Восстановление параметров теплообмена и абляции стенки по данным температурных измерений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 536.24.08

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ТЕПЛООБМЕНА И АБЛЯЦИИ СТЕНКИ ПО ДАННЫМ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

В.Г. КОТЕЛЬНИКОВ

Петербургский государственный университет путей сообщения (ПГУПС-ЛИИЖТ), Санкт-Петербург, Россия

АННОТАЦИЯ. Представлены метод, алгоритмы и результаты численного решения обратной задачи нестационарной теплопроводности при абляции плоской стенки. При известных теплофизических характеристиках материала, зависящих от температуры, удельной теплоте и температуре фазового перехода по измеренным на некотором удалении от нагреваемой поверхности температурам стенки восстанавливаются плотность теплового потока на границе во все время процесса и закон перемещения этой границы в период абляции стенки. Точность результатов оценивания изменяющихся во времени искомых параметров процесса находится на практически приемлемом уровне. Это свидетельствует о состоятельности предложенных алгоритмов в обработке экспериментальных данных.

1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА

Абляция является сложным физико-химическим процессом взаимодействия потока горячего газа с материалом поверхности твердого тела. В результате этого процесса происходит унос вещества с поверхности путем эрозии, оплавления или сублимации материала. В модельном представлении процесса абляции считается, что образующийся расплав немедленно удаляется (срывается высокоскоростным потоком газа), а на границе фазового перехода устанавливается температура Тт, равная температуре плавления (разрушения) материала стенки.

Теоретическое рассмотрение процесса о распространении тепла при наличии фазового перехода и о скорости движения границы движения фаз приводит к различным вариантам постановки задачи Стефана. Такие задачи возникают во многих областях техники. Примером тому являются процессы литья металлов, промерзание грунтов, образование льда, абляция поверхности летательного аппарата, эрозия внутренней поверхности ствола при выстреле и др. Эти задачи существенно нелинейны и характеризуются наличием перемещающейся границы, положение которой заранее неизвестно.

Большой проблемой расчета температурных полей в разрушающихся теплозащитных материалах является неопределенность их теплофизических свойств (коэффициента теплопроводности А, удельной теплоемкости Ср, плотности р), зависящих как от температуры, так и от скорости нагрева [1]. Для композиционных теплозащитных материалов, относящихся к классу пористых веществ с переменной структурой и внутренним тепловыделением, характерно наличие двух фронтов уноса массы: поверхностного и внутреннего [2, 3]. Поверхностный унос определяет изменяющуюся толщину теплозащитного покрытия (ТЗП), а внутренний (термодеструкция связующего) задает глубину слоя с измененной структурой. Соотношение этих толщин зависит от правильности учета как многочисленных внешних параметров (параметров набегающего газового потока: скорости, температуры, давления), так и внутренних параметров: теплофизических характеристик, температуры разрушающейся поверхности, темпа изменения температуры подповерхностного слоя. При этом внешние и внутренние параметры влияют друг на друга и могут явиться характеристиками поверхностного и внутреннего уносов массы материала одновременно [3].

Существуют различные математические модели, описывающие перенос тепла в таких материалах. В этих моделях термическое разложение связующего описывается уравнением аррениусовского типа (изотермическим или неизотермическим) [4, 5, 6]. Сложность использования этого уравнения заключается в неопределенности значений его параметров (пред-экспоненциальный множитель, энергия активации, порядок реакции).

Сложность и взаимосвязанность физических процессов при нестационарном нагреве и уносе разрушающихся ТЗП приводит к необходимости проведения многочисленных экспериментов по одновременному определению множества теплофизических параметров. При этом снимаются проблемы моделирования структуры материала и протекающих в нем процессов. Однако возникает новая задача разработки специальных методов обработки результатов измерений, способных оперировать с большим объемом комплексной информации.

Изменения температуры во внутренних точках материала, зафиксированные в опыте, содержат количественную информацию о действующих величинах, теплового потока на нагреваемой границе стенки и о законе движения этой границы в случае уноса материала при его разрушении. Можно раскрыть эту информацию и воспользоваться ею при проектировании систем теплозащиты, если применить к обработке результатов измерений температуры математический аппарат решения граничных обратных задач теплопроводности (ОЗТ).

