CC BY
601,1963 м. Как видно из рисунка, расчет по неявной схеме довольно точно совпадает с экспериментальными данными, воспроизводя положение скачка уплотнения даже более точно, чем расчет по явной схеме.
Целью второй серии расчетов являлось исследование масштабируемости реализованных алгоритмов явной и неявной схем. Полученные результаты представлены на рис. 2. Видно, что расчеты как по явной, так и по неявной схеме обладают хорошей масштабируемостью (сравнимой у обоих методов) и сохраняют свою эффективность (более 80%) при большом числе используемых ядер CPU.
В итоге проведенные численные расчеты продемонстрировали хорошее совпадение с экспериментом, высокую эффективность и масштабируемость разработанного алгоритма: ускорение расчета до 60 раз и эффективность распараллеливания более 80%. Таким образом, рассмотренный в работе параллельный неявный метод LU-SGS может быть использован для эффективного решения больших газодинамических задач.
Автор приносит благодарность научному руководителю А.Е. Луцкому, а также А.А. Давыдову, И.Ю. Кудряшову и И.С. Меньшову за полезные обсуждения.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 14-08-00624-а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Yoon S., Jameson A. Lower-upper symmetric Gauss-Seidel method for the Euler and Navier-Stokes equations // AIAA Journal. 1988. 26, N 9. 1025-1026.
2. Shu C. W. High order weighted essentially non-oscillatory schemes for convection dominated problems / / SI AM Rev. 2009. 51, N 1. 82-126.
3. Spalart P.R., Allmaras S.R. A one-equations turbulence model for aerodynamics flows // AIAA Paper 92-0439. 1992.
4. Edwards J.R., Chandra S. Comparison of eddy viscosity-transport turbulence models for three-dimensional, shock-separated flowfields // AIAA Journal. 1996. 34, N 4. 756-763.
5. Schmitt V., Charpin F. Pressure distributions on the ONERA M6 wing at transonic Mach numbers, experimental data base for computer program assessment. Report of the Fluid Dynamics Panel Working Group 04, AGARD AR 138, May 1979.
6. Luo H., Sharov D., Baum J.D., Lohner R. Parallel unstructured grid GMRES+LU-SGS method for turbulent flows // AIAA-2003-0273, 2003.
7. Li D., Men'shov I., Nakamura Y. Detached-eddy simulation of three airfoils with different stall onset mechanisms // J. Aircraft. 2006. 43, N 4. 1014-1021.
8. Jameson A. Time dependent calculations using multigrid, with applications to unsteady flows past airfoils and wings // AIAA Paper 91-1596. 1991.
Поступила в редакцию 28.05.2014
УДК 511
ЗАДАЧИ ИНТЕГРАЦИИ БИНС И ОДОМЕТРА С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ МЕХАНИКИ КОРРЕКТИРУЕМЫХ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ НАВИГАЦИОННЫХ СИСТЕМ. ЧАСТЬ 2
A.A. Голован1, И. В. Никитин2
Работа посвящена выводу коррекционных моделей в задаче интеграции бескарданной инерциальной навигационной системы и одометра. Вывод основан на базовых понятиях механики корректируемых инерциальных навигационных систем.
1 Голован Андрей Андреевич — доктор физ.-мат. наук, зав. лаб. управления и навигации мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: aagolovanQy andex. ru.
2Никитин Илья Вячеславович — асп. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ilv.nikitinQgmail.com.
Ключевые слова: БИНС, одометр, навигационное решение, схемы интеграции.
The paper is devoted to the derivation of integration models for a strapdown inertial navigation system (SINS) and an odometer. This derivation is based on the notation of mechanics of aided SINS.
Key words: SINS, odometer, navigation solution, integration schemes.
Выводятся коррекционные модели для задачи интеграции бескарданной инерциальной навигационной системы (БИНС) и одометра. Вывод моделей основан на базовых понятиях механики корректируемых инерциальных навигационных систем. Главная идея построения алгоритма коррекции состоит в использовании результатов позиционного одометрического счисления для коррекции БИНС. В первой части работы [1] рассмотрена методическая сторона задачи. Здесь же приводится математическое описание самих алгоритмов интеграции. Вариант интерпретации измерений одометра как скоростной информации [2] не рассматривается. В изложении используются терминология и система обозначений, принятые в [3, 4].
