CC BY
1
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
2023, Т. 165, кн. 3 С. 236-245
ISSN 2541-7746 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)
ОРИГИНАЛЬНАЯ СТАТЬЯ
УДК 539.3 10.26907/2541-7746.2023.3.236-245
ЗАДАЧА ТИПА СТЕФАНА В КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛАХ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ ПОДВИЖНЫХ ГРАНИЦ ФАЗОВЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ
Ек. Л. Кузнецова1, С. И. Жаворонок2
1 Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), г. Москва, 125993, Россия
2Институт прикладной механики Российской академии наук, г. Москва, 125040, Россия
Аннотация
Решена задача о теплопереносе в полубесконечных телах при наличии произвольного числа нестационарно подвижных границ фазовых превращений. Такие задачи возникают при высокотемпературном нагреве композиционных материалов, когда происходит разложение (деструкция) связующих с образованием подвижных границ начала и окончания фазовых превращений, границ уноса массы и т. д. Получено аналитическое решение задачи типа Стефана при произвольном числе нестационарно подвижных границ и подробно исследован теплоперенос при наличии двух подвижных границ.
Ключевые слова: теплоперенос, задача Стефана, подвижная граница, композиционный материал, разложение связующих, аналитическое решение
Введение
При высокотемпературном нагреве конструкций, изготовленных из композиционных материалов, например, тепловой защиты высокоскоростных летательных аппаратов из композиционных материалов, интенсивном нагреве композитов локальными источниками [1-6] возникают области разложения связующих, ограниченных подвижными границами начала и окончания разложения. При этом может появиться наружная подвижная граница уноса массы под воздействием высокотемпературного газодинамического потока, и необходимо находить решения в условиях произвольного числа подвижных границ фазовых превращений [7-9].
При циклическом нагреве, когда тепловые пики, сопровождающиеся фазовыми превращениями, сменяются тепловыми спадами без фазовых превращений, может возникать значительное число подвижных границ.
Известно значительное число физико-химических процессов, в которых под воздействием тепловых источников возникают нестационарно подвижные границы фазовых превращений, положения которых заранее определить невозможно, а можно определить только после нахождения поля температур, используя так называемые условия Стефана на данных границах - равенство разности тепловых потоков на подвижных границах тепловому эффекту фазовых превращений, а также условие непрерывности температур [10].
Ниже аналитически решена задача типа Стефана об определении теплового состояния в полубесконечной области с произвольным числом подвижных границ
фазовых превращений. В основу решения положены следующие предположения: газообразные компоненты на подвижных границах отсутствуют; подвижные границы не пересекаются; скорость движения границ положительна; температуры, тепловые эффекты и теплофизические характеристики постоянны.
1. Постановка задачи
Рассмотрим задачу теории теплопроводности в многослойной конструкции, каждый слой которой ограничен двумя нестационарно подвижными границами фазовых превращений. При этом под номером 1 находится полубесконечный слой исходной фазы, ограниченной подвижной границей х1(Ь), причем наружный слой, примыкающий к границе , ограничен снаружи неподвижной границей с температурой ТШ1, а изнутри - подвижной границей х*п-\^).
д2Тв дх2
д2Тп
дх2
а, дЬ д 2Т1
1 дТп ап дЬ
= 0, 0 <х<Х*1_1(Ь), Ь> 0;
= 0,
х^Ь) <х<х*_1 (Ь), Ь> 0, в = 2,.
.. п — 1;
. -1^=0, дх2 а1 дЬ
х\(Ь) < х < то, Ь > 0;
(1) (2) (3)
—А.,
т
дх
+ а,
дТ,-1
-1
х=х*3(г)-0
дх
х=х*_1(е)+0
= ^-1Р,-1хз-1(Ь)
Т,|
х = х*-1(Ь), Ь > 0, в = 2, ...п;
я1х=х;(4)-0 = Т-1|х=х;(4)+0 = Т»-1, х = хя-1(Ь), Ь> 0,
в = 2,..., п;
Т(0,Ь) = Тш1, х = 0, Ь > 0; Т(то,Ь) = Т0, х = то, Ь ^ 0; Т(х, 0) = Т0, х е (0, то), Ь = 0;
х* (0) = 0, в = 1,гс-1, * = 0.
