Задача выставки инерциальных систем и процедура коррекции движения Текст научной статьи по специальности «Математика»

5. Математическое моделирование

УДК 517.977.54

Б.И. Ананьев, Н.В. Гредасова

ЗАДАЧА ВЫСТАВКИ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ И ПРОЦЕДУРА КОРРЕКЦИИ ДВИЖЕНИЯ1

Статья посвящена приложению методов коррекции движения управляемых систем с неполной информацией к одной проблеме из инерциальной навигации, а именно к задаче выставки. Рассмотрена общая нелинейная система уравнений и её линейная аппроксимация при малых отклонениях углов. Проведено моделирование процесса выставки для случая простейшей модели.

Ключевые слова: коррекция движения, инерциальная навигация, задача выставки.

B.I. Ananiev, N. V. Gredasova

THE ALIGNMENT PROBLEM FOR INERTIAL SYSTEMS AND PROCEDURE OF MOTION CORRECTION

The paper is devoted to application of motion correction methods for control systems with incomplete information to one problem from inertial navigation, namely to the alignment problem. The general nonlinear system of equations and its linear approximation is observed under small deviations of angles. Modeling of alignment process for a case of the simplest model is done.

Keywords: motion correction, inertial navigation, alignment problem.

Введение

Задачи инерциальной навигации и общая теория изучались в [1-5], где широко применялись методы фильтрации Калмана-Бьюси, их обобщения, а также методы управления в условиях статистической не-определённости. В то же время в [1, б] отмечается, что статистика возмущений, действующих в инерци-альных системах навигации, часто бывает неполной или вообще отсутствует. Поэтому многие вопросы естественно изучать в минимаксной постановке. Ниже исследуется задача математического согласования систем координат двухступенчатой транспортной системы, состоящей из корабля и стартующего с него самолета. Данная задача рассматривалась в [1,2,4] чисто статистическими методами. Здесь рассматривается эта задача в детерминированной постановке.

1. Уравнения состояния и вектор измерения

Пусть имеется корабль (ступень 1), служащий носителем для самолета (ступень 2), готовящегося к старту. Обе ступени имеют системы инерционной навигации, позволяющие им автономно ориентироваться, не связываясь друг с другом. На корабле расположена гироплатформа, оси которой образуют базовую систему (правую) координат (БСК), а на самолете имеется другая гироплатформа с осями, образующими зависимую систему (правую) координат (ЗСК). Перед стартом самолета надо совместить оси ЗСК с соответствующими осями БСК или же оценить углы отклонения и их дрейфы (проекции вектора относительной угловой скорости) с тем, чтобы учесть эти углы при дальнейшем автономном функционировании навигационной системы самолета.

Пусть оси ЗСК обозначаются 1,2,3, а оси БСК - соответственно 11,21,31. Можно считать, что эти системы имеют общее начало, совпадающее с центром масс транспортной системы корабль-самолет. Вдоль каждой из осей ЗСК и БСК установлены акселерометры так, что оси их чувствительности совпадают с направлением соответствующих осей. Акселерометры позволяют измерять проекции негравитационного ускорения, то есть вектор а — g , где а - абсолютное ускорение общего центра масс системы. Ориентация ЗСК относительно БСК задается тремя углами Крылова, как это обычно принято в

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 10-01-00672а, и Программы фундаментальных исследований Президиума РАН "Математическая теория управления" при поддержке УрО РАН, проект 09-П-1-1014.

морской навигации. Совмещение ЗСК с БСК производится путем последовательных поворотов по часовой стрелке, что отражено на рис. 1.

Последовательность поворотов: вокруг оси 1 - на угол в1, вокруг оси 3 - на угол в3 и вокруг оси 2 - на угол в2. Будем считать, что БСК 1-й ступени выставлена правильно, т.е. ось 21 направлена по местной вертикали, ось 31 имеет направление по меридиану на север, а ось 11 - по параллели на запад. При перемещении корабля по поверхности земли указанное направление осей сохраняется. Обозначим через М (в) ортогональную матрицу направляющих косинусов ЗСК относительно БСК. Элементы указанной матрицы приведены в [1, с. 237].