Обзор и анализ существующих методов решения ОЗТ [7, 8, 9, 10, 11] показал, что в литературе нет сведений о результатах применения методов ОЗТ как средства одно-

временной параметрической идентификации математической модели процессов нестационарного нагрева и уноса материала ТЗП. Очевидно, это связано со сложностью задачи и возможно с неудачным выбором оператора преобразования в модели.

В монографии Д.Ф. Симбирского [10] приведены результаты решения подобной задачи, полученные с применением алгоритмов, построенных на основе субоптимального фильтра Калмана для дифференциально-разностных уравнений и оптимального оценивания по методу наименьших квадратов. Рассмотрен случай ступенчатого нагрева ТЗП (материал А12Оъ), когда выделение (поглощение) тепла при химических реакциях на поверхности покрытия, а также количество тепла, уносимое с продуктами разложения, пренебрежимо мало в сравнении с количеством тепла, поступающим путем конвективного теплообмена с окружающей средой. Априори известно, что разрушение материала покрытия происходит равномерно с постоянной скоростью (квазистационарный режим), коэффициент теплоотдачи и температура газа набегающего потока постоянны и не зависят от времени. В качестве исходной информации для решения ОЗТ используются данные показаний двух термопар, одна из которых расположена на теплоизолированной границе покрытия, а другая в толще материала. В показаниях термопар присутствуют помехи (шумы). Погрешность восстановления искомых параметров составила: для коэффициента теплоотдачи ~5%, для температуры среды ~3%, для скорости уноса-10%.

Задача, решенная в [10], носит модельный характер, т.к. обычно на практике априорная информация о поведении граничных функций (плотности теплового потока, скорости уноса) бывает неизвестна.

В монографии Н.И.Никитенко [11] приведено описание алгоритма для решения геометрической ОЗТ, в которой по известным тепловым условиям на границах стенки требуется определить закон перемещения я(т) нагреваемой поверхности. В [8] приведено описание алгоритмов решения ОЗТ для областей с подвижными границами при постоянных теплофизических характеристиках материала.

Таким образом, существующий на сегодняшний день математический аппарат решения ОЗТ требует дальнейшего развития в части применения его к решению задач параметрической идентификации математических моделей процессов нестационарного нагрева и уноса материала ТЗП.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Сложность и, в связи с этим, недостаточная изученность взаимосвязанных физико-химических процессов, протекающих при нестационарном нагреве и уносе разрушающихся теплозащитных материалов, с одной стороны, и необходимость в практическом

решении задач проектирования теплозащиты с другой стороны вынуждают исследователей к поиску компромиссных путей решения этой научной проблемы. Компромисс сводится к выбору рационального сочетания объема экспериментальных исследований и степени сложности математических моделей, положенных в основу обработки экспериментальной информации. Компромисс состоит и в том, что простые модели сложных процессов требуют, как правило, большого объема экспериментальной информации узкого класса параметров, а сложные модели - малого объема, но широкого класса параметров. В сложившихся обстоятельствах проблему идентификации тепловых граничных условий и уноса материала ТЗП по данным измерений температуры во внутренних точках тела целесообразно разделить на две задачи, в исходной математической постановке которых используется классическое уравнение теплопроводности Фурье.

Первая задача, имеющая основную направленность на решение проблемы, (основная задача) состоит в определении плотности теплового потока на нагреваемой границе стенки и закона движения этой границы в процессе уноса материала при известных теплофизических характеристиках (ТФХ), температуре разрушения, удельной теплоте фазового перехода материала и результатах измерения температуры во внутренних точках тела.

Вторая задача, подчиненная первой, (вспомогательная) состоит в определении ТФХ, температуры разрушения, удельной теплоты фазового перехода материала по данным измерений температуры во внутренних точках тела и известных уровнях теплового воздействия и уноса материала стенки.

