CC BY
43
УДК 536.21
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В МНОГОСЛОЙНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ОБЛАСТЯХ
В.Ф. Формалев, С. А. Колесник, Е.Л. Кузнецова, И. А. Селин,
Л.Н. Рабинский
В работе предлагается математическая модель теплопереноса в многослойных анизотропных областях, имеющих идеальные контакты на внутренних границах разрыва теплофизических характеристик (границах сопряжения) в условиях теплообмена на наружных границах, причем теплопроводность каждого слоя описывается тензором теплопроводности. Показано, что на этих границах нормальные составляющие вектора плотности теплового потока непрерывны вместе с температурой, а касательные составляющие могут быть разрывными, то есть вектор плотности тепловых потоков разрывается на границах, разделяющих слои. Получена форма нормальной составляющей вектора теплового потока для свободной криволинейной границы анизотропной области, пригодная для применения экономичных численных методов.
Ключевые слова: анизотропная теплопроводность, тензор теплопроводности, разрыв теплофизических характеристик, методы расщепления.
Математическое моделирование задач теплопереноса в анизотропных областях и на их границах, как внутренних, так и наружных, соприкасающихся с высокотемпературными средами, сопряжено со значительными трудностями, связанными, во-первых, с необходимостью моделировать только многомерные задачи, во-вторых, теплопроводность в таких телах описывается не скалярными величинами, а тензорами второго ранга, что влечет за собой наличие смешанных производных в уравнениях теплопроводности и, в-третьих, отсутствием информации в публикациях о постановке краевых условий, содержащих производные, на границах анизотропных тел.
Разработке теории теплопроводности в анизотропных телах посвящены монографии первого автора данной статьи [1, 2], один параграф в монографии Карслоу Г. и Егер Д. [3] и многочисленные статьи авторов, например, [4-6]. Однако работы по теории теплопроводности в анизотропных областях с разрывными теплофизическими характеристиками (ТФХ) авторам не известны.
В данной статье моделируется теплоперенос в анизотропных областях, имеющих идеальные контакты на внутренних границах разрыва ТФХ (границах сопряжения) в условиях теплообмена на наружных границах. При этом на границах сопряжения двух анизотропных тел разрываются не только компоненты, но и углы, ориентирующие главные оси тензоров теплопроводности.
Известно, что в анизотропных телах векторы плотности тепловых потоков направлены не по нормалям к изотермам, как в изотропных телах, из-за наличия внедиагональных компонентов тензора теплопроводности [1]. Это обстоятельство указывает на тот факт, что на изотермах в анизотропном пространстве существуют как нормальные к изотермам, так и касательные составляющие векторов плотности тепловых потоков. Тем более этот факт имеет место на границах двух контактирующих анизотропных
тел.Рассмотрим границу контакта двух анизотропных тел с ТФХ п\ р1,
К1 и сп, рп, К11 - теплоемкостями, плотностями и тензорами теплопроводности соответственно.
Тогда на границах разрыва ТФХ перенос потенциала (температуры) осуществляется только в нормальном к границе направлении и в соответствии с первым началом термодинамики нормальные составляющие векторов плотности тепловых потоков (к^гаё Т1, п0) и (к^гаё Тп,п0) на этих границах непрерывны, то есть выполняются граничные условия 1У-го рода по Лыкову А.В. [7]
(к^гаё Т\п0)= (к^гаё Тп,п0), Т1 = Тп, (1)
где п0 -орт вектора нормали в точке на границе разрыва ТФХ, а в круглых скобках указаны скалярные произведения векторов плотностей тепловых потоков и ортов нормалей.
Касательные составляющие плотностей тепловых потоков с разных сторон границы разрыва ТФХ в переносе потенциала через эту границу не участвуют, так как не пересекают границу. Их значения формируются, в основном, предысторией теплообмена вдоль границы сопряжения и поэтому в каждой точке касательные составляющие плотностей тепловых потоков разрываются, то есть
(к ^гаё Т V )*(к ^гаё Т п,г° )
где т°-орт вектора касательной к границе разрыва ТФХ.