(7)
В задаче (1)-(8) условия (4), (5) - краевые условия Стефана на подвижных границах. Наружная граница и>1 с температурой ТШ1 (6) может также рассматриваться подвижной под действием конвективно-кондуктивных тепловых потоков. Однако, чтобы не загромождать выкладки, будем далее считать границу и>1 (х = 0) неподвижной.
Задача (1)-(9) нелинейна, в чем можно убедиться, подставив уравнения (1)-(3) в краевые условия (4), (5). Здесь А, с, р, а, Т, ^ - теплопроводность, теплоемкость, плотность, температуропроводность, температура, теплота фазовых превращений соответственно.
Решением задач теплопереноса (т. е. задач для уравнений (1)-(3)) с граничными условиями первого рода (5)-(7) будут функции [11]
Т1 (х, Ь) = Т;
1 — —^= Ф ^2/071
1 — ег1
+ Т0
1 — ег1
(10)
Т, (х,Ь) =
х1 (Ь) < х < то, Ь > 0;
г--1етг (Ш) -(Ш) + & -т-оег! (^ь)
х* (¿) < х < (¿), I > 0, в = 2, п - 1;
ег1
Г„0М) = ГШ1-(ГШ1-Г1:_1)-£ ' 0 < ж < ^ > 0. (12)
ег1
^ 2^77 у
В зависимостях (10)—(12) координаты х*(£), в = 1,п — 1, подвижных границ неизвестны. Для определения координат каждой границы имеем два краевых условия стефановского типа (4), (5) (всего 2п — 2 краевых условия). Из представления решений (10)—(12) ясно, что зависимости х*(£), 5 = 1,/? — 1, должны быть пропорциональны а/аТ?, т. е.
.г-: (*) = 2\.ч~. « = 1,п — 1, (13)
причем, поскольку х*^^) > х*(г), для любых моментов времени постоянные Хя-1 > Хя .В этом случае решения (10)-(12) с учетом (13) примут форму
Т\ ж, XI = —-у—+ То--—--, (14
1 — егЦхО 1 — егЦхО
х* (г) < ж < то, г > 0;
Тз (х,г,Хз-1,Хз) = -7-/=ч-, (15)
х* (г) < х < х*_1(г), г > о, в = 2, п - 1;
ег1
Тп (X, I, Хп-1) = Ти, 1 - (Тю 1 - -т—— (16)
о <х<хП-1(г), г> 0.
Для определения коэффициентов в = 1 ,п— 1, подставим решения (14)—(16) в краевые условия (4) и получим следующую систему из п — 1 трансцендентных уравнений относительно , в = 1,г? —1. Не теряя общности всего алгоритма, рассмотрим задачу (1)-(9) для п = 3 с двумя нестационарно подвижными границами х = ж* (г) и х = ж* (г), для определения координат которых получим следующую систему из двух трансцендентных уравнений (качественная картина процесса представлена на рис. 1).
= --Х2 = о, (18)
Х-2С2Р2С1 Г| - Т1 _ с 1 Т1 - Та _
с,_ /А3С3/33С2 Тш1 - Т1 _ _ Со То - Т1 у 7ГА2/Э2 <?2 ' л/^ <?2
Поскольку Р/(Х1,Х2), Рт(Х1, Х2) - дифференцируемые функции, то для нахождения Х1, Х2 можно применить итерационный процесс Ньютона (при условии,
X
Рис. 1. Расчетная схема
что на каждой итерации якобиевы матрицы системы (17) и (18) невырождены). Однако для применения итерационных процедур необходимо найти начальное приближение вектора неизвестных (х10), х20))Т . Для системы двух уравнений это можно сделать графически, построив кривые Г/(хъХ2) = 0, Г//(хъХ2) =0 и найдя точку их пересечения; при этом каждую точку на плоскости Х10Х2 для каждой из кривых необходимо находить итерационным методом из соответствующего уравнения (17) или (18). Найденную точку пересечения примем в качестве начального / (0) (0Кт
вектора (х1 , х2 ) , после чего используем итерационный процесс по уточнению Х1 и х2 . Подставив далее найденные значения х1, Х2 и теплофизические характеристики в решения (13)—(16), получим нестационарное температурное поле в трех областях с двумя нестационарно подвижными границами, координаты которых определены в (13).
