CC BY
237. Морозов В.М., Рубановский В.Н., Румянцев В.В., Самсонов В.А. О бифуркации и устойчивости установившихся движений сложных механических систем // Прикл. матем. и механ. 1973. 37, вып. 3. 387-399.
8. Самсонов В.А. О задаче минимума функционала при исследовании устойчивости движения тела с жидким наполнением // Прикл. матем. и механ. 1967. 31, вып. 3. 523-526.
Поступила в редакцию 10.10.2012
УДК 511
АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ КАЛИБРОВКИ БЕСКАРДАННОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ В ПОЛЕТЕ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ ЭВОЛЮЦИЙ САМОЛЕТА
И. А. Васинёва1, А. О. Кальченко2
В связи с тем что параметры инструментальных погрешностей бескарданной инер-циальной навигационной системы меняются в процессе эксплуатации, возникает задача их оценки в полете с использованием информации от спутниковой навигационной системы. Для повышения обусловленности задачи оценки предлагаются специальные движения двух типов — эволюции, практически не нарушающие крейсерского режима самолета, и координированная "змейка". Приводятся результаты ковариационного анализа точности калибровки.
Ключевые слова: бескарданная инерциальная навигационная система, калибровка, инструментальные погрешности БИНС.
The problem of the on-line estimation of the parameters of the instrument errors of a strapdown inertial navigation system using the information obtained from a satellite navigation system arises because of the fact that they change in the process of operation. Two types of special maneuvers are proposed in order to make the estimation problem well-conditioned: fluctuations in roll and pitch and a coordinated "snake". The results of covariance analysis of calibration accuracy are presented.
Key words: strapdown inertial navigation system, calibration, SINS instrument errors.
Калибровка бескарданной инерциальной навигационной системы (БИНС) на стендах является необходимым этапом ее подготовки к эксплуатации [1, 2]. Однако с течением времени параметры инструментальных погрешностей БИНС изменяются, вследствие чего повышаются ошибки автономной навигации. Наличие во время полета внешней по отношению к инерциальной информации (данные спутниковой навигационной системы (СНС)) позволяет проводить оценку инструментальных погрешностей по полетным данным.
Задача калибровки в полете ставится как задача оценки вектора состояния ошибок БИНС, включающего параметры инструментальных погрешностей, при помощи внешней информации. В качестве такой информации привлекаются данные от СНС о координатах и скорости объекта.
Обусловленность задачи калибровки зависит от траектории движения самолета. Выбор приемлемой траектории трудно формализовать при помощи какого-либо критерия оптимизации. Для калибровки БИНС в полете в настоящей работе предлагается использовать специальные движения двух типов — эволюции, практически не нарушающие крейсерского режима самолета, и координированную "змейку". Такие эволюции объекта легкореализуемы.
Изложение основано на представлениях и соотношениях инерциальной навигации, описанных в [3]. Широко известные факты соответствующей теории приводятся без пояснений.
1 Васинёва Ирина Алексеевна — студ. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vasineva.irina@gmail.com.
Кальченко Артем Олегович — асп. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: artem.kalchenko@gmail.com.
Математические модели алгоритма калибровки. Математические модели алгоритма калибровки БИНС включают модель инструментальных погрешностей датчиков угловой скорости (ДУС) и ньютонометров, уравнения ошибок БИНС, уравнения корректирующих измерений. Оценка вектора состояния ошибок БИНС, содержащего параметры инструментальных погрешностей, при помощи вектора измерений строится на основе фильтра Калмана.
БИНС состоит из трех однокомпонентных ньютонометров, трех датчиков угловой скорости и бортового вычислителя, в котором реализованы навигационные алгоритмы. Числовые значения навигационных параметров называются модельными параметрами. Оси чувствительности ньютонометров и датчиков угловой скорости располагаются так, что с точностью до инструментальных погрешностей составляют далее называемый приборным ортогональный трехгранник Mz\Z2 Z3, в проекциях на оси которого измеряются внешняя сила f z, приложенная к точке M, и проекции его угловой скорости uz. Результатом измерения являются векторы
fz = fz + Afz, u'z = Uz - Vz,
где Afz = (Afzi, Afz2, Afz3i)T — вектор погрешности измерений ньютонометров, vz = (vzi,vz2,vz3)T — вектор погрешности измерений датчиков угловой скорости.
Полагается также, что собственные инструментальные погрешности каждого из ньютонометров включают ошибку нулевого сигнала (ошибку нуля), ошибку масштабного коэффициента (ошибку масштаба) и высокочастотную составляющую, которая считается белым шумом. С учетом сказанного вектор инструментальных погрешностей
Afz = fz - fz = (Afzi, Afz2, Afz3)T
описывается соотношением Afz = Af^ + Г fz + Af%, где Afz = (Af0i, Af02, AfZ3)T — вектор погрешностей нулей,
/Гц 0 0 \
Г = Г21Г22 0
\Г31 Г32 Г33/
Гц — погрешности масштабов, Гj (i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, i = j) — погрешности установки ньютонометров (погрешности геометрии, перекосы), Af % = (Af Si, Af %2, Af %3)T — высокочастотные погрешности типа белого шума.
