Математическое моделирование тепломассопереноса при фазовых превращениях композиционных материалов при высоких температурах Текст научной статьи по специальности «Физика»

Gadalov Vladimir Nikolaevich, doctor of technical science, professor, gadalov-vn@yandex.ru, Russia, Kursk, Southwest State University,

Makarova Irina Aleksandrovna, postgraduate, makarova. mia@yandex. ru, Russia, Kursk, Southwestern State University,

Yelnikov Yevgeny Aleksandrovich, postgraduate, jamyaer@yandex.ru, Russia, Kursk, Southwestern State University,

Erokhin Roman Yur'yevich, postgraduate, Don_filius@,mail. ru, Russia, Kursk, Southwestern State University,

Gvozdev Aleksandr Evgen'yevich, doctor of technical sciences, professor, gw ozdew. alexandr2 013@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University,

Kutepov Sergey Nikolaevich, candidate of pedagogical science, kute-pov. sergei@mail. ru, Russia, Tula, Tula State Leo Tolstoy Pedagogical University,

Pantjuhin Oleg Viktorovich, candidate of technical science, docent, gwoz-dew. alexandr2 013@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 536.21

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА ПРИ ФАЗОВЫХ ПРЕВРАЩЕНИЯХ

КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ ПРИ ВЫСОКИХ

ТЕМПЕРАТУРАХ

В.Ф. Формалев, С. А. Колесник, Е.Л. Кузнецова

Моделируется тепломассоперенос в композиционных материалах при высоких температурах (>600 К) в условиях фазовых превращений связующих композиционных материалов с образованием пористого коксового остатка и пиролизных газов, фильтрующихся через пористый остаток. Разработана математическая модель и метод аналитического решения по определению температурного поля в обеих фазах, разделяемых подвижной границей фазовых превращений. Для определения координат и скорости подвижной границы выведено трансцендентное уравнение на основе аналитических решений задач теплопроводности в обеих фазах. Получены и проанализированы результаты аналитического решения.

Ключевые слова: температурное поле, фазовые превращения, зона пиролиза, фильтрация, пористый остаток, пиролизные газы.

Композиционные материалы (КМ) активно используются в качестве теплозащитных и конструкционных. Теплозащитные КМ поглощают большое количество тепловой энергии от аэродинамического нагрева в результате следующих физико-химических процессов, происходящих в КМ

при высоких температурах: эндотермических реакций разложения (пиролиза) связующих с образованием пористого остатка и пиролизных газов, фильтрующихся через пористый остаток; конвективного охлаждения пористого остатка при фильтрации пиролизных газов; вдува пиролизных газов в высокотемпературный пограничный слой и тем самым уменьшения тепловых потоков к наружной границе; возможного уноса массы с наружной границы под действием сил трения в вязком газодинамическом течении.

Решение подобных задач должно сопровождаться определением скорости и координат подвижных границ фазовых превращений из баланса тепловых потоков на этих границах, которые определяются из предварительно определенных температурных полей в обеих фазах (т.е. решить задачу типа Стефана).

Аналогичные задачи решались в [1-12], однако в большинстве из них скорость движения границ фазовых превращений задавалась, а не определялась из теплового состояния КМ.

В данной работе поставлена и аналитически решена задача тепло-массопереноса в теплозащитных КМ при высоких температурах, когда на наружной границе задан изменяющийся во времени тепловой поток с учетом нестационарно подвижной зоны разложения связующих КМ, с определением стационарной фильтрации пиролизных газов и вдува их в высокотемпературный газодинамический пограничный слой. При этом моделирование осуществлено в условиях, когда координаты и скорость движения зоны пиролиза заранее не известны, а определяются из баланса тепловых потоков в зоне пиролиза по определенным ранее температурным полям в обеих фазах.

При формировании математической модели тепломассопереноса в композиционных материалах (КМ) в условиях высокотемпературного на-гружения делаются следующие допущения:

- зона фазовых превращений (пиролиза), ограниченная температурами начала Тн и окончания Т к фазовых превращений, возникает сразу после приложения теплового потока дК (/) к наружной границе. При этом температуру Т фазовых превращений можно принять как среднее арифметическое температур Т, и Тк;

- массовая скорость образования газа в подвижной зоне фазовых превращений определяет массовую скорость стационарной фильтрации в пористом остатке;

- скорость движения зоны разложения связующего КМ равна скорости движения границы, разделяющей фазы 1 и 2, которая определяется по балансу тепловых потоков на подвижной границе.