Сложность решения системы (17), (18) двух трансцендентных уравнений заключается в том, что компоненты матрицы Якоби
дГ/ (Х1,Х2) дГ/ (Х1,Х2)
дх1
дГ// (Х1,
Х2)
дХ1
дХ2
дРн(х1,Х2)
дХ2
имеют очень большие значения производных в окрестности вектора-решения (Х1, Х2 )Т, и незначительные колебания итерационных значений Х1, Х2 приводят к значительным колебаниям элементов этой матрицы, что может уводить расчеты от решения (х1 , Х2)Т и приводить к аварийному останову. Поэтому компоненты начального вектора (х10) ,х20) )Т необходимо вычислять с высокой точностью с отклонением от точного вектора (Х1,Х2)Т в несколько процентов.
Для варьируемых значений , данных
Я
т;,
т 2
и следующей системы входных
А1 = А2 = А3 = А = 0.001 kW/mK; с1 = с2 = с3 = с = 1.5 Ы/^ • К;
А 106
Р1 = Р1 = рз = Р = 2000 к^/т ; си = а2 = а3 = а = — = —-пг/э;
ср 3
Т0 = 300 К; Тш1 = 2000 К; ж| (0) = 0 т, ж2(0) = 0 т получены результаты решения задачи (1)-(9) в виде распределения температур и координат подвижных границ, представленных на рисунках 2-5.
Рис. 2. Распределение температур в трех областях, ограниченных подвижными границами
Я = Я2 = Я2 = 1000 kJ/kg, Т1 = 600K, Т2 = доох
Рис. 3. Распределение температур в трех областях, ограниченных подвижными границами
Я = Я2 = Я2 = 1000 kJ/kg, т2 = 600K, Т2 = 1300K
На рисунках 2 и 3 представлены температурные поля в трех областях для случая различных температур Т* и Т** в различные моменты времени. На рисунках четко прослеживаются положения границ жЦ (£) и ж2 (£) по разрыву касательных к графикам функций, причем если разность ДТ* = Т2* — Т* мала (ДТ* = 300 К, рисунок 2), то профили температур находятся на более близком расстоянии друг от друга по сравнению со случаем ДТ * = 700К на рисунке 3. При этом скорость
Рис. 4. Изменение координат нестационарно подвижных границ х2 (£), х2(£) при Т2 = 600К, Т22 = 1200К: а) Я = Я2 = Я2 = 600 kJ/K; б) Я = Я2 = Я2 = 1000 Ы/К; в) Я = Я = Я2 = 1400 Ы^
Рис. 5. Изменение координат нестационарно подвижных границ х1(£), х2(£) при а) Т2 = 600K,Т2 = 900^ б) Т2 = 600K,Т22 = 1100K; в) Т2 = 600^ Т22 = 1300K.
движения границ в существенной степени зависит от уровня температур Tf и Tf и теплоты фазовых превращений Q- и Q2 •
На рисунках 4, 5 представлены координаты подвижных границ xf (t) и xf (t), причем на рисунке 4 приведены результаты при фиксированных Tf и T2f и варьируемых значениях Q = Q- = Q2, а на рисунке 5 - аналогичные результаты при фиксированном значении Q = Qf = Q2 и варьируемых значениях Tf и Tf • Из рисунков видно, что при фиксированных значениях Tf и T2f и монотонно возрастающих значениях Q = Q- = Qf (рисунок 4) скорости движения границ x-(t) и xf (t) монотонно убывают.
Наоборот, при фиксированных значенияхQ = Q- = Qf , Tf и монотонно возрастающих T2f (рис. 5) скорость движения границы xf(t) монотонно убывает, а скорость движения границы x1(t) монотонно возрастает (несмотря на то, что Tf = 600 K = Const), что является неожиданным результатом.
2. Выводы
Поставлена и аналитически решена задача типа Стефана со многими нестационарно подвижными границами. Анализ полученных результатов показал, что температурные профили в точках x1(t) и x2 (t) имеют изломы касательных в соответствии с условиями Стефана, а скорости движения границ в существенной степени влияют друг на друга.
Благодарности. Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РНФ (код проекта 23-19-00680).
Литература
1. Orekhov A., Rabinskiy L., Fedotenkov G. Analytical model of heating an isotropic halfspace by a moving laser source with a Gaussian distribution // Symmetry. 2022. V. 14, No 4. Art. 650. http://doi.org/10.3390/sym14040650.