Обе задачи одинаково актуальны в теории проектирования теплозащиты, однако каждая из задач имеет свою специфику, требует различных методов решения и, в соответствие с этим, представляет собой отдельную самостоятельную область исследований. По классификации, принятой в [7, 8], первую задачу следует отнести к классу граничных ОЗТ, а вторую - к классу коэффициентных ОЗТ, причем обе задачи существенно усложнены необходимостью учета подвижности одной из границ рассматриваемой области решения.

В настоящей работе сосредоточено внимание на решении основной задачи. В общем случае ее математическая постановка должна допускать возможные зависимости ТФХ материала от температуры и скорости нагрева, а также непостоянство температуры разрушения и удельной теплоты фазового перехода во времени при известных их законах изменения. С учетом этого должны быть построены и соответствующие алгоритмы реализации математической модели.

Сформулируем следующую задачу.

На всем периоде времени работы ТЗП известны результаты измерений температуры в двух точках х = х0 (хп<х0<х}) и х = х} (х0 < хх < х*) по толщине стен-

*

ки5 нагреваемой со стороны поверхности х = хп и охлаждаемой при х = хп. Известны

свойства материала ТЗП: теплофизические характеристики Я, Ср9 р,, температура разрушения Тпь удельная теплота фазового перехода L, которые в общем случае могут быть функциями температуры, скорости нагрева, времени и других переменных процесса.

Требуется определить: плотность теплового потока q(xn,z) на нагреваемой границе стенки во все время работы ТЗП, моменты времени возможных начала и конца процесса абляции, толщину проаблировавшего слоя s(z) и скорость абляции v(r) = ds/ dz .

Для решения поставленной задачи воспользуемся методом функциональной аппроксимации с поинтервальным (по времени) оцениванием параметров [12].

Пусть по измеренным температурам Гэ(х0,г) и Гэ(х*9г) во внутренней х=х0 и

*

поверхностной х = хп точках стенки (рис.1), нагреваемой со стороны поверхности

х=хп и охлаждаемой со стороны х = х*, требуется определить зависимости от времени плотности теплового потока g(xw?r), температуры Г(х,?,г), толщины проаблировавшего слоя s(z) - хп (г) - х(0) и скорости перемещения границы v(r) = ds / dz.

В начальный момент времени процесса т= 0 температура стенки Г(х,0) постоянна и ниже температуры Тт фазового перехода материала. Предабляционный период времени 0<т<тт продолжается до тех пор, пока температура Т(хп, z) на нагреваемой по-

Рис. 1. Схема модели процесса абляции стенки

верхности стенки не достигнет температуры Тт фазового перехода материала. С этого

момента времени гт предабляционный период считается завершенным и начинается

период абляции. В период абляции граница расплава (фронт абляции) х=хп(т) перемещается внутрь стенки с заранее неизвестной скоростью, исходя из баланса энергии на границе.

3. РЕШЕНИЕ В ПРЕДАБЛЯЦИОННЫЙ ПЕРИОД ВРЕМЕНИ ПРОЦЕССА

Принимая в первом приближении ТФХ материала постоянными, решение задачи при двухстороннем нагреве (охлаждении) стенки:

дгТ дТ _ а•——= 0,

дх2 Зг

(1)

а = Л/с р, т>0, хп<х<хп;

Т(х, 0) = 0;

(2)

Я

дТ

дх

х=х,

(3)

т(х*п,т)=тэ(х*п,т)

(4)

можно представить на основании принципа суперпозиции [13] как сумму решений (рис. 2) двух более простых задач:

Цх,т)

ТсХх,т) + ТВ(х,т)

////А V

Рис. 2. К применению принципа суперпозиции

Г(х, т) = Тс (х, т) + TD (х, г), где Тс (х, т) - решение краевой задачи (1), (2), (3) и

Т

(*>)=0, (5)

а Td(x,t) - решение краевой задачи (1), (2), (4) и

аг

Sx

= 0. (6)

х=хп

Для общности решения будем исходить из того, что любую, сколь угодно сложную, зависимость от времени плотности теплового потока g(x„,r), можно аппроксимировать кусочно (в пределах выделенного к-го интервала времени) полиномиальной зависимостью вида:

M

q(xn, т) + X Вом ■ (т ~ 4-1 У'5'", (7)

пг=1

где хк_х <т<тк\ т0=0;

при к=\, когда т=0, 1,2,..., А/, = J501,

/<*-! M

апри к> 1, когда т=1, 2, 3,..., M £0;/с =Д0;1 + "^-iP".

