CC BY
51
УДК 539.3
Е.Л. Кузнецова
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ ТИПА СТЕФАНА В КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛАХ С ДВУМЯ НЕСТАЦИОНАРНО ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ
Поставлена и аналитически решена задача типа Стефана о теплопереносе с двумя нестационарно подвижными границами, ограничивающими подвижную область разложения связующих композиционных материалов с известными температурами и тепловыми эффектами начала и окончания фазовых превращений. Получены аналитические решения для температурного поля в трех фазах и на их основе определены координаты подвижных границ фазовых превращений. Предложенный подход можно применить к задачам типа Стефана с тремя и более нестационарно подвижными границами. Обсуждаются результаты.
Теплоперенос, задача Стефана, границы подвижные, материалы композиционные, связующих разложение, решения аналитические.
Ye. L. Kuznetsova STEPHAN TYPE PROBLEMS' ANALYTICAL RESEARCH IN COMPOSITE MATERIALS WITH TWO NON-STATIONARY
MOVABLE BORDERS
A Stephan’s type problem of heat transfer in the area of binding agent’s thermal destruction with two non-steady moving boundaries is formulated when the temperatures and calorific effects of start and end points of phase transformations are initially known. The temperature fields in three phases are derived analytically and the phase transform area’s moving boundaries are found.
The developed approach can be appliedfor Stephan’s type problems with three and more moving boundaries.
Heat transfer, Stephan’s problem, moving boundaries, composites, binding agent’s destruction, analytical solutions.
Введение
Известно значительное число физико-химических процессов, в которых под воздействием тепловых источников возникают нестационарно подвижные границы фазовых превращений, положения которых a'priori найти невозможно, а можно определить только после нахождения температурного поля. Такие процессы наблюдаются при разложении связующих композиционных материалов под действием
тепловых потоков, в химических аккумуляторах энергии, при оплавлении-затвердевании тел и т.п. Тепловое состояние тел в таких процессах можно описать, используя условия Стефана на подвижных границах фазовых превращений. Сложность моделирования таких задач заключается в том, что они нелинейны, хотя сами дифференциальные уравнения, описывающие теплоперенос, являются линейными. Ранее на основе общего подхода к моделированию теплового состояния композиционных материалов при высокотемпературном нагружении проблема рассматривалась в [1-5]. Однако в этих работах рассматривалось численное решение задач типа Стефана со многими подвижными границами.
В данной статье поставлена и аналитически решена задача типа Стефана об определении распределения температур в полубесконечной области с двумя нестационарно подвижными границами с использованием следующих предположений: газообразные компоненты на подвижных границах отсутствуют; подвижные границы не пересекаются; скорость движения границ положительна; температуры, тепловые эффекты и теплофизические характеристики (ТФХ) постоянны.
1. Математическая модель
Рассматривается аналитическое решение следующей задачи теории теплопроводности с двумя нестационарно подвижными границами фазовых превращений, моделирующей теплоперенос в композиционных материалах с температурой Т фазовых превращений исходной фазы с теплофизическими характеристиками (ТФХ) ^(1), с(1), р(1), а(1) (фаза 1) и образованием новой (второй) фазы с характеристиками ^(2), с(2), р(2), а(2), а также с температурой Т фазовых превращений
второй фазы в третью с ТФХ ^(3), с(3), р(3), а(3)
2Т(з)
д 2Т
1 дТ
(3)
дх2
а
(3)
ді
(рис. 1):
= 0, 0 < х < х* (), і > 0 ;
(1)
№\сО),рР\аС) №),сЄ),р(2),а( 2)
3 У* 2 1 у,** / 1 1 II о
х*(і)= 2х,ч'й(2)/ х**и 1= 2х2''/й(1)ґ Го
( **(0 > X
Х**(Г)
X—»СО
Рис. 1. Расчетная схема
д 2Т(2) 1 дТ(2) */Ч »»/Ч
■ях^—(^“дг=0 х Т) <х <х Т^ ^ >0;
дх а - ' дt
д 2Т(1) 1 дТ(1)
дх2 а(1) дt
= 0, х** (t) < х < да, t > 0 ;
— А(3) — А(2)
дТ
'(3)
дх
дТ(2)
+
А(2).
дТ
(2)
х* (t )-0
дх
+ А
(1)
дх
дТ(1)
= 0*р{2)х*^), х = х*(), t > 0 ;
х=х (t)—0
Т(3)
х=х* (t )-0
дх
= Т(2)
= б**р(1)х**(t), х = х**(t), t > 0 ;
* (t )+0
х* (t )+0
= Т*, х = х*(t), t > 0;
Т Т
** = Т(1)| ** = Т**, х = х** (t), t > 0;
; (t)—0 1х=х (t )+0
Т(0,0= Т.„ х = 0, t > 0 ;
Т(да,t) = Т0, х = да, t > 0;
Т(х,0) = Т0, х е (0, да); х*(0)= 0; х**(0)= 0, t = 0.
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8) (9)
(10)
Здесь А, с, р, а, Т, 0 - теплопроводность, теплоемкость, плотность,
температуропроводность, температура, теплота фазовых превращений соответственно.
