CC BY
1
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
2023, Т. 165, кн. 3 С. 294-306
ISSN 2541-7746 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)
ОРИГИНАЛЬНАЯ СТАТЬЯ
УДК 536.21 10.26907/2541-7746.2023.3.294-306
ЗАДАЧИ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА В ХИМИЧЕСКИ РЕАГИРУЮЩИХ ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЯХ НА ЗАТУПЛЕННЫХ ТЕЛАХ
О. В. Тушавина, М. С. Егорова
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), г. Москва, 125993, Россия
Аннотация
Рассмотрена нелинейная система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая пограничный слой, для решения которой широко используют численные методы. Здесь на основе переменных Дородницына-Лиза проведен анализ и сделан вывод формул для определения тепловых потоков к телу от реагирующего сжимаемого градиентного пограничного слоя и температур тела.
Ключевые слова: тепломассоперенос, пограничный слой, численные методы, теплообмен
Введение
В работе рассмотрена нелинейная система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая пограничный слой. Для ее решения, как правило, используют численные методы (см., например, [1,2]). В частности, ранее для нереагирующих пограничных слоев широко применялся метод интегральных соотношений Кармана [3]. Однако для решения сопряженных задач теплообмена в пограничном слое и теплопроводности в теле метод интегральных соотношений не годится, так как на границах сопряжения требуется непрерывность не интегральных, а теплогазодинамических характеристик.
Наиболее часто используется метод сведения систем уравнений пограничного слоя в частных производных к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Этот метод основан на применении преобразования Дородницына-Лиза [1,4], с помощью которого можно проводить как анализ тепломассопереноса, так и расчет характеристик пограничного слоя - компонентов вектора скорости, плотности, энтальпии, тепловых потоков, концентраций компонентов газодинамической смеси в локально-одномерной (автомодельной) постановке по толщине пограничного слоя. При этом получается нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений, которую анализировать и решать существенно легче, чем систему уравнений в частных производных. Решению подобных математических задач посвящено достаточно много работ, относящихся к процессам теплопроводности при воздействии лазерного излучения (например, [5-9]), а также высоких температур на элементы конструкций аэрокосмического назначения (например, [10-12]).
1. Сведение системы уравнений пограничного слоя к системе обыкновенных дифференциальных уравнений
Рассмотрим систему уравнений пограничного слоя на затупленном теле (рис. 1) в криволинейной локальной системе координат, где одна переменная отсчитывается от критической точки вдоль поверхности тела, а другая - от поверхности вдоль внешней нормали к телу.
Рис. 1. Постановка задачи Введем преобразования Дородницына-Лиза
x
0
У
PeUeK f Р ,
V2. J Pe
0
где индекс «е» связан с характеристиками на внешней границе пограничного слоя, а функции ue (х) и pe (х) связаны уравнением Бернулли вдоль линий тока на внешней границе «е» пограничного слоя
dpe due
UytO UytO
Введем функцию тока ф (., п) и связанную с ней относительную функцию тока /(?у)
Ф (ж, 1у) = (??), (4)
Per 0
U — Ue (.) f (п) . (5)
Уравнение неразрывности для двумерного стационарного течения сжимаемого газа имеет вид
д (purS) д (pvrS)
+ " ш = 0, (6)
дх ду
а уравнение состояния в соответствии с законом Дальтона - вид
P
— Е Pi — tJ2PR — PRt, (7)
где К = С,,Л;,, Сг = ^. Соотношения (4) и (5) автоматически удовлетворяют
г
уравнению неразрывности (6) (с использованием уравнения состояния (7) и уравнению Бернулли (3)), то есть эти уравнения не рассматриваются, если использовать переменные Дородницына-Лиза (1), (2) и автомодельные переменные (4), (5).
Известно, что уравнение сохранения импульса для пограничного слоя в проекции на ось Ох имеет вид
ди ди др д / ди
^ дх ду дх ду \ ду)
(8)
Уравнение диффузии для конкретного компонента с концентрацией Сг = рг/р выводится на основе закона Фика и скорости образования г-го компонента и имеет вид
дс\ дс\ д( дел
Р«—--1- ри —— = — рОГ2^— + шг, (9)
дх
ду ду
ду
где ш;, = к - постоянное значение скорости образования г-го компонента.