Таким образом, плотности тепловых потоков на границах разрыва ТФХ анизотропных тел имеют разрывный характер. Этот анализ приводит, на первый взгляд, к парадоксальному выводу о несоблюдении первого начала термодинамики, поскольку подводимая плотность теплового потока к границе разрыва ТФХ не равна отводимой. Однако, если рассматривать не плотность теплового потока, а тепловые потоки, подводимые ко всей границе разрыва ТФХ и отводимые от нее, то непрерывность тепловых потоков обеспечена.
Для двумерного случая, когда гладкая граница разрыва ТФХ описывается функцией у = /(х), выражение (1), после раскрытия скалярных произведений, принимает вид
(4/' (х) + А-21^ + (1112 /' (х) + 122
I )дТ
ду
($1/' (х)
х ) + 121
11 ^ + & /(х) + 1!2 ^,
(2)
^ ^ ^ ^П ^П ^П ^П где 1ц, А12 =121' 122 и ^12 = 121' 122 - компоненты тензоров теплопроводности К1 и К11 соответственно, /' (х) = tga, где а - угол между
вектором п0 и локальной осью Оу.
На криволинейных границах анизотропных тел уместно ввести понятие теплопроводности 1 п в направлении нормали к криволинейной границе. Тогда из равенств (1) и (2) следует
1
п
дТ_ д п
11/' (х ) + 1_21 _
дТ_
дх
+
1_21/' (х )+1_
22
дТ_
ду
соб а, _ = 1,2. (3)
Разделив это равенство на дТ_ / дп, и учитывая, что
дТ_ дТ_ дх дп
Б1п а
tga
/(х)
1 + tg2a V1 + /2 (х)
дТ_ ,дТ_
——/ —— = соб а = ду дп
1 + tg2a V1 + /2 (х)
получим равенство
К =
(х) + 2А_2/' (х) + 1_22 Л + /'2 (х)]
-.2
_ = I, 2,
(4)
которое учитывает компоненты тензоров теплопроводности, и поведение границы у = / (х). Для прямоугольной пластины у = сопб^ у' (х) = tga = 0)
1_п = 1_22, _ = 1,2, тогда нормальная составляющая плотности теплового потока примет вид
1
п
дТ_ дп
121 дх 22 ду
I, 2,
(5)
то есть содержит все компоненты градиента температур, а не только один компонент, как в изотропной пластине.
Физико-математическая модель. Для двумерной области в виде двухслойного криволинейного тела, представленного на рис. 1, с границей ^5 разрыва ТФХ рассматривается следующая задача:
с11 (Т )рП (Т)
ЭТ Эг
ду
Эх
. дТ ^
(Т)
ЭГ Эх
+ 2 —
Эх
1?2 (Т )
ЭТ
ду.
+
122(т)— , 0<х</1,0< у</2, г>0;
ду )
1
1
1
_
д
c1 (Т )р! (Т)
кг\ эт э
Э? Эх
l\l(T)
эт ]+2-Э.
Эх J Эх
1l2 (T)
эт
Эу
+
+
Эу
I22 (T)
ЭТ Эу
' 112 (T) ЭТ(t ) ЭТл
Эх Эу
' 1l2 (T ) ЭТ + 122 (T ) ЭТ Л
Эх Эу
wl
о<х<ii, I2 <у <l2 + /3, t >0;
+ «1(х, tfefc t)- T|w1 ) = = /(х,t), 0< х<ll, у = 0, t > 0;
+ « 2(хt )(те2(х, t)-T|w2 ) = = /2 (х, t), 0 < х < ll у = I2 + /3, t > 0;
+ аз (у, tfe (у, t)- T\ 3 ) =
w2
' tfl(T) ЭТ+1° (т) ЭТЛ
х у
w3
= /3(у,t), х = 0, 0<у <l2, t >0;
lll(T) |Т + 1l2 (Т )э
Эх Эу
T
+
«3 (у, t fe (у, t)- T|w3 )=
w3
= /3 (у, t), х = 0, I2 < у < I2 + /3, t > 0;
llIl(T) |T + 1?2 (T) |T
х у
+
J w4
« 4 ( у, t fe (у, t)-T|w4)
= /3(у,t), х = ll, 0< у <I2, t > 0;
' 1ll(T) ^ + 1Í2 (T) ЭТ '
х у
+
« 4 ( у, t fe (у, t)-T|w4)
/ w4
= /4(у,t), х = ll, I2 < у < I2 + /3,, t > 0;
llI2 (T) + III2 (T)
ЭТ Эу
Д ЭТ , ,I ЭТ
ll2 (T ^ + 1122 (T)
Эх
22
у
у=l2 - 0 0 < х < ll, у = /2, t > 0;
Т1у=12 -0 = Т1у=/2 + 0, 0 < х < lb у = l2, t > 0; Т (х, у,0) = Т0 (х, у), 0 < х < ll, 0 < у < l2 +13, t = 0.
