.8), (1.12) следует

X(x) = Asinbx.

A - произвольное число, примем его равным единице, учтём значение b по (1.12) и получим спектр собственных форм в виде полуволн синусойды кратных k

Xk(x) = фк(х) = sin кпх, к e N. (115)

II. Общая задача о вынужденных гармонических колебаниях стержня

1. Общая постановка задачи

Вынужденные детерминистические колебания стержня в установившемся режиме при гармонических (динамических и кинематических) возмущениях описываются задачей без начальных условий

ü + 2sU + uIV = f1(x, t) , 0 <x< 1, t> - да, (1.11)

u(0, t) = f2(t) , u'(0, t) = fs(t) , ü(1, t) = f4(t) , u''(1, t) = f5(t) , (1.1.2) Положим, что поперечная нагрузка распределена равномерно по длине стержня и все возмущения являются гармоническими с частотами Qk и начальными фазами ак. Тогда они могут быть представлены как комплекснозначные функции

fk(t) = а^к1^ , k = 1, 2, ... 5.

Если упростить, то

fk(t) = Акеюкг, Ак= акеюк. Здесь ак, Ак - действительная и комплексная амплитуды возмущений.

2. Автономные задачи 2.1. Вынужденные колебания от равномерной поперечной нагрузки

u + 2su + uIV = еiQt , 0 <x< 1, t> - да. (2.2.1)

u(0, t) = 0, u''(0, t) = 0, u(1, t) = 0, u''(1, t) = 0, t> - да. (2.2.2)

u(x, t) = H(x, iQ) еюг, (2.2.3)

H(x, iQ) - передаточная функция. (2.2.3) подставляем в (2.2.1), (2.2.2) и получаем задачу

[(iQ)2 + 2s(iQ)]H + HIV = 1, (2.2.4)

H(0, iQ) = 0, H''(0, iQ) = 0, H(1, iQ) = 0, H''(1, iQ) = 0. (2.2.5) Обозначим

b4 = - (iQ)2 - 2s(iQ),

перепишем (2.2.4)

HIV - b4H = 1. (2.2.6) Общее решение (2.2.5), (2.2.6) имеетвид

H(x, iQ) = H1(x, iQ) = A sin bx + B cos bx + C shbx + D chbx - b-4. (2.2.7) В силу (2.2.5)

B + D - b-4 = 0, - B + D = 0,

A sin b + B cos b + C sh b + D ch b - b-4=0, -A sin b - B cos b + C sh b + D ch b =0.

Отсюда

A = (1- cos b)/2 b4 sin b, B = D = 1/2 b4, C = (1- ch b)/2b4 sh b. 2.2. Кинематически возбуждаемые перемещениями правого конца

u + 2su + uIV = 0, 0 <x< 1, t> - да. (2.2.8)

u(0, t) = 0, u''(0, t) = 0, u(1, t) = е^ , u''(1, t) = 0. (2.2.9) Решение имеет вид (2.2.3). Вместо (2.2.5), (2.2.6) теперь имеем

HIV - b4H = 0. (2.2.10)

H(0, iQ) = 0, H''(0, iQ) = 0, H(1, iQ) = 1, H''(1, iQ) = 0.

(2.2.11)

Отсюда

H4(x, iQ) = (sin bx/sin b + shbx/sh b)/2. (2.2.12)

2.3. Кинематически возбуждаемые перемещения левого конца

u + 2suu + uIV = 0, 0 <x< 1, t> - да. (2.2.13)

u(0, t) = еЮ1, u''(0, t) = 0, u(1, t) = 0 , u''(1, t) = 0, t> - да. (2.2.14)

HIV - b4H = 0. (2.2.15)

H(0, iQ) = 1, H''(0, iQ) = 0, H(1, iQ) = 0, H''(1, iQ) = 0. (2.2.16)

Передаточная функция получается подстановкой в (2.2.12) (1-x) вместо x

H2 (x, iQ) = [sin b(1-x)/sin b + sh b(1-x)/sh b]/2. (2.2.17)

2.4. Колебания, возбуждаемые моментом на правой опоре

u + 2su + uIV = 0, (2.2.19)

u(0, t) = 0, u''(0, t) = 0, u(1, t) = 0 , u''(1, t) = еiQt. (2.2.20)