Уравнение энергии описывает перенос энергии конвекцией, теплопроводностью, давлением, диффузией и имеет вид
011 — + 01> — = — > дх > ду ду
„ (1 1 ди2 Рг ду "Т" А' V1 Р г / 2ду
ду
(10)
Подставив переменные (4) и (5) в уравнения сохранения импульса (8), концентраций (9) и энергии (10) и введя безразмерные переменные
=
1(г) =
Сге
ш
I, '
получим три уравнения относительно f (г), Сг (г), 1 (г): - уравнение сохранения импульса
¿г \ ¿г2) ¿г2
2х ¿ие
п2 ие ¿X
Ре Р
= 0;
(11) (12)
(13)
- уравнение концентраций (уравнение неразрывности для каждого компонента смеси)
•I ( » ■! (А , ■! (, 2х!Сгс1{Сге) 2ш,; (14
¿г \Бш ¿г ) ¿гг Сге ¿х рреи2рег2зсге'
уравнение сохранения энергии
А. (J2.il) {А-{ = 1Ё 2М. йЬ> А.
(¡■г/ \ I'г //;/ } //// 'Iч /е (/ж '/;/
Р /_1__1 \ ^ МкАг
Бт \Ье 1 / г
(¡Г)
+
_
Рг / (¿Г] (Р"Г\
(15)
где И = рр/рере, Рг = - число Прандтля, Бпг = ^ - число Шмидта, Ье = - число Льюиса.
дт
Система обыкновенных дифференциальных уравнений (13)-(15) является нелинейной, и для ее решения используются численные методы. Однако существует ряд
2
частных случаев, для которых можно получить аналитические решения. Для решения этой системы необходимо задать граничное условия на внешней границе «е» и внутренней границе пограничного слоя. При у = 0, п = 0 имеем
I (0) = и, 1 (0) = 0. (17)
В (17), если есть унос массы, то I (0) = ; если нет уноса массы, то I (0) = 0,
(0) = = (18) 1(0)=1Ш = ^. (19)
1е.
При у ^ то, п ^ то имеем
= <20>
I (ТО) = 1е ^ 0, (21)
С, (ТО) = С,е ^ 1, (22)
1(то)= I е ^ 1. (23)
Таким образом, на внешней границе искомые функции /е, С'геДе известны,
а на границе ги известны только ^/(0) = 0 и / (0) = 0, если нет уноса массы. Поэтому температуру Ты и энтальпию газа на стенке определим из решения задачи теплопроводности в обтекаемом теле по найденным тепловым потокам к стенке. Концентрации атомарных и молекулярных компонентов на стенке в первом приближении можно взять из известных соотношений.
Кроме того, в правые части уравнений (13)-(15) и граничных условий (16)-(23) входят газодинамические характеристики ие (х), ре (х), С,е (х), 1е (х) на внешней границе пограничного слоя, которые можно определить следующим образом:
ие (х) - из уравнения Бернулли (3) по распределению давления ре (х) вдоль оси Ох;
Те (х) (следовательно, и 1е (х), ре (х), С^е. (х)) можно найти из энтропических
/ \ / \ 1 /к соотношений = * , х > 0, у = 6 (х) и = ) , ж > 0,
у = 5 (х), причем для бинарного газа С\е = САе, С2е = СМе = 1 — САе.
Таким образом, задача (13)-(23) о градиентном, сжимаемом, химически реагирующем пограничном слое в переменных Дородницына-Лиза замкнута.
После определения энтальпии I (х) и концентраций С,, (х) можно вычислить плотность тепловых потоков на стенке по аналитической формуле
где це = еоТ4| о - лучистый тепловой поток от стенки при температуре газа Ты на стенке.
