CC BY
663. Карликов В.П., Толоконников С.Л. Струйно-кавитационное обтекание "атмосферы" пары вихрей // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2003. № 6. 22-27.
4. Гуревич М.И. Симметричное кавитационное обтекание пластинки, помещенной между параллельными стенками // Изв. АН СССР. Отделение техн. наук. 1946. № 4. 487-498.
5. Биркгоф Г., Плессетп М., Симоне И. Влияние стенок в кавитационном течении. Ч. 1, 2 / Пер. с англ. Механика. Период, сб. перев. М.: Мир, Т. 1. 1951; Т. 2. 1953.
6. Ву Яо-цзу Т. Кавитационные и спутные течения / Пер. с англ. Механика. Период, сб. перев. Т. 5. М.: Мир, 1973.
7. Карликов В.П., Шоломович Г.И. Метод приближенного учета влияния стенок при кавитационном обтекании тел в гидродинамических трубах // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1966. № 4. 89-93.
8. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, 1979.
9. Васильев В.Н. Обтекание решетки пластин с развитой кавитацией // Вопросы прикладной математики и механики. Вып. 5. Чебоксары: Изд-во Чуваш, гос. ун-та, 1977.
Поступила в редакцию 21.05.2014
УДК 511
ЗАДАЧИ ИНТЕГРАЦИИ БИНС И ОДОМЕТРА С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ МЕХАНИКИ КОРРЕКТИРУЕМЫХ
ИНЕРЦИАЛЬНЫХ НАВИГАЦИОННЫХ СИСТЕМ. ЧАСТЬ 1
А. А. Голован1, И. В. Никитин2
Исследуется задача навигации наземного объекта, приборный комплекс которого состоит из бескарданной инерциальной навигационной системы и одометра. Приводятся функциональные схемы решения задачи, их интерпретация с точки зрения механики корректируемых инерциальных навигационных систем. Во второй части работы будет представлено математическое описание собственно алгоритмов интеграции.
Ключевые слова: БИНС, одометр, навигационное решение, схемы интеграции.
The navigation problem of a land vehicle is studied when a strapdown inertial navigation system and an odometer are used. The analysis is done from the viewpoint of mechanics of aided inertial navigation systems. Different functional schemes of integration are analyzed. In the second part of the paper, a mathematical description of integration algorithms will be given.
Key words: strapdown INS, odometer, navigation solution, integration schemes.
В статье анализируются методические аспекты задачи навигации наземного объекта, приборный комплекс которого состоит из бескарданной инерциальной навигационной системы (БИНС) и одометра. Совокупный состав указанной навигационной информации избыточен, что позволяет анализировать различные функциональные схемы решения задачи. Обсуждение возможных вариантов решения задачи, их интерпретация с точки зрения механики корректируемых БИНС важны для приложений, поскольку становится доступной картина алгоритмических решений и их особенностей. Статья предваряет математическое описание собственно алгоритмов интеграции, отражая только методическую сторону задачи. Формальная сторона будет описана во второй части статьи.
Объект и его уравнения движения. Будем использовать терминологию и систему обозначений, принятые в [1, 2]. Под объектом будем понимать колесный автомобиль, на котором установлены БИНС и одометр. За точку M, отождествляемую с объектом, принимается точка, совпадающая с приведенным центром БИНС, под которым здесь и далее понимается положение чувствительной массы пространственного ньютонометра БИНС. Поведение объекта описывается векторным уравнением
XX = F (X,U), X (to) = Xo, (1)
где X — вектор состояния, U — внешнее измеряемое воздействие на систему, F — известная вектор-функция.
1 Голован Андрей Андреевич — доктор физ.-мат. наук, зав. лаб. управления и навигации мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: aagolovanQyandex .ru.
2Никитин Илья Вячеславович — асп. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ilv.nikitinQgmail.com.
Компонентами вектора X для рассматриваемого объекта служат географические координаты, компоненты вектора скорости, углы ориентации корпуса. Вид функции ^ определяется видом кинематических и динамических уравнений движения точки М, углового движения корпуса. Внешнее измеряемое воздействие и можно интерпретировать как идеальные измерения идеально установленных на корпусе объекта инерциальных датчиков — ньютонометров и датчиков угловой скорости (ДУС), или гироскопов.
Модельные уравнения объекта, реализуемые в вычислителе БИНС. Предполагается известной информация о начальном состоянии объекта Х'(Ьо). В каждый момент времени измеряется и(Ь), результат измерения обозначим и'(¿):
х '(¿о) = Х0 = х (¿о) + х(га), и'(г) = и (г) + и(г).
Здесь х(го) — ошибки начальных условий, и — инструментальные погрешности инерциальных датчиков.
Модельные уравнения объекта структурно повторяют уравнения (1):
X' = ^ (Х',и'), X '(¿о) = Х0. (2)
Результатом интегрирования (2) служат модельные переменные X': модельные географические координаты, вектор скорости, углы ориентации корпуса. Модельные географические координаты определяют модельную точку М', отождествляемую с объектом в инерциальном навигационном счислении.
