CC BY
169
УДК 517.983
ЗАДАЧА ТИПА КОШИ ДЛЯ АБСТРАКТНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ДРОБНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ АДАМАРА
А.В.ГЛУШАК, ТА.МАНАЕНКОВА
Белгородский государственный университет
e-mail: glushak@bsu.edu.ru
В работе изучается задача типа Коши для дифференциального уравнения, содержащего две различные дробные производные Адамара и доказывается равномерная корректность этой задачи с ограниченным оператором B .
Ключевые слова: дробные производные Адамара, однозначная разрешимость задачи типа
Коши.
Пусть Af “ S - дифференциальный оператор вида
Ml
,А Da
In
-.Ґ*)
содержащий левосторонние дробные производные Адамара порядка се Є (ОД) и /? Є (0.1) [1, с. 250], [2, с. 110]
. , л 1 й г( /, И" й - ^ , ,
АИа+и(О = —------ С— Г (ІП-) и(х)— , СЄ(а,оо),
Г(1-а) М ■'а \ х) 4 ' х 4 ’ '
где Г(-) - гамма-функция Эйлера, а > 0.
В банаховом пространстве Х рассмотрим следующую задачу типа Коши с линейным замкнутым оператором В
= (|п ^ Віі (г), г > а, (1.1)
/ / \ Я ^ \
Дю Ай*;1и(і) = щ, Дт А0&х Ціп- ) о£+и(0) = 0, (1.2)
где
г 1 /Ї ,
Wи<
Г(і-Р)
dx
х
- левосторонний дробный интеграл Адамара порядка 1 - /?.
Специфика постановки начальных условий (1.2) состоит в том, что суммарный порядок производных, по сравнению с уравнением (1.1), уменьшается сначала на 1 в одном условии, а потом еще на а - в другом.
Кроме того, особенностью рассматриваемой задачи является наличие двух условий вида (1.2) даже в том случае, когда О < а + $ < 1. Эта особенность объясняется равенством
-Л ля+£
1Д
0";)
а1л
»1М
а+ ч / _ а+ Г(—я)
Например, в силу этого равенства уравнение (1.2) при ц = у = 0 может быть сведено к неоднородному уравнению
)Я+Р <2 +
+ і^ }
-а-1
и для выделения единственного решения следует задавать два условия, а именно: одно условие
НтлДд^1к(0 = и0
чтобы определить правую часть уравнения, и еще одно условие, чтобы получить задачу типа Коши.
Метод сведения к неоднородному уравнению, по-видимому, менее удобен, т.к. он требует отдельного рассмотрения каждого из случаев 0 < а + /? < 1 и 1 < а + /? < 2.
Заметим, что при В = 0 и ненулевых начальных условиях, задача (1.1), (1.2) принимает вид
п
Пп-
),Лв^ц)(Г> = о.
(^я +
и ее решением является функция
ІІП1 А0^1и(г') = и0, ІІШ ‘40£+1 ((іП- ) о£,и(Г)) = и,,
:^я~ а+ ї^я- \V о / '7 1
Щ
0-1 Г(а-<?)Ц1 /, ел«+^-Ч-1
Г(/?) Ч а/ ■ Г(а)Г(я+^-ч) V Па/
«о /. £
™(1пї
+
что также подтверждает необходимость двух начальных условий.
Примеры решения некоторых конкретных дифференциальных уравнений с дробными производными Адамара могут быть найдены в [2, 3].
Определение 1 . Решением задачи (1.1), (1.2) называется непрерывная при
ґ > а функция и(£) такая, что л1*+^и{
и
'*“(К
представляют собой непрерывно дифференцируемые при ґ > о функции, функция п(ї) принимает значения из D(B) и удовлетворяет (1.1), (1.2).
Определение 2 . Задача (1.1), (1.2) называется равномерно корректной,
если существует заданная на X, коммутирующая с В операторная фунщия (г) и числа М > , о) > 0 такие, что для любого н0 Є О (В) функция Фа'^
является ее единственным решением, и при этом для [і = а + Р + у — д,
у.ч
'КГЧ
- Ип
)||Ви0||, Г-а, (1.3)
Ф
а.р.