2. Тепломассоперенос в ударном слое в окрестности критической
точки затупленного тела
При высокоскоростном обтекании затупленных тел между отошедшей ударной волной и телом образуется сжатый газодинамический ударный слой, для которого непосредственно перед затуплением скорость газодинамического течения дозвуковая, поэтому в области, ограниченной прямой частью ударной волны, затуплением и звуковыми поверхностями (линиями в двумерном случае), течение несжимаемое, и уравнение неразрывности существенно упрощается и приобретает вид
д(и>'о) д(т%) = о дх ду
Кроме того, на прямой части ударной волны выполняется соотношение Прандтля
= а2, (25)
где - скорость непосредственно за ударной волной, V = \/и'2 + V2, а - критическая скорость звука (скорость звука в газе, движущемся со скоростью звука [13]). Таким образом, в соответствии с (25), чем выше сверхзвуковая скорость набегающего потока V,, тем ниже дозвуковая скорость VI за прямой частью ударной волны. В критической точке О (рис. 1) скорость равна нулю (и = 0, V = 0), поэтому газодинамические характеристики в этой точке называют характеристиками торможения, обозначают ре, То, Сю и вычисляют по известным соотношениям, зависящим от числа М, набегающего потока. На линии полного торможения - линии тока, проходящей через критическую точку, продольная скорость и = (0,у) = 0, г'(0,у) > 0, >> г« (0 + 0, у). В соответствии с этим в малой
окрестности критической точки и в ней самой уравнения пограничного слоя не выполняются. Однако вязкое течение в окрестности критической точки присутствует из-за вертикальной компоненты V (х, у) вектора скорости вследствие того, что за ударной волной V (х, у) > 0, а на границе тела V (х, у) = 0. Таким образом, в окрестности критической точки уравнения теплогазодинамики в газодинамических переменных решать сложно, но можно - в переменных Дородницына-Лиза, в том числе в критической точке.
Запишем систему уравнений (13)-(15) для бинарной смеси диссоциирующего
воздуха 0.23502 + 0.765Ж2, обозначив С1 = а = а,С2 = См = 1 — а:
= (26)
¿п \ Ац2) Ац2 ие Ах \\din) р
{ В \ д df 2ха Аае 2хгюа
\SrnJ дц Ац ае Ах рреги?ерег2 а^
о о Л + / о 1= + (1 - X) р.
Рг 0^1 оц ац 1 е ах 1е V Рг/ ап а2п
+
^ дг!
Р __(Лл-Лм)ае д д,
V Ье / /е дп
(27)
(28)
где в последнем слагаемом уравнения (28) использовано равенство (из последнего слагаемого уравнения (10))
дСг дСА дСм , да ¿>(1 -а) да
) , = А~ду~ М~ду~ = А~ду 1-ду-= 4 ~ ~ду'
а
Кроме того, из (29) имеем
1 1
Ьл - Ьм = ! срА¿Т + Н0А - J срм¿Т - Н0М « Н0А,
(30)
где ЬРл - энергия диссоциации молекул кислорода и азота; энергия диссоциации {Ь°А)о2 = Шо2 = 15540 кДж/кг для кислорода и {Ь°А) Ы2 = (Уа)^ = 33600 кДж/кг для азота. Чтобы получить тепловой поток в форме (24) в виде двух слагаемых - конвективного и диффузионного, необходимо проинтегрировать уравнение (27) для относительных концентраций а и уравнение (28) для относительных энтальпий I, полученные распределения продифференцировать по переменной у и положить у = 0, а затем полученные производные на границе подставить в (24). Кроме того, для получения профиля скорости = и/ие необходимо дважды
проинтегрировать по переменной уравнение сохранения импульса (26). В указанных уравнениях правые части зависят от продольной переменной х. Поэтому для интегрирования уравнений (26)-(30) используем следующие предположения:
- пограничный слой «замороженный», то есть и>л = 0 в уравнении (27);
- числа Рг и Ье примерно равны единице;
- в правой части уравнения (26) сомножитель ~~ ^ ~ 0 [14]; это предположение можно использовать для окрестности критической точки (но не для нее);
йие
в правых частях сомножители
йа
ат.
^"Зг 'Г-Зг постоянны.
При этих предположениях система уравнений (26)-(28) трансформируется в систему
±(п'И). ¡'И П.
йц \ сР'п)
а
(I
и^0
йц
аг\
аг/ ащ
(31)
(32)
(33)
Проинтегрируем уравнения (31)-(33), использовав функцию / в качестве параметра и заметив, что они похожи друг на друга относительно переменных
^аГ' т0 есть обозначив
/
=
с1гр с1се{г/)
Фп
йп
проинтегрируем уравнение по переменной п
п ^ ;
В Т = ащ
и получим
или
г (щ) = С\ е-^/в)п
(
йг}2
I =Сле-и10)г1
йп 1
V ИЫ
\ с1г/
(34)
(35)
(36)
и
и
d2f (п)
Проинтегрировав (37) еще раз, получим /
А =с1(-^)е-(^" + С2. (38)
. атм / V / /
\ Ф/ /
Поскольку граничные условия (16)-(23) для каждого из трех уравнений (21) различны, определим постоянные интегрирования С\, С2 для второго и третьего уравнений. Для второго уравнения используем граничные условия (17) и (22):
а{11) = С\ + (39)
а{0)=аш = -1у + С2; о, (оо) = ае = С2, С2 = 1; С1 = (1-а)//В.
