CC BY
11
Анализ модели стимулирования снижения ожидаемого ущерба
при различных системах штрафов
Баркалов С. А., д.т.н., проф., зав. кафедрой, Воронежский государственный архитектурно-строительный университет,
г. Воронеж Голев С. А., Кузовлев А. В.,
Воронежский институт ГПС МЧС России, г. Воронеж Рассмотрим ряд типовых классов систем штрафов.
Линейная система штрафов. Рассмотрим линейную функцию штрафов
вида
Хь^) = хо + Ц Ж. (1)
Тогда гарантированный ущерб »о и действия, выбираемые предприятием и приводящие к нему, будут зависеть от двух параметров системы штрафов - х0 и ц:
Рь(Хо, Ц) = А^ тах /о(»о) - Хо - »о]. (2)
»о >о а -1
Задачу (7) можно записать в виде следующей оптимизационной задачи:
тах тах ЕЖ Ф(и, V, Ж) ^ тах . (3)
Л
Рассмотрим пример. Пусть Жо(и, V) = Ьо и / V, г(и) = и / 2 г. Тогда решение задачи (8)-(9) имеет вид:
5 = {г (с - Ьо /»о), г Ьо (с - Ьо /»о) / »о},
/о(»о) = гт + ^ (^ - с). (4)
Если фи, V, Ж) = - Ж, то
а
ЕЖ фи, V, Ж) =--»о »о > Ьо / с, (5)
а -1
то есть центр заинтересован в минимизации гарантированного ущерба (последнее неравенство в (5) обеспечивает неотрицательность объемов производства, при которых достигается максимум выражения (4)).
Пусть а = 2, с = 1, Ьо = 4, г = 6. Подставляя (4) в (2), можно найти комбинацию параметров (хо, ц) функции штрафа, при которых предприятию, максимизирующему целевую функцию
3 + 24 (А - 1) - Хо - 2 Ц »о
»о »о
выбором »о > 4, выгодно выбирать минимальный уровень гарантированного ущерба »о = 4.
Вычислим выигрыш предприятия при выборе »о = 4 (отметим, что это достаточно экзотический случай - предприятие всю выручку от производства тратит на природоохранные мероприятия). Этот выигрыш равен -хо - 8 ц. Потребуем, чтобы ожидаемый выигрыш предприятия был неотрицателен. Для этого достаточно взять Хо = - 8 Ц. Тогда легко найти минимальное значение Ц, рав-
ное примерно 0,12, при котором максимум выигрыша предприятия будет достигаться при выборе минимального уровня гарантированного ущерба. Размер штрафа за уровень ущерба w0 = 4 равен примерно - 0,48 (отметим, что штраф отрицателен, то есть центр стимулирует предприятие за стремление минимизировать ожидаемый ущерб).
Компенсаторная система штрафов. Задача синтеза оптимальной компенсаторной системы штрафов заключается в нахождении такой системы штрафов Хк(Ю, математическое ожидание которой в с точностью до константы равно выигрышу предприятия (9):
к(Юр(а,w0,W)dW -= Сош1
(6)
Задача существенно усложнится, если на функции штрафов наложены дополнительные ограничения. Если условие (16) выполнено для любых wo, то в силу (1) математическое ожидание выигрыша предприятия не зависит от размера гарантированного ущерба, на который он ориентируется. Поэтому, в силу гипотезы благожелательности, предприятие выберет действия, наиболее предпочтительные с точки зрения центра.
В рамках рассматриваемого примера из (4) и (6) при а = 2 получаем:
7 1
к ^ М (-г)
гс
Ь0 г
Wo » 2Ю2
Решение уравнения (7) имеет вид:
2 (Ь0)2г
( Ъо
Хк(Ю =
гс 2
+
( ^о)2
(^о)3 2^,
3сЪ0г
- С).