(14)
Согласно определению 2, задача (1.1), (1.2) равномерно корректна, если решение этой задачи существует, единственно и, как следует из (1.4), непрерывно зависит от начальных данных равномерно по Г из любого компакта в (а, м). Помимо этого определение 2 содержит дополнительную информацию о порядке стремления решения к начальному элементу (соотношение (3)) и о его поведении при г —* я и ; - х (неравенство (1.4)). Эти дополнительные свойства решения удается установить в рассматриваемом далее случае.
В настоящей работе изучается задача типа Коши для дифференциального уравнения, содержащего две различные дробные производные Адамара. Доказывается равномерная корректность задачи (1.1), (1.2) с ограниченным оператором.
Пусть далее Ь{Х) - пространство линейных ограниченных операторов, действующих из X в X.
Теорема 1. Пусть В Е Ь(А'-) и параметры задачи (1.1), (1.2) удовлетворяют неравенствам @ + у > О, а + /3 + у — д > О, к — 9- Тогда задача (1.1), (1.2) равномерно корректна и при этом
+
(п1-1 г(і+к+лОг(м+;м) \(\п'Х>і+р 1 гнтг (1
"»-1 ^^0Г(о+іі+;іі)Г(в+іі+/)і)/\ а) 01 ( /
ВД |-1 Г(Ч+ц+)^Г{р+^+]ц)
где р = а + (3 + у — д > 0.
Доказательство. Применим к обеим частям уравнения (1.1) оператор А1а+ дробного интегрирования порядка а. Учитывая второе из условий (1.2), получим
ч I -*■ / * >«-!
^4'К) 0-0’
а учитывая первое, будем иметь
-С+
+ Г‘0% Г (|п; У *■<«>? <*■*>
Дальнейшее доказательство будем осуществлять методом последовательных приближений. Пусть
( Л (ш * «О
и„(0 = (ь.- )
ПР)
0=кГ^ +
пю
+ Гн г н‘ о-і г о»: г
Используя интеграл 2.2.4.8 из [3]
/0Г (т — $')а~15Р~1с15 = та+Р~1В(а, (3), т, Ие а.Ие /? > 0 при т = 1,2, ... находим
ьР1
и 1
-ш ъ+
+ Г (■»! )■’?/; О"! Пк Г"
/.КГКГ^Т -
Г(£) Г(£1)Гг№)
к^-1 м0 . в(а.р+г)в(р.а+р+г~ч') /, Г \Я+20+у-<}-1
В и
_ЛП£ V Цр , В{а.0+г)В(Р.а+Р+у-д) /, £ у
V а У Г(^> Г(а)Г2()3) V а )
Г £ V*-1 Л£_ , Г^+^ГСа+р+у-д) / £ л«+2/?+У-Ч-1
V а / Г(£) Г(£)Г(а+£+}')Г(£г+2р+}'-</) \ а ) 0 ’
иг(Г) = Гь- +
' V я / Г(£)
+ —— /Г(1п-/_1(1п-)~Ч- /Х(1п-)Я_1(1п- У В X
Г(я)Г(/?) *а\ х / V а/ х ■’а \ я / V а /
хГГ1пМ^~1ц° I Г^+У>Г^> 1п £\а+2^+У_£г_1 „ \й£
\Ч а / Г(£) Г(^)Г(а+^+у)Г0|+Д) V а) °) б
- (]п I V-1 -11£- X Г(/?+К)Г(я: л *а«+20+К-<|-1
V а ) Г(Р) Г(Р)Г(а+р+у)Г(/1+Р) 1 о) 0
Г(0+у)Г(м)Г(а+20+2г-Ч)Г(2Ю Л С '\а+2Р+К_Ч_1 д2и
Г(Р)Г(а+Р+к)Г01+Р)Г(2а + 2^+2к-Ч)Г(2^+Р) V а / О » ■••«
что в общем случае приводит к формуле
П^х г(^+к+О-1)м)гОА<)0пг-1па ) гп*вт и0
и (Г - и (Г + ,T,,І
т 1У~' ■ г^)Г^=1г(л+ч+0-1)й)г(^+м+0-1)й)
Отметим, что в написанных выше соотношениях для сходимости интегралов нужны условия 13 + у > 0, ц = а+ Р + у — <? > 0.