Идеализированная модель одометра. В идеализированной ситуации одометр представляет собой датчик, связанный с продольной осью объекта и измеряющий пройденный путь в(г) (скалярную величину)
М
1) движение объекта происходит без проскальзывания;
2) объект постоянно сцеплен с дорогой — объект не подлетает и не проваливается.
Сделанные предположения позволяют интерпретировать измерение одометра — пройденный путь 8(1) — как интеграл от скорости движения объекта в, все время направленной по продольной оси. Это дает возможность перейти от скалярной интерпретации измерения одометра к векторной: вектор скорости объекта в осях связанной с корпусом системы координат Мв (М — начало системы координат; М$1, г = 1, 2, 3, — ее оси) представляет собой вектор с двумя нулевыми компонентами (проекции на боковую Мв1 и вертикальную Мвз оси) и одной ненулевой компонентой в (при движении объекта) по оси Мв2-Аналогичная интерпретация справедлива для локального вектора приращения пройденного пути.
Модель одометра. Реалистичная модель измерений одометра учитывает следующие факторы:
1) собственные инструментальные погрешности: погрешность масштабного коэффициента, переводящего первичное измерение в пройденное расстояние; наличие зоны нечувствительности измерения, обусловленное квантованием дискретного измерения по уровню;
2) геометрические погрешности: "измерительная" ось одометра и продольная приборная ось БИНС
М
скорость которой и измеряет одометр, не совпадают.
Информационная избыточность показаний БИНС и одометра. Информационная избыточность заключается в том, что с помощью измерений одометра и модельных значений углов истинного курса, крена, тангажа, доставляемых БИНС, можно определить координаты второй модельной точки М'' независимо от позиционных решений БИНС. Модели одометрического счисления:
1) одометр рассматривается как датчик продольной скорости движения объекта. С помощью углов крена, тангажа БИНС осуществляется перепроектировка вектора "одометрической" скорости (с двумя нулевыми компонентами) на оси сопровождающего географического трехгранника. Результат перепроектировки — значения восточной, северной, вертикальной составляющих скорости движения. Далее численно интегрируются кинематические уравнения для географических координат;
2) одометр рассматривается как датчик локального перемещения объекта вдоль его продольной оси. Аналогично осуществляется перепроектировка локального вектора приращения пути (с двумя нулевыми компонентами) на оси географического трехгранника. Результат перепроектировки — приращения пройденного пути по восточному, северному, вертикальному направлениям, которые однозначно определяют приращения географических координат на такте съема измерений одометра.
Выделим не вполне очевидную модификацию алгоритмов одометрического счисления. Она связана с тем, что углы курса, крена, тангажа характеризуют взаимную ориентацию двух систем координат — географической и связанной. БИНС доставляют угловую информацию относительно собственного модельного географического трехгранника. Одометрическое счисление определяет второй модельный географический трехгранник. Поэтому можно осуществить коррекцию значений углов ориентации БИНС, полагая, что эти углы отсчитываются от осей второго, "одометрического" географического трехгранника.
Коррекция оправдана в ситуации, когда позиционные ошибки БИНС, а значит, и угловые ошибки модельного географического трехгранника БИНС больше аналогичных ошибок в одометрическом счислении.
Принципиальные функциональные схемы задачи интеграции БИНС и одометра. В работах [1, 2] для общей задачи коррекции динамического объекта при помощи дополнительной информации сформулированы три принципиальные функциональные схемы решения задачи:
1) в первой схеме за счет дополнительной информации меняется функциональная структура системы (1);
2) во второй схеме часть основной информации заменяется дополнительной;
3) в третьей схеме ставится задача построения оптимального алгоритма, минимизирующего ошибки определения фазового вектора объекта. При этом либо ставится и решается линейная задача оценивания параметров динамического объекта, либо в модельное уравнение (2) вводится информационно-эквивалентная обратная связь, формируемая при помощи дополнительной информации.
В рассматриваемой задаче интеграции БИНС и одометра данная классификация приводит к двум функциональным схемам решения и двум вариантам их реализации по аналогии с классификацией задач интеграции инерциальных и спутниковых навигационных систем. Схемы интеграции условно назовем одометр + БИНС и БИНС + одометр. Такая классификация важна для приложений, поскольку позволяет очертить весь круг возможных постановок и алгоритмических решений.