HIV - b4H = 0, (2.2.21)

H(0, iQ) = 0, H''(0, iQ) = 0, H(1, iQ) = 0, H''(1, iQ) = 1. (2.2.22) Решение этой задачи дает

H5 (x, iQ) = [-sin bx / sin b + shbx / sh b]/2b2. (2.2.23)

2.5. Колебания, возбуждаемые моментом на левой опоре

u + 2su + uIV = 0 (2.2.24)

u(0, t) = 0, u''(0, t) = eint, u(1, t) = 0 , u''(1, t) = 0. (2.2.25) HIV - b4H = 0. (2.2.26)

H(0, iQ) = 0, H''(0, iQ) = 1, H(1, iQ) = 0, H''(1, iQ) = 0.

(2.2.27)

Передаточная функция получается подстановкой в (2.2.23) (1-х) вместо x

H3 (x, iQ) = H5 (1-x, iQ) = [-sin b(1-x) / sin b + sh b(1-x) / sh b]/2b2. (2.2.28) 3. Общая задача при равенстве частот возмущений

u + 2su + uIV = A^iQt , 0 <x<1, t> - да, (2.3.1)

u(0, t) = A2^Qt, u''(0, t) = A3eiQt, u(1, t) = A4еiQt, u''(1, t) = A5eiQt. (2.3.2) Используя принцип суперпозиции, можем записать

u(x,t)=[AiHi(x,iQ)+A2H2(x,iQ)+A3H3(x,iQ)+A4 H4 (x,iQ) + A5 H5 (x,iQ)]eiQt =

= H0(x, iQ)eiQt. (2.3.3)

То же в векторной форме имеет вид

u(x, t) = AxH(x, iQ)eiQt = [A, H(x, iQ)]eiQt. (2.3.4)

Обозначено

H0(x, iQ) = A1H1(x, iQ) + A2H2(x, iQ) + A3H3(x, iQ) + A4H4(x, iQ)

+ A5H5(x ,iQ) = AxH(x, iQ) = [A , H(x,iQ)]. Верхний индекс т означает операцию транспонирования, (•,•) - скалярное произведение. Амплитуда колебаний

8(x, Q)= I Hc(x, iQ) I = [H0(x, iQ) H0(x, iQ)]1/2. (2.3.5)

III. Общая задача о случайных колебаниях стержня 1.Некоторые модели случайных процессов 1.1.Скалярные процессы

Динамическая нагрузка в поперечном направлении балки и кинематические возмущения на левом и правом концах зачастую являются стационарными случайными процессами [8-10]. Стационарность далее будем

понимать в так называемом «широком» смысле, когда математическое ожидание и корреляционная функция обладают свойствами

<f(t)> = const, Kf(t1, t2) = f - t1) = Kf(l). В рамках наиболее употребительной в приложениях корреляционной теории случайных процессов информация о них задаётся с помощью корреляционной функции и/или спектральной плотности. Рассмотрим кратко некоторые модели.

1) Дельта-коррелированный случайный процесс («белый шум»).

Широкополосный процесс, который в равной степени содержит гармоники любых частот, т.е. ше (-да , да).

Корреляционная функция, спектральная плотность и дисперсия

Kf(i) = sS(t), Sfb) = s / 2n, Kf(0) = Df = да. (3.1.1)

S(t) - дельта-функция Дирака, s - интенсивность белого шума. Дисперсия бесконечна, поэтому физически реального белого шума не существует.

2) Усечённые белые шумы.

а) Случайный процесс содержит сплошной низкочастотный спектр гармоник сегмента [-шс, шс], шс - частота среза.

Корреляционная функция, спектральная плотность и дисперсия

ís0, |q|<Qc,

Kf(x) = 2so sin шст/т, Sf(ro) = < Df = 2s0©c. (3.1.2)

10, |Q|>Qc,

б)Случайный процесс состоит из гармоник с частотами на сегменте [ш1,

©2].

Корреляционная функция, спектральная плотность и дисперсия

|s0, |ш|е [ш1, ш2],

Kf(x) = 2s0 (sin ш2т - sin ш1т)/т, Sf(©) = < Df =

|0, [ш1, ш2],

2s0(©2 - ©1).(3.1.3)

3) Экспоненциально-коррелированные случайные процессы.