(7)
(8)
(9)
(l0)
(ll)
(l2)
(l3)
у=l2 + 0
(14)
(15)
(16)
Компоненты тензоров теплопроводности K1, K11 определяются по
следующим формулам [l]:
1ll = 1s s cos2 fs + 1s s sin2 fs, 1sl2 = 1s2l =
f \ s л S
1s -1s
. xs
h J
sin f s cos fs
1s22 = 1s sin2 fs + 1s cos2 fs, s = l, 2,
22 Xs ^s
(l7)
где I5 , 1 - главные компоненты тензоров К1, К1, а ф5 - углы ори-
X5 л5
ентации главных осей ОХ Т, ОХ11 относительно оси Ох. Компоненты (17) характеризуют и различную ориентацию главных осей тензоров теплопроводности на границах разрыва ТФХ.
Рис. 1. Граница сопряжения между двумя анизотропными средами с различными тепло физическими характеристиками
Из краевых условий (8)-(14) видно, что кондуктивные тепловые потоки на границах включают все компоненты градиента температур. Из соотношений (14) и (17) следует, что если даже главные компоненты тензоров К1, К11 равны, то есть I1 т = 1ТТТТ и I1 т = 1ТТТТ, а углы ориентации
Xт X Лт л
главных осей фТ и фТТ не совпадают, то и в этом случае тензоры К1, К11 а, следовательно, и касательные составляющие плотности тепловых потоков, терпят разрывы на границе ^5 .
Метод решения. На сетке
, ъ Т, Л 2пд=1х = 1 = 01;у} = у = 0 УУ = Jh2,
у = ^ +1,J2; ^ = пг, п = 0,1,2,..] (18)
задача (6)-(17) численно решается методом расщепления с экстраполяцией по времени (МПНЭ) [2]. Для граничных узлов с целью сохранения второго порядка применяется интегро-интерполяционный метод [8].
На сетке (18) для регулярных узлов схема метода МПНЭ примет
вид
т^п+1/2 грп
ср Т-— = ЛпТп+1/2 + 2Л12~п+1/2 +Л22Тп+1/2, (19)
г/2
где
Л Тп+1/2 = ^11 Тп+1/2 _2Тп+1/2 + Тп+1/2) 11 7 2 ^ 1+1, 7 1, 7 1 _1, 7 ^
1
421 = 7+1 "1+1,7 _1 "1 _1,7+1 ^1 _1,7-
к Тп+1/2 _ ^12 /тп+1/2 тп+1/2 Тп+1/2 . ^п+1/2 ^
Л1?Т = 1 + 1, 7 + 1 _ 1 + 1, 7_1 _ 1_1, 7 + 1 + 1_1, 7_1 ',
п+1/2 _ 122 1тп+1/2 "¡тп+1/2 , ^п+1/2
п+1/2 ) г, 7_1 /,
Л 22Т = 17+1 _ ^7 + Тг,7 п2
Тп++2 = 2Тп _Тп_1+/2, т = I _ 1, /, * +1;
т, 7+1 т, 7+1 да, 7+1 ' ' ' '
Тп+1 _ тп+1/ 2
1 1 - = Л11Тп+1 + 2Л12Тп+1 + Л 22Тп+1, (20)
т/2
где
Л11Тп+1 = ^Ц++1 _2тгп+1 + Т^1.),
11 ; 2 ^ 1+1,7 1,7 1_1,7'
п
1
Л тп+1 = '"12 (Тп+1 _Тп+1 _Тп+1 + тп+1 )
12 ,17 7 \ 1 + 1 7 +1 1 + 1 1 _1 1_1 1 + 1 1_1 7 _1/'
>п+1 = ^12 Т п+1 _ тТ п+1 _ тП+1
4П1П2 ^ 1+1,7+1 1+1,7 _1 1 _1,7+1 ' 11 _1,7-
Л 22тп+1 =122 (тп +1 _ 2Т1п+1 + Тп+11),
22 п2 и, 7+1 1,7 1,7_1/'
п2
