Задача со смещением для уравнения смешанного типа второго рода в неограниченной области Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 1(12). C. 26-31. ISSN 2079-6641

DOI: 10.18454/2079-6641-2016-12-1-26-31

УДК 517.956

ЗАДАЧА СО СМЕЩЕНИЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА ВТОРОГО РОДА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ

Р. Т. Зуннунов1, А. А Эргашев2

1 Институт сейсмостойкости сооружений АН РУз, 100125, Узбекистан, г. Ташкент, Академгородок, ул. Дурмонйули, 31

2 Кокандский государственный педагогический институт им. Мукимий, 113000, Узбекистан, г. Коканд, ул. Амира Темура, 37

E-mail: zunnunov@mail.ru

В этой работе в смешанной области, эллиптическая часть которой вертикальная полуполоса, исследована нелокальная задача, в которых нелокальные условия поточечно связывают значения дробной производной искомой функции в точках одной граничной характеристики.

Ключевые слова: задача со смещением, уравнения смешанного типа второго рода, единственность и существование решения, сингулярные интегральные уравнения, неограниченная область

(с) Зуннунов Р. Т., Эргашев А. А., 2016

MSC 35M10

THE PROBLEM WITH SHIFT FOR AN EQUATION OF MIXED TYPE OF THE SECOND KIND IN AN UNBOUNDED DOMAIN

R. T. Zunnunov1, A. A. Ergashev2

1 Institute of Earthquake Engineering, Academy of Sciences of Uzbekistan, 100125, Uzbekistan, Tashkent, Akademgorodok, Durmonyuli str., 31

2 Kokand State Pedagogical Institute. Muqimiy, 113000, Uzbekistan, Kokand, st. Amir Temur, 37

E-mail: zunnunov@mail.ru

In this paper, in the mixed area, which is part of the elliptical vertical half-strip, non-local task, in which the nonlocal conditions associated pointwise values of the fractional derivative of the unknown function at the points of a boundary characteristics.

Key words: the problem with displacement, mixed-type equation of the second kind, uniqueness and existence of solutions, singular integral equations, unbounded domain

(c) Zunnunov R. T., Ergashev A. A., 2016

Введение

После публикации известных работ И.Л. Кароля [1],[2], начиная 1953 года появился интерес к изучению краевых задач для уравнений смешанного типа второго рода. В работах М.С. Салахитдинова, С.С. Исамухамедова [3], М.М. Смирнова [4], Ю.М. Крикунова [5], Ж. Орамова [6] и других рассмотрены аналоги задачи Трикоми для уравнений эллиптико-гиперболического типа второго рода в ограниченных областях. В работе Г.А. Ивашкиной [8] рассмотрены задачи со смещением на характеристиках разных семейств, для уравнения для уравнения эллиптико-гиперболического типа второго рода в ограниченной области.

В данной работе рассмотрена задача со смещением на характеристиках одного семейства для уравнения эллиптико-гиперболического типа второго рода в неограниченной области.

Постановка задачи

Рассмотрим уравнение смешанного типа второго рода:

Uxx + signy\ylmUyy = 0,0 < m < 1, (1)

в неограниченной смешанной области О = О1UABUО2. Здесь О1 = {(x,y) : 0 < x < 1,y > 0}, AB = {(x,y) : 0 < x < 1, y = 0}, а О2 - конечная область полуплоскости y < 0, ограниченная отрезком AB и двумя характеристиками:

AC : x- [2/(2 - m)] (-y)(2-m)/2 = 0,

BC : n = x + [2/ (2 - m)] (-y)(2-m)/2 = 1.

Уравнение (1), выходящими из точек A(0,0) и и(^,0) > 0 (< 0). Введем обозначе-m

ния: в = —-—, k = const > 1, a = 2/ (1 + k),

н 2 (m - 2) 1 v '

0o(*o)=( у, -

2 — m x0 2 ' 2"

2

2—m\ I Xo

5 #0k (x0) =

k +1

2 — m x0

k + 1

2—m

Здесь Оо(хо) и Оок(хо) являются точками пересечения характеристики АС уравнения

2

_

(1) с линиями к : х + --(—у)2 — т = х0 (при I = 1,2).

2 — т

Рассмотрим уравнение (1) в области О.

Задача Т™. Найти функцию и(х,у), обладающую следующими свойствами:

1) и(х,у) е С (О) ПС1 (О) П С2 (О1 и О2), причем иу(х, 0) может обращаться в бесконечность порядка меньше чем 1 — 2в, при х ^ 1;

2) и(х,у) является регулярным в О1 и обобщенным из класса Я2 в О2 решением уравнения (1) [2];

3) и(х,у) удовлетворяет следующим условиям

и(0,у) = ф1(у), и(1,у) = ф2(у), о < у < (2)

lim u(x,y) = 0,равномерно пох е [0,1], (3)

2

DJ- ß U [0q (x)] + Ю (x) Djx ß U [0Qk (x)] = 8 (x), 0 < x < 1,

(4)

и(х, +0) = и (х, -0), иу (х, +0) = —иу (х, -0), (5)

где фг-(у) (г = 1,2), ю(х), 5(х)-заданные функции, причем фг-(у) е С[0, +<^), и при достаточно больших у удовлетворяет неравенству: (у)| < М1у—1—ш/2; ю(х), 5(х) е

С [0,1]; тах |ю (х)| = М, 0 < М < а2в—1.