2. Fedotenkov G., Rabinskiy L., Lurie S. Conductive heat transfer in materials under intense heat flows // Symmetry. 2022. V. 14, No 9. Art. 1950. https://doi.org/10.3390/sym14091950.
3. Orekhov A.A., Rabinskiy L.N., Fedotenkov G. V., Hein T.Z. Heating of a half-space by a moving thermal laser pulse source // Lobachevskii J. Math. 2021. V. 42, No 8. P. 19121919. http://doi.org/10.1134/s1995080221080229.
4. Sha M., Rabinskiy L.N., Orekhov A.A. Impact of raindrop erosion on structural components // Russ. Eng. Res. 2023. V. 43, No 7. P. 834-837. https://doi.org/10.3103/S1068798X23070195.
5. Formalev V.F., Garibyan B.A., Orekhov A.A. Mathematical modeling of heat transfer in anisotropic half-space based on the generalized parabolic wave heat transfer equation // Lobachevskii J. Math. 2022. V. 43, No 7. P. 1842-1849. https://doi.org/10.1134/S1995080222100110.
6. Sha M., Volkov A.V., Orekhov A.A., Kuznetsova E.L. Micro-dilatation effects in a two-layered porous structure under uniform heating // J. Balk. Tribol. Assoc. 2021. V. 27, No 2. P. 280-294.
7. Формалев В.Ф., Колесник С.А., Миканев С.В. Моделирование теплового состояния композиционных материалов // ТВТ. 2003. Т. 41, № 6. С. 935-941.
8. Кузнецова Ек.Л. Математическое моделирование тепломассопереноса в композиционных материалах при высокоинтенсивном нагреве. Дис.... канд. физ.-мат. наук. М.: МАИ, 2006. 138 с.
9. Формалев В.Ф., Кузнецова Ек.Л. Многомерный теплоперенос при наличии фазовых переходов в анизотропных композиционных материалах // Мех. комп. матер. и констр. 2007. Т. 13, № 4. С. 129-141.
10. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964. 487 с.
11. Формалев В.Ф., Федотенков Г.В., Кузнецова Ек.Л. Общий подход к моделированию теплового состояния композиционных материалов при высокотемпературном нагру-жении // Мех. комп. матер. и констр. 2006. Т. 12, № 1. С. 141-156.
Поступила в редакцию 30.08.2023 Принята к публикации 24.09.2023
Кузнецова Екатерина Львовна, доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник НИО-9 ФГБОУ ВО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)»
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
Волоколамское ш., д. 4, г. Москва, 125993, А-80, ГСП-3, Россия E-mail: lareyna@mail.ru ЖЖаворонок Сергей Игоревич, кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник ФГБУН «Институт прикладной механики Российской академии наук» Институт прикладной механики Российской академии наук
Ленинградский просп., д. 7, г. Москва, 125040, Россия E-mail: zhavoronok@iam.ras.ru
ISSN 2541-7746 (Print) ISSN 2500-2198 (Online) UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI (Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)
2023, vol. 165, no. 3, pp. 236-245
ORIGINAL ARTICLE
doi: 10.26907/2541-7746.2023.3.236-245
A Stefan Problem for Composite Materials with an Arbitrary Number of Moving Phase-Transition Boundaries
E.L. Kuznetsovaa*, S.I. Zhavoronokb**
aMoscow Aviation Institute (National Research University), Moscow, 125993 Russia bInstitute of Applied Mechanics, Russian Academy of Sciences, Moscow, 125040 Russia E-mail: *lareyna@mail.ru, **zhavoronok@iam.ras.ru
Received August 30, 2023; Accepted September 24, 2023 Abstract
A Stefan problem of heat transfer in semi-infinite bodies with an arbitrary number of unsteady moving boundaries during phase transitions was solved. Such problems arise when composite materials are heated at high temperatures, causing the binding agents to decompose (destruct) thermally, which leads to the formation of moving boundaries in the onset and end of phase transitions, mass transfer, etc. An analytical solution of the Stefan problem with an
arbitrary number of unsteady moving boundaries was obtained. The heat transfer process with two moving boundaries was analyzed.
Keywords: heat transfer, Stefan problem, moving boundary, composite material, destruction of binding agents, analytical solution
Acknowledgments. This study was supported by the Russian Science Foundation (project no. 23-19-00680).
