АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О СОПРЯЖЕННОМ ТЕПЛООБМЕНЕ МЕЖДУ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИМ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ И АНИЗОТРОПНОЙ ПОЛОСОЙ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536.21:532.526

DOI: 10.18698/1812-3368-2020-5-44-59

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О СОПРЯЖЕННОМ ТЕПЛООБМЕНЕ МЕЖДУ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИМ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ И АНИЗОТРОПНОЙ ПОЛОСОЙ

B.Ф. Формалев

C.А. Колесник Б.А. Гарибян

МАИ, Москва, Российская Федерация

[email protected]

[email protected]

[email protected]

Aннотация

Сформулирована задача о сопряженном (совместном) теплопереносе между теплогазодинамиче-ским пограничным слоем и анизотропной полосой в условиях аэродинамического нагрева летательных аппаратов. При допущении о несжимаемом течении, имеющем место в ударном слое за прямой частью ударной волны, получено новое аналитическое решение для компонентов вектора скорости, распределения температуры и тепловых потоков в пограничном слое. Полученные тепловые потоки на границе сопряжения между газом и телом включены в качестве граничных условий в задачу анизотропной теплопроводности в теле. Приведено аналитическое решение второй начально-краевой задачи теплопроводности в анизотропной полосе с произвольными граничными условиями на границах, причем на границе сопряжения использованы тепловые потоки, полученные при решении задачи теплового пограничного слоя. Аналитическое решение сопряженной задачи теплообмена между пограничным слоем и анизотропным телом можно эффективно использовать для регулировки (например, уменьшения) тепловых потоков от газа к телу, если материал полосы выбрать таким, что продольный компонент тензора теплопроводности во много раз превышает поперечный компонент тензора теплопроводности. Такая регулировка возможна за счет повышения температуры тела в продольном направлении, а, следовательно, уменьшения теплового потока от газа к телу, а также за счет благоприятного из-

Ключевые слова

Газодинамика, пограничный слой, вязкость, теплопроводность, тепловые потоки, температура, компоненты тензора теплопроводности, анизотропия, сопряженная задача, граница сопряжения

менения физических характеристик газа. Получены Поступила 22.12.2019 и проанализированы результаты численных экспе- Принята 28.01.2020 риментов © Автор(ы), 2020

Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ

(проект РФФИ № 18-01-00446, № 18-01-00444А)

Введение. При решении задач сопряженного теплопереноса между вязкими пристенными течениями и обтекаемыми телами в условиях аэродинамического нагрева летательных аппаратов (ЛА) приходится преодолевать значительные трудности. Эти трудности связаны, прежде всего, с определением граничных условий на границе сопряжения газ-твердое тело [1-6], поскольку в сопряженных средах решаются задачи, имеющие разную физическую природу и описываемые различными уравнениями в частных производных. Проблема усложняется, если обтекаемое тело обладает анизотропией свойств теплопереноса, так как уравнения анизотропной теплопроводности содержат смешанные производные, для аналитического решения которых можно использовать только методы интегральных преобразований и только для областей, у которых хотя бы одна из границ устремлена в бесконечность [7-12].

Система уравнений газодинамического пограничного слоя существенно нелинейна, поэтому для ее решения применяют в основном численные методы [6]. Однако при упрощающих предположениях, в частности о несжимаемости течения в ударном слое на затупленных телах, можно получить приближенно-аналитическое решение для определения тепловых потоков к телу, которые в качестве граничных условий используются в задаче теплопроводности [13, 14].

Получено приближенно-аналитическое решение системы уравнений теплового пограничного слоя в целях определения тепловых потоков к телу, которые используются затем в качестве граничных условий для аналитического решения задачи теплопроводности в анизотропной полосе. В результате решены сопряженная задача теплообмена в пограничном слое и задача теплопроводности в анизотропной полосе, причем в качестве граничных условий использована непрерывность тепловых потоков и температуры на границе сопряжения газ-твердое тело.

Неизвестным параметром сопряжения является температура границы газ-твердое тело, через который определяются все газодинамические функции, а также распределения температуры в анизотропной полосе. Указанная температура определяется из условия непрерывности тепловых потоков на границе сопряжения.