Объект. Под объектом будем понимать автомобиль, на котором установлены БИНС и одометр. За точку М, отождествляемую с объектом, примем точку, совпадающую с положением чувствительной массы пространственного ньютонометра БИНС, для краткости называемую приведенным центром БИНС.
БИНС. БИНС является источником следующей навигационной информации:
1) о географических координатах — долготе X', широте ф, высоте Ь' — модельной точки М';
2) о компонентах линейной скорости — восточной УЕ, северн ой У^, вертикаль ной УЦ1 р, заданных в осях модельного географического (квазимодельного) трехгранника М'ух-,
3) об углах ориентации — угле истинного курса ф', крен а 7^, тангаж а характеризующих
М'у М'ух М'у
образ приборного трехгранника Мг БИНС, образованного осями чувствительности ньютонометров
БИНС. Соответствующую матрицу ориентации обозначим через Ьу(ф',$'). '
Одометр. Идеализированная модель одометра представляет собой модель датчика, связанного с продольной осью объекта и измеряющего дискретным образом пройденный путь в(Ь) точки на этой оси. В дальнейшем для простоты изложения делается допущение, что эта точка совпадает с
М
Предполагается, что движение объекта происходит без проскальзывания, сноса и что объект постоянно сцеплен с дорогой. Это позволяет перейти от скалярной интерпретации измерения одометра к векторной: вектор скорости объекта в осях связанной с корпусом системы координат Мв представляет собой вектор с двумя нулевыми компонентами (проекции на боковую Мв1 и вертикальную Мвз оси) и одной ненулевой компонентой в (при движении объекта) по продольной оси Мв2-Аналогичная интерпретация справедлива для дискретного представления локального приращения пройденного пути Дв^+1 и локальной средней скорости на интервале времени [и,и+1]:
Реалистичная модель измерений одометра может учитывать следующие факторы:
1) погрешность масштабного коэффициента к, переводящего первичное измерение в расстояние; наличие зоны нечувствительности, обусловленной целочисленностью первичной информации;
2) геометрические погрешности привязки "измерительной" оси одометра и приборного трехгранника БИНС — несоосность одометра и БИНС;
М
которой измеряется, не совпадают. Возможен учет ошибки при известных взаимном расположении точек друг относительно друга и углах ориентации корпуса объекта, доставляемых БИНС; 4) при движении у объекта может присутствовать поперечная скорость (снос).
''
пользоваться для показаний одометра и векторов, сформированных на их основе.
Возможны два способа кинематического одометрического счисления по данным одометра и
Одометрическое счисление, слабосвязанные системы. С помощью модельной матрицы ориентации Ьу БИНС и измеренного приращения пути Дв^+1 вычисляются приращения географических координат X", Ь![ второй (одометрической) модель ной точки М":
Asi+i = s(ti+1) - s(U), Vi+1 = At = ti+1 - U.
БИНС.
Здесь Ке, Км — радиусы кривизны первого вертикала и меридионального сечения.
С точкой М'' связывается модельный географический одометрический трехгранник М"уА.
Одометрическое счисление, модифицированные слабосвязанные системы. Также используются соотношения (1), но матрица Ьу вычисляется при помощи скорректированных ф'' = ф' — 5ф, 7'' = 7' — 57, $'' = $' — 5$ углов курса, крена и тангажа. Результат — матрица Ь^. Коррекция углов обусловлена тем, что в БИНС эти углы отсчитываются от трехгранника М'ух (Оух), угловые ошибки построения которого могут быть значительными, в отличие от угловых ошибок трехгранника М"уА (Оу^), где точка О — геометрический центр Земли. Поправки углов 5ф, 57, 5$ являются функциями разностей географических координат 5Х = X'' — X', 5ф = ф'' — ф':
5ф = ôX sin р' + ôy sin д', ôy =
ôр sin ф' — ôX cos <р' cos ф' cos д' '
ôd = ôp cos ф' + SX cos p' sin ф'.