к=\ /«=1

Тогда решение задачи Тс (х, г) с граничной функцией д(хп, г) в виде (7) на основании принципа суперпозиции может быть получено в следующем виде [14, 15]:

Ч-1 < ^ * Тк ТС (*> О = Î (*> + S ' 'о, 5«;* (*> * " ) > (8)

m

где при к= 1, когда /и=0, 1, 2,..., М, Г^(х,г)=0, апри к>1, когда т=\,2,...,М, Т*к{х,т) - температурное поле при решении задачи (1), (2), (3), (5), когда q(xn,r) задается в форме (7) при т<тк-ь а ПРИ тк-\ <т -тк ci(xn >г) = я{хп > r/t-i ) = const. {0,5тАх'т~тк-\) ~ решения частных задач (1), (2), (3), (5), ко-

гда q{xn, г)= (г - тк_х )0'5'".

Решение (8) прямой задачи Тс (х, г) может быть использовано для отыскания

граничной функции д(хп,т) в форме (7). Для этого необходимо преобразовать исходную информацию об измеренных в опыте температурах Тэ(х0,т) и Тэ[хп,т) следующим образом.

1. Используя данные Гэ(х*,г), решить вспомогательную прямую задачу Тв (х, г) по определению Т0 (х0 , т).

2. Имея в виду, что Гс(х,г) = Г(х,г)- Г0(х,г), измеренную в опыте температуру Тэ (х0, т) перевести в задачу Тс (х, т) по формуле:

тэ(хо>т) = тэ(хо>г)-то(хо>т)-тк(хо>т)'

Теперь на основании (8) можно записать решение для точки х=х0 с измеренной температурой:

*к-1 <т^тк тэ(хо>т)=Т,Вом -(0,5»гЛх0>т-тк-\)' (9)

т

Следовательно, коэффициенты В^ 5пгк полинома (7) должны рассматриваться и отыскиваться как коэффициенты аппроксимирующего «приведенную» экспериментальную температуру Гэ(х0,г) многочлена вида (9). Поскольку из решения частных задач температуры (хо>г ~~ Тк-\) известны, то удовлетворительная аппроксима-

ция «приведенных» экспериментальных температур Т^(х0,т) достигается путем применения способа наименьших квадратов. После вычисления коэффициентов В0 5 к из системы нормальных уравнений плотность теплового потока д{хп9т) определяется по формуле (7), а температура Т(хп9т) - в результате численного решения задачи (1) -=- (4) с восстановленной функцией д(хп,т).

Неустойчивость решения обратной задачи описанным здесь методом проявляется в возможной ненадежности граничных функций и Т(хп9т) на концах выбран-

ных интервалов времени. Для устранения влияния зоны ненадежности на результаты решения задачи необходимо осуществить частичное перекрытие каждого предыдущего интервала времени последующим, начальный участок которого включает в себя эту зону. Величина минимально необходимого перекрытия Дгперекр устанавливается путем пробных решений.

Блок-схема алгоритма решения ОЗТ в предабляционный период времени процесса показана на рис. 3. Итерационный процесс строится на чередовании решений линейной обратной и нелинейной прямой задач.

Ввод исходных данных

Итерационный процесс

На интервале времени гА._, <т<тк

«Исправление» экспериментальной температуры

7э(*о>г) =

= Тэ(х0,т)-Тп{хи,т)-

Решение вспомогательной прямой задачи по определению TD{х0,т) при То(х,0)=То(х,т*к), q(xn?r) = 0 и г(х*,г)=гэ(х*,г). На 1-й итерации: Я, Ср, р - const, на последующих итерациях: А = Я(х, г),

ср = ср (х, г), р = р(х, т). Запоминание TD (х0, г) и поля

температуры TD(x,т*к) в момент времени т*к = тк -Дгперекр на последней итерации

Решение частных прямых задач по определению 'о,5///(*о>т) при /7?=0, 1,2, если к=\\ ш= 1,2, ...,

если к> 1; /(дг,0)=0; q(xn, т) = г0'5'"; /(х*, г) = 0.