Отсюда в пределе при ш -* ос имеем следующее представление искомого решения задачи (1.1), (1.2):
"V, (О“о = (1п^ ш +
1 у» /п,-1 ПГ*ТЧ1Ж»Ю \ (,„ ’ У"*®-1 н,„
ГОЗ)^-1 V11;-0 Г(Ч+#1+>#ОГ(0+/*+>#|)Л а /
+
что может быть установлено непосредственной проверкой.
Докажем теперь справедливость соотношений (1.3) и (1.4). Действительно, из (1.5) следует, что
1ІП =
У® /гг»-! г&+г+л*)г0«+;>0 \ Л £ Vм я1 1 = 1 V } = ° Г(ц+(і+ір)Г(Р+іі+Лі)/\ а )
“о
о
Таким образом, равенство (1.3) установлено. Докажем далее оценку (1.4). Из (1.5) выводим неравенство
) фмСО“в-“в
г(р+г)г(р)-гу+г+Ц-1)10ЦЮ Л » Л
- ПР) Л,= 1 Г(Р)Г04+ч)-Г(Д+(|-1)>|)Г(ф+ч)Г(.л-*-Р) \ а)
Для / = 0,1, ■■■ ,1 — 1 справедливо неравенство [ 4, с.73, соотношение (14)]
Г(я—Ч+^)ГОаО
Г(а+^)ГО^-Г) поэтому для достаточно больших г имеем
< 1,
(1.7)
К) <(0-—Ism.SU ^(ь-Э'
при этом мы использовали асимптотическое равенство
1
_2(1 ЛА'ехр^1/®) +
2\), г-* со,
■ (1.8)
которому удовлетворяет функция типа Миттаг-Леффлера Еар(я) (см. формулу (22) на с. 224 из [5]).
Следовательно, неравенство (1.4) установлено, и для доказательства равномерной корректности задачи (1.1), (1.2) с оператором В € осталось
установить единственность решения этой задачи. Предположим, что есть два решения задачи (1.1), (1.2); тогда их разность, которую мы обозначим через и^), является решением задачи (1.1), (1.2) с двумя нулевыми условиями (1.2), учитывая которые, после интегрирования уравнения (1.1) получим
г(«;г(£)
Пусть Г £ [я, я + 8\, 5 > 0, тогда
= —/С(1п- У 1 (1п- ) Ч — /*(1п- )“ 4(1п- )
Г(а)ГГЯ) ■>а\ х / \ а ) х }а\ 5 ) \ а /
(!;■
£
II щ
тах
[ал + <?]
В(я1>'+1)||В||
г\^-1 л * \Я+УЧах
тах
ГЧя)Г(р) [а.а+З]
_ ||а||Г(у+1)Д(Д.а+у-(7 + 1) Г(«+у+1)П(0)
нвнгск+опв+у-ч+г)
Г(в+у+1)Г(^+1) [а.а+<5]
ЯНГНУТ М1КУ-
011 КГ^
тах
[д-Д + й]
тах
< М„
+
тах |
[ал+й]
Выбирая 5 > 0 достаточно малым, получим
шах |
[а.а+5]
< - шах г 1а .я+5]
следовательно, и(^) = 0 на [а, а + 5].
Далее покажем, что £/(г;) = 0 на произвольном отрезке [с, с + 5]. То есть, докажем, что если решение уравнения (1.1) удовлетворяет условиям
! (1.9)
при каком-то с > а, то оно обращается в нуль и на некотором промежутке [с, с 4- 5], где число 5 > 0 будет выбрано, не зависящим от с.
Записав уравнение (1.1) в виде
после интегрирования с учетом нулевых начальных условий (1.9) получим
'•Ь Л г Xя-1 л * \Г
4 ' Г(«)ГСР)
Пусть ? е [с, с + 5], тогда
||В||та)
Ч^/Ч1п1 ) (1п- ) -Г(1п- ) " (ы*- У
>ГГА) •'сЧх/ V а / х ■>с V 5 / V а /
с1$
5
тах
[с.с+6]
СНГНГт^НГ'Шт ■
(110)
и сг— I
Г(сОГ«?)