Полагая известными функции х (^, х (^, решение задачи (1)-(3), (6)-(10) будет иметь вид:
...............................х" (t)
Т (1)(х, t ) = Т *
1 — ег/
( _х_ Л
у + Т
( ~(Л V Т°'
ег/
х
2л[аТ)
— ег/
1—ег/
х
* Т)
**
1—ег/
г)
2л1аТ)
(11)
х** () < х < да, t > 0;
х
Т (2)(х, t ) = •
Т ег/
**
— Т ’ег/
(<)
2л/аТ)
+
(т * — Т **)г/1
х
^л/ат^)7
л
ег/
х
г)
— ег/
• (г)
(12)
** х Т) < х < х
Т), t > 0;
Т (3|(х, Г )= Т.,—(г., — Т *)-
ег/
( х Л
2^[aТ)t
() л
^, 0 < х < х*(t), t > 0.
(13)
ег/
2^
В зависимостях (11)-(13) координаты х (t), х (/) подвижных границ неизвестны. Для их определения имеются два краевых условия стефановского типа (4) и (5). Из представления решений (11)-(13) ясно, что зависимости х (^ и х (^ должны быть пропорциональны ^jt, т.е.
х** (t) = х 2 • 2^, (14)
х*(t) = Х1 • 2л/аТ¥ , (15)
причем, поскольку х**(^ > х*(^ для любых моментов времени, то постоянные Х1 и Х2 должны удовлетворять неравенству х2 >Х1. В случае представления (14), (15) решения (11)-(13) теперь примут форму
х=х
х
Т(1) (х, і, X 2 )= Т *
1 - ег/
2л] а (1)І
е/
1 - ег/ (Х2)
- + То
2д/ а(і)і
- ег/ (Х 2 )
х** (і) < х < да, і > 0;
Т **ег/ (хі)- Т *ег/
Т (2)(, і, Хі, Х2 ) = ■
X:
а
(і)^
а
(2)
1 - ег/ (Х 2 )
+ (* - Т** )/(
(16)
х
2Ш
Л
ег/ (Х1)- ег/
(
а
Ч а2)
V У
(17)
* / \ * х () < х < х
() і > 0;
Т (3)(х, і, X, ) = Т„ -( - Т *)
ег/
2л/а(з)
чХ1 а(3)
^, 0 < х < х*(), і > 0.
(18)
ег/
У
Для нахождения х1 и х2 подставим решения (16)-(18) в краевые условия (4), (5), получим следующую систему двух трансцендентных уравнений относительно хь Х2:
¥! ( Х2 )= С-
ехр
' 2 а(2)^
Х1 а(3) , V У
Ґ
ег/
Х
І
а
(2 Л
- в-
ехр
(-Х2)
а
(3)
(
¥и (Xl, Х2 ) = Е-
ехр
X 2
а
ег/
(1Л
X 2
а
(1)^
(19)
а
(2)
- ег/ (Х1)
2 а(2)
V У
ег/ (х. )
-^ ехр(-Х2)-X2 = 0,
ег/
Х2
1 - ег/(Х2 )
(20)
Е =
С =
^(2)с(2)р(2)с(1) Т'* - Т** = с(1) Т** - Т0 ;
5 І --к ** 5
л/п 0
с(2) Т* - Т**
(1)^(1)
б
^(3)с(3)р(3)с(2) Тл - Т*
в =
п^(2)р(2) 0* ’ ТЛ б
Поскольку F](хl, Х2), F^/(х1, Х2) - дифференцируемые функции, то для нахождения XI, Х2 можно применить итерационный процесс Ньютона (при условии, что на каждой итерации якобиевы матрицы системы (19), (20) - невырожденны). Однако для применения итерационных процедур необходимо найти начальное приближение вектора неизвестных
(х10 \ х20 ) ) . Для системы двух уравнений это можно сделать графически, построив кривые F/(Xl, Х2) = 0, F^/(Xl, Х2) = 0 и найдя точку их пересечения; при этом каждую точку на плоскости Х10Х2 для каждой кривой необходимо находить итерационным методом из соответствующего уравнения (19) или (20). Найденную точку пересечения принимаем в
качестве начального вектора ((0), х20)) .
Подставляя далее найденные значения Х1, Х2 и теплофизические характеристики в решения (16)-(18), получим нестационарное температурное поле в трех областях с двумя нестационарно подвижными границами.
*
Сложность решения системы (19), (20) двух
заключается в том, что компоненты якобиевой матрицы
д^1 (Х^ Х2) дР1 (Х^ Х2)
трансцендентных уравнений
_ дХ1 дХ2 _
имеют очень большие значения производных в окрестности вектора-решения (хь Х2)Т и незначительные колебания итерационных значений Х1, Х2 приводят к значительным колебаниям элементов этой матрицы, что может уводить расчеты от решения (х1, Х2)Т и
приводить к аварийному останову. Поэтому компоненты начального вектора (х (0), х20 ]!
необходимо вычислять с высокой точностью с отклонением от точного вектора (хь Х2)Т в несколько процентов.