На 1-й итерации: Я, Ср, р - const; на последующих итерациях: Я = Я(х, г), ср = ¿Дх,г), р = /?(х,г).

Вычисление коэффициентов

Определение гранич-ной функции

Переход к следующему интервалу времени Атк

Решение прямой задачи по определению т(ху т) при

я(х*Л Тэ(х*,т)9 Л{т),ср{т\р(т\т{х,0)=г(х,г;ч); фиксация законов изменения ТФХ: Я = Я(х, т\ ср = ср (х, г), р = /э(х, г). Запоминание поля температуры г(х, г^) в момент времени г^ = тк - Аг_____ на последней итерации

лерекр

Подготовка условий к продолжению решения задачи на следующем интервале Атк времени оценивания граничной функции плотности теплового потока: решение

прямой задачи по определению Тк (.х, т) при Тк (х,0) = Тк (л:, ), Тк (х*, г)= 0 ,

для гА*_, <т<г*к q(x„,г) = q(xn,г), Я = Я(х,г),ср = ср(х,г), р = р(х,г);

для т*к <т< тк+1 q(x„, г) = ¿/(х,,, ^ )= const, Я, ср, р - со/м/.

Запоминание поля температуры и значений г/(х0,г) при г^<г<гл+)

Рис.3. Блок-схема алгоритма решения ОЗТ в предабляционный период времени процесса

Решения нелинейных прямых задач в общем алгоритме необходимы как для определения Т{хп9т)9 так и для извлечения информации по ТФХ материала А(х,г),

Ср(х,т)9 р(х9т) как функций координат пространства и времени. В этом состоит суть преобразования нелинейной задачи к линейной с целью последующего применения принципа суперпозиции, необходимого для решения ОЗТ.

4. РЕШЕНИЕ ДЛЯ ПЕРИОДА АБЛЯЦИИ

Начало процесса абляции фиксируется по моменту времени т=тт достижения температуры поверхности величины, равной температуре фазового превращения материала. В этот момент времени фиксируются и «запоминаются» массивы информации Г(х, тт ) и TD (х, тт) и в работу включается алгоритм, блок-схема которого представлена на рис.4.

Сохраняется основная направленность алгоритма на определение плотности теплового потока на границе стенки из решения ОЗТ, только теперь уже с учетом движения этой границы. Параметры движения: перемещение s(r) и скорость v(r) = ds/dr

устанавливаются в результате последовательных приближений (внешнего итерационного цикла решения ОЗТ), согласованных с внутренними итерациями на уровне решения прямых задач с известным (изменяющимся в процессе приближений) законом изменения оцениваемой плотности теплового потока q(xn, г) на границе. На рис.4 приведена блок-схема алгоритма идентификации параметров процесса абляции стенки

только для одного интервала времени тт <т <тр. Решение на последующих интер-

* *

валах времени тр <т< гр+1, где тр = тр - А т псрскр, осуществляется аналогично.

*

5. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ

Тестовые исходные данные для решения задачи идентификации параметров нагрева и уноса материала стенки по данным температурных измерений были получены путем решения прямой задачи нестационарной теплопроводности с известными граничными условиями с учетом абляции стенки и при ТФХ материала, зависящих от температуры. В случае двухстороннего нагрева (охлаждения) стенки для решения граничной ОЗТ требуются данные измерений температуры во времени, как минимум, в двух точках по толщине стенки. Пусть эти точки расположены на расстояниях

(х0 -хп)/(хп -х/?) = 0,75 и 1,0 от поверхности нагрева, т.е. первая точка находится внутри материала на глубине У* первоначальной толщины стенки от нагреваемой границы, а вторая точка расположена на охлаждаемой поверхности х = х*. Имитация пог-

Подготовка к входу в итерационный процесс (формирование 1-го приближения массива искомых параметров): решение прямой задачи по определению Тк(х9т) при тш <т<тр

