Начально-краевая задача для дробного смешанно-составного уравнения с опережающе-запаздывающим аргументом и отражением Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДРОБНОГО СМЕШАННО-СОСТАВНОГО УРАВНЕНИЯ С ОПЕРЕЖАЮЩЕ-ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ И ОТРАЖЕНИЕМ

М.В. БУРЦЕВ, A.4. ЗАРУБИН

Орловский государственный университет e-mail: burtsevmv@orel.ru

Рассмотрена начально- краевая задача для смешанно- составного уравнения с запаздывающим аргументом и отражением. Кроме того, уравнение содержит дробные производные в смысле Римана-Лиувилля. При некоторых предположениях установлена однозначная разрешимость этой задачи.

Ключевые слова: Дробное исчисление, уравнение смешанно-составного типа, отражение, обобщенная функция Миттаг-Леффлера, оператор дробного интегродифференцирования

В области 0=й*и0_и/, где И ~ = V Д,-,

= {(х, С): х > 0, —х < Г < 0}, ^2 = {(*»£):* < 0,.г < Г < 0};

0+ = {(*,{;): |.\-| < +оо,С > 0};/ = {(ж,Г): |.х | < + со, Г = 0} , рассматривается

уравнение смешанно-составного типа

= о, (1.1)

в котором

¥ = Я(г)СО^ + у)+Я(-0,

Х'О = Uxx(x.t) - Df.H(f)+2W( l)U(x,t) - H(t)U(x - T,t) - H(-t - h)U(-x,t +

где 0 < a < 1; n — 1 < (3 < n (n£ N); 0 < y, r = const; Я(£) - функция

Хевисайда; - оператор дробного [1,с.9](в смысле Римана-Лиувилля)

интегродифференцирования

д .4 1 д г*

DgtU(x.t) - dtD°t- U(xft) - г{1_й (^

Интегрированием уравнеия (1.1) по переменной х при t > 0 получено неоднородное уравнение

(1.2)

где

Ер ( a-fi'

Z+DO

Jf = 0

(f>)k'k

r(ak+p)kl

М.В. Бурцев, А.Н. Зарубин. Начально-краевая задача ...

33

- обобщенная функция Миттаг-Леффлера [2, с.45], (р)к - символ Похгаммера [3, с.719]; Г(£) - гамма-функция [3, с.720], для которого исследуется обратная Задача К

Задача Я. Найти функции С;(г), Сі

(I = 1 ,п) и решение

(х, [:) уравнения (1.2) в области В из класса Е С(й ),

Г1 а 0£ги(х,ґ') Є і/а(х,оєс<

,

, удовлетворяющее начально-краевым условиям

х^о+

условиям сопряжения

Ііш 1!

). г >о 0' = !.«);)

1,Г^ Дш и(х, Г) .г Є/,

Ііш £/((хрГ)

),Х Є /

и 0 -

(1.3)

(1.4)

(15)

(16)

где (ж) (г = 1,2) - заданные непрерывные, достаточно гладкие функции,

М(-1),+1“) = 0 0' = 1-2) ;

Доказаны следующие теоремы

Теорема 1. Пусть функция и(г) непрерывна и абсолютно интегрируема на '. — '.т.. -- у- вместе со своими производными;

Тогда существует единственное решение и{х, Г) в области £> + задачи Коши (1.2), (1.5), стремящееся к нулю при х2 + Г2 -*■ -Ьоо ([ж) < -И»,г > 0), представимое в форме

*.0 = /0‘ С,(

-+оо

1(-1

где

20 Лг-тг-р2

О т! ї-тг-^ 12 ^ 4Га

-

- фундаментальное решение задачи Коши (1.2), (1.5), а

/т(Я.О = (»<"+1)-1Ег;(и„(-Я2е«) (т = 0,1,2,...), ЯД,П(£ - функция Фокса [4, с.626].

(17)

34

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

№ 13 (53) 2008

На основании условия сопряжения (1.6) и решения (1.7) задачи Коши (1.2), (1.5) получим функциональное соотношение между и у(х), принесенное на

Г = 0, |х| < +ою из области 0~.

-ОІ

(л)(х — г), \х\ < +эа.

(18)

Г{я) ' ' Г{я)

Теорема 2. Пусть функции (о(х) Є С2 +г-»),-у(ж) Є С(—оо1 +оо),ш(+оо) = 0.

Тогда существует единственное регулярное решение задачи Коши (1.2), (1.5)-(1.6) и оно имеет вид

в области В~

--Х—тН

((—С - тК)2 - ц2)

2ЛШ-1

X

И(-£) (х-і

с

V!