Постановка задачи. Рассмотрим задачу о сопряженном теплообмене при обтекании окрестности критической точки затупленной анизотропной полосы (рис. 1). По характеристикам набегающего потока (скорости Ун, высоте Н, числу Маха Мн) необходимо определить теплогазодина-мические характеристики несжимаемого пограничного слоя и тепловые потоки к телу. Используя указанные характеристики в качестве граничных условий на границе сопряжения газ-твердое тело, требуется решить задачу теплопроводности в анизотропной полосе.

Начало О системы координат Оху находится на границе газ-твердое тело, причем ось Ох направлена вдоль этой границы, ось Оу — внутрь пограничного слоя, ось Оу5 — внутрь анизотропной полосы толщиной I, О^, О^ — главные оси тензора теплопроводности, ориентированные относительно оси Ох углом ф.

Основным является предположение о квазистационарности (стационарности в каждый момент времени) пограничности слоя, а теплопроводность в анизотропной полосе полагается нестационарной. Кроме того, течение симметрично относительно оси Оу, а теплопроводности в полосе нет.

Система уравнений динамического и теплового пограничных слоев относительно компонентов и (х, у ), V ( х, у ) вектора скорости, температуры Т(х,у), плотности р(х,у), давления р(х) имеет вид [3, 6, 10]:

Рис. 1. Расчетная схема: 1 — ударная волна; 2 — пограничный слой; 3 — анизотропная полоса; О — критическая точка

д(ри) | д(ру)

0, 0 < у <5(x ), |x| <сю;

(1)

6x ду

v

— , 0 < у <5(x), IX <сю; (2) ау)

dp / \ dpe due с- / \ Ii

0 = —f-; p = pe (x), -J— = -peu^——, y = ö(x), x

dx dx

dy

dl dl о

pu--hpv— = —

dx dy dy

При y = 0:

При y = 5(x ):

ц(г) ат r 1 _ w

Pr dy 2 [ Pr J dy 0 < y <5(x ), \x\

p = pRT, 0<y<5(x), |x|

u(x,0) = 0; v(x,0) = 0; T(x,0) = Tw (x);

p(x,0) = Pw = R^ • RTW (x)

u (x, 5(x )) = ue (x ); v(x, 8(x )) = Ve (x ); T (x, 5(x )) = Te (x ); p(x, 5(x )) = Pe (x ).

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

При x = 0:

и (0,7 ) = 0; р (0,0 ) = р0; (8)

dpe / dx = 0 при х ^ ±со. (9)

Здесь р0 — давление торможения; Рг — число Прандтля, Рг = ^Ср / X; I — энтальпия газа, I = СрТн + и2/2. Индекс «м» обозначает границу газ-твердое тело у = 0, «е» — границу пограничного слоя.

Задача теплопроводности в анизотропной полосе по определению функции Т (х, у, £) рассматривается с граничными условиями второго рода, причем на границе у5 = 0 тепловой поток qw = -XdT / ду|у = 0 подводится от пограничного слоя:

^2Т д2т д2Т dT

^11—-т + 2^—— + Х22—Т = СР —, х = 0, £> 0; (10)

dx2 dxdу dу2 dt

-X

dT (x, y )

dy

( dT (x, ys, t) dT (x, ys, ty

Л11----h Л22 --

y=0

5x dy ) y,=0 (Ш

-да < x < да, y = ys = 0, t > 0;

T(x,y)| 0 = T(x,ys, t)| = Tw (x), -да< x <да, y = ys = 0, t > 0; (12)

r dT dT ^ ^11--- = 0, х ys = l, t > 0; (13)

^ Jys =l

T (х, ys,0) = 0, -ю< х <ю, 0 < ys < l, t = 0; (14)

T(±M,ys,t) = 0, ^iMi = 0, STys•t) = 0,

дх dy (15)

-да < х < да, 0 < ys < l, t > 0.

Полагаем газ совершенным, уравнение состояния газа удовлетворяет уравнению Клапейрона — Менделеева (5), толщины динамического (5(х))

и теплового (5р(х)) пограничных слоев равными (число Pr = 1), вязкость и теплопроводность газа определяем по формуле Сезерленда [15].