Т п+1 от,п+1/2 тп ^ • 1 , 1
Т.., = 21.,, _ 1.., , т = 7 _ 1, 7, 7 +1. 1+1,т 1+1,т 1+1,т' ^ '
Схема (19), (20) полностью аппроксимирует дифференциальные уравнения (6) и (7) в случае постоянных компонентов тензора теплопро-
водности, с порядком т + |п|2 + т(П + П2 где |П| = д/П2 + П2 , и является абсолютно устойчивой [2]. В выражениях (19), (20) П2 =|п2,п2 }, = пт, 1п+1/2 = 1п + т/2, ?п+1 = ?п + т; уп7, уп+1/2, уп+1 - сеточные
функции на соответствующих временных слоях 1п, ?п+1/2, ?п+1. Схема (19), (20) является экономичной, так как реализуется только скалярными прогонками в направлении координатных осей Ох и Оу . Для сохранения порядка аппроксимации, имеющего место для регулярных узлов, рассмотрим аппроксимацию граничных условий, содержащих производные, с помощью интегро-интерполяционного метода [8]. Рассмотрим этот метод для узлов на границе сопряжения слоев (подход для остальных нерегулярных узлов - аналогичен).
Для этого, уравнения (6), (7) запишем в виде
с*(т)р*(Т)Ц = М + ^, , = 1,2, (21)
от ах ау 209
д'х =1'п(Т)§Х^ 1*12^. 5 = 1,2, *У = 1*21 (Т)£ + 122(Т)|. * = ^
(22)
в результате чего краевое условие сопряжения (14) на границе разрыва ТФХ записывается в форме
* У , Л= * У , Л- (23)
' У=2 -0 ' У=12 +0 Возьмем произвольный узел (х., у ^ = ¡2) на границе и проинтегрируем выражения (21) на отрезке хе [х.—1/2, х.+1/2] по переменной х, а после проинтегрируем по переменной у, причем в первой области на отрезке уе [уj—1/2, Уj], а во второй - на отрезке уе [уj, у^+1/2], а затем
применим квадратурные формулы прямоугольников, имеющих второй порядок точности на шагах И1, И2, получим
^ (Т )р * (Т) Э^Л, ^ = (*х),
+
Ь j —
1—5^1
2
5). .—2—5 н1 + о(и2 + и|
г'1 2
И. .+1/2,1 2
(*Х),
И2
+
1/2,1 2 = 1,2, . = 077.
(24)
Складывая уравнения (25) для 5 = 1 и 5 = 2, и используя равенства (21), получим выражения, которые аппроксимируют исходную задачу в узлах на границе сопряжения ^5, через компоненты вектора плотности
теплового потока чХ, ч*у со вторым порядком с1 (Т )рТ (Т + с11 (Т )рП (Т )й2'
И ЭТ
2 э*
1
*х 1+1/2,1
(чХ).—1
/2,1
И
II
2
Ч у I /+1/2 у1 I, / —1
+
Т
*х}1+1/2,1
(*Х )—1
/2, 1
И
2
2
+ о
, 1 —1/2, Л
И +
1+1/2
И2 + (и2 Г + И? Г], . = 0,7 - (25)
В равенстве (25), в силу (23), слагаемые (*У). И и (*Уу). И сокра-
1 1
щены, т.е. условия сопряжения выполнены автоматически.