з

Рис. 1. Совмещение систем путем последовательных поворотов.

Координаты некоторого вектора f1 = [x1; y{, z1] в БСК связаны с его координатами f в ЗСК по формуле

f1 = M (в) f . Складывая векторы в1, в3 и в2, получаем вектор мгновенной скорости ю системы ЗСК относительно БСК. Известно [3], что проекции вектора ю на оси ЗСК, связаны с производными углов Крылова кинематическими уравнениями

в)1 = Ю -в?2 sine3, в)1 = (ю2 cose1 -ю3 sine1)/cose3, (1)

в?3 = ю2 sin в1 + ю3 cos в1.

Системы ЗСК и БСК не являются инерциальными. Обозначим через Q и Q1 известные векторы (зависящие от времени) абсолютных угловых скоростей систем ЗСК и БСК соответственно. Если эти векторы заданы проекциями на свои оси, то справедливы соотношения

(6 = Q' — m1i Ql — m2i Qj2 — m3i Qj3 +£l, (2)

где m'j - элементы матрицы направляющих косинусов, £' - проекции вектора неопределённого дрейфа, возникающего из-за неточности аппаратуры. Для измерения используется разность показаний

акселерометров в ЗСК и БСК. Пусть а1 - показания акселерометров в ЗСК и a1 - выходы акселерометров в БСК. Тогда имеем

а' = mua\ + m2iaj2 + m^af + W, (3)

где W - неопределённые уходы нуля акселерометров. Из соотношений (3) находим координаты вектора

измерения

y' = a' — a1, i = 1,2,3. (4)

Обычно измерения снимаются цифровым интегратором и поступают с дискретом А = tk - tk—1. Из (4) получается дискретная модель измерений

‘k

yk = y'(‘k) — y'(‘k—1) = f (a' — a1 )d‘, i = 1,2,3, (5)

‘k—1

для которой предполагается, что функции m'j постоянны на отрезке интегрирования.

Относительно дрейфов £ в (2) принимается допущение, что они подчиняются дифференциальным уравнениям с интегрально ограниченными возмущениями в правой части:

т

£ = V1', |(у‘' )2 & <82Т, (6)

0

где V1 - неопределённые функции. Неопределённые функции в соотношении (3) также удовлетворяют интегральным неравенствам

т

К'2

(«О2 & <г}т. (7)

0

Здесь и в (6) параметр Т - это максимальное время выставки.

Приведём еще формулы, связывающие абсолютную угловую скорость БСК и показания акселерометров. Считаем, что движение корабля происходит по шаровой поверхности радиуса Я , где Я --- радиус Земли, и оси направлены так, как указано выше. Тогда БСК свободна в азимуте, т.е. = 0.

Вычисляя производные от радиус-вектора, проведенного из центра Земли в центр масс транспортной системы, и считая Землю неподвижной, находим

а1 = а3/я, а3 = -а1/я, а2 = 8-(V)2/я,

V = -я^3, V'2 = о, V3 = яа1,

где V - модуль скорости центра масс, v'1 - проекции вектора скорости центра масс на оси БСК, 8 -ускорение свободного падения.

Таким образом, приходим к нелинейной системе (1), (2), (6), (8) относительно шести переменных в' ,£’ с нелинейными уравнениями измерения (4) или (5). Если принять, что в результате грубой выставки, предшествующей, как правило, этапу точной выставки, углы в1 лежат в пределах нескольких градусов, то нелинейную систему для углов в’ можно заменить линейным приближением

в1 = а1 + £ -а1 + а3в2 - а2 в3,

в2 = а2 + £2 -а? + о1 в 3 -а3 в1, (9)

в3 = а3 + £3 - 03 - о1 в 2 + а2 в1.

Разность показаний акселерометров в формулах (4) в линейном приближении равна

у1 = а1 - а1 = а2 в3 - а3 в2 + «1,

у2 = а2 - а2 = -а1 в3+а в1 + «2, (10)

у3 = а3 - а3 = а102 - а2в1 + «3.

2. Простейшая модель процесса выставки

Пусть движение происходит по экватору, и во все время этого движения имеем в1 = в2 = 0. Тогда отклонение осей ЗСК от БСК описывается одним углом = 3 , как показано на рис. 2. При данном движении угловая скорость 01 = а3 Ф 0, а остальные проекции абсолютной угловой скорости тождественно равны нулю.

Система уравнений (6), (9) примет вид

0 = 0 + £-01, £ = V. (11)

В качестве непрерывного уравнения измерения берём выход 1-го акселерометра, т.е.

у = 8в + « (12)

Рис. 2. Отклонение систем в простейшей модели

в соответствии с соотношениями (3), (4), (10). Здесь пренебрегаем слагаемым (у)2/ Я, которое значительно меньше, чем g . Известная функция О1 связана с показанием акселерометра формулой

61= -а!/ Я, (13)

которая следует из (8). Неопределённые функции стеснены интегральными неравенствами (6), (7).

Функцию О рассматриваем как управление. Для дискретного варианта измерений (5) приходим к

следующим уравнениям

-1 + ик + ^£к-1 + Ук , £к = £к-1 + Ук , (14)

где в соответствии с формулами Коши имеем

‘к ‘к ‘к

= | (ґк-т)у(т)йт, Ук2= | у(т)йт, и\ = | (О-О1)йт. (15)

к-1

Уравнения измерения выглядят следующим образом

‘к

yk = g(Aek-1 +А2/2Єк-1 + Ub + Wk , Uk = j (tk -T)(^-^l)dT,

^-1

или, без учета слагаемых 2-го порядка малости и малых дрейфов, как

Ук = gA вк-1 + wk . (16)

Для векторов vk = [v]; v^2 ] из (14) и чисел wk в (16) получаем суммарные ограничения

к к

Xllvi IF< J81 A2, ]Tw2 < J/A2, A = T/ J, (17)

i=1 i=1

где F-1=[A2/3,A /2;A /2,1]. Эллипсоидальные ограничения (17) на неопределённые параметры получаются при подсчете максимума выражения типа X к-1^1 по всем функциям v( ), удовлетворяющим неравенству (6) при связях (15).

3. Результаты численного моделирования

Ниже приняты следующие числовые данные: R = 6370 км, g = 9.81 м/c2. Закон движения БСК в

гравитационном поле соответствовал показателям акселерометров:

a1 = - sin2Kt / 2,a12 = g ,a\ = sin Kt,K = п /30 рад/c. Дискрет времени A = 0.5 с; время выставки T = 100 с;

ограничения на начальные значения углов и дрейфа: I в1 1< 6 град, I £' 1< 1 град/c; в интегральных

ограничениях (6), (7) константы Si =0.02 град/мин2, у =0.1 м/с2.

В соответствии с выбранным законом движения БСК и указанными выше показаниями акселерометров по формулам (8) имеем ^ = 2k_1 sin2(Kt /2)/ R, Qj3 = K-1sin2 Kt /2R рад/с. Приведенные равенства соответствуют достаточно информативному маневру корабля. Если он стоит на месте, то оценивание происходит хуже, т.к. выпадает вторая компонента вектора измерений в (4). Для простейшей модели это несущественно, и можно считать, что Q1 = 0. В простейшей модели выбираются

ограничения на управления (и1 = ut) в виде

к-1

к-1

20б

к

Xu2 < Jв1 A2, в = 10-1 rad/c, к < J. (18)

i=1

Для иллюстрации был выбран алгоритм коррекции, изложенный в работах [7, 8] для случая совместных квадратичных ограничений, в применении к двумерной дискретной системе (14), (16). Он состоит в следующем. В каждый момент t е 1: J определяется множество совместимых параметров

Wt(U,Y), состоящее из троек (x,Vt+1,Wt+1), где x = xt - фазовый вектор, Vt+1 = {vt+1,...,vJ},

Wt+1 ={wt+1,., wJ}, которые совместимы с измеренным сигналом Y = Yt ={y1,., yt} и заданным управлением U = Ut = {u1,.,ut} в силу заданных ограничений. Определим минимакс отклонения системы от нуля как

rt (U ,Y ) = min max IIxJII. (19)

UtJ+1 (x.Vt+1.Wt+1)e^t (UY

Величина rt(U,Y) является гарантированным результатом управления в позиции {Ut,Yt}. Управление

U+, реализующее минимум в (19), назовем оптимальным в данной позиции.