Метод решения. Выразим производную ды / дх в левой части уравнения сохранения импульса (2) из уравнения неразрывности (1) для несжимаемого газа (р = const), получим уравнение

d(uv) ды _ dpe df ды^

-р ——- + 2pv — = —— н--

dy dy dх dy ^ dy )

Проинтегрировав это уравнение дважды по переменной y при сделанных предположениях, а также полагая ^(T)« ^(Tw ) = const, приходим к выражению (индекс «ср» обозначает усреднение по толщине пограничного слоя):

-(puv) y + 2(pvu)cp y = -d-^r + V-wU + C1 (х)y + C2 (х), (16)

2

в котором C1 (х) и C2 (х) определяются из краевых условий. При y = 0: ы (х,0) = 0 C2 (х) = 0. При y = be: ы (х, 5) = ые (х),

Q, ч / \ dpe S ые

(х ) = (рыу) + —---uw—.

V ' V ;cP dх 2 5

С учетом этих соотношений и (16) определяем продольный компонент ы ( х, y ) скорости

ы ■ y >=^¿w1!^^ (y2-5y)+fy- (17)

Поперечный компонент вектора скорости можно найти из уравнения неразрывности (1) для несжимаемого течения

du dx

dv dy

с граничным условием

'(x,0) = 0.

(18)

(19)

Подставив в (18) распределение продольной скорости (17) и проинтегрировав полученное выражение по переменной у с учетом условия (19), запишем

'(x, y ) = -

1 d 2 pt

f „3

dx

y

8 2 ^ — - y2

3 2 V 3 2

due y2 dx 25

Здесь производная due / dx определяется из уравнения Бернулли в форме (3) и в форме pe + peu2 /2 = p0:

due dx

dpe

^2Pe (p0 - pe ) dx

(20)

так, что

'(x, y ) = -

1 d2 Pe f y3 5 ^

dx

y

dpe y2

^2Pe (p0 - pe ) dx 20

(21)

Для уточнения продольного и (х, у) и поперечного V (х, у) компонентов вектора скорости выражения (17), выражение (21) можно подставить в левую часть уравнения (2) и в производную du / dx уравнения (1).

При сделанных предположениях проинтегрируем уравнение сохранения энергии (4) по переменной у, полагая, что производная dI / dx слабо зависит от переменной у, получаем

/ ч ( \ г Мм dI Дм Л 1 ^du2 ч

(ри) — у + ^) I = ——+—I 1--I-+ D1 (х).

4 Уср V Уср Рг ду 2 ^ Рг) dу W

Полученное выражение проинтегрируем еще один раз по переменной у:

(ри)ср + (pv)ср\Ыу = 1 + ^ки2 +Д (х)у + В2 (х), (22)

где к = 1 -1/Рг «-0,4 (при Рг = 0,71). При у = 0:

и = 0, I(х,0) = ^ (х), В2 (х) = --!рм^.

При y = 5:

D (x) = -

U — Ue, I — Ie, Vw Ie -Iw Vw • 0,4 u2 , (pU)cp dh 5 , ^cp jUy

Pr 8 2 5 5 dx 2

Подставляя D1 (x), D2 (x) в (22), получаем

Mw / т т \ , Mw Ie Iw n - — (I - Iw ) + -----y - 0,2^w

Pr Pr Ö

Л

С U2

Ue 2

— y - u2

V 5 У

=(PU)

cp

1 SIe 82

8 öx 2 dx 2

/

y-

r)T v2 ^ (1 5 y ^

y ] + (PV)cp TIIdy"iIdy

0 0 J

(23)

Оценим в (23) члены, стоящие в правой части относительно толщины пограничного слоя 5, для чего вычислим (ри) и (ру)ср, использовав

выражения (17) и (21):

/ср'

(pu )cp ^Pcp ± J u (y „y dx ;

0

(pv)cp = Pcp-j v (y )dy =

Pcp 1 d 2 pe f 84" 1 1 dpe S2

S 2^w dx l 12 У -s/2Pe (p0 - pe) dx 6

' Pcp

dpe 5 dx 6

Тогда в (23)

(Pu )c

(Pv )

cp

cp

s y

1 dIe 82 dl

---y--

8 dx 2 dx

cp

O (82 );

У i Idy-J Idy

5 0 0

_ Pcp8 dpe

6 dx

vi 2

Vi cp8-I cp y

о

O(82).