Используя формулу 2.2.6.1 из [3] и формулы 7.2.1.7, 2.21.1.20 из [6], вычислим интеграл
,0-1/. * \~4ах ГХ /, Л Л*-1/, 5 Vds
> - ли;кг?/го»!)"ю?
=/;кГ0»ЕГт^(ч-гг^.
Учитывая формулу 2.2.6.1 из [3] и вводя функцию w(r) = In- , получим
После замены переменной т = w(.y) с учетом равенства В( 1, пт) = - , получим
= "с‘" /’7 о<
Cf Jw(c) v 4
Г)'' ‘Г
-ітЧІ
W
wW
Г+1
X С
■(.0
dz _ w(c)a+r 4+1 w(t) ^ 1 rl-w(c)/w(t) fw(t)-w(c) 1
_ с ^0 \ w(tj
mo-»w_ у -(1_г)ч-=-сг« x
\ wCt: / 4
И’(с)1_^+>'В(Я+І,р) (w(t)-w(c)
X 2^(1,a +/ + l;a + l;z) rfz
я w(t)*+1 ^
X F3 (a + /? - <?,l.p. l + a + y; I + a + fi; l - 1 - ^
\ №’(c) rt’(t)
(111)
где
г- г > u w л v® WjMiWjWt <^zl
F3(a,a ,b,b ;c;co,z) = 2,; i=0 ' (g) -—.
Если у ^ q, то из (1.10), (2.6) следует неравенство
01 <ма(к
max
[(-,(■+5]
+ 5))a+P max I [c,c+5]
где постоянная M0 > 0 не зависит от с , так как
w(t)
w(c)
если
ayfe < 5 < ал/е3 ,
1 - In-
а
и при этом
І1 и(0 < 1 1
1 И'{Г к(£)
< А
Выбирая в (1.12) 5 > 0 достаточно малым, не зависящим от с , мы убеждаемся в том, что У(£) = 0 на [с, с + 5]. Тем самым доказана единственность решения на любом конечном промежутке. Теорема доказана.
Из теоремы 1 вытекает, в частности, представление
^0.0 С0М0 — (*па ) Еа+р.р
а также предельное представление при /? = 1
1п
/, * \ СГ т 1 \
Фа0ІЮщ = Еа+1л Ціп- ) в)и0 .
Перейдем теперь к изучению задачи
м:
У'-м = О";)
Г. > а,
Ііш 0%,1и(ґ) = 0, Иш £>а+г (Тіп- )
■’Я* а і^а- “т \\ а ) а+
£ Vу пР
(1.13)
(114)
Определение 3 . Задача (1.13), (1.14) называется равномерно корректной,
если существует заданная наХ, коммутирующая с В операторная фунщия ^ (£) и числа М > 1, ы > 0 такие, что для любого цх € О (В) фунщия Ч^ ^ является ее единственным решением, и при этом
Г(я)Г(«+/?-</) Л ГЛ1+« а * -
Г(а-Ч)
НУ
у
УА
// ^ \а+Р~г-ч\ „
О Піп- ) ПВщН, г ^ а,
(1.15)
Ч*
< М
Н)
і \Я+/Ї-Ч-1
Г*.
(1.16)
Теорема 2 . Пусть Б £ £ и параметры задачи (1.13), (1.14) удовлетворяют неравенствам а — д > 0, а + {3 + у — д > 0, у < д. Тогда задача (1.1), (1.2) равномерно корректна, и при этом
Ч1.
«р. У А '
■ 1 Г(й)Г(р-у)
где ц = а+ Р+ у — д> 0.
(«і+1" і (п;,!