[0,1]

В силу обратимости оператора из задачи Т^ в частном случае при ю (х) = 0 следует задача Трикоми для уравнения (1) в области О.

Пусть и (х,у) - решение задачи Тогда оно в области О представимо в виде

[2]:

1

и (х,у) = /И { \х — (1 — 2в) (—у)1/(1—2в>1 Л [х + (1 — 2в) (—у)1/(1—2в> —

-xt + (1 - 2ß) (-y)1/(1-2ß>t 1-ß ix - (1 - 2ß) (-y)1/(1-2ß)!1-ß (1 -t)-ßdt + (6)

[2 (1 - 2ß)]

1-2ß 1

2cos nß

H

x - (1 - 2ß) (-y)1/(1-2ß) (2t - 1)1 (-y) t-ß (1 -1 )-ß dt -

Г (2 - 2ß)

Г2 (1 - ß)

x - (1 - 2ß) (-y)1/(1-2ß) (2t - 1)1 (—y) t-ß (1 -1)-ßdt

где v(x) = Uy (x,-0), u(x,0) = т(x) = Г(1 -2ß)D0ß 1H(x). Из (6) имеем:

u[0o (x)] = Г (1 ß)Dßx-1H (x)x-ß -

Г (2 - 2ß)

u[0ßk (x)] =

2cos nß 0x ß Г (1 - ß )„ ß-1

Г(1 -ß) [2(1 -2ß)]]

1v (x)x-ß (7)

2cos nß

D0x1H (ax) (ax)-ß -

a

ß Г (2 - 2ß)

Г(1 -ß) [2(1 -2ß)]]

2ßD0x 1y (ax)(ax) ß.

Подставляя (7) в (4), получим функциональное уравнение вида: Ф(х) + а1—2вю(х)Ф(ах) = 51 (х), 0 < х < 1,

где

Ф^) = Y1H (x) - 72V(x),

(8) (9)

Ф^) = y1H (ax) - y2 v (ax),

81 (x) = xß 8 (x), y1 =

Г (1 - ß)

, Y2 =

Г (2 - 2ß)

(10)

2008 ' 12 [2 (1 — 2в )]1—2в г (1 — в)'

Функцию Ф(х) будем искать в классе функций, ограниченных в точке х = 0. Применив метод итераций [8] к решению функционального уравнения (8), для п-ой итерации имеем:

п-1

Фф = (-a1-2ß)nAn(x^(anx) + £ (-a1-2ß)jAj(x)81 (ajx),

j=0

1

v

где An(x) = а(х) а(ах)...а(ап 1x), Ao(x) = 1.

Пусть тах |а (x)| = M0 и 0 < M0 < a2в-1. Тогда справедливо неравенство:

К (х)|< Mon. (12)

Переходя в (11) к пределу, при п ^ ^ и учитывая 0 < a < 1, неравенство (12) и ограниченность искомой функции Ф(х), получим:

Ф(х) = Fl(x), 0 < x < 1, (13)

где

^ / \ j

Fl(x) = £ (-а1-2в) Aj(х^'х). (14)

7=0

В силу 0 < а < 1, (12) и условия, наложенные на ¿1 (х), ряд в правой части равенства (14) сходится равномерно и F1(x) € С [0,1], F1(0) = 0.

Учитывая (9), из (13), получим функциональное соотношение, между т(х) и V(х) на АВ, принесенное из области

71 1

V (х) = — Н (х)--Fl (х), 0 < х < 1. (15)

72 72

Теорема. Задача Т^ не может иметь более одного решения.

Доказательство. Пусть и(х,у) решение однородной задачи Т^. При этом имеем Fl(x) = 0. Поэтому соотношение (15) принимает вид

V (х) = — Н (х), 0 < х < 1, (16)

72

Докажем, что и (х,у) = 0 в О. Предположим противное. Тогда существует область П1р = {(х,у) : 0 < х < 1, 0 < у < р}, в которой и (х,у) 0. Следовательно, 8ир |и (х,у)| > 0

О1р

и это значение достигается в некоторой точке (£, п) € О1р. Введем обозначение: дО1р = АВ и ВБ и БР и РА где

АВ = {(х,у) : 0 < х < 1, у = 0},ВБ = {(х,у) : х = 1, 0 < у < р},

БР = {(х,у) : 0 < х < 1, у = р},РА = {(х,у) : х = 0, 0 < у < р}.

В силу принципа экстремума для эллиптