Задача выбора оптимальной системы штрафов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЗАДАЧА ВЫБОРА ОПТИМАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ШТРАФОВ

Половинкина А.И. Воронежский ГАСУ, г. Воронеж, Кузовлев А.В., старший преподаватель, ФГБОУ ВПО Воронежский институт ГПС МЧС России, г. Воронеж, Зенин А.Ю.

Воронежский ГАСУ, г. Воронеж

Величина ущерба окружающей среде, как правило, является недетерминированной величиной, поэтому в данной работе рассматриваются механизмы стимулирования снижения уровня ожидаемого ущерба. В качестве вероятностного распределения, описывающего размер ущерба, выбрано распределение Парето. Действия, выбираемые предприятием (например, объем производства на предприятии, затраты на природоохранные мероприятия и т.д.) определяют параметры этого распределения.

Закон Парето и распределение Парето. Известен так называемый закон Парето, отражающий неравномерность распределения характеристик экономических и социальных явлений и процессов, свойства природных и техногенных катастроф, распределение ущерба от них и т.д. [1, 2, 5]:

- 20 % населения владеют 80 % капиталов (первоначальная формулировка самого В. Парето);

- 80 % стоимости запасов на складе составляет 20 % номенклатуры этих запасов;

- 80 % прибыли от продаж приносят 20 % покупателей;

- 20 % усилий приносят 80 % результата;

- 80 % проблем обусловлены 20 % причин;

- за 20 % рабочего времени работники выполняют 80 % работы;

- 80 % работы выполняют 20 % работников и т.д.

«Формализацией» закона Парето является распределение Парето

случайной величины Ж, Ж > Ж0 > 0, характеризуемое двумя параметрами -минимально возможным значением Ж0 и показателем степени а > 0:

Плотности распределения (1) соответствует интегральная функция распределения

Для распределения Парето существуют только моменты, порядка, меньшего, чем степень а. Например, математическое ожидание случайной величины Ж с распределением (1) существует при а > 1 и равно

(1)

Е Ж = — Ж0, (3)

а-1

где «Е» - символ математического ожидания. В рамках предположения о том, что случайная величина распределена по Парето, зная математическое ожидание Е W и минимальное значение W0, можно легко вычислить (см. (3)) параметр распределения а:

а = EW . (4)

EW - W0

Описание модели. Будем считать, что предприятие выбирает свои действия - объем производства u > 0, и размер затрат на природоохранные мероприятия v > 0, которые неизбежно приводят к ущербу W0 = W0(u, v). Реализовавшаяся величина ущерба W > W0 является случайной величиной, описываемой распределением (1). Центр осуществляет мониторинг за деятельностью предприятия и имеет возможность налагать на последнего штраф x(W), зависящий от величины фактического ущерба.

Предположим, что на момент принятия решений участники (центр и предприятие) не знают размера фактического ущерба, а имеют лишь информацию о распределении вероятностей и используют ожидаемую полезность для устранения неопределенности. Таким образом, математическое ожидание целевой функции предприятия имеет вид:

fu, V, х(0) = ^ u - z(u) - v - J Z(W) p(a, W0 (u, v), W )dW (5)

и зависит от выбираемой центром системы штрафов х() и действий u и v самого предприятия. Принципиально важно, что в рассматриваемой модели ни центр, ни предприятие на момент выбора своих стратегий не знают будущего значения величины ущерба.

Предприятие выберет действие из множества P(x(')) действий, доставляющих максимум математическому ожиданию его функции полезности, то есть:

P(XO) = Arg max f(u, v, х()). (6)

u,v>0

Пусть выполнена гипотеза благожелательности (при прочих равных предприятие выбирает наиболее выгодные для центра действия [2]). Тогда задача центра заключается в выборе системы штрафов х(), максимизирующей математическое ожидание критерия центра EW Ф(ц, v, W) (его функции полезности, выигрыша и т.д.) на множестве (6):

max EW 0(u, v, W) ^ max . (7)

(u,v)eP (!(■)) X(')

Общего (для произвольных вероятностных распределений) аналитического решения задачи (7) на сегодняшний день не известно (см. достаточные условия оптимальности различных систем стимулирования в [4]), за исключением нескольких частных случаев, в числе которых -рассматриваемый ниже случай распределения Парето [5].

Фиксируем детерминированный уровень ущерба w0 > 0. Вычислим действия предприятия, максимизирующие его выигрыш при условии непревышения этого уровня и соответствующий выигрыш:

S(w0) = Arg max [c u - z(u) - v], (8)

{u>0,v>0|W0(u,V)= w0}

f0(w0) = max [c u - z(u) - v]. (9)

{u>0,V>0|W0(u,v)= w0}

Задача принятия решений предприятием, фактически, свелась к выбору того уровня ущерба w0, на который оно будет ориентироваться

Pü(x(0) = Arg max [fo(wo) - h(W)p(a,w,W)dW]. (10)

w0 >0 J

w0

Задача выбора оптимальной по тому или иному критерию системы штрафов при условии, что поведение предприятия описывается (10), является хрестоматийной детерминированной задачей стимулирования, для которой в теории управления организационными системами накоплен большой опыт исследования [1, 3, 4].

Список литературы

1. Бурков В.Н., Новиков Д.А., Щепкин А.В. Механизмы управления эколого-экономическими системами. - М.: Физматлит, 2008. - 243 с.

2. Бурков В.Н., Новиков Д.А., Щепкин А.В. Экономические механизмы управления уровнем риска в природно-техногенной сфере // Проблемы безопасности и чрезвычайных ситуаций №4 - 2009, С.30-39.

3. Баркалов С.А., Бурков В.Н., Новиков Д.А, Шульженко Н.А. Модели и механизмы в управлении организационными системами. М.: Издательство «Тульский полиграфист», 2003. Том 1. - 560 с., Том 2 -380 с., Том 3 - 205 с.

4. Баркалов, С.А. Системный анализ и его приложения. [Текст] / С.А. Баркалов, В.Н. Бурков, П.Н. Курочка, В.И. Новосельцев - Воронеж «Научная книга» 2008. - 439 с.

5. Баркалов, С.А. Системный анализ и принятие решений. [Текст] / С.А. Баркалов, П.Н. Курочка, И.С. Суровцев, А.И. Половинкина // Ворнежский гос. Университет 2010г. - 652 с.