Подставив C\,C2 в (39), найдем а (г)
"" = (40)
; М ~ _ ,-U/D)V
aw ае
Аналогично, использовав граничные условия (19) и (23), определим распределение энтальпий
1 ^ ~ Je = e-U/D)iK Iw
Проинтегрируем теперь первое уравнение в (37) относительно f (г/), использовав граничные условия (16), (17), (20), и получим
/ (г,) = Сг (-jj (-jj e-W" + C2V + Сз. (42)
f (0) = fw = 0 для непроницаемой стенки (нет уноса массы):
^ 2
0 = С-1 (^г) + Сз; (43)
/' (0) = 0, 0=-1у +С2; (44)
I' М = 1, 1 = С2. (45)
Из (42)-(45) определим постоянные интегрирования С\,С2,Сз :
С2 = 1, С1 = 1/В, Сз = -В/1. (46)
Подставив (46) в (42), найдем распределение I (г/) :
I (п) = (В/1 )е-^/п)п + п - В/1. (47)
Таким образом, функции (40), (41), (47) - решения уравнений (38) относительно функций а (п) ,1 (п) ,1 (п) с граничными условиями (34)-(40). Для определения тепловых потоков за счет конвекции и диффузии необходимо подставить полученные функции в выражение (24) с учетом (31). Для этого необходимо в (40), (41) вычислить производные по переменной у ив полученных соотношениях положить у = 0. Из (41) имеем
I (п)= Те + (Т„ - Те) е-и/п)г>,
сРТ (П) +
и2 (г/)
+ Ь°л =1е + (1ш - 1е) е
-(f/D)n
дТ
ди
Ср^Г + и— ду ду
у=0
-(I -1)1 е-и'^1^
у=0 п=0
ду
= А-
1ш 1е
у=0
' ср
в) ду
(48)
у=0
где (ср)ср - учрежденная величина по толщине пограничного слоя. Вычислим приближенно д'ц/ду. Из (1) и (2) имеем (р/ре) « 1 ,
РеиеТ'о у
2з
еие^еГ0 х
а/РеиеУ _ У9'
йх
1 аие
\j2vx а/^МЁ Vе ^х ) У'
1/2
Здесь для окрестности критической точки использовано равенство
аие
ах
Таким образом,
дц ду
1
у=0
аие
у/ЦГе V /Эб с1х
1/2
(49)
(50)
Подставив (50) в (48) и учитывая (49), получим для конвективного теплового потока в окрестности критической точки (но не в ней самой)
ду
(сР)с
(Сре-Ге Срги Тщ ) | ^
1 аие
V
Ре
ах
1/2
(51)
Поскольку = = ф- и -А- = при Рг = 1, из (51) при Рг = 1 и р « ре имеем
\8Т ду
1 , , „ , / ( ¿и А 1/2
где
Те = 1 + Г
^-Р'ср к- 1
(52)
М4 , г;ат = 0.845, Пигь = 0.895.
Аналогично, продифференцировав (40) по переменной у, при у = 0 получим
да ду
у=0
= (о% - ае) ( | е
с1у
у=0
Подставив сюда (50), получим для диффузионного потока к стенке в окрестности критической точки уравнение
рБ
12
да ду
1
1/2
(53)
В уравнение (52) для конвективного теплового потока и (53) для диффузионного потока входит относительная функция тока / (п), и на границе тела при у = 0 (п = 0) получим, что конвективный и диффузионный тепловые потоки будут отсутствовать, что не соответствует действительности. Однако функцию / (г/) можно
2
с
р
А
разложить в ряд Тейлора по степеням переменной п в окрестности п = 0, в результате получим
Удержав члены до второй производной включительно и учитывая граничные условия (16) и (17), получим, что
(55)
Осталось определить функцию f (п) .