Для варьируемых значений б , б , Т , Т и следующей системы входных данных:
^(1) = ^(2) = ^(3) =Л, = 0,01 кВт/мК; с(1) = с(2) = с(3) = с = 1,5 кДж/кг-К; р(1) = р(2) = р(3) = р = 2000 кг/м3;
а(1) = а<2> = а(3) = а = А = I ,Ш-6 м2/с, ср 3
Т0 = 300 К; Ты = 2000 К;
х (0) = 0 м; х (0) = 0 м, получены результаты решения задачи (1)-(10) в виде распределения температур и координат х (і), х (і) подвижных границ, представленных на рис. 2-5.
Рис. 2. Распределение температур в трех областях, ограниченных подвижными границами Q = Q* = Q = 100 кДж/кг, Т = 900 К, Т = 600 К
Рис. 3. Распределение температур в трех областях, ограниченных подвижными границами х*(0, х**(/): О = О = О** = 100 кДж/кг, 7* = 1300 К, 7** = 600 К
Рис. 4. Изменение координат нестационарно подвижных границ х (0, х (/) при Т = 1200 К, Т = 600
К:
* ** * ** * ** а - о = О = о = 600 кДж/кг; б - О = О = О = 1000 кДж/кг; в - О = О = О = 1400 кДж/кг
Рис. 5. Изменение координат нестационарно подвижных границ х (t), х (t) при Q = Q* = Q = 1000 кДж/кг: а - Т = 900 К, Т" = 600 К; б - Т* = 1100 К, Т** = 600 К; в - Т* = 1300 К, Т" = 600 К
На рис. 2, 3 представлены температурные поля в трех областях для случая Q = Q* = = Q = 1000 кДж/кг при различных температурах Т и Т в различные моменты времени.
тт */\**/\
На рисунках четко прослеживаются положения границ х (t) и х (t) по разрыву касательных к графикам функций, причем если разница АТ** = Т* - Т** мала (АТ** = 300 К на рис. 2), то профили температур находятся на более близком расстоянии друг от друга по сравнению со случаем АТ = 700 К на рис. 3. При этом скорость движения границ в существенной степени зависит от уровня температур Т и Т и теплот фазовых превращений Q и Q .
На рис. 4, 5 представлены координаты подвижных границ х (t) и х (t), причем на рис. 4 приведены результаты при фиксированных Т и Т и варьируемых значениях Q = Q = = Q , а на рис. 5 - аналогичные результаты при фиксированном значении Q = Q = Q** и варьируемых значениях Т и Г. Из рисунков видно, что при фиксированных значениях Т и Т и монотонно возрастающих значениях Q = Q = Q (рис. 4) скорости движения границ х (t) и х (t) монотонно убывают.
Наоборот, при фиксированных значениях Q = Q = Q , Т и монотонно возрастающих Т (рис. 5) скорость движения границы х (t) монотонно убывает, а скорость движения границы х**(^ монотонно возрастает (несмотря на то, что Т = 600 К = const), что является неожиданным результатом.
Выводы
Поставлена и аналитически решена задача типа Стефана с двумя нестационарно подвижными границами. Анализ полученных результатов показал, что температурные профили в точках х (t) и х (t) имеют изломы касательных в соответствии с условиями Стефана, а скорости движения границ в существенной степени влияют друг на друга.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 08-08-00880-а и грантов Президента Российской Федерации МК-646.2008.8, НШ-4337.2008.8.
ЛИТЕРАТУРА
1. Формалев В.Ф. Общий подход к моделированию теплового состояния композиционных материалов при высокотемпературном нагружении / В. Ф. Формалев, Г.В. Федотенков, Ек.Л. Кузнецова // Механика композиционных материалов и конструкций. 2006. Т. 12. № 1. С. 141-156.
2. Карслоу Г. Теплопроводность твердых тел / Г. Карслоу, Д. Егер. М.: Наука, 1964.
487 с.
3. Формалев В. Ф. Моделирование теплового состояния композиционных материалов / В.Ф. Формалев, С.А. Колесник, С.В. Миканев // Теплофизика высоких температур. 2003. Т. 41. № 6. С. 335-341.
4. Кузнецова Ек. Л. Математическое моделирование тепломассопереноса в композиционных материалах при высокоинтенсивном нагреве: дис. ... канд. техн. наук / Ек.Л. Кузнецова. М., 2006. 138 с.
5. Формалев В. Ф. Многомерный теплоперенос при наличии фазовых переходов в анизотропных композиционных материалах / В.Ф. Формалев, Ек.Л. Кузнецова // Механика композиционных материалов и конструкций. 2007. Т. 13. № 4. С. 129-141.
Кузнецова Екатерина Львовна - Kuznetsova Yekaterina Lvovna -
кандидат физико-математических наук, Candidate of Sciences in Physics
доцент кафедры and Mathematics, Assistant Professor
«Прикладная математика и механика» of the Department of «Applied Mathematics
Московского авиационного института and Mechanics» of Moscow Aviation Institute
(государственного технического университета)(State Technical University)
Статья поступила в редакцию 09.12.09, принята к опубликованию 25.03.10