С учетом этих допущений комплексная физико-математическая модель представляется следующими соотношениями:

- баланс тепловых потоков на наружной границе х = 0 фазы 2 с учетом вдува пиролизных газов

dT2 (x,0)

-1 —^—1=qw • exp dx

-(pvcp)r t/4a2 J-{pvcp )r T2 (0,t), x = 0, t > 0; (1) уравнение теплопроводности в пористой фазе 2 с учетом фильтра-

ции

dT2 = d% (pvcp \dT2

= a2—f--- 0 < x

C2p2

, 0 < x < x* (t), t > 0; (2)

dt dx c2p2 dx

- температура подвижной границы x* (t) фазовых превращений, разделяющей фазы 2 и 1

T2 (x* (t)-0,t) = T (x* (t) + 0,t) = T* = const, x = x* (t), t > 0; (3)

- уравнение теплопроводности в незатронутой фазовыми превращениями в фазе 1

d-% = a0, x*(t)<x<¥, t > 0; (4)

T (¥,t) = %0, x ®¥, t > 0; (5)

T (x,0) = T0, 0 < x <¥, t = 0; (6)

- на подвижной границе x = x*( t) фазовых превращений задается баланс тепловых потоков с учетом массовой скорости m движения этой границы с эндотермическим эффектом Q

dT

1 dT2

dx

+ 1 d

x=x*(i)-0 dx

= m (t) Q", x = x* (t), t > 0. (7)

x=x*{t )+0

Здесь введены следующие обозначения: т, Т0 - температура; начальная температура; рг, уг, срТ - соответственно плотность, линейная скорость

фильтрации и теплоемкость при постоянном давлении пиролизных газов; с*, г, 1, а = 1 / ср*, ^ = 1,2 - соответственно теплоемкости, плотности, теплопроводности и температуропроводности фаз; - тепловой поток, подводимый к границе х = 0 без учета фильтрации.

Индексы: w - граница х = 0; * - граница или зона пиролиза; 1, 2 -первоначальная фаза и пористый коксовый остаток; г - пиролизный газ; н, к - соответственно начало и окончание физико-химических превращений в зоне пиролиза.

Необходимо аналитически определить следующие характеристики: температурные поля Т2 (х, г), Т (х, г) в фазах 2 и 1 и с их использованием -

массовую скорость ш (г ) = йт / йг и линейную скорость X* движения границы х = х* (г) и ее координату х*(г), массовую скорость (р)г образования пиролизных газов.

Разделив граничное условие (1) на е2р2, введя обозначение Ь = (руер )г / c2p2 и сделав замену переменной [4]

А bx Ь ^ ^

T (х, t ) = u (х, t )• exp

V 2a2 4a2 J

(8)

получим следующую задачу (величина (руер )г / c2p2 на границе x*(t) и в фазе 1 равна нулю):

a

du2 (0, t) b

-u2 (0, t) + -q^ = 0, х = 0, t > 0;

c2P2

Э2u,,

0 < х < х* (t), t > 0;

Эх du2

—- = a2—f-

Эt 2 Эх2

2 (х* (t) — 0, t) = T*, х = х* (t) — 0, t > 0;

j (х* (t) + 0, t ) = T*, х = х* (t) + 0, t > 0;

Эu1 Э2u1 *, ч —1 = a—f, х (t )< х <¥, t > 0;

(9)

(10)

(11) (12)

(13)

(14)

(15)

Эt 1 Эх2

щ (¥, t ) = 70, x ® £ > 0; щ (х,0) = 70, 0 < х <¥, t = 0.

Условие (7) на границе фазовых превращений х = х*^) сохраняется без изменения.

Решением задачи теплопроводности (12) - (15) в исходной фазе 1 является функция [3]

щ (х, t) = А1 + Бхет/е

( \ х

2 \ 2 где erfc (z )= 1 —-¡= [ e~x d%.

vp 0

(16)

Постоянные интегрирования определяются подстановкой выражения (16) в краевые условия (12), (14), получаем (Ь = 0 в области 1):

erfc

u1 (х.