Таким образом, члены в правой части (23) имеют порядок квадрата толщины пограничного слоя, и в первом приближении ими можно пренебречь, т. е.

^(I(х,7)-(х^ ^ 7 +

(x )

y - u2 (x, y)

= 0,

отсюда

I(x,у) = Iw (x)+ Ie (^ (x} 7-0,2Pr

u2 ( x ) 5(x )

у - u2 (x, у)

. (24)

Продифференцировав (24) по переменной у, затем приняв у = 0 (и (х,у) = 0) и умножив полученное выражение на теплопроводность газа при температуре стенки , получим

( Ё1

qw \x) ~ ^w -

ду

— Xw

Te (x)- Tw (x)

- 0,

u| (x)

Поскольку u2 (x) = — (p0 - pe (x)), то

Pe

( Ё1

qw \x ) ~ ^w -

ду

^wlwMllM. (Po — pe (x )) =

5(x) Pe(x)5(x)

= Tw (x)

( \ \ ( w

5(x)J ^ Pe (x)5(x)

(Po - pe (x ))-

KTe (x) 5(x )

(25)

Для решения сопряженных задач необходимо тепловые потоки в форме (25) подставить в аналитическое решение задачи анизотропной теплопроводности (10)-(15).

Решение второй начально-краевой задачи теплопроводности в анизотропной полосе впервые получено авторами настоящей работы методом функции Грина и приведено в [15]. В связи с этим здесь оно приводится без вывода. При нулевом тепловом потоке на внутренней границе полосы у$ = I (^2 = 0) это решение имеет вид

T (x, уз, t ) =

•i

2ylX 22 JK

qw (О

1 + 2 ^ cos I kn -—— I exp

к=1

l

Г к2ж2 0 (t"0

- -i

Vß(t-*)/'

-exp

2

(^ + ау5 - x)

4ß(t-т)/у

(26)

у j

Здесь qw (х) — тепловой поток, определяемый выражением (25), qw (х) ^ 0, а вне слоя qw (х) « 0; /1 — расстояние от критической точки

х = 0; а = ^12/^22; Р = (^11^22-^22 )/Ц2 =Ч^лА22; У = сР / ^22.

Компоненты тензора теплопроводности анизотропной полосы определяются соотношениями [15]:

Хц cos2 ф+ sin2 ф;

X22 = Х^ sin2 ф + cos2 ф; = X21 = sin ф cos ф,

где Х^, ^ — главные компоненты тензора теплопроводности, действующие в направлении главных осей О^, О^, ориентируемых относительно оси Ox углом ф (см. рис. 1).

Осталось подставить в (26) либо тепловой поток qw (x) (25), тогда получим неоднородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода относительно температуры Tw (x), либо температуру Tw (x) из (25) — в левую часть функции (26), тогда получим уравнение Фредгольма второго рода относительно теплового потока qw (x ).

Подставим (25) в (26) вместо qw и запишем

T ( x, ys, t ) =

2ylk 22yfñ

h

í'

1 + 2 X ("I f cos

k=i

f

k я

l - ys ys

exp

J

Tw (5)

x exp

Xv

0,4p,v

Pe(^)S(^)

(po - pe 00)"

k2 и 0

XwTe (£)

s(0

(£,+ gys -x) 4ß(t-т)/у

2

-т)/у \d^dт.

(27)

Интегральное уравнение Фредгольма второго рода (27) решается итерационным методом. Это решение в замкнутой форме (одна функция) является решением сопряженной задачи (1)—(15) теплообмена между температурным газодинамическим пограничным слоем и анизотропной полосой.

Результаты численного решения. Разработанный метод решения сопряженных задач пограничного слоя и теплопроводности апробируем на простейшей задаче обтекания окрестности критической точки затупленного по радиусу Я0 = 0,05 м конуса (клина) с углом полураствора 0о = 10° за прямой частью ударной волны, где скорость дозвуковая (течение несжимаемое). Скорость набегающего потока Ун ~ 3000 м/с (Мн ~ 10), теп-лофизические характеристики набегающего потока (рн, Тн, ан, рн, р,н, А,н) приняты, согласно Международной стандартной атмосфере, для высоты Н = 12 000 м.