(7)
(8)
Для выбранных выше числовых значений параметров получаем:
Хк(Ю = 3 +
96
( ^о)2
36
wn
На рис. 1 изображена компенсаторная система штрафов (график выигрыша предприятия (4) приведен пунктирной линией). Видно, что за невысокие величины ущерба (от 4 до 8) центр вынужден доплачивать предприятию (штраф отрицателен, но так как он входит в целевую функцию предприятия со знаком минус, получается, что он в указанном диапазоне играет роль поощрения).
w
0
0
Рис.1. Компенсаторная система штрафов
Если предприятие выберет минимальное значение гарантированного ущерба, равное 4, то математическое ожидание размера штрафа равно нулю.
Ступенчатая система штрафов. Известно (см. [2-4]), что и в детерминированном случае, и, зачастую, в условиях вероятностной неопределенности, оптимальна ступенчатая система штрафов. Поэтому исследуем систему штрафов
*С(<^ *) = {а1" Г <I:, (9)
в которой предприятие штрафуется на сумму х0 в случае, если ущерб превышает значение Wx (условно можно рассматривать этот показатель как предельно допустимый ущерб), и не штрафуется вовсе, если фактический ущерб меньше этой величины.
Вычислим математическое ожидание выражения (9):
' 1, ^о > Ж: ,
Е Хс( Wx, W) = Хо |Г ч)а „ <ж (10)
[V к)' о :'
то есть предприятие безусловно штрафуется на максимальную величину, если ориентируется на минимальный ущерб, превышающий предельное установленное центром значение. В случае же, если он ориентируется на минимальный ущерб, не превышающий установленный центром, то штраф оказывается меньше. Дальше задача сводится к выбору двух параметров системы штрафов (10), приводящих к наиболее предпочтительному для центра выбору предприятия.
В рамках рассматриваемого примера из (1), (4) и (10) получаем, что задача, решаемая предприятием, имеет вид:
гс2 . ъпг , ъп ч -г- + — - С) - Хо
2 ^о 2^о
1, Wo > Wx
С
W
V пх
^ тах . (11)
^ < ^ wo>Ьо/с
Найдем значения параметров функции штрафов (9), при которых предприятию выгодно выбирать минимальный уровень гарантированного ущерба w0 = 4, и при этом (для сравнимости с рассмотренными выше системами штрафов) он будет получать нулевой ожидаемый выигрыш.
Подставляя выбранные выше числовые значения, из последнего условия получаем: 16 х0 / Wx = 0, что невозможно. Значит, невозможно ступенчатыми системами штрафов побудить предприятие выбрать данное действие. От этого недостатка ступенчатой системы штрафов можно легко избавиться, взяв в правой части выражения (9) вместо нуля отрицательную константу. Содержательно это объясняется тем, что штрафы (10) положительны («тяжелый хвост» распределения Парето приводит к тому, что, ориентируясь даже на минимальный ущерб, при достаточно большом предельно допустимом значении предприятие все равно будет оштрафован на конечную величину), то есть центр не может поощрять предприятие за низкий уровень ожидаемого ущерба.
На рис. 2 изображен выигрыш предприятия при использовании центром ступенчатой системы штрафов:
а
;
1) график выигрыша предприятия (4), то есть в отсутствии и штрафов, приведен пунктирной линией;
2) жирная непрерывная линия соответствует «слабым штрафам» - значениям хо = 1, Жх = 8;
3) тонкая штрихпунктирная линия соответствует ужесточению требований (по сравнению со вторым случаем), то есть снижению предельно допустимого ущерба: хо = 1, Жх = 6;
4) тонкая непрерывная линия соответствует ужесточению наказания: Хо = 2, Жх = 8.
Рис. 2. Выигрыш предприятия при ступенчатой системе штрафов
Видно, что при слабых штрафах (случай 1) предприятие будет ориентироваться на ожидаемый ущерб примерно равный 7, то есть чуть меньше, чем в два раза больший минимально возможного. При ужесточении требований или ужесточению наказания (случаи 3 и 4 соответственно) предприятию выгодно выбирать минимальное значение ожидаемого ущерба, равное 4. Однако в последних двух случаях его выигрыш отрицателен.