Из решения (47) линеаризованного уравнения (37) для функции f (п) без применения численных процедур невозможно получить функцию f (п), так как это выражение является трансцендентным и очень сильно упрощенным при линеаризации. Однако в [15] затабулировано численное решение полного уравнения сохранения импульса (26) с градиентными слагаемыми в правой части, поскольку при x ^ 0 слагаемые в правых частях, зависящих от x, стремятся к нулю в уравнениях (27) и (28), а в (26) правая часть при х —>• 0 является постоянной: lini = 1.
Ниже приведено решение следующей задачи Коши, полученное численным методом Рунге-Кутта:
d3 + f—f - — /2 + 1-0 с13п d2q dп
/(0) =0, -¡j-f( 0) = 0, j-/(oo) = 1. dп d/q
Чтобы использовать его в приближенно-аналитических решениях (52), (53), сгладим функцию по методу наименьших квадратов
f (п) = -3.09510-3п3 + 0.251п2 + 0.248п - 0.025,
причем /(0) « 0, 0) « 0, ^/(0) = = 0.251, поскольку f (V) =
(0) = 0.502Щ-. В соответствии с этими рассуждениями в выражениях (52) и (53) сомножитель /(?у)|,?=0 равен /(?у)|,?^0 ~ ^/(0) = 0.251. На рис. 2 приведена зависимость f (п) в виде кубической параболы; средне-интегральное значение равно 1.903.
Осталось в формулах (52) и (53) определить due/dx в окрестности критической точки, где ие = ф 0, но находится в окрестности точки торможения. Производную due/dx можно определить из уравнения Бернулли
dpe due dpe (duex 2
— = -peue— или — = -pex\ —
dx dx dx dx
откуда получим
due _ /^¡_фе фе q dx у xpe dx ' dx
3. Выводы
1. На основе переменных Дородницына-Лиза сформулирована задача моделирования течения и тепломассопереноса в реагирующем газодинамическом пограничном слое в бинарном приближении - задача определения скоростей, концентраций атомарной компоненты и энтальпий в критической точке и в окрестности критической точки затупленного тела.
О 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 Ч Рис. 2. Зависимость f (п) по толщине пограничного слоя
2. В предположении «замороженности» пограничного слоя, с учетом равенства единице чисел Прандтля и Льюиса, получены аналитические решения для относительных скоростей концентраций и энтальпий в критической точке и в ее окрестности, а также для диффузионного и теплового потоков. При этом получены аналитические выражения для относительной функции тока и относительной скорости в пограничном слое.
3. Приближенно-аналитически решена система уравнений градиентного пограничного слоя в окрестности критической точки для реагирующего бинарного газа, получены замкнутые выражения для диффузионного и тепловых потоков в зависимости от продольной переменной. На основе баланса диффузионных, тепловых и лучистых тепловых потоков получено распределение температур в окрестности критической точки в зависимости от продольной переменной.
Благодарности. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда, проект № 23-19-00684.
Литература
1. Галицейский Б.М., Совершенный В.Д., Формалев В.Ф., Черный М.С. Тепловая защита лопаток турбин. М.: МАИ, 1996. 353 с.
2. Формалев В.Ф., Колесник С.А. Математическое моделирование сопряженного теплообмена между вязкими газодинамическими течениями и анизотропными телами. М.: ЛЕНАНД, 2019. 320 с.
3. Авдуевский В.С., Галицейский Б.М., Глебов Г.А., Данилов Ю.И., Дрейцер Г.А., Калинин Э.К., Кошкин В.К., Михайлова Т.В., Молчанов А.М., Рыжов Ю.А., Солнцев В. П. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике. М.: Машиностроение, 1992. 624 с.
4. Дорренс У.Х. Гиперзвуковые течения вязкого газа. М.: Мир, 1966. 440 с.
5. Bodryshev V.V., Rabinskiy L.N., Orekhov A.A. Analysis of interaction structure of circular laminar jets using digital image processing //J. Visualization. 2022. V. 25, No 33. P. 1137-1150. https://doi.org/10.1007/s12650-022-00851-w.
6. Orekhov A., Rabinskiy L., Fedotenkov G. Analytical model of heating an isotropic halfspace by a moving laser source with a Gaussian distribution // Symmetry. 2022. V. 14, No 4. Art. 650. https://doi.org/10.3390/sym14040650.
7. Fedotenkov G., Rabinskiy L., Lurie S. Conductive heat transfer in materials under intense heat flows // Symmetry. 2022. V. 14, No 9. Art. 1950. https://doi.org/10.3390/sym14091950.