Динамическая вязкость и теплопроводность газа определялись по формуле Сезерленда [15]:

Mw _ Цн ^н

3/2

Тн +110

Tw +110'

На внешней границе пограничного слоя газодинамические характеристики Те (х), ре (х), ие (х) рассчитываются по давлению газа ре (х), которое на затупленных по сфере конических телах определяется по интерполяционным формулам [15]:

pe(0) = p0(1 -1,17 sin2 0 + 0,225 sin6 0), |0| < у - 00;

pe(x) = p0 (A ln(x + B) + C),

f-Ö0 IR0 <|x| <iy-00 |R0 + L,

(28)

где 0 = х/ Я0; А = -0,028904, В = -1,238331, С = 0,017189 для угла полураствора 0о = 10°; Ь — длина хвостовой части клина.

С использованием (28) температура Те (х) и плотность ре (х) определяются из соотношений

к-1

Те (x) _f pe (x)) к _ Pe (x ) _f pe(x))

1/k

Tn

pc

P0

p0

а скорость ue (x) — из уравнения Бернулли pe

due dx

dpe

dx

x <

ж

-00 IR + L [15]:

(x ) =

2k p0

1/k

Г k-1

к -1 p0

k-1 Л

p0 k -(pe(x)) k

Распределение относительных (отнесенных к характеристикам торможения) газодинамических характеристик ре = ре (х)/ р0, Те = Те (х)/ Т0, ре =ре(х)/р0 приведено на рис. 2, а, распределение скорости ие(х) на внешней границе пограничного слоя — на рис. 2, б.

Полоса толщиной I = 0,005 м в расчетах принималась металлической (с очень большой теплопроводностью), так что тепловой поток, вычисляемый по (25), весь идет на повышение во времени температуры полосы:

T (x t | ( _ (x) 4 ^wTe (X) _ S {X, t) ;

Tw (X'tj5(x) + Pe(x)5(x)ip° №)j 8(x) "(cpZ)s dt ' (29)

Tw (x,°) = T

w

где Tw° = 3°° K; cs = 1°3 Дж/(крК) — теплоемкость металла; ps = = 4°°° кг/м3 — плотность металла.

Ре'^е' Ре

0,10 X, М

Рис. 2. Распределения относительных газодинамических характеристик (а) и скорости (б) на внешней границе пограничного слоя

Решением начальной задачи (29) является функция

Здесь

А = -

Tw (x, t) = [ Tw° + A | exp

(

At

(cp l)s

B А'

; B = M[iw ^ _ рв (x)) | XwTe (x) . 5(x) pe (x)5(x) 5(x)

Распределение теплового потока приведено на рис. 3, а, распределение температуры металлической полосы вдоль оси Ох в различные моменты времени — на рис. 3, б. В условиях квазистационарного пограничного слоя полоса нагревается в течение времени довольно интенсивно.

Заключение. Рассмотрена задача о сопряженном теплопереносе между высокотемпературным газодинамическим пограничным слоем и анизотропной полосой с тензором теплопроводности в общей форме. Для несжимаемого пограничного слоя в окрестности критической точки затупленного клина получено аналитическое решение по определению компонентов вектора скорости, плотности, температуры, тепловых потоков

qw, МВт/м2 Tw, К

2,5

3000 -

2,0 - ^ —.

1,5 =___ 2000 _ Ч 4

4 2

1,0 К/у//1

0,5 1 1000

300 ^---Сзб—^---

О 0,05 0,10 х,м 0 0,05 0,10 х,ж

а б

Рис. 3. Распределения теплового потока (а) и температуры (б) на границе металлической полосы в моменты времени 5 (1), 10 (2), 20 (3) и 40 с (4)

к анизотропной полосе. Получено аналитическое решение задачи для анизотропной полосы с произвольными тепловыми потоками на границах. В замкнутой форме в виде интегрального уравнения Фредгольма второго рода найдено решение всей комплексной проблемы сопряженного теплообмена. Численная реализация подтверждает адекватность математического моделирования и метода решения.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Аттетков А.В., Волков И.К. Температурное поле анизотропного полупространства, подвижная граница которого содержит пленочное покрытие. Известия РАН. Энергетика, 2015, № 3, с. 39-49.