Введем множество допустимых продолжений сигнала вида

t(UT,Yt) = {Yt+1 :(x,Vt+1,Wt+1)е Wt(U,Y)}, (20)

где 0 < t < T< J. Теперь можем определить прогноз гарантированного результата управления (19) по формуле

rt (t,Ut, Yt ) = max T (U ,Y). (21)

YT+1eYT,t (uTY )

Величина (21) характеризует наихудший гарантированный результат управления, если система находится в позиции {Ut ,Yt} и вплоть до момента т применяется допустимое управление UTt+v Определим еще величину

r (t,U ,Y) = minr (t,UT, Yt). (22)

t<t<J

Многократная коррекция состоит из следующих действий.

1. В начальный момент вычисляем r0 и U1J ,0 .

2. В позиции {Ut,Yt} проверяем неравенство r(t,U,Y)< rt(U,Y).

3. Если оно верно, управление UtJ+1 не меняется. В противном случае переходим к оптимальному UtJ+,1t в задаче (19).

Сигнал yt (16) реализовался при wt =-yA, vt = [A /2;1]A£, в0 = -6 град, £0 = -1 град/с. Начальное нулевое управление корректируется 2 раза: на 197-м шаге u = 26.42148 град и на последнем 200-ом шаге и = 26.42182 град. На последнем шаге функционал равен r200 = 1.697 град. Отметим, что такое же значение минимаксного функционала получается, если корректировать управление на каждом шаге. Изменение минимаксного функционала (19) показано на рис. 3. Информационные эллипсоиды для шагов 70,90,110,130,150,170,190,199,200 изображены на рис. 4.

I S(rad)

Рис 3. Изменение функционала Рис. 4. Информационные эллипсоиды

Заключение

Рассмотрено приложение методов коррекции движения управляемых систем с неполной информацией к задаче выставки двухступенчатой транспортной системы. Рассмотрена общая нелинейная система уравнений и её линейная аппроксимация при малых отклонениях углов. Проведено моделирование процесса выставки для случая простейшей модели. Экспериментально показано, что в простейшей модели оптимальное значение минимаксного функционала качества достигается при малом числе коррекций (2 раза) управления.

Литература

1. Богуславский И. А. Прикладные задачи фильтрации и управления. - М.: Наука, 1983. - 314 с.

2. Бромберг П.В. Теория инерциальных систем навигации. М.: Наука, 1979. - 245 с.

3. Климов Д.М. Инерциальная навигация на море. - М.: Наука, 1984. - 211 с.

4. Липтон А. Выставка инерциальных систем. - М.: Наука, 1971. - 198 с.

5. Парусников Н.А., Морозов В.М., Борзов В.И. Задача коррекции в инерциальной навигации. - М.: Изд-во МГУ, 1982. - 256 с.

6. Бахшиян Б.Ц., Назиров Р.Р., Эльясберг П.Е. Определение и коррекция движения. - М.: Наука, 1980. - 402 c.

7. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. - М.: Наука, 1977. - 357 с.

8. Ананьев Б.И., Гредасова Н.В. Многократная коррекция движения линейно-квадратичной управляемой системы // Вестник УГТУ-УПИ. 2005. № 4(56). С. 280-288.

Ананьев Борис Иванович, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Института математики и механики УрО РАН, тел. (343) 3753501, e-mail [email protected]

Гредасова Надежда Викторовна, старший преподаватель Уральского федерального университета, тел. (343) 3753501, e-mail [email protected]

Ananiev Boris Ivanovich, doctor of physical and mathematical sciences, leading researcher of Institute for mathematics and mechanics UB of RAS.

Gredasova Nadezhda Vihtorovna, senior teacher of Ural federal university.