д{х„,т) = д(хп,т,„) =со№\ Т*к (х,0) = Тк(х,г,„) = Т(х9т„,)-Тй(х,г„,), Т*к(х*п,т)= 0;

Тк{хп>т)=Тш -Т1Лхп>тт)=соп^ >с<7). Итерационный процесс вычисления переме-

щения границы с аппроксимацией поля температуры на новые расчетные узлы. Фиксация зако

нов изменения ¿(г) и ТФХ: Л = Я(х, т\ с = с (х, г), р = р(х9 т). Запоминание значений 7Цх0, г)

На интервале времени т,„ <г<тп

Решение вспомогательной прямой задачи по определению Т0 (х0, г) при Т0 (х,0) = Т0 (х, т„,), Т0 (х* ,т)=Тэ (х*, т), д(хп, г) =0, = я(т) , Л = л(ху г), ср = ср (х, т\ р = р(ху т) Запоминание значений Тп (х0, г) и поля температуры Т0 (х, г*,) в момент времени г* = тр - А т |1срскр на последней итерации

нет

итерация

«Исправление» экспериментальной температуры

Решение частных прямых задач по определе нию t05m(х0,г) при /и=1,2,3,...;/(х,0)=0;

Вычисление коэф фициентов J?0>5ш.к.

Определение гра ничной функции

?(*«>О

Решение прямой задачи по определению

„) = const, s=s(t), Л = Я(х, г), /?(х, г). Запоминание значений

Решение прямой задачи по определению Т{х,т) при д{хп9т)9

Тэ (х;, г), Д(Г), с, (Г), Р{Т\ т(х,0) = Г(х, г,„); , г) = Ти . Ите-

рационный процесс вычисления перемещения границы с аппроксимацией поля температуры на новые расчетные узлы. Фиксация законов изменения ¿(т) и ТФХ: Л=Л(х,т), ср = ср(х,т\ р = р(хут).

Запоминание поля температуры Т\х9т*р) в момент времени

нет

Последняя итерация ?

Переход к следующему интервалу времени

перекр на последней итерации

Рис. 4. Блок-схема алгоритма идентификации параметров процесса абляции стенки s(t)9 v(r), q(xn9r)

решностей измерений производилась путем обработки расчетных значений температуры в этих точках, полученных из решения прямой задачи, по формулам:

при С= 1,7, где щ - случайные числа при нулевом среднем и единичном среднеквадратичном отклонении. Кроме того, результаты решения прямой задачи Г(хй,г), тт, s(r), v(r) и плотность теплового потока на подвижной границе стенки .q{xn9r) использовались далее для проверки качества решения ОЗТ.

Прямая задача решена при следующих исходных данных:

• материал стенки - титан с ТФХ, зависящими от температуры по данным [16], температура фазового перехода Тт=1671 °С, удельная теплота фазового перехода ¿=314583 Дж/кг [17];

• первоначальная толщина стенки 8 = (х/7 - хп ) = 80 мм;

• начальная температура стенки 0 °С;

• плотность теплового потока на нагреваемой поверхности стенки принималась по [18] как соответствующая характерным тепловым нагрузкам, воспринимаемым оболочкой спускаемого аппарата на траектории входа его в атмосферу Земли с постоянным углом атаки.

q(xn,r)= 0,7-106 - Sini/r • т/1200) Вт/м2

*

• на охлаждаемой поверхности стенки х-хп известны коэффициент теплоотдачи а=4000 Вт/(м2-К) = const и температура окружающей среды Tjg=0 °С = const.

Численное решение задачи получено при следующих параметрах сетки расчетных узлов: N= 80 (количество шагов по толщине стенки); Ах,=0,М0"3 м (первый шаг от нагреваемой поверхности стенки в разбивке ее толщины по закону геометрической прогрессии). Шаги по времени были назначены в соответствии с табл.1.