[2] Аттетков А.В., Волков И.К. Температурное поле анизотропной разделительной стенки двух различных сред при локальном тепловом воздействии. Тепловые процессы в технике, 2018, т. 10, № 7-8, с. 345-353.

[3] Формалев В.Ф., Колесник С.А., Кузнецова Е.Л. Влияние продольной неизотер-мичности на сопряженный теплообмен между пристенными газодинамическими течениями и затупленными анизотропными телами. ТВТ, 2009, т. 47, № 2, с. 247252.

[4] Формалев В.Ф., Колесник С.А., Кузнецова Е.Л. Влияние компонентов тензора теплопроводности теплозащитного материала на величину тепловых потоков от газодинамического пограничного слоя. ТВТ, 2019, т. 57, № 1, с. 66-71.

DOI: https://doi.org/10.1134/S0040364419010083

[5] Дорренс У.Х. Гиперзвуковые течения вязкого газа. М., Мир, 1966.

[6] Формалев В.Ф., Колесник С.А. Сопряженный теплоперенос между пристенными газодинамическими течениями и анизотропными телами. ТВТ, 2007, т. 45, № 1, с. 85-93.

[7] Формалев В.Ф., Колесник С.А., Селин И.А. Локально-неравновесный теплопе-ренос в анизотропном полупространстве под действием нестационарного точечного источника тепловой энергии. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2018, № 5 (80), с. 99-111.

DOI: http://dx.doi.org/10.18698/1812-3368-2018-5-99-111

[8] Формалев В.Ф., Колесник С.А., Гарибян Б.А. Теплоперенос с поглощением в анизотропной тепловой защите высокотемпературных изделий. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2019, № 5 (86), с. 35-49.

DOI: http://dx.doi.org/10.18698/1812-3368-2019-5-35-49

[9] Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savelyeva I.Y. Two-sided thermal resistance estimates for heat transfer through an anisotropic solid of complex shape. Int. J. Heat Mass Trans/., 2018, vol. 116, pp. 833-839.

DOI: https://doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2017.09.054

[10] Формалев В.Ф., Колесник С.А. Аналитическое исследование теплопереноса в анизотропной полосе при задании тепловых потоков на границах. ИФЖ, 2016, т. 89, № 4, с. 973-982.

[11] Формалев В.Ф., Колесник С.А., Кузнецова Е.Л. Нестационарный теплопере-нос в пластине с анизотропией общего вида при воздействии импульсных источников теплоты. ТВТ, 2017, т. 55, № 5, с. 778-783.

DOI: https://doi.org/10.7868/S0040364417050064

[12] Формалев В.Ф., Колесник С.А., Кузнецова Е.Л. Волновой теплоперенос в ор-тотропном полупространстве под действием нестационарного точечного источника тепловой энергии. ТВТ, 2018, т. 56, № 5, с. 756-760.

DOI: https://doi.org/10.31857/S004036440003371-2

[13] Кудинов В.А., Еремин А.В., Кудинов И.В. Разработка и исследование сильнонеравновесной модели теплообмена в жидкости с учетом пространственно-временной нелокальности и диссипации энергии. Теплофизика и аэромеханика, 2017, т. 24, № 6, с. 929-935.

[14] Formalev V.F., Kolesnik S.A. Temperature-dependent anisotropic bodies thermal conductivity tensor components identification method. Int. J. Heat Mass Trans/., 2018, vol. 123, pp. 994-998. DOI: https://doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2018.03.014

[15] Формалев В.Ф., Колесник С.А. Математическое моделирование сопряженного теплопереноса между вязкими газодинамическими течениями и анизотропными телами. М., Ленанд, 2019.

Формалев Владимир Федорович — д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры «Вычислительная математика и программирование» МАИ (Российская Федерация, 125993, Москва, Волоколамское ш., д. 4).

Колесник Сергей Александрович — д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры «Вычислительная математика и программирование» МАИ (Российская Федерация, 125993, Москва, Волоколамское ш., д. 4).

