Модель стимулирования снижения уровня ожидаемого ущерба Текст научной статьи по специальности «Математика»

Модель стимулирования снижения уровня ожидаемого ущерба

Половинкина А. И.,

Воронежский государственный архитектурно-строительный университет,

г. Воронеж Голев С. А., Кузовлев А. В.,

Воронежский институт ГПС МЧС России, г. Воронеж

Величина ущерба окружающей среде, как правило, является недетерминированной величиной. В качестве вероятностного распределения, описывающего размер ущерба, выбрано распределение Парето. Действия, выбираемые предприятием (например, объем производства на предприятии, затраты на природоохранные мероприятия и т.д.) определяют параметры этого распределения.

Закон Парето и распределение Парето. Известен так называемый закон Парето, отражающий неравномерность распределения характеристик экономических и социальных явлений и процессов, свойства природных и техногенных катастроф, распределение ущерба от них и т.д. [1-3]:

«Формализацией» закона Парето является распределение Парето случайной величины W, W > W0 > 0, характеризуемое двумя параметрами - минимально возможным значением W0 и показателем степени а > 0:

а ( W У+а

р(а, Wo, W) = — -0- . (1)

0 J W0 l W ) w

Плотности распределения (1) соответствует интегральная функция распределения

( W Y

Fa(a, W0, W) = 1-W . (2)

lW )

Для распределения Парето существуют только моменты, порядка, меньшего, чем степень а. Например, математическое ожидание случайной величины W с распределением (1) существует при а > 1 и равно

а

E W = — W0, (3)

а-1

где «E» - символ математического ожидания. В рамках предположения о том, что случайная величина распределена по Парето, зная математическое ожидание E W и минимальное значение W0, можно легко вычислить (см. (3)) параметр распределения а:

а = . (4)

EW - W0

Описание модели. Будем считать, что предприятие выбирает свои действия - объем производства u > 0, и размер затрат на природоохранные мероприятия v > 0, которые неизбежно приводят к ущербу W0 = W0(u, v). Реализовавшаяся величина ущерба W > W0 является случайной величиной, описывае-

мой распределением (1). Центр осуществляет мониторинг за деятельностью предприятия и имеет возможность налагать на последнего штраф x(W), зависящий от величины фактического ущерба.

Предположим, что на момент принятия решений участники (центр и предприятие) не знают размера фактического ущерба, а имеют лишь информацию о распределении вероятностей и используют ожидаемую полезность для устранения неопределенности. Таким образом, математическое ожидание целевой функции предприятия имеет вид:

fu, V, х(0) = с u - z(u) - v - fz(W)p(a, W0 (u, v),W)dW (5)

и зависит от выбираемой центром системы штрафов %(•) и действий u и v самого предприятия. Принципиально важно, что в рассматриваемой модели ни центр, ни предприятие на момент выбора своих стратегий не знают будущего значения величины ущерба.

Предприятие выберет действие из множества P(%( •)) действий, доставляющих максимум математическому ожиданию его функции полезности, то есть:

P(xQ) = Arg max f(u, v, %(•)). (6)

u,v >0

Пусть выполнена гипотеза благожелательности (при прочих равных предприятие выбирает наиболее выгодные для центра действия [3, 4]). Тогда задача центра заключается в выборе системы штрафов %(•), максимизирующей математическое ожидание критерия центра EW <(u, v, W) (его функции полезности, выигрыша и т.д.) на множестве (6):

max EW <(u, v, W) ^ t| . (7)

(u, v)eP(x(-)) fl

Общего (для произвольных вероятностных распределений) аналитического решения задачи (7) на сегодняшний день не известно (см. достаточные условия оптимальности различных систем стимулирования в [97]), за исключением нескольких частных случаев, в числе которых - рассматриваемый ниже случай распределения Парето [2].

Фиксируем детерминированный уровень ущерба w0 > 0. Вычислим действия предприятия, максимизирующие его выигрыш при условии непревышения этого уровня и соответствующий выигрыш:

S(wo) = Arg Hfcf ¥ [с u - z(u) - v], (8)

fo(wo) = max [с u - z(u) - v]. (9)

{u>0,V >0|W0 (u ,v)=w0 }

Задача принятия решений предприятием, фактически, свелась к выбору того уровня ущерба w0, на который оно будет ориентироваться

+о>

P0(x(0) = Arg max f^) - iz(W)p(a,w,,W)dW]. (10)

w0 >0 J

w0

Задача выбора оптимальной по тому или иному критерию системы штрафов при условии, что поведение предприятия описывается (10), является хрестоматийной детерминированной задачей стимулирования, для которой в тео-

рии управления организационными системами накоплен большой опыт исследования [1-4].

Библиографический список

1. В. Н. Бурков, Г. С. Джавахадзе. Экономико-математические модели управления развитием отраслевого производства. Препринт. - М.: Институт проблем управления, 1997.

2. Бурков В. Н., Новиков Д. А. Как управлять проектами - М.: СИНТЕГ-ГЕО, 1997.

3. Бурков В. Н., Новиков Д. А., Щепкин А. В. Механизмы управления эко-лого-экономическими системами. - М.: Физматлит, 2008. - 243 с.

4. Баркалов С. А. Модели и методы управления строительными проектами / С. А. Баркалов [и др.]. — М.: Уланов-пресс, 2007. - 440 с.