Таблица 1. Параметры разбивки времени процесса на элементарные шаги

Текущее время процесса т, с Количество равных шагов в интервале Текущее время процесса г, с Количество равных шагов в интервале Текущее время процесса г, с Количество равных шагов в интервале

50 40 550 80 900 2000

100 20 568,45 20 1150 100

300 40 575 100 1200 50

450 30 700 1000 •

По результатам решения прямой задачи время начала процесса абляции тт=568,45 с, время конца процесса абляции Тр=856,26 с. Решение ОЗТ получено при шаге дискретизации измерения температуры 25 с. В каждом интервале оценивания граничных функций использовались 9 последовательно измеренных значений температуры. Величины перекрытий интервалов времени составляли 3 последних значения температуры в предабляционный период времени и 5 последних значений в период абляции стенки. На этапе решения нелинейной ОЗТ в предабляционный период времени на каждом интервале оценивания граничных функций было сделано 4 итерации, а на этапе плавления стенки - 8 итераций. Параметры сетки расчетных узлов при решении ОЗТ: N= 38, Дх,=0,1-10"2 м, Ат=3,125 с = const. Количество членов в аппроксимирующих полиномах принималось равным 4 на первом и 3 на последующих интервалах оценивания граничных функций. Момент начала процесса абляции стенки по результатам решения ОЗТ составил величину тгп =562,5 с.

Результаты идентификации параметров q{xn,z\ Т(хп,т), v(т) по изме-

ренным с погрешностью температурам Тэ(х0,т) и Тэ(х*,т) показаны точками на графиках рис. 5 и 6 в сравнении с контрольными функциями д(хп,т), Т(хп,т), s(z), v(r) решения прямой задачи (сплошные линии).

О 200 400 600 800 1000 1200

Время, с

го о.

го

CL Ф

С

ф

Рис. 5. Результаты идентификации параметров нагрева стенки

16

5 12 5

=т

I 03

в-

ш 8

X ф

3" ф

О) О-

С 4

О

400

v(г / ) ^ .о / 1 ( 1 1 \ о. \ \ \ 1 Л / Д л Д Д 1 ^ д д д

1 ----- )

- - II / V*ф< > • ч \ •

--1-Ъ-К -1- \ • \ % у д -о4^—1- -1--

600

800 Время, с

1000

0,08

|

0,06 I

ГГ X X

со

е-

се

5;

х

а> 3" о

<и о.

О) с л

б о о.

о ^

о

0,04

0,02

0

1200

Рис. 6. Результаты идентификации параметров уноса материала стенки 6. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Из рис. 5 видно, что точность восстановления плотности теплового потока д(хп,т) заметно снижается в период времени абляции стенки. Однако, несмотря на это, вычисленные величины толщины проаблировавшего слоя удовлетворительно согласуются с результатами решения прямой задачи (рис.6). С наибольшими ошибками, как это видно из рис. 6, восстанавливается закон изменения скорости абляции стенки, причем вычисляемые величины V (г) существенно колеблются относительно контрольных значений v(r). По-видимому, такой характер поведения функции у(г) можно объяснить значительной величиной скорости процесса абляции в данном примере, которая оценивается на относительно грубой сетке расчетных узлов при решении ОЗТ с большим шагом счета по времени.

Решение задачи подобного уровня сложности реализовано впервые, а полученные результаты свидетельствуют в пользу их научной и практической значимости. Удовлетворительное согласование идентифицированных параметров с контрольными значениями показывает состоятельность предложенных алгоритмов в обработке данных стендовых и натурных испытаний теплозащитных материалов.

7. ВЫВОДЫ

1. При решении тестовых контрольных задач выявлено, что точность восстановления искомых параметров нагрева и уноса материала стенки в исследуемом процессе зависит от количества дискретных значений измеренной температуры во временном интервале оценивания граничных функций. Учет большего числа измерений приводит к увеличению точности оценивания искомых параметров. Одновременно с этим чрезмерное уменьшение интервала между двумя последовательно измеренными температурами может привести к потере устойчивости и сходимости процесса вычислений.