Применим схему (19) метода МПНЭ, аппроксимируя производные в выражениях (25) с использованием (22) в направлении оси Ох на
п +1/2 — м временном полуслое в узлах у = ¡2, х = х., . = 1,1 — 1, получим:
5
2
I
ЭТ тп+1/2 _ тП17
1,7
п
К 7
вх)1+1/2,7
Э*
111(Т)
т/2
(26)
Эх
+
71+1/2,7
112 (Т)
ЭТ
Эу
л-+1/2,7
/ \ ,1/0 тп+1/2 тП+1/2 .
(тГ* )п+1/2 Т1+1,7 _ Т1,7 + 1
I111 к+1/2 7 п1 + 2
(112 1+1/2,7 + ('Т12 )Л
11 /1+1/2,7
1 1 (у.п+1 / 2 + тп+1 /2)_ 1 Тп+1 / 2 + тп+1/ 2 )
о V 1+1,7 1,7 / 2 ^ 1,7_1 1+1,7_1 /
X
п**
2
121+1/2,у \ 121+1/2,7+2*_3
* = I, 2;
X
(27)
уА _1/2,7
Эх
+
л _1/ 2,7
1*12 (Т)
ЭТ
Эу
71 _1/2,7
1 уп+1/2 т^ _ тЩ + 1 1111 >1 _1/2,7 п 2
X
1 П2 I
1 (т п+1/2 + т п+1/2)_1 (т п+1/2 + т п+1/2)
2 ^ 1 _1,7 1,7 / 2 ^ 1 _1,7 _1 1,7 _1 '
(т* »+1/2 + (~* »+1/2 '
\112 /1 _1/2,7+2* _3 + \1121 _1/ 2,7
* = I, 2;
X
(28)
^ 7
1,7 _1/2
' 112 (Г )ЭТ Л
Эх
+
71,7 _1/2
122 (Т)
ЭТ
Эу
71,7 _1/2
11 )п+1/2 + Й )п+1/2
112 1+1,7 _1 / 2 + Г12 /1 _1,7 _1 / 2
XX
2П
1 (гп++1/2 + Гп++1/2 )-2\ 1+1,7 1+1,7 _1/
.1 ^+1/2 + ^»+1/2 )] + ~ <? уП I/
^ I
грп+1/2 т-п+1/2
+1/2 т1,7 _т1,7_1
22 /1,7 _1/2
п
(29)
7+1/2
' (т )Этл
Эх
+
71,7+1/2
' 1Ц2 (т )ЭТЛ
Эу
+1 /2
(^ )п+1/2
Ч+1,7+1/2 ' ^12 к _1,7+1/2
+
X
1
2п
-I Т.п+1/+21 + тп+1/2 )
2\ 1 _1,7+1 1 _1,7 '
1, 7+1/2 1((Т п+1/2 + т п+1/2 )
2 I1/+1,7+1 + т1+1,7 Г
?п+1/2 гтп+1/2
+
гр I I Л ГГ) Г (Т
(~П )п+1/2 Т1,7+1 _ ^7
I122 /1,7+1/2
п
II
2
Т п+1/2 ^тп тп _1/2. ^ • 1 • • . 1
Т = 2Т - Т ; т = 1 - 1, 1 , 1 + 1,
т, 7 +1 т, 7 +1 т, 7 +1 в которых жирным шрифтом выделены искомые значения. Здесь
(30)
1 )»+1/2 = 1 I111 н ±1/ 2,7 = 2
л* Тп+1/2). л* (тп+1/2
Л11Т ±1,7 /+111Т,7
1
( >1+1/2 _ 1
22 Н, ]+1/2 _ 2
\тс+1/2
^ ~п+1/2 I, л5 ~п+1/2 |
122 \Т1, ]+1 /+1 22 Н 7 П
\112 I
±1/2, 7
112
^~п+1/2 + ~п+1/2 ^ Ч ±1, 7 + ^7
2
(р )П + 1/2 ,5
\Л12 Н ±1/2, ]+25 - 3 _Л12
v
п+1/2 + т' у + 25 - 3 + т ±1,1+25 - 3
у
I п+1/2
2
v
(15
+1 / 2 12 Н ±1,7-1/2
^12
г ~ п+1/2 + ~ п+1/2л
Ч ±1,7-1 + Ч ±1,7
(5Г5 )п + 1/2 _,5
\Л12 Н ±1,7+1/2 _Л12
После подстановки выражений (26)-(31) в (25) получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с трехдиагональной матрицей относительно Чп+1/2, Чп+1/2, Ч.++1/2,
1-1,7 ''У 1+1,7
аппроксимации О
+ ЙI2 + Й' I2 '
_ 1,1 -1, имеющей порядок Для замыкания системы, в узлах при
I _ 0 и I _ I применяется отдельно процедура интегро-интерполяционного метода с использованием граничных условий (10)-(13).