(х, t ) = T (х, t ) = T0 +(T * — T0)

erfc

f \ х

2yjat

^

2yja1t

, хe (х* (t),¥), t > 0.

(17)

Аналогично можно показать, что функция

u2 (х

(х, t ) = A, + B2erf

f \ х

V V a2t J

удовлетворяет уравнению (10) в фазе 2, где erf (z) =^= • [e xd%.

yip i

z

Удовлетворяя выражение (18) краевым условиям (9), (11), получим

распределение функции и2 (х, г) в области 2

(^ г ) = ■

Чи

-ег/

( \ х

+

Т *+-

Чи

ег/

(г)

2у[а2(

1 + — ег/

( \ х

2^

1 Ь х 1 + — ег/

2$

(г)

2^

хе (0, х*(г)), г > 0

где $ =

а

л\а2жг

(19)

Подставляя (19) в (8), находим распределение температур в фазе 2

Т (х, г ) =

т *+-

Чи

дс2р2

ег/

(г)

1 + — ег/

^ Л х

2л[а21

1 Ь , 1 + — ег/

Чк ег/1 х

х*( г) Л $^2^2 V ^л/02?

х ехр

Ьх Ь2г Л

V 2а2 4а2 У

, хе (0, х*(г)), г > 0.

(20)

Поскольку аргументы функций ошибок ег/с

(г)

ег/

г х*( г)Л

2^0^ Г V

в

решениях (17), (20) должны быть безразмерными, то уместно предположить, что х*(г) пропорциональна уО [4]:

х*( г ) = 2^7017, (21)

где коэффициент пропорциональности с определяется из условия (7) подстановкой в него вместо Т (х, г) функций (17), (19), в которых положено

х = х* (г).

Подставляя (17) и (20) в (7), а в полученное выражение - функцию (21) вместо х* (г), приходим к следующему трансцендентному соотношению относительно с:

с

РОГ

(Чи - т*(ср)г /2)

1

а

жа1

ехр

V 2

с2 1

а С ) 1 (т* - Т) ехр (-с2)

Уг • V Уг г + ^ ег/

4Р 2с

VХ\ а2 У

4ж 1 - ег/ (с)

, (22)

- 1 а2 ут _ с2р2

2 = _Т • ~ — 2г2

г > г Уг

где V = —,/ — = —; с уг\ г у

(СрР)г '

В (22) величина ^г2 - скорость температурного фронта [3] в

пористой области (ее можно принять как скорость движения фронта с тем— ут

пературой Т *), а отношение V =—, характеризующее отношение скорости

х

х

х

х

1

г

температурного фронта к скорости фильтрации пиролизных газов, является критерием уменьшения скорости прогрева от скорости фильтрации газов.

Уравнение (22) относительно коэффициента % решается численно. Остается полученное значение % подставить в распределения темпера-тур(17) и (20), а также в соотношение (21). Находим

Т (х, t ) = <

т *+-

$С2р2

егф

( а

а 2 У

1 + — erf 2$

( а

а 2 У

1 ь .

1 + — erf 2$

x

2^/027

$с1р1

егф

x

х ехр

bx

V 20

Ь2г ^

4а

2

, x е [0; х*(t)], t > 0, Ь = (pvCp )г / С2Р2;

( \

erfc

T (г,Г) = To + (Т*-To)-

x е I х

[ ^) ;■

г > 0.

(23)

(24)

еф (%)

Массовую скорость фильтрации пиролизных газов (pv )г определим

через массовую скорость фазовых превращений фазы 1, процентное содержание связующего и коксовое число кс:

Р )г= т кч-(1 - кс )-Г,

(25)

где Г - коэффициент газации КМ. С учетом (25) соотношения (17), (20), (22) и (21) уточняются.

Ниже представлены некоторые результаты решения задачи тепло-массопереноса в слоистых композиционных материалах (КМ).

Для расчетов принимались следующие входные характеристики: 1 = 1 Вт/(м К), 1= 0.3; 1 Вт/(м К), с1 = 1500 Дж/(кг К); с2 = 1000 Дж/(кг К); р1 = 2500 кг/м3; чм = 150 кВт/м2; 0* = 1000 кДж/кг; Т0 = 300К, Т *= 800К; Т* = 700К; Тк*= 900К.