а=. с-

-С — ті

-t-mh

гХ+Г}

>Х-Г1

КС

где уш = (т! Г(т)22ш х) 1.

На основании условий (1.3) и решения задачи Коши (1.2), (1.5)-(1.6) найдем функциональное соотношения между о>(х) и у(х), принесенные из на

Г | . | в виде

VI

И = . ), где

і — со'Сх) 1Н < х < (I + 1)/і; (1.9)

і, ~ Ух

ш(-л + .

-Ї+І1

+\Т1п=1 С-]

т-2

г]ш(

— (—1)т) ^ — тК +

- т/г][тх - - т(2т -

•;&=. (-1 ГгтН(х - тЛ) (х - тИ - От~'(( ~ тЛ)"Ч(-1

М.В. Бурцев, А.Н. Зарубин. Начально-краевая задача

35

Г-Ї-Й

ЬД

.^-2

1 — (-1 )т)- + тА + .

.т-2

[(-1)"Ч + т/і][т.х - (-І)'Ч + т(2т -

+І^іН

С^Сх + тЛ-Л—і-

■'ЗГ+ тй

+

ч^СС-і

й+і

л: > 0] П

й+і

Теорема 3. Пусть (X) Є С{(

Тогда существует единственное решение и(х, £) и С; (гг) (і = 1, гс) задачи Я.

Доказательство.

А. Вопрос существования и единственности регулярного решения (/(а;, С) задачи R сводится с помощью условий сопряжения (1.5) - (1.6) и функциональных соотношений (1.8), (1.9) - (1.10) к разрешимости интегро-дифференциально-разностных уравнений

ш

)а>

- т) + Г(а)^ц(х), Ш< х < (I + 1)/і; а»(х — г) + Г(а)^2/(х), —(/ + 1)/і < х < —Ш\

(I = 0,1,2,... ), в классе функций Є С2(— оо, +оо).

Единственность регулярного решения и(х, ґ) задачи Я следует из того, что однородная задача Я имеет в области £? тривиальное решение.

В. Используя условия (1.4) в (1.7), придем для определения функций . I к системе интегральных уравнений Вольтерра первого рода

І?=і /о с,(*)1Г„(г

), г > о 0 = і.

(1.11)

где

С

+ СО «I

-( С-1

'р.р-и-і

х^0+

+ С «(<)[ Нт 1 С{х,

36

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

№ 13 (53) 2008

Очевидно, что правая часть системы (1.11) должна удовлетворять условию

}р Ох

lim Dgt гр, (с) = 0, что приводит к равенству lim D^t 1<

= lim OL j*j(

x^Q+

И djfr) В точке

™ ' ^о+

0 = которое является условием согласования между

Взяв дробную производную порядка а от обеих частей системы (1.11), получим для определения С(

Вольтерра второго рода

где

= J. ..м.| систему интегральных уравнений

(112) (113)

Cj(t) + ХГ=1 /0 С*0?)*у (* - ridrj = p.(t), t > о 0 = 1.

1Гу(£) = ВД;,(t) = С р-%р_1 + 1{-Г№ЩЬ

р (О = D°tPj (О = —D*t<Pj (t) + /_+“ о>(£)И$

(1.14)

= -s-SK

+00 (~X)m f.gf2m —1+>—1 x

Ядра (1.13) и правые части (1.14) системы (1.12) являются непрерывными функциями при t > 0, а в точке Г = 0 имеют особенность порядка меньше единицы. Поэтому [5, с.86] система интегральных уравнений Вольтерра второго рода (1.12) имеет единственное решение С; (t), причем D%f1Cl(t') G С[0,+оо) (/ = 1 ,п).

Список литературы

1. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М., 2003.

2. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam - Tokyo, 2006.

3. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М., 1983.

4. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М., 1986.

5. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М., 1982.

а

INITIAL-BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A FRACTIONAL MIXED-COMPOSITE EQUATION WITH A ADVANCING-LATE ARGUMENT AND REFLEXION

M.V. BURTSEV, A.N. ZARUBIN

Orel State University e-mail: burtsevmv@orel.ru

The initial boundary value problem for the mixed-composite equations with fractional derivative and reflexion is considered. The uniqueness’ and existents theorems for the problem are proved.

Key words: Fractional Calculus, Mixed-Composite Type, Reflexion, H - function of Fox , Function of the Mittag-Leffler Type, Riemann-Liouville FractionDerivatives.