2. Применение разработанной методики идентификации параметров нагрева и уноса материала стенки по данным температурных измерений, содержащим погрешности, показало, что, несмотря на заметное снижение точности восстановления плотности теплового потока и скорости движения границы у(г) в период абляции стенки, вычисленные величины толщины проаблировавшего слоя ? (г) удовлетворительно согласуются с контрольными результатами. Для повышения точности восстановления д{хп, т) и V (г) в период времени абляции стенки следует уменьшать пространственный и временной шаги сетки в численных решениях прямых задач, участвующих в формировании общего решения задачи идентификации.

3. Точность результатов оценивания параметров находится на практически приемлемом уровне, что позволяет при минимуме исходной информации о сложных физических процессах эффективно применять разработанную методику в проектировании и отработке конструкций теплозащиты и тем самым снижать трудоемкость испытаний в условиях ограниченного финансирования работ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шленский О. Ф. и др. Терморазрушение материалов. Полимеры и композиты при интенсивном нагреве/ О.Ф.Шленский, Н.В.Афанасьев, А.Г.Шашков - М.: Энерго-атомиздат, 1996. 288 с.

2. Полежаев Ю. В., Юревич Ф. Б. Тепловая защита. М.: Энергия, 1976. 392с.

3. Полежаев Ю. В., Киллих В. Е., Нарожный Ю. Г. Проблемы нестационарного прогрева теплозащитных материалов. // Инженерно-физический журнал. 1975. Т. 29. №1. С. 39-44.

4. Шишков А. А., Панин С. Д., Румянцев Е. В. Рабочие процессы в ракетных двигателях твердого топлива. Справочник. М.: Машиностроение, 1989. 240 с.

5. Исаев К. Б. Теплоперенос в разрушающихся при интенсивных односторонних нагревах композиционных материалах. // Инженерно-физический журнал. 1993. Т.65.

№6. С. 645-651.

6. Захаренков В. Ф., Петренко Ю. А., Тюкаев В. И., Ядревская Н. Л. Исследование температурных полей в конструкционных сталях с учетом структурно-фазовых превращений //Инженерно-физический журнал. 1980. Т. 38. №5. С. 894 - 902.

7. Алифанов О. М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988. 280 с.

8. Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988. 288 с.

9. Бек Дж., Блакуэлл Б., Сент-Клэр Ч. мл. Некорректные обратные задачи теплопроводности. М.: Мир, 1989. 312 с.

10. Симбирский Д. Ф. Температурная диагностика двигателей. (Пленочная термометрия и оптимальные оценки). Киев: Техника, 1976. 208 с.

11. Никитенко Н.И. Сопряженные и обратные задачи тепломассообмена. Киев: Наукова думка, 1988.240 с.

12. Котельников В.Г., Муллахметов Р.Х. Решение обратных задач теплопроводности.-СПб.: БГТУ, 1997. 56 с.

13. Пехович А. И., Жидких В. М. Расчеты теплового режима твердых тел. Л.: Энергия,

1976.352 с.

14. Муллахметов Р. X. Применение принципа суперпозиции для решения задач нестационарной теплопроводности с граничной функцией кусочно-полиномиального вида //Известия вузов. Сер. Энергетика. 1985. № 9. С. 71 - 77.

15. Муллахметов Р. X., Котельников В. Г. Обобщенный численный метод решения обратной задачи нестационарной теплопроводности при двухстороннем нагреве оболочек // Инженерно-физический журнал. 1987. Т. 53. №1. С. 159. Деп. в ВИНИТИ 12.02.87, рег.№1053-В87.

16. Зиновьев В.Е. Теплофизические свойства металлов при высоких температурах. М.: Металлургия, 1989. 384 с.

17. Физические величины: Справочник /Под ред. И. С. Григорьева, Е. 3. Мейлихова. М.: Энергоатомиздат, 1991. 1232 с.

18. Панкратов Б. М. Основы теплового проектирования транспортных космических систем. М.: Машиностроение, 1988. 304 с.

SUMMARY. The method, algorithms and results of numerical solution of transitional heat conductivity inverse problem by flat wall ablation are presented. At well-known thermal-physic substance properties, which is temperature function, according to temperature data measuring boundary heat-flow rate and boundary travel rule during wall ablation are reconstructed.