На рис. 1, 2 представлены распределения температур в обеих фазах в зависимости от времени и значений теплопроводности 1 в первоначальном КМ (область 1). На рис. 1, 2 четко выделяются границы х = х*(г) при температуре фазовых превращений Т*, на которой наблюдается разрыв тепловых потоков на величину теплоты шО* фазовых превращений.

Из рис. 1, 2 видна существенная зависимость от теплопроводности 1 не только температурного распределения в обеих фазах, но и скорости движения границы фазовых превращений. С ростом величины 1 при одних и тех же тепловых потоках чм наблюдается уменьшение температур на наружной границе и в обеих фазах, а также замедление скорости движения границы фазовых превращений, что объясняется значительным оттоком теплоты внутрь КМ.

Ч

w

Ч

х

Рис. 1. Изменение температуры Т (х, г) в обеих фазах при температуре фазовых превращений Т* = 800К и Д= 0.3 Вт/(м К): 1 - г = 10с; 2 - 25с;

3 - 50с; 4 - 100с; 5-150с.

Рис. 2. Изменение температуры Т (х, г) в обеих фазах при температуре фазовых превращений Т* = 800К и 1= 1 Вт/(м К) 1 - г = 10с; 2 - 25с; 3 - 50с;

4 - 100с; 5 - 150с.

Рис. 3. Зависимость координат границы фазовых превращений х* (г) с изменением теплопроводности исходной фазы 1: 1 -1 = 0.3

Вт/(м К); 2 -1 Вт/(м К); 3 - 3 Вт/(м К)

233

На рис. 3 приведены зависимости от времени координат границы фазовых превращений при параметрическом изменении теплопроводности исходной фазы 1 = 0.3 Вт/(м К) - кривая 1, 1= 1.0 Вт/(м •К) - кривая 2, 1 = 3 Вт/(м •К) - кривая 3. Рис. 3 демонстрирует примерно линейную зависимость координаты подвижной границы фазовых превращений, причем она очень чувствительна к балансу тепловых потоков на подвижной границе вследствие сильного изменения теплопроводности в фазе 1, то есть уменьшение теплопроводности 11 в десять раз может повлечь увеличение координаты подвижной границы от 1.5 раз при больших временах (г = 200с) до примерно в 10 раз при малых временах (г = 50с).

Заключение

Разработан метод аналитического решения задачи о тепловом состоянии КМ в условиях высокотемпературного нагружения с учетом фазовых превращений и нестационарного движения зоны разложения связующих КМ. Выведено трансцендентное соотношение для определения скорости и координат нестационарного движения границы фазовых превращений с образованием двух фаз - фазы пористого остатка и фазы, незатронутой разложением связующего КМ. Полученные результаты показывают существенную зависимость теплового состояния теплозащитных КМ от изменения теплопроводности материала исходной фазы.

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ (18-01-00444 А, 18-01-00446 А, 17-01-00587 А), грантов Президента РФ (МД-398.2017.8 и МД-1250.2018.8).

Список литературы

1. Карташов Э.М. Аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в областях с движущимися границами // Изв. РАН. Энергетика. 1999. № 5. С. 3 - 34.

2. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964. 488 с.

3. Лыков А.В. Тепломассообмен: справочник. М.: Энергия, 1978.

480 с.

4. Формалев В.Ф., Колесник С.А., Кузнецова Е.Л. Нестационарный теплоперенос в анизотропном полупространстве в условиях теплообмена с окружающей средой, имеющей заданную температуру // Теплофизика высоких температур. 2016. Т. 54. № 6. С. 876 - 882.

5. Формалев В.Ф., Колесник С. А. Аналитическое исследование теп-лопереноса в анизотропной полосе при задании тепловых потоков на границах // Инженерно-физический журнал. 2016. Т. 89. № 4. С. 973 -982.

6. Колесник С. А., Формалев В.Ф., Селин И. А. Математическая модель и программный комплекс сопряженного теплообмена между вязкими газодинамическими течениями и охлаждаемыми лопатками газовых турбин // Труды МАИ. 2015. № 80.

7. Формалев В.Ф., Колесник С.А. Об обратных граничных задачах теплопроводности по восстановлению тепловых потоков к анизотропным телам с нелинейными характеристиками теплопереноса // Теплофизика высоких температур. 2017. Т. 55. № 4. C. 564 - 569.