Гарибян Борис Александрович — канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Математическая кибернетика» МАИ (Российская Федерация, 125993, Москва, Волоколамское ш., д. 4).

Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:

Формалев В.Ф., Колесник С.А., Гарибян Б.А. Аналитическое решение задачи о сопряженном теплообмене между газодинамическим пограничным слоем и анизотропной полосой. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2020, № 5 (92), с. 44-59. DOI: https://doi.org/10.18698/1812-3368-2020-5-44-59

ANALYTICAL SOLUTION OF THE PROBLEM OF CONJUGATE HEAT TRANSFER BETWEEN A GASDYNAMIC BOUNDARY LAYER AND ANISOTROPIC STRIP

V.F. Formalev [email protected]

S.A. Kolesnik [email protected]

B.A. Garibyan [email protected]

Moscow Aviation Institute (National Research University), Moscow, Russian Federation

Abstract

The paper focuses on the problem of conjugate heat transfer between the thermal-gas-dynamic boundary layer and the anisotropic strip in conditions of aerodynamic heating of aircraft. Under the assumption of an incompressible flow which takes place in the shock layer behind the direct part of the shock wave, we found a new analytical solution for the components of the velocity vector, temperature distribution, and heat fluxes in the boundary layer. The obtained heat fluxes at the interface between the gas and the body are included as boundary conditions in the problem of anisotropic heat conduction in the body. The study introduces an analytical solution to the second initial-boundary value problem of heat conduction in an anisotropic strip with arbitrary boundary conditions at the interfaces, with heat fluxes which are obtained by solving the problem of a thermal boundary layer used at the interface. An analytical solution to the conjugate problem of heat transfer between a boundary layer and an anisotropic body can be effectively used to control, e.g. to reduce, heat fluxes from the gas to the body if the

Keywords

Gas dynamics, boundary layer, viscosity, thermal conductivity, heat fluxes, temperature, thermal conductivity tensor components, anisotropy, conjugate problem, interface

strip material chosen is such that the longitudinal component of the thermal conductivity tensor is many times larger than the transverse component of the thermal conductivity tensor. Such adjustment is possible due to an increase in body temperature in the longitudinal direction, and, consequently, a decrease in the heat flow from the gas to the body, as well as due to a favorable change in the physical characteristics of the gas. Results of numerical experiments are obtained and analyzed

Received 22.12.2019 Accepted 28.01.2020 © Author(s), 2020

This work was supported by RFBR grants (RFBR project no. 18-01-00446, no. 18-01-00444A)

REFERENCES

[1] Attetkov A.V., Volkov I.K. Temperature field of the anisotropic half-space, which mobile boundary contains the film coating. Izvestiya RAN. Energetika [Proceedings of the Russian Academy of Sciences. Power Engineering], 2015, no. 3, pp. 39-49 (in Russ.).

[2] Attetkov A.V., Volkov I.K. Temperature field of anisotropic separation wall of two different media under local thermal effect. Teplovye protsessy v tekhnike [Thermal Processes in Engineering], 2018, vol. 10, no. 7-8, pp. 345-353 (in Russ.).

[3] Formalev V.F., Kolesnik S.A., Kuznetsova E.L. The effect of longitudinal noniso-thermality on conjugate heat transfer between wall gasdynamic flows and blunt aniso-tropic bodies. High Temp., 2009, vol. 47, no. 2, pp. 228-234.

DOI: https://doi.org/10.1134/S0018151X09020138

[4] Formalev V.F., Kolesnik S.A., Kuznetsova E.L. Effect of components of the thermal conductivity tensor of heat-protection material on the value of heat fluxes from the gasdynamic boundary layer. High Temp., 2019, vol. 57, no. 1, pp. 58-62.

DOI: https://doi.org/10.1134/S0018151X19010085

[5] Dorrance W.H. Viscous hypersonic flow: theory of reacting and hypersonic boundary layers. McGraw-Hill, 1962.

[6] Formalev V.F., Kolesnik S.A. Conjugate heat transfer between wall gasdynamic flows and anisotropic bodies. High Temp., 2007, vol. 45, no. 1, pp. 76-84.