Для погрешностей ДУС vz = (vzi,vz2,vz3)T принимается аналогичная модель: vz = V0 + Quz + V%, где
= (v°zl,VZ2,v%)T, © =
( ©11 ©12 ©13\ ©21 ©22 ©23 ©31 ©32 ©33
На практике используются различные модификации уравнений ошибок БИНС [3]. Их поведение описывается в трехграннике Мх, связанном с текущей географической вертикалью (ось Мхз) и ориентированном определенным образом в азимуте. В данной задаче предполагается, что вертикальный канал корректируется при помощи внешней информации, поэтому ошибки вертикального канала не включаются в вектор состояния и выбирается следующий набор независимых переменных (индекс обозначает проектирование на соответствующую ось трехгранника Мх): Ayi, Ay2 — полные ошибки местоположения;
¿Vi, 5V2 — динамические ошибки определения горизонтальных составляющих Vi, V2 относительной скорости движения;
в1, в2, вз — кинематические ошибки.
Указанные переменные подчиняются следующим уравнениям, называемым уравнениями ошибок:
Дуi = ¿Vi + вз V2, Ду2 = ¿V2 - вз Vi, ¿Vi = 2U3ÓV2 - w^Ayi - в2g + Afi, V = -2U3SV1 - ulAy2 + в19 + Af2, в1 = ^зв2 - ^2вз + Vi, в2 = -W3ei + + V2, вз = - ^2 + V3,
где vx = (vi, V2, V3)T = LTvz; L — матрица ориентации трехгранника Mz относительно Mx, определяемая в бортовом вычислителе БИНС. Для калибровки БИНС используется полученная от СНС информация о
географических широте фс и долготе Лс и о северной VN и восточной VE составляющих вектора скорости. Эти параметры приемник измеряет с точностью до шумов.
Компоненты вектора коррекции z = (zpos, zpos,zVel, zjel)T имеют вид
zpos = Дф sin X + ДЛ cos X = Ду1 + ri°s, zpOS = Дф cos X — ДЛ sin X = Ду2 + ^2°s,
Vvel _ л тл i л i/;,„„. ,7 _ гт/. i К Й. i „vel
zjel = ДVe sin X + Д Vn cos X = ¿Vi + V2вз + rj zvel = ДVe cos X — ДVn sin X = ¿V2 — Vi вз +
vel
где Дф = (ф' — фc)RN; ДЛ = (Л' — Лс)Яе cos ф; ДVN = V^ — V^; ДVE = V¿ — VE; ф', Л'V¡,,VE —
модельные значения координат и скоростей; X — модельное значение азимутального угла; rpos, rpos, rjel,
rVel — погрешности информации СНС типа белого шума.
Таким образом, вектор состояния динамической системы имеет вид x = (Ду1, Ду2, ¿Vi,¿V2, в1,в2,
вз, V°Z1, V02, V03, ©11, ©i2, ©13, ©21 , ©22 , ©23 , ©31, ©32 , ©зз , Д/°, Д/02, Д/03, Гц, Г21, Г22 , Г31, Г32 , Г33)T, а век/ pos pos vel vel\ T
тор коррекции — вид z = (z\ ,z¡¿ , zj , zj )T .
Задача сводится к построению оценок вектора состояния при помощи вектора коррекции, линейно зависящего от компонент вектора состояния, когда математическая модель инструментальных погрешностей линейно зависит от совокупности неизвестных параметров, полагаемых константами. Для решения этой задачи используется фильтр Калмана.
Результаты моделирования. Анализ точности калибровки БИНС в полете производился в рамках ковариационных соотношений без построения модельных реализаций. Для оцениваемых параметров были приняты следующие априорные среднеквадратические погрешности: avo = 0,05°/ч; од/о = 40''; аги = 2 • 10"4; от^ = 40''; a@ii = 2 • 10"4; a@ij = 40'' (i,j = 1, 2, 3, i = j). Эти значения соответствуют среднеквадратическим погрешностям параметров БИНС в процессе эксплуатации. Предполагается, что среднеквадратические погрешности шумов ньютонометров равны ад/s = 3 • 10"3 м/c2, шумов ДУС — uvs = 0,3°/ч на частоте 1 Гц, шумов спутниковых измерений — orp°s =5 м, arYe\ = 0,3 м/с (i = 1, 2).
Для повышения обусловленности задачи были предложены следующие маневры — специальные колебания по крену и тангажу и "змейка".