Для того, чтобы сделать выигрыш предприятия при выборе = 4 равным нулю, в рассматриваемом примере достаточно использовать систему штрафов
Х ж > ж
хЖ Ж) = Х ^ > ж' (12)
-е, Ж < Ж,
математическое ожидание которой равно
Е Хе(Жх, Ж)
Хо
- е + (Хо + е)
( V wr
Ж
V пх у
^о > Ж
Wо < Жх.
(13)
Выберем е = х0 / 3, тогда выигрыш предприятия (как и ожидаемый штраф!) при выборе = 4 равен нулю при Жх = 8. Например, множество тех значений Х0, при которых агенту выгодно выбирать минимальный уровень ожидаемого ущерба, в рассматриваемом примере определяется условием отрицательности целевой функции агента при любых ^^ > 4. при х0 = 1 (ср. со случаем «слабых штрафов» выше) предприятию выгодно выбирать минимально возможный уровень ожидаемого ущерба - см. жирную штрихпунктирную линию на рис. 2.
Сравнение различных систем штрафов. Выше были рассмотрены три системы штрафов - линейная, компенсаторная и ступенчатая. Общим их харак-
теристическим свойство является наличие двух режимов - при малом уровне ожидаемого ущерба предприятие поощряется, при большом - наказывается. Это свойство редко наблюдается на практике, так как обычно функции поощрения (стимулирования, мотивации) и наказания (контроля, надзора, обеспечения выполнения нормативны требований) выполняют различные органы. Тем более привлекательным представляется совмещение в одном механизме управления обоих этих черт.
Рассмотренные системы штрафов имеют различную содержательную интерпретацию: в линейном механизме штрафов имеется ставка платы за ущерб, в компенсаторном от предприятия требуется «компенсация» нанесенного им ущерба, в ступенчатой системе штрафов предприятие наказывается за нарушение нормативов (последний случай наиболее близок к используемым на практике мерам административного воздействия на нарушителей экологических нормативов).
С точки зрения предприятия во всех трех случаях он получает при минимальном уровне ожидаемого ущерба одинаковый выигрыш. С точки зрения центра в первом случае он несет большие ожидаемые затраты - см., табл. 1 в которой представлена сводка результатов настоящего раздела (числовые данные соответствуют рассмотренному примеру).
Следует отметить, что, используя приведенную технику анализа механизмов стимулирования снижения ожидаемого ущерба, можно решать задачи синтеза оптимальных систем штрафов более сложного вида, в том числе - при наличии ограничений и т.д. Кроме того, следует помнить, что рассматривался случай внешней неопределенности, то есть считалось, что внутренняя неопределенность отсутствует - центр полностью информирован о всех существенных параметрах. Учет внутренней неопределенности можно производить по аналогии с тем, как это делалось в [4,5].
Таблица 1
Сравнение различных систем штрафов
Система штрафов Выражение Выбор предприятия (^о) Математическое ожидание выигрыша предприятия Математическое ожидание затрат центра
Линейная (11) 4 0 0,48
Компенсаторная (16) 4 0 0
Ступенчатая (22) 4 0 0
Библиографический список
1. Баркалов С. А. Модели и методы управления строительными проектами / С. А. Баркалов [и др.]. — М.: Уланов-пресс, 2007. - 440 с.
2. Бурков В. Н., Новиков Д. А., Щепкин А. В. Механизмы управления эколого-экономическими системами. - М.: Физматлит, 2008. - 243 с.
3. Бурков В. Н., Новиков Д. А., Щепкин А. В. Модели и механизмы
управления эколого-экономическими системами // Проблемы управления. -2009, № 1. С. 2-7.
4. Бурков В. Н., Новиков Д. А., Щепкин А. В. Экономические механизмы управления уровнем риска в природно-техногенной сфере // Проблемы безопасности и чрезвычайных ситуаций № 4 - 2009, С.30-39.
5. Щепкин Д. А. Штрафы при управлении уровнем риска на предприятии. Управление большими системами. Юбилейный выпуск. Москва, 2004, с. 220-231.
6. Порфирьев Б. Н. Совершенствование управления региональной безопасностью в природно-техногенной сфере. Проблемы безопасности при чрезвычайных ситуациях, № 2, 2003.