Содержат в основном низкочастотные гармоники.

Корреляционные функции, спектральные плотности и дисперсии

а) ВД = o?e-aT, Sf>) = , (^2а , ,Df = а?, (3.1.4)

п(а + ш )

af - среднеквадратическое отклонение, а - параметр широкополосности.

2 2 «-г2 А 4а2

б) Kf(T) = а2е-ах , Sf(ш) = (f V ,Df = (2. (3.1.5)

2а vn

4) Процессы со скрытой периодичностью (с характерной частотой).

Узкополосные процессы, содержащие гармоники с частотами, близкими к некоторой характерной частоте; процессы, близкие к периодическим (гармоническим) процессам.

К(т) = а2е-аН cosPx, S^) = а2^ ^ . ,92 = а2 + в2, Df = а*, (3.1.6)

п[(ш2 -02)2 + 4а2ш2]

а - параметр широкополосности, в - характерная частота.

б) К(т) = а2е-ат (cosPx + в sin в|т|), Sf(ш) = 2 2f^ 2 2П , (3.1.7)

в п[(ш2 -92)2 + 4а2ш2]

92 = а2 + в2, Df= а2, а - параметр широкополосности, в - характерная частота.

1.2.Векторные процессы Источник случайных колебаний во многих случаях является многомерным векторным, т. е. представляться в виде

f(t) = ft), f2(t),^,f5(t)}.

Здесь fk(t) - стационарные и стационарно связанные компоненты векторного процесса.

В рамках корреляционной теории информацию о векторных процессах удобнее всего иметь в виде спектральной матрицы

Si(ffl) =

'11 а12

513

'14 а15

S21 S22 S23 S24

S31 S32 S33 S34

S41 S42 S 43 S 44

'51 э52 э53 э54

'25

35

'45

'55

Sij(ra) = Sji(ra).

(3.1.8)

Спектральные плотности и взаимные спектральные плотности могут быть записаны в общем виде

Ski(ffl) = cki pki а1Ь1*(1ш)Ь*1(1ш),к, j = 1, 2, . , 5,

M1®)1^1®)

(3.1.9)

где ck1 - conSt, ок, o1 - среднеквадратические отклонения соответствующих компонентов случайного процесса, L1(iro), L2(iro) - полиномы аргумента (iro), pk1 - нормированные элементы корреляционной матрицы случайного векторного процесса, причём

-1 < Pki < 1, Pkk = 1. (3.1.10)

Корреляционная матрица должна быть симметричной и неотрицательно определённой.Выпишем значения си и выражения для полиномов Lk(iro).

1) Экспоненциально-коррелированные случайные процессы.

ck1 = ak1/n, L1(iro) = 1, L2(iro) = (iro) + ak1,

Ski(®) = «цР^ ,k, 1 = 1, 2, ..., 5, (3.1.11)

л(ш +a k1)

2) Процессы со скрытой периодичностью (с характерной частотой).

a) cki = aki/n,

L1(iro) = (iro) + 0ki,

L2(iro) = (iro) + 2ak1(iro) + eki,

Ski(®) = a(kiPklCTek2CT)(CD4+e®l, e2i = a 2i + eki

n[(®2 -eki)2 + 4a ki®2]

(3.1.12)

б) cki = 2aki eki/n

L1(iro) = 1,

L2(iro) = (iro) + 2aki(iro) + ek,

Ski(®) = 2aki eki Pk °k °

eki = a ki + Pki

п[(ш2 -е^!)2 + 4ак ш2] 2. Постановка и решение задачи

На стержень действуют равномерно распределённая динамическая нагрузка в поперечном направлении ^(1;) и кинематические возмущения на

(3.1.13)

левом и правом концах £2(1) —5(0 в виде случайных процессов, и задача приобретает вид

и + 2ви + и1¥ = , 0 <х<1, 1> - да, (3.2.1)

и(0, 1) = £2(1), и''(0, 1) = £3(1), и(1, 1) = £4(1), и''(1, 1) = £5(1). (3.2.2) Процесс возмущений является векторным состоящим из пяти компонентов

£(1) = {£1(1), £2(1), ..., £5(1)}. Пусть он будет стационарным, со стационарно связанными компонентами, с нулевым математическим ожиданием, с заданной спектральной матрицей.