1) Схема одометр+БИНС. Эта схема, достаточно распространенная на практике, соответствует второму варианту решения задачи коррекции: показания одометра заменяют часть основной инерциальной информации и становятся главными в определении координат объекта. Углы ориентации БИНС являются вспомогательной информацией. При этом возможности комплексной обработки информации БИНС и одометра не реализуются полностью. Но полученное решение может быть использовано для решения дальнейшей задачи оптимизации в схеме БИНС + одометр. Варианты интеграции в рамках принятой схемы одометр+БИНС:
1а) слабосвязанные системы. Автономная БИНС доставляет значения углов ориентации объекта, используемые для перепроектировки "векторных" показаний одометра на оси модельного географического трехгранника с целью последующего интегрирования кинематических уравнений для географических координат;
1Ь) модифицированные слабосвязанные системы. Здесь добавляется процедура коррекции углов ориентации автономной БИНС, обусловленная несовпадением модельного географического трехгранника БИНС и соответствующего "одометрического".
2) Схема БИНС+одометр. В этой схеме показания одометра (интерпретируемые как позиционная либо скоростная информация) служат корректирующими измерениями для БИНС. Это означает, что возможности, заложенные в совокупной информации, реализуются полностью. Соответствующая задача оптимизации может быть решена в линейной постановке либо в варианте оценивания ошибок БИНС, либо в варианте введения обратных связей в алгоритмы навигационного счисления. Варианты интеграции в рамках принятой схемы БИНС+одометр:
2а) тесно связанные системы. В линейной постановке в варианте оценивания ставится и решается задача коррекции БИНС при помощи измерений одометра. Вариант применим для достаточно точных БИНС с ограниченным временем функционирования;
2Ь) глубоко связанные системы. Задача коррекции БИНС решается в линейной постановке в варианте введения обратных связей в алгоритмы навигационного счисления БИНС.
Модельные точки и координатные трехгранники в задаче интеграции БИНС и одометра. При исследовании задач интеграции БИНС с иными источниками навигационной информации для определения моделей соответствующих алгоритмов обработки используются следующие представления:
1) о двух точках — реальной М и модельной М';
2) пяти трехгранниках — идеальном (опорном), приборном, модельном, а также о квазиприборном и квазимодельном [1].
Описание взаимосвязи указанных механических объектов, отражающее, по сути, уравнения ошибок БИНС, позволяет корректно сформулировать соответствующие интеграционные модели.
В рассматриваемой задаче интеграции БИНС и одометра позиционные и скоростные решения по схеме интеграции одометр + БИНС пополняют вышеприведенные представления: появляется вторая модельная точка М'', второй модельный одометрический географический трехгранник М' ' уА (Oyd). Кроме того, в схеме 2Ь появляется второй квазиприборный одометрический трехгранник МгА (ОгА).
Приведем соответствующие диаграммы.
1. Схема БИНС+одометр с коррекцией по решению, соответствующему варианту интеграции 1а. Возникает квазимодельный одометрический трехгранник ОуА. Диаграмма соотношений между системами
координат (CK) в этом случае имеет вид
Здесь Oz — приборный трехгранник БИНС; Oy — модельный приборный трехгранник БИНС; Ox0 —
опорный географический трехгранник; Ozx — квазиприборный трехгранник БИНС; Oyx — квазимодельный трехгранник БИНС (модельный географический); Oyd — модельный географический одометрический трехгранник; а, в Y ^Y — векторы малых поворотов, характеризующие ориентацию соответствующих СК; L'y — матрица ориентации, вычисленная БИНС.
2. Схема БИНС+одометр с коррекцией по решению, соответствующему варианту интеграции 1Ь. Предыдущий набор СК пополняется квазиприборным одометрическим трехгранником Ozd. Диаграмма соотношений между системами координат имеет вид
Здесь ОгА — квазиприборный одометрический трехгранник; Ь^ — поправленная матрица ориентации.
Векторы ММ', ММ", М"М' характеризуют соответственно позиционные ошибки БИНС, ошибки одометрического счисления, ошибки решения БИНС относительно одометрического.
Взаимосвязь расширенного состава указанных механических объектов — трех точек, семи (шести) трехгранников — отражает связи между классическими уравнениями ошибок БИНС, уравнениями ошибок одометрического счисления. Это позволяет в дальнейшем корректно строить соответствующие интеграционные модели по схеме БИНС + одометр.
Заключение. В статье приведены возможные функциональные схемы решения задачи интеграции БИНС и одометра. С точки зрения механики корректируемых БИНС обоснована классификация алгоритмических решений. Введены новые представления о модельных точках и координатных трехгранниках, отражающие специфику задачи интеграции БИНС и одометра и позволяющие формализовать алгоритмы интеграции в русле стандартных построений для задач коррекции в инерциальной навигации.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Голован A.A., Парусников H.A. Математические основы навигационных систем. Ч. I. Математические модели инерциальной навигации. 2-е изд., испр. и доп. М.: Изд-во МГУ, 2010.
2. Голован A.A., Парусников H.A. Математические основы навигационных систем. Ч. II. Приложения методов оптимального оценивания к задачам навигации. 2-е изд., испр. и доп. М.: МАКС Пресс, 2012.
Поступила в редакцию 25.03.2014