Приведенные одометрические решения могут быть использованы в двух вариантах:
1) одометрическое позиционное решение является выходным навигационным решением. В этом случае возможности комплексной обработки информации, предоставляемой БИНС и одометром,
реализуются частично. Вариант условно называется одометр + БИНС;
М''
случае возможно осуществить комплексную обработку информации БИНС и одометра оптимальным образом, т.е. точно так же, как это делается в задачах коррекции БИНС. Используются две возможные схемы комплексирования, условно называемые БИНС + одометр:
2а) тесная интеграция. Одометрическое позиционное решение служит корректирующей информацией для БИНС. Задача коррекции БИНС решается в варианте оценивания;
2Ь) глубокая интеграция. В отличие от предыдущего варианта задача коррекции БИНС решается в варианте введения обратных связей в алгоритмы навигационного счисления БИНС.
Взаимосвязь координатных трехгранников. Для вывода коррекционных моделей информативна следующая диаграмма связей координатных трехгранников:
Oy
OyX
Y
Oyd
вг*
Ox0
вг*
Ozx
¿Y
Ozd
Oz
В диаграмму входят:
1) a A Y, ôYd — векторы малых поворотов, характеризующие ориентацию трехгранников;
2) трехгранники, используемые при описании моделей БИНС: опорный географический Mx0 (Ox0), приборный Mz (Oz), модельный M'y (Oy), квазимодельный M'yx (Oyx), квазиприборный Mzx (Ozx);
3) трехгранники, соответствующие одометрическому счислению: квазимодельный одометриче-
M''yd Oyd M''zd Ozd
M'' M
Oyd
y '' = Q ''y'' + V',.
yd = Q ''yd + Vyd.
Здесь у'' — радиус-вектор точки М'' в осях ОуА\ yd — радиус-вектор идеальной точки М в осях ОуА\ У"* — вектор линейной относительной скорости точки М'', полученный проецированием "скоростного" измерения одометра либо на оси Оух с помощью матрицы Ьу (ф', , $') (слабосвязанная схема, вектор Уу'х), либо на оси Оу'^ с помощью матрицы ^(ф'',7'',$'') (модифицированная схема, вектор
У"&)] Ууа — вектор скорости точки М в осях Оу^ О'' = О.''(УУ'*) — вектор относительной угловой у у у
скорости Oyd.
Уравнения в вариациях имеют вид
Ayd = Q ''Ayd + A Vya,, Ayd = y'' — yd, A Vva, = V"* — Vy
d
d
'y*
где Ayd, AVd* — позиционная и скоростная ошибки одометрического счисления.
d
Для вычисления вариации АУ^а учтем пп. 1, 2 описания реалистичной модели измерений одометра: несоосность одометра и БИНС, масштабный коэффициент к и случайную составляющую ¿Уобусловленную зоной нечувствительности измерений.
Введем вектор малого поворота к = (ж\, к2, кз)т, характеризующий взаимную ориентацию приборного трехгранника Ых БИНС и связанного с корпусом объекта трехгранника Ыз:
Уг = (Е + X) У3, У = (0, , 0)т, У" = (0, У2,0)т. Здесь Уг, У3 — скорость точки Ы в осях Ых, Ыз У", У" — скалярное и "векторное" показания. С
учетом погрешности масштабного коэффициента к и случайной составляющей ¿У*' получим
(-кз \ ( 0
у/2 = у«2 + У + ¿у, у I' = Уг + V + ¿у/ , ¿у/ = У'21 к \, 5у? = I ¿у
где У/2, У'' — числовые реализации моделей скалярного и "векторного" измерений одометра.