Г{д-д + ;д)Грд) Ч Па+м)Г(р-г+м);
Доказательство. Применим к обеим частям уравнения (1.13) оператор дробного интегрирования и, учитывая условия (1.14), получим
ш
Г{а-д) Ці Г{а)Г^-у;
К)
Л-у-1
- ^£КГ(-:Г тГКГ'Ю'*-^. (1.18)
Для дальнейшего доказательства применим метод последовательных приближений. Пусть
„ (гл _ «1 Л_ 1L У^Г_1
г(я№-}0
Г(«-¥) «1 Л_ Г
їй№ю (!п_ 1 +
- я£й£КГ0»:Г
(І5
Г(я)Г(£) ■'а V х ) \ а ) х 'а \ 5 ) \ а ) ",_ху ' 5
Используя интеграл 2.2.4.8 [3], при т = 1,2, ... находим
Г(я-Ч)Г(/|)Г(а-Ч+^) Ви1 (, I \2Р~Г-1
П и° + Г{а)Г(а+/і)Г{/і-г)Г{2/і->')
К У
и (С) = и (О + Г^-Ч)Па-Ч+ИЖа-Ч+2ЮГ^М2^ В2и1
Г(я)Г(я+^)Г(я+2^)Г(^-у)Г(2^-у)Г(3^-у)
что в общем случае приводит к формуле
2». /. Г. \3p-r-1
К)
и (0 = « , (г) + П"1 стці ^1п і ут+1)>| г 1
Отметим, что в написанных выше соотношениях для сходимости интегралов нужны условия а — <7>0, /,1 = а + (3 + у — <? > 0.
Отсюда в пределе при т -* ос имеем следующее представление искомого решения задачи (1.13), (1.14)
ц>^Гг)и =
У Я ' ' 1 Г(а)Г(#1-)г) V, а )
х(и1 + 2Г-1 (П‘-1 )%*„Д
V 1 1-1 К11-'-1 Г(а+/^)ГСи-ГV а) V
Докажем теперь справедливость соотношений (1.15) и (1.16). Действительно, из (1.17) следует
(и,!)14"--^ ч,%ш, -„,11 =
Г(я-ч) V а/ У-Я
2Г Г(.-,^)Г(/» л л. У'в, = 0/л . )")||В«Х||.
,-1 V ■/~1 Г(«+у^|)Г(^-у+у^)/V а/ \\ а / /
когда Г-»я. Таким образом, равенство (1.15) установлено.
Докажем далее оценку (1.16). Из (1.17) выводим неравенство
О";)
l+K-ff
V,
Я.р,
УЯ (
г(д-у)
Г(Я)Г0(-К)
г у**
Г(а-д+р)Г(р)-Г(я-<т+>р)Г(цО (|п^ )
Г («+JI) IXZjl-/) ■ ■ Г (р-р +Ц|)
Учитывая неравенство (1.7), оценим
r]„i
к, а ^ ТГ<?
tV*
'in-)
^ а/
Г((|+1 fr-Y)
< М2ехр (^ln~ ) = Mrw, а> >
Поскольку единственность решения задачи (1.13), (1.14) уже установлена при доказательстве теоремы 1, то тем самым теорема 2 доказана.
В частности, если В Е /.ПО, то
Ч>.
П.Р, 0.0 '
f +4CI+P-I /, *. \К+р \
1 = (,Па) Еа+р,а+р ((ln“ ) S)“l =* ^S+^o.i
Ч-
Работа первого автора выполнена при поддержке РФФИ, проект № 06 - 08 - 96312
Список литературы
1. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. - Минск, Наука и техника, 1987.
2. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and application of fractional differential equations. -Elsevier. 2006.
3. Килбас А.А., Марзан А.А, Титюра А.А. Дробные интегралы и производные типа Адамара и дифференциальные уравнения дробного порядка // ДАН - 2003. - Т. 389, № 6. - С. 734 - 738.
4. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. -М.: Наука, 1983.
5. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. - М.: Наука, 1965.
6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 3. - М.: Наука, 1967.
7. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М: Наука, 1986.
8. Иосида К. Функциональный анализ. - М.: Мир, 1967.
CAUCHY-TYPE PROBLEM FOR AN ABSTRACT DIFFERENTIAL EQUATION WITH HA-DAMARD FRACTIONAL DERIVATIVES
A.V. GLUSHAK AND T.A. MANAENKOVA
Belgorod State University e-mail: glushak@bsu.edu.ru
The well-posedness of a Cauchy-type problem with two Hadamard fractional derivatives and bounded operator is proved.
Key words: Hadamard fractional derivative, one-valued solvability of Cauchy problem.