8. Колесник С.А. Идентификация компонентов тензора теплопроводности анизотропных композиционных материалов // Механика композиционных материалов и конструкций. 2012. Т. 18. № 1. С. 111 - 120.

9. Колесник С. А. Метод идентификации нелинейных компонентов тензора теплопроводности анизотропных материалов // Математическое моделирование. 2014. Т. 26. № 2. С. 119 - 132.

10. Формалев В.Ф., Колесник С.А., Селин И.А. О сопряженном теплообмене при аэродинамическом нагреве анизотропных тел с высокой степенью анизотропии // Тепловые процессы в технике. 2016. Т. 8. № 9. С.388 - 394.

11. Формалев В.Ф., Колесник С.А. Аналитическое исследование теплового состояния анизотропной пластины при наличии теплообмена на свободных границах // Математическое моделирование. 2003. Т. 15. № 6. C.107 - 110.

12. Формалев В.Ф., Колесник С.А., Чипашвили А.А. Аналитическое исследование теплопереноса при плёночном охлаждении тел // Теплофизика высоких температур. 2006. Т. 44. № 1. С. 107 - 112.

Формалев Владимир Федорович, д-р физ.-мат. наук, проф., formalev38amail.ru, Россия, Москва, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет),

Колесник Сергей Александрович, д-р физ.-мат. наук, доц., sergey@oviont.com, Россия, Москва, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет),

Кузнецова Екатерина Львовна, д-р физ.-мат. наук, доц., lareynaamail.ru, Россия, Москва, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)

MATHEMATICAL MODELING OF THERMAL-ASSISTANCE IN PHASE TRANSFORMA TIONS OF COMPOSITE MA TERIALS A T HIGH TEMPERA TURES

V.F. Formalev, S.A. Kolesnik, E.L.Kuznetsova

Heat and mass transfer in composite materials (CM) at high temperatures (> 600 K) is simulated in the conditions ofphase transformations of KM binders with the formation of a porous coke residue and pyrolysis gases filtered through a porous residue. A mathematical

235

model and a method of analytical solution for determining the temperature field in both phases, separated by a mobile boundary of phase transformations, are developed. To determine the coordinates and velocity of the moving boundary, a transcendental equation is derived on the basis of analytical solutions of the heat conduction problems in both phases. The results of the analytical solution are obtained and analyzed.

Key words: temperature field, phase transformations, pyrolysis zone, filtration, porous residue, pyrolysis gases.

Formalev Vladimir Fedorovich, doctor of physical and mathematical sciences, professor, formalev38@mail.ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University),

Kolesnik Sergey Aleksandrovich, doctor of physical and mathematical sciences, do-cent, segey@oviont. com, Russia,Moscow,Moscow Aviation Institute (National Research University),

Kuznetsova Ekaterina Lvovna, doctor of physical and mathematical sciences, do-cent, lareyna@mail.ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research Unive rsity)

УДК 669.017

СТРУКТУРООБРАЗОВАНИЕ ПРИ ОТПУСКЕ НИЗКОУГЛЕРОДИСТОЙ БЕЙНИТНОЙ СТАЛИ

Н.В. Мельниченко, Н.И. Парфёнов, Д.И. Кошелев

Рассматривается структурообразование при отпуске бейнитной стали.

Ключевые слова: структура зернистой морфологии, остаточный аустенит, механические свойства.

Низкоуглеродистые низколегированные стали (ННС) широко применяются в машиностроении. После термической обработки [1, 2] и проведения сварочных работ [3, 4] изделия из ННС подвергаются отпуску при температуре до 400 оС или выше 600 оС.

При средней скорости охлаждения 1...7 оС/с при распаде аустенита по диффузионному механизму образуется структура зернистой морфологии (СЗМ) - локальные микрообъёмы легированного аустенита с повышенным содержанием углерода [5, 6]. Очевидно, что она формируется вокруг карбидов тугоплавких легирующих элементов и блокируется, по-видимому, дислокационными петлями высокой плотности.

Изделия со СЗМ в процессе производства и эксплуатации могут подвергаться повторному нагреванию. При этом СЗМ может распадаться, что приведёт к изменению механических свойств.

236