Тогда в установившемся режиме и(х, 1) будет центрированным пространственно-временным случайным полем, стационарным во времени и неоднородным по пространственной координате. Будем искать спектральную плотность и дисперсию поперечных отклонений стержня.

Для определения спектральной плотности выходного процесса имеются два пути.

1)Используются ранее найденные для гармонических колебаний передаточные функции Н(х, Ю), ] = 1, 2, ..., 5. Тогда спектральная плотность

случайного процесса колебаний выписывается как произведение матриц

5 5 * . *

Би(х, ю) = (х,1ю)Н* (х,1ю )к1 (ю)= Нт(х, 1ю)8£(ю)Н (х, 1ю). (3.2.3)

к=1 1=1

2)Второй путь состоит в применении метода спектральных представлений. Это интегралы Фурье

да да

и(х, 1) = \ и(х, ю)е1юМю, £(1) = \ Ж(ш)е1ю1аю. (3.2.4)

—да —да

Здесь Р(ю) = {Б1(ю), Р2(ю),..., Б5 (ю)} - вектор трансформант входного процесса, и(х,ю) - трансформанта выходного процесса. Они обладают свойствами

стохастической ортогональности по частоте ю

**

<и(х, ю) и (х', ю')> = Ки(х, х', ю) 8(ю - ю'), <Рк(ю)Б1 (ю')> = вы(ю)5(ю - ю'), <и(х, ю) (ю' ) > = Би£1 (ю) 8(ю - ю'). (3.2.5)

(4) подставляем в (1)

да „

.. . да .. ..

|(1ш)2и(х, оУшМо + 2е 1(1ю)и(х, ш)eiшtdш + |и1¥(х,ш^^Мо = |^(ш^Мш.

да

—да

После очевидного упрощения имеем

Ь2и - и1^, Ь4= - (1ш)2 - 28(1ю). (3.2.6)

Аналогично для граничных условий (3.2.2)

и(0, ш)= F2, и''(0, ш)= Fз, и(1, ш)= F4, и''(1, ш)= F5. (3.2.7) Поочередно оставляя одну из трансформант, решаем задачу (3.2.6), (3.2.7) точно так, как аналогичные задачи при гармонических колебаниях и получаем решения для всех возмущений

Щх, ш)= Fk(ю) Ик(х, 1ш), к = 1, 2, ..., 5, где Нк(х, 1ш) - ранее полученные передаточные функции.

С помощью принципа суперпозиции получим суммарное решение

и(х, ш)= 2 Fk(ю) ЩхДш)= Fт(ш) Н(х, 1ш) = р(ш), Н(хДш)]. (3.2.8)

к = 1

Переходим к комплексно-сопряженным величинам

и (х', ш') = £ Fl (ш') Н*(х', 1ш') = Р т(ш') Н (х, 1ш') =

1=1

=[Р(ш'), Н(х', 1ш')]. (3.2.9) Левые и правые части (3.2.8), (3.2.9) перемножаем соответственно

5 5

Ки(х х ' , ш)= ХХНк(х,1ш) Н1 (х ',1ш) §к1 (ш) = Нт(х, 1ш)8^(ш)Н ( х', 1ш). (3.2.10)

к=11=1

При х = х имеем спектральную плотность

5 5

Би(х, ш) = Ки(х, х, ш) = ХЕН(х,1ш) Н* (х,1ш) §к1 (ш) =

к=11=1

=Нт(х, 1ш)8^ш)Н (х, 1ш). (3.2.11) Для определения дисперсии применяется известная формула

оо

Щх) = | ви(х, ш)dш. (3.2.12)

Вывод. В данной работе ставилась задача показать возможности расчёта стержня на векторные возмущения в виде гармонических и случайных воздействий. Показана возможность получения передаточных функций от кинематических перемещений опор, динамического действия момента и распределённой нагрузки. Используя эти функции можно получить амплитуды перемещений и среднеквадратические отклонения. В работе получена спектральная матрица для стационарных случайных процессов, с учётом их коррелированности. Это позволит рассчитывать элементы сооружений в виде стержней на случайные воздействия в виде сейсмики

Литература

1.Казиев А. М. Колебания однородных и континуально-дискретных балок при векторных гармонических и случайных возмущениях: Дис. канд. техн. наук: 05.23.17 Нальчик, 2005 130 с. РГБ ОД, 61:05-5/3003.