8. Dobryanskiy V.N., Fedotenkov G.V., Orekhov A.A., Rabinskiy L.N. Estimation of finite heat distribution rate in the process of intensive heating of solids // Lobachevskii J. Math. 2022. V. 43, No 7. P. 1832-1841. https://doi.org/10.1134/S1995080222100079.
9. Orekhov A.A., Rabinskiy L.N., Fedotenkov G. V., Hein T.Z. Heating of a half-space by a moving thermal laser pulse source // Lobachevskii J. Math. 2021. V. 42, No 8. P. 19121919. https://doi.org/10.1134/S1995080221080229.
10. Formalev V.F., Kolesnik S.A., Kuznetsova E.L. Heat and mass transfer on the side surfaces of blunt nose parts of hypersonic aircraft // High Temp. 2022. V. 60, Suppl. 2. P. S288-S291. https://doi.org/10.1134/S0018151X21050060.
11. Astapov A.N., Zhavoronok S.I., Kurbatov A.S., Rabinskiy L.N., Tushavina O.V. Main problems in the creation of thermal-protection systems based on structurally heterogeneous materials and the methods of their solution // High Temp. 2021. V. 59, No 2-6. P. 346-372. https://doi.org/10.1134/S0018151X21020012.
12. Formalev V.F., Garibyan B.A., Orekhov A.A. Mathematical modeling of heat transfer in anisotropic half-space based on the generalized parabolic wave heat transfer equation // Lobachevskii J. Math. 2022. V. 43, No 7. P. 1842-1849. https://doi.org/10.1134/S1995080222100110.
13. Аржаников Н.С., Садекова Г.С. Аэродинамика больших скоростей. М.: Высш. школа, 1965. 559 с.
14. Полежаев Ю.В., Юревич Ф.Б. Тепловая защита. М.: Энергия, 1976. 392 с.
15. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1969. 391 с.
Поступила в редакцию 28.08.2023 Принята к публикации 26.09.2023
Тушавина Ольга Валериановна, доцент, заведующий кафедрой 610
Федеральное государственное бюджетное учреждение высшего образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)»
Волоколамское ш., д. 4, г. Москва, 125993, А-80, ГСП-3, Россия E-mail: tushavinaov@mai.ru Егорова Мария Сергеевна, ассистент кафедры 610
Федеральное государственное бюджетное учреждение высшего образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)»
Волоколамское ш., д. 4, г. Москва, 125993, А-80, ГСП-3, Россия E-mail: egorovams@mai.ru
ISSN 2541-7746 (Print) ISSN 2500-2198 (Online) UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI (Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)
2023, vol. 165, no. 3, pp. 294-306
ORIGINAL ARTICLE
doi: 10.26907/2541-7746.2023.3.294-306
Problems of Heat and Mass Transfer in Chemically Reacting Boundary Layers on Blunted Bodies
O.V. Tushavina*, M.S. Egorova**
Moscow Aviation Institute (National Research University), Moscow, 125993 Russia E-mail: *tushavinaov@mai.ru, **egorovams@mai.ru
Received August 28, 2023; Accepted September 26, 2023 Abstract
This article considers a nonlinear system of partial differential equations describing the boundary layer. Such a system is commonly solved by numerical methods. Here, the Dorodnitsyn-Lees variables were used to carry out an analysis and derive the formulas for calculating the body temperatures and the heat fluxes to the body generated by the reacting compressible gradient boundary layer.
Keywords: heat and mass transfer, boundary layer, numerical methods, heat exchange
Acknowledgments. This study was supported by the Russian Science Foundation (project no. 23-19-00684).
Figure Captions
Fig. 1. Problem statement.
Fig. 2. The f (n) function along boundary layer thickness.