После решения СЛАУ методом скалярных прогонок, получим распределение температур тг.п+1/2 на границе у _ ¡2. Аналогично получаются системы алгебраических уравнений с использованием подсхемы (20) относительно ГР+1.
Результаты численных экспериментов
С помощью описанных выше численных методов разработан программный комплекс, который реализует математическую модель (6)-(17). Программный комплекс позволяет производить расчет температурных полей и компонентов вектора плотности теплового потока, в том числе и на границе разрыва ТФХ.
На рис. 2 показаны температурные поля для момента
времени ? _ 200 с в двухслойной анизотропной пластине с размерами ¡1 _ 0,05 м, ¡2 _ 0,02 м, ¡3 _ 0,02 м.
Главные компоненты и углы ориентации главных осей тензоров теплопроводности К1 и К11 для различных вариантов принимали следующие значения:
V
а) _ _ 100Вт/(м • К), _ _ 10Вт/(м • К), ф1 _ -450, ф11 _ 450;
б) _ _ 30Вт/(м • К), А?? _ 100 Вт/(м • К), _ 10 Вт/(м • К) ф1 _ 00, ф11 _ 450;
в) А1? _ _ 10Вт/(м • К), _ А? _ 100Вт/(м • К), ф1 _ 00, ф11 _ 450;
г) А?? _ _ 10Вт/(м • К), _ А? _ 100Вт/(м • К), ф1 _ ф11 _ 00.
О 0.01 0.02 0.03 0.04 0 0.01 0.02 0.03 0.04 $'*
Рис. 2. Распределение температуры в двухслойном анизотропном теле с разрывными характеристиками переноса тепла
Ненулевые тепловые потоки на наружных границах задавались следующим образом:/1(х)_ /2(х)_ 3 • 105 Вт/м2, на отрезке хе [0.02;0.03] и нулевые вне этого отрезка. Другие входные данные имели следующие зна-
213
чения: с1 = с11 = 1000 Дж/кг • К; р1 =рП = 1500кг/м3; Т0 = 300К;
аI(х,?) = 0, Те!(х,?) = 0, I = 1,4. Длина границ w1, w2 и ^5 /1 = 0.05м, /2 = 0.02м, /3 = 0.02м.
Из рисунка видно, что температурное поле в теле, остается непрерывным на границе сопряжения, но производные температуры и касательные составляющие плотности тепловых потоков на этих границах имеют разрывы первого рода.
Более наглядно это видно из рис. 3, где для тех же входных данных представлены распределения нормальных цу и касательных qz составляющих вектора плотности теплового потока вдоль переменной у, при фиксированном х = 0.04 . На рисунке отчетливо видно, что нормальная составляющая qy плотности теплового потока вдоль оси у сохраняет непрерывность, при этом касательная составляющая на границе разрыва ТФХ имеет разрывы первого рода.
Рис. 3. Поведение составляющих плотностей тепловых потоков qx и qy на границе сопряжения анизотропных тел
Заключение:
1. В статье разработана математическая модель сопряженного теп-лопереноса между двумя анизотропными телами с идеальным контактом на границе сопряжения (границе разрыва компонентов и углов ориентации главных осей тензоров теплопроводности).