2.Болотин В.В. Методы теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. - М.: Стройиздат, 1982. - 351 с.

3. Казиев А. М., Хуранов В.Х., Костенко О.В. Исследование воздействия векторных случайных нагрузок на балки. Инженерный вестник Дона, 2017, №3. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2017/4277.

4. Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем. М.: Наука,1979. 335 с.

5. Вентцель Е.С. Овчаров Л. А. Теория случайных процессов и её инженерные приложения. М.: Высш. шк., 2000. 383 с.

6. Культербаев Х.П. Кинематически возбуждаемые случайные колебания балок. Инженерно-технические науки. Материалы научно-практической конференции 1994.Нальчик: Каб.-Балк. гос. с/х акад. 1995.Ч. 3. С. 23-27.

7. Культербаев Х.П. О случайных колебаниях растянутых балок. Математическое моделирование и краевые задачи. Самара: Сам. гос. тех. ун-т. 2003. С. 100-103.

8. Казиев А.М. О влиянии характерной частоты и широкополосности случайной нагрузки на колебания балок. Вопросы повышения эффективности строительства. Межвузовский сборник. Нальчик: КБГСХА, 2004. Вып. 2. С. 7983.

9. Gajewski Antoni. Vibrations and stability of a non-conservatively compressed prismatic column under nonlinear creep conditions. J. Theor. and Appl. Mech. (Poland)., 2000. 38. - № 2. - рр. 259-270.

10. Keltie R.F., Cheng C.C. Vibration reduction of a mass-loaded beam. J. Sound and Vibr, 1995. № 2, рр. 213-228.

References

1. Kaziev A. M. Kolebaniya odnorodnyh i kontinual'no-diskretnyh balok pri vektornyh garmonicheskih i sluchajnyh vozmushcheniyah [Oscillations of homogeneous and continuum-discrete beams under vector harmonic and random perturbations]: Dis.kand. tekhn. nauk: 05.23.17 Nal'chik, 2005 130 p. RGB OD, 61:05-5/3003.

2. Bolotin V.V. Metody teorii veroyatnostej i teorii nadezhnosti v raschetah sooruzhenij. [Methods of probability theory and reliability theory in calculations of structures]. M.: Strojizdat, 1982. 351 p.

3. Kaziev A. M., Huranov V.H., Kostenko O.V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2017, №3. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2017/4277.

4. Bolotin V.V. Sluchajnye kolebaniya uprugih sistem [Random oscillation sofelastic systems]. M.: Nauka, 1979. 335 p.

5. Ventcel' E.S. Ovcharov L.A. Teoriya sluchajnyh processov i eyo inzhenernye prilozheniya. [The theory of random processes and its engineering applications]. M.: Vyssh. shk., 2000. 383 p.

6. Kul'terbaev H.P. Kinematicheski vozbuzhdaemye sluchajnye kolebaniya balok. Inzhenerno-tekhncheskie nauki. Materialy nauchno-prakticheskoj konferencii 1994. Nal'chik: Kab.-Balk. gos. s/h akad. 1995. CH. 3. pp. 23-27.

7. Kui'terbaev H.P., Kaziev A.M., O Siuchajnyh koiebaniyah raStyanutyh baiok. MatematicheSkoe modeiirovanie i kraevye zadachi. [About random vibrationS of a Stretched beam. Mathematicai modeiing and boundary vaiue probiemS]. Samara: Sam. goS. tekh. un-t. 2003. pp. 100-103.

8. Kaziev A.M., VoproSy povySheniya effektivnoSti Stroitei'Stva. MezhvuzovSkij Sbornik. Nai'chik: KBGSKHA, 2004. Vyp. 2. pp. 79-83.

9. GajewSki Antoni. J. Theor. and Appi. Mech. (Poiand)., 2000. 38. № 2. рр. 259270.

10. Keitie R.F., Cheng C.C. J. Sound and Vibr, 1995. № 2, рр. 213-228.