Рассмотрим вектор скорости У'* = ЬТУ'' (слабосвязанная схема). Тогда в линейном приближении вектор УуХ можно представить в следующем виде (далее для матриц перехода будем использовать символ В с двумя нижними индексами, обозначающими направление перехода):
Уг = ВуХуУ'' = ВуХхоВх0гВгуУ'' = (Е + 7°) ВХ0г (е + У'' = Ужс + 7гх Ужс + ¿У?* + ¿У//, (2)
где УХ0 = ВХ0г Уг, ¿У£ = ВуХу ¿У^ ¿У£' = Ву* у ¿У*'. Рассмотрим вектор скорости Ууа = ВуахОУХо:
Ууа = ВуаХО ухо = ВуЛух Ву*Х0 ухО = (е - (е + уХО = ухо + (й° - уХО .
Для вариации АУуХ = УуХ - Ууа справедливо соотношение
АУуаа = + ¿у) УхО + ¿У* + ¿У*'.
Уравнения ошибок одометрического счисления в случае слабосвязанной схемы примут следующий вид (в рамках линейных приближений в уравнениях в вариациях можно использовать значение У'а
вместо Ухо):
Ау* = П''Ау* + + ¿у) У^ + ¿У* + ¿У//. (3)
Полученный результат согласуется с известным выводом о том, что если измерительная информация связана с приборными осями БИНС, то соответствующие коррекционные модели содержат кинематическую ошибку БИНС и не содержат динамические угловые ошибки построения вертикали.
По аналогии выводятся уравнения ошибок в случае модифицированной слабосвязанной схемы. Используя последовательность преобразований (2), выведем модель для вектора У'а'-
У'а = Вуаух Вуху У' = УхО + (агх - 6?) УхО + ¿У% + ¿У$.
В этом случае в уравнениях (3) сократится ошибка ¿7*:
Ау* = П ''Ау* + в^х У'* + ¿У/а + ¿У$. (4)
Модели задачи коррекции БИНС при помощи позиционных одометрических решений. Введем коагулированный вектор х* ошибок БИНС и одометра: х* = (х(г) ,х(а) )т, где
1) х(г) = (Аут^Ут ,а1,а2,в3,^т, А/Т)Т _ вектор ошибок БИНС [3], включающий в себя, например, ошибки местоположения Ау, динамические скоростные ошибки ¿У, ошибки построения вертикали а^ а^ азимутальную кинематическую ошибку вз> параметры моделей гироскопического дрейфа V и погрешностей ньютонометров А/;
2)х(^ = к, к\, хэ^ — вектор ошибок в одометрическом счислении.
Тогда полная система уравнений ошибок в векторном виде будет иметь вид
.* (Ап 0 \ * (д® \
Х =1А21 А22) х Ч, (5)
где матрица Ац соответствует уравнениям ошибок БИНС [3]; элементы матриц А21, А22 определяются соотношениями (3) или (4); — векторы инструментальных шумов БИНС и одометра. Рассмотрим вектор измерения г = у'' — у'\у& ошибки одометрического позиционного решения
относительно решения БИНС — вектор М'М". Почти очевидно, что
г = Дyd — Ду = Их*. (6)
Для вектора состояния х* системы (5) может быть поставлена задача оценивания при помощи измерений (6), решаемая в вариантах оценивания или введения обратных связей в алгоритмы счисления БИНС и одометра.
Заключение. В статье для задачи интеграции БИНС и одометра описаны все возможные схемы решения в случае использования позиционной одометрической информации, а также описаны базовые модели уравнений ошибок и корректирующих измерений. Модели проверены обработкой экспериментальных данных.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Голован A.A., Никитин И.В. Задачи интеграции БИНС и одометра с точки зрения механики корректируемых инерциальных навигационных систем. Часть 1 // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2015. № 2. 69-72.
2. Вавилова Н.Б., Па нее A.A. Задача навигации внутритрубного диагностического снаряда / / Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2011. № 1. 53-56.
3. Голован A.A., Парусников H.A. Математические основы навигационных систем. Ч. I. Математические модели инерциальной навигации. 3-е изд., испр. и доп. М.: Изд-во МГУ, 2011.
4. Голован A.A., Парусников H.A. Математические основы навигационных систем Ч. II. Приложения методов оптимального оценивания к задачам навигации. 2-е изд. испр. и доп.. М.: МАКС Пресс, 2012.
Поступила в редакцию 18.06.2014