DOI: https://doi.org/10.1134/S0018151X07010105

[7] Formalev V.F., Kolesnik S.A., Selin I.A. Local non-equilibrium heat transfer in an anisotropic half-space affected by a non-steady state point heat source. Herald of the Bauman Moscow State Technical University, Series Natural Sciences, no. 5 (80), pp. 99111 (in Russ.). DOI: http://dx.doi.org/10.18698/1812-3368-2018-5-99-111

[8] Formalev V.F., Kolesnik S.A., Garibyan B.A. Heat transfer with absorption in anisotropic thermal protection of high-temperature products. Herald of the Bauman Moscow State Technical University, Series Natural Sciences, 2019, no. 5 (86), pp. 35-49 (in Russ.). DOI: http://dx.doi.org/10.18698/1812-3368-2019-5-35-49

[9] Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savelyeva I.Y. Two-sided thermal resistance estimates for heat transfer through an anisotropic solid of complex shape. Int. J. Heat Mass Trans/., 2018, vol. 116, pp. 833-839.

DOI: https://doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2017.09.054

[10] Formalev V.F., Kolesnik S.A. Analytical investigation of heat transfer in an anisotropic band with heat fluxes assigned at the boundaries. J. Eng. Phys. Thermophy., 2016, vol. 89, no. 4, pp. 975-984. DOI: https://doi.org/10.1007/s10891-016-1460-2

[11] Formalev V.F., Kolesnik S.A., Kuznetsova E.L. Time-dependent heat transfer in a plate with anisotropy of general form under the action of pulsed heat sources. High Temp., 2017, vol. 55, no. 5, pp. 761-766.

DOI: https://doi.org/10.1134/S0018151X17050066

[12] Formalev V.F., Kolesnik S.A., Kuznetsova E.L. Wave heat transfer in the ortho-tropic half-space under the action of a nonstationary point source of thermal energy. High Temp., 2018, vol. 56, no. 5, pp. 727-731.

DOI: https://doi.org/10.1134/S0018151X18050073

[13] Kudinov V.A., Eremin A.V., Kudinov I.V. The development and investigation of a strongly non-equilibrium model of heat transfer in fluid with allowance for the spatial and temporal non-locality and energy dissipation. Thermophys. Aeromech., 2017, vol. 24, no. 6, pp. 901-907. DOI: https://doi.org/10.1134/S0869864317060087

[14] Formalev V.F., Kolesnik S.A. Temperature-dependent anisotropic bodies thermal conductivity tensor components identification method. Int. J. Heat Mass Trans/., 2018, vol. 123, pp. 994-998. DOI: https://doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2018.03.014

[15] Formalev V.F., Kolesnik S.A. Matematicheskoe modelirovanie sopryazhennogo teploperenosa mezhdu vyazkimi gazodinamicheskimi techeniyami i anizotropnymi telami [Mathematical modelling of conjugate heat transfer between viscous gas-dynamic flows and anisotropic bodies]. Moscow, Lenand Publ., 2019.

Formalev V.F. — Dr. Sc. (Phys.-Math.), Professor, Department of Computing Mathematics and Programming, Moscow Aviation Institute (National Research University) (Volokolamskoe shosse 4, Moscow, 125993 Russian Federation).

Kolesnik S.A. — Dr. Sc. (Phys.-Math.), Professor, Department of Computing Mathematics and Programming, Moscow Aviation Institute (National Research University) (Volokolamskoe shosse 4, Moscow, 125993 Russian Federation).

Garibyan B.A. — Cand. Sc. (Phys.-Math.), Assoc. Professor, Department of Мathe-matical Cybernetics, Moscow Aviation Institute (National Research University) (Volokolamskoe shosse 4, Moscow, 125993 Russian Federation).

Please cite this article in English as:

Formalev V.F., Kolesnik S.A., Garibyan B.A. Analytical solution of the problem of conjugate heat transfer between a gasdynamic boundary layer and anisotropic strip. Herald o/ the Bauman Moscow State Technical University, Series Natural Sciences, 2020, no. 5 (92), pp. 44-59 (in Russ.). DOI: https://doi.org/10.18698/1812-3368-2020-5-44-59