References
1. Galitseiskii B.M., Sovershennyi V.D., Formalev V.F., Chernyi M.S. Teplovaya zashchita lopatok turbin [Heat Shielding of Turbine Blades]. Moscow, MAI, 1996. 353 p. (In Russian)
2. Formalev V.F., Kolesnik S.A. Matematicheskoe modelirovanie sopryazhennogo teploobmena mezhdu vyazkimi gazodinamicheskimi techeniyami i anizotropnymi telami [Mathematical Modeling of Coupled Heat Transfer between Viscous Gas-Dynamic Flows and Anisotropic Bodies]. Moscow, LENAND, 2019. 320 p. (In Russian)
3. Avduevskii V.S., Galitseiskii B.M., Glebov G.A., Danilov Yu.I., Dreitser G.A., Kalinin E.K., Koshkin V.K., Mikhailova T.V., Molchanov A.M., Ryzhov Yu.A., Solntsev V.P. Osnovy teploperedachi v aviatsionnoi i raketno-kosmicheskoi tekhnike [Principles of Heat Transfer in Aviation and Rocket-and-Space Engineering]. Moscow, Mashinostroenie, 1992. 624 p. (In Russian)
4. Dorrance W.H. Giperzvukovye techeniya vyazkogo gaza [Viscous Hypersonic Flow]. Moscow, Mir, 1966. 440 p. (In Russian)
5. Bodryshev V.V., Rabinskiy L.N., Orekhov A.A. Analysis of interaction structure of circular laminar jets using digital image processing. J. Visualization, 2022, vol. 25, no. 33, pp. 1137-1150. https://doi.org/10.1007/s12650-022-00851-w.
6. Orekhov A., Rabinskiy L., Fedotenkov G. Analytical model of heating an isotropic halfspace by a moving laser source with a Gaussian distribution. Symmetry, 2022, vol. 14, no. 4, art. 650. https://doi.org/10.3390/sym14040650.
7. Fedotenkov G., Rabinskiy L., Lurie S. Conductive heat transfer in materials under intense heat flows. Symmetry, 2022, vol. 14, no. 9, art. 1950. https://doi.org/10.3390/sym14091950.
8. Dobryanskiy V.N., Fedotenkov G.V., Orekhov A.A., Rabinskiy L.N. Estimation of finite heat distribution rate in the process of intensive heating of solids. Lobachevskii J. Math., 2022, vol. 43, no. 7, pp. 1832-1841. https://doi.org/10.1134/S1995080222100079.
9. Orekhov A.A., Rabinskiy L.N., Fedotenkov G.V., Hein T.Z. Heating of a half-space by a moving thermal laser pulse source. Lobachevskii J. Math., 2021, vol. 42, no. 8, pp. 19121919. https://doi.org/10.1134/S1995080221080229.
10. Formalev V.F., Kolesnik S.A., Kuznetsova E.L. Heat and mass transfer on the side surfaces of blunt nose parts of hypersonic aircraft. High Temp., 2022, vol. 60, suppl. 2, pp. S288-S291. https://doi.org/10.1134/S0018151X21050060.
11. Astapov A.N., Zhavoronok S.I., Kurbatov A.S., Rabinskiy L.N., Tushavina O.V. Main problems in the creation of thermal-protection systems based on structurally heterogeneous materials and the methods of their solution. High Temp., 2021, vol. 59, nos. 2-6, pp. 346-372. https://doi.org/10.1134/S0018151X21020012.
12. Formalev V.F., Garibyan B.A., Orekhov A.A. Mathematical modeling of heat transfer in anisotropic half-space based on the generalized parabolic wave heat transfer equation. Lobachevskii J. Math., 2022, vol. 43, no. 7, pp. 1842-1849. https://doi.org/10.1134/S1995080222100110.
13. Arzhanikov N.S., Sadekova G.S. Aerodinamika bol'shikh skorostei [High Speed Aerodynamics]. Moscow, Vyssh. Shk., 1965. 559 p. (In Russian)
14. Polezhaev Yu.V., Yurevich F.B. Teplovaya zashchita [Heat Shield]. Moscow, Energiya, 1976. 392 p. (In Russian)
15. Schlichting H. Teoriya pogranichnogo sloya [Boundary-Layer Theory]. Moscow, Nauka, 1969. 391 p. (In Russian)
Для цитирования: Тушавина О.В., Егорова М.С. Задачи тепломассопереноса / в химически реагирующих пограничных слоях на затупленных телах // Учен. \ зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2023. Т. 165, кн. 3. С. 294-306. URL: https//doi.org/10.26907/2541-7746.2023.3.294-306.
For citation: Tushavina O.V., Egorova M.S. Problems of heat and mass transfer in chemically reacting boundary layers on blunted bodies. Uchenye Zapiski Kazanskogo Uni-versiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2023, vol. 165, no. 3, pp. 294-306. URL: https//doi.org/10.26907/2541-7746.2023.3.294-306. (In Russian)