2. Модифицирован ранее разработанный экономичный абсолютно устойчивый метод переменных направлений с экстраполяцией (МПНЭ) численного решения задач для уравнений параболического типа, содержащих смешанные производные. Модификация касается использования ин-тегро-интерполяционного метода Самарского А.А. для достижения однородной аппроксимации в узлах на границах анизотропного тела, в том числе на границах разрыва ТФХ.
3. Для использования методов расщепления численного решения задач анизотропной теплопроводности выведена форма граничных условий на границах разрыва ТФХ, которая использует все компоненты и углы ориентации главных осей тензоров теплопроводности, а также функцию, описывающую поведение границы сопряжения.
4. С помощью численных экспериментов подтверждена гипотеза о непрерывности нормальных составляющих вектора плотности теплового потока на границах разрыва анизотропных ТФХ и о возникновении разрывов первого рода касательных составляющих.
Исследование выполнено в Московском авиационном институте за счет грантов Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №17-01-00587, 15-01-04996, 15-01-04989,17-01-00837).
Список литературы
1. Формалев В.Ф. Теплопроводность анизотропных тел. Аналитические методы решения задач. М.: Физматлит, 2014. 312 с.
2. Формалев В.Ф. Теплоперенос в анизотропных твердых телах. Численные методы, тепловые волны, обратные задачи. М.: Физматлит, 2015. 280 с.
3. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Мир, 1964. 762 с.
4. Формалев В.Ф. Тепломассоперенос в анизотропных телах. Обзор. // Теплофизика высоких температур. 2001. Т. 39. № 5. 810 с.
5. Формалев В.Ф., Колесник С. А. Сопряженный теплоперенос между пристенными газодинамическими течениями и анизотропными телами // Теплофизика высоких температур. 2007. Т. 45. № 1. С. 85-93.
6. Формалев В.Ф. Метод переменных направлений с экстраполяцией по времени для параболических задач со смешанными производными// Вычислительные технологии. 1996. Т. 1. № 2. 99 с.
7. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967.
600 с.
8. Самарский А. А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.
382 с.
Формалев Владимир Федорович, д-р физ.-мат. наук, проф., /огша1еу38@шаИ.ги, Россия, Москва, Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет),
Колесник Сергей Александрович, д-р физ.-мат. наук, доц., 5егцеу@,оу1оМ.сош, Россия, Москва, Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет),
Кузнецова Екатерина Львовна, д-р физ.-мат. наук, доц., [email protected], Россия, Москва, Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет),
Селин Илья Александрович, канд. физ.-матм. наук, инженер, [email protected], Россия, Москва, Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет),
Рабинский Лев Наумович, д-р физ.-мат. наук, проф., rabinskiy@,mail.ru, Россия, Москва, Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет)
MATHEMATICAL MODELING OF THE HEAT TRANSFER IN LAMINATED
ANISOTROPIC DOMAINS
V.F. Formalev, S.A. Kolesnik, E.L. Kuznetsova, I.A. Selin, L.N. Rabinskiy
A mathematical model of the heat transfer in laminated anisotropic domains with ideal contact on internal abrupt discontinuities of thermal characteristics (matching boundaries) and heat exchange on outer boundaries is proposed for the general media with tensor heat conductivity factors of each layer. It is shown that the normal heat flux vectors and the temperature are continuous while the tangent vectors can be discontinuous, i. e. the heat flux field become discontinuous on the interfaces. The normal heat flux vector is obtained for the free curvilinear boundary of the anisotropic domain; it is can be used with economic numerical methods.
Key words: anisotropic heat conduction, heat conductivity tensor, discontinuities of thermal characteristics, decomposition method.
Formalev Vladimir Fedorovich, doctor of physical and mathematical sciences, professor, ^formalev38@,mail. ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University),
Kolesnik Sergey Alexandrovich, doctor of physical and mathematical sciences, professor, docent, [email protected], Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University),
Kuznetsova Ekaterina Lvovna, doctor of physical and mathematical sciences, docent, [email protected], Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University),
Selin Iliya Alexandrovich, candidate of physical and mathematical sciences, engineer, [email protected], Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University),
Rabinskiy Lev Naumovich, doctor of physical and mathematical sciences, professor, rabinskiy@,mail.ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University)