Figure Captions
Fig. 1. Computational scheme.
Fig. 2. Distribution of temperatures in three regions with moving boundaries Q = Q l = Q* = 1000 kJ/kg, T* = 600K, T2* = 900K.
Fig. 3. Distribution of temperatures in three regions with moving boundaries Q = Q* = Q* = 1000kJ/kg, T* = 600K, T2* = 1300K.
Fig. 4. Shift in the coordinates of the unsteady moving boundaries x*(t), x*(t) at T* = 600K, T2* = 1200K: a) Q = Q* = Q2 = 600kJ/K; b) Q = Q* = Q2 = 1000kJ/K; c) Q = Q* = Q* = 1400kJ/K.
Fig. 5. Shift in the coordinates of the unsteady moving boundaries x*(t), x*(t) at a) T* = 600K, T2* = 900K; b) T* = 600K, T2* = 1100K; c) T* = 600K, T2* = 1300K.
References
1. Orekhov A., Rabinskiy L., Fedotenkov G. Analytical model of heating an isotropic halfspace by a moving laser source with a Gaussian distribution. Symmetry, 2022, vol. 14, no. 4, art. 650. http://doi.org/10.3390/sym14040650.
2. Fedotenkov G., Rabinskiy L., Lurie S. Conductive heat transfer in materials under intense heat flows. Symmetry, 2022, vol. 14, no. 9, art. 1950. https://doi.org/10.3390/sym14091950.
3. Orekhov A.A., Rabinskiy L.N., Fedotenkov G.V., Hein T.Z. Heating of a half-space by a moving thermal laser pulse source. Lobachevskii J. Math., 2021, vol. 42, no. 8, pp. 19121919. http://doi.org/10.1134/s1995080221080229.
4. Sha M., Rabinskiy L.N., Orekhov A.A. Impact of raindrop erosion on structural components. Russ. Eng. Res., 2023, vol. 43, no. 7, pp. 834-837. https://doi.org/10.3103/S1068798X23070195.
5. Formalev V.F., Garibyan B.A., Orekhov A.A. Mathematical modeling of heat transfer in anisotropic half-space based on the generalized parabolic wave heat transfer equation. Lobachevskii J. Math., 2022, vol. 43, no. 7, pp. 1842-1849. https://doi.org/10.1134/S1995080222100110.
6. Sha M., Volkov A.V., Orekhov A.A., Kuznetsova E.L. Micro-dilatation effects in a two-layered porous structure under uniform heating. J. Balk. Tribol. Assoc., 2021, vol. 27, no. 2, pp. 280-294.
7. Formalev V.F., Kolesnik S.A., Mikanev S.V. Simulation of the thermal state of composite materials. High Temp., vol. 41, no. 6, pp. 832-838. https://doi.org/10.1023/B:HITE.0000008341.27025.54.
8. Kuznetsova E.L. Mathematical modeling of heat and mass transfer in composite materials during high-temperature exposure. Cand. Phys.-Math. Sci. Diss. Moscow, MAI, 2006. 138 p. (In Russian)
9. Formalev V.F., Kuznetsova E.L. Multidimensional heat transfer with phase transition in anisotropic composite materials. Mekh. Kompoz. Mater. Konstr., vol. 13, no. 4, pp. 129141. (In Russian)
10. Carslaw H., Jaeger J. Teploprovodnost' tverdykh tel [Conduction of Heat in Solids]. Moscow, Nauka, 1964. 487 p. (In Russian)
11. Formalev V.F., Fedotenkov G.V., Kuznetsova E.L. A general approach to simulation of the thermal state of composite materials under high temperature loading. Mekh. Kompoz. Mater. Konstr., 2006, vol. 12, no. 1, pp. 141-156. (In Russian)
Для цитирования: Кузнецова Ек.Л., Жаворонок С.И. Задача типа Стефана в / композиционных материалах с произвольным числом подвижных границ фазовых \ превращений // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2023. Т. 165, кн. 3. С. 236-245. URL: https//doi.org/10.26907/2541-7746.2023.3.236-245.
For citation: Kuznetsova E.L., Zhavoronok S.I. A Stefan problem for composite materials with an arbitrary number of moving phase-transition boundaries. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2023, vol. 165, no. 3, pp. 236-245. URL: https//doi.org/10.26907/2541-7746.2023.3.236-245. (In Russian)