Специальные колебания по крену и тангажу осуществляются по следующим законам: ф\ = фю sin(^-í + т) — крен, ф2 = V;20SÍn(^í + к2) — тангаж, ф3 = 0 — курс, -010 = Ф20 = Ю°, Т = 120 с, щ - к2 = f.
Координированная "змейка" моделируется следующим способом:
VE = V cos ф, VN = V sin ф, ф = фо + A0 sin
2тrí
где Ve, Vn — восточная и северная компоненты скорости движения, ф — угол курса, V = 200 м/с, = f, Ао = f ,То = 480 с.
Коорднннрованность поворотов имитируется заданием угла крена в виде ф\ = arctan^.
Для оценивания качества калибровки производилось моделирование точности автономной навигации на траектории "змейка". В движении по этой траектории проявляются все составляющие инструментальных погрешностей. Моделировался полет самолета по данной траектории в течение 1 ч.
Критерием качества калибровки служит величина р = а + <тАф> гДе а — длина большой
полуоси навигационного эллипсоида; Дф, ДЛ — ошибки в определении широты и долготы. Обычно к системам предъявляются требования обеспечения ошибки автономной навигации не более 1 морской мили (1,852 км) после часа полета. Без калибровки ошибка автономной навигации на порядок больше и составляет 17 км. Калибровка на крейсерском режиме не позволяет значимо повысить точность навигации — ошибка составляет 15 км.
Объединение предложенных выше маневров таким образом, что в первую половину интервала калибровки выполняется маневр "змейка", а затем — колебания по крену и тангажу, привело к результатам, содержащимся в таблице.
Время калибровки, с 600 1200 2400 3600
Ошибка автономной навигации, км 11,2 3 1,5 1,3
68
вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2014. № 1
Выводы. В работе показано, что использование специальных легкореализуемых движений, а именно колебаний по крену и тангажу и "змейки", существенно улучшает обусловленность задачи по сравнению с крейсерским режимом. Комбинация колебаний и "змейки" позволяет получить точность калибровки, обеспечивающую требования к автономному режиму БИНС.
Авторы приносят благодарность ведущему научному сотруднику лаборатории управления и навигации Н.Б. Вавиловой за конструктивные замечания.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Голован А.А., Парусников Н.А. Математические основы навигационных систем. Ч. II: Приложения методов оптимального оценивания к задачам навигации. М.: Изд-во МГУ, 2008.
2. Вавилова Н.Б., Парусников Н.А., Сазонов И.Ю. Калибровка бескарданных инерциальных навигационных систем при помощи грубых одностепенных стендов // Современные проблемы математики и механики. Т. I: Прикладные исследования. М.: Изд-во МГУ, 2009.
3. Голован А.А., Парусников Н.А. Математические основы навигационных систем. Ч. I: Математические модели инерциальной навигации. М.: МАКС Пресс, 2011.
Поступила в редакцию 18.12.2012
УДК 51-72
ОЦЕНКА УГЛОВОЙ СКОРОСТИ ВРАЩЕНИЯ ТЕЛА ПРИ ПОМОЩИ
СИСТЕМЫ ТРЕКИНГА
Д. И. Бугров1, А. В. Лебедев2, В. А. Чертополохов3
Рассмотрена задача о нахождении угловой скорости вращения тела по записям матрицы ориентации, полученным с помощью системы трекинга. Проведено сравнение двух способов решения задачи — путем представления функции в виде частичной суммы Фурье и с использованием фильтра Савицкого-Голея.
Ключевые слова: угловая скорость, система трекинга, частичная сумма Фурье, фильтр Савицкого-Голея.
The problem of determining the rotational angular velocity of a body using the records of the matrix orientation supplied by a tracking system is considered. Two methods of solving this problem are compared. One of them is based on the representation of the function in the form of a partial sum of the Fourier series and the second one is based on the Savitzky-Golay filter.
Key words: angular velosity, tracking system, partial sum of Fourier series, Savitzky-Golay
filter.
Одним из направлений совместной работы Института математических исследований сложных систем и Института человека МГУ является изучение особенностей функционирования вестибулярной системы человека. Требуемую информацию можно получать, в частности, изучая записи движений глаз при поворотах головы. Для получения таких записей использовались электроокулограф, регистрирующий движения глаз, и система трекинга ARTtrac производства компании A.R.T. GmbH (Германия), включающая в себя две камеры, работающие в инфракрасном диапазоне, два соответствующих излучателя, набор отражающих маркеров и специальное программное обеспечение. Указанное программное обеспечение осуществляет первичную обработку отраженных от маркеров сигналов и с высокой точностью вычисляет
1 Бугров Дмитрий Игоревич — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. лаб. математического обеспечения имитационных динамических систем мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: dima-bugrov@yandex.ru.
2 Лебедев Антон Викторович — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. лаб. математического обеспечения имитационных динамических систем мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: antohal@rambler.ru.
3 Чертополохов Виктор Александрович — студ. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: andorantes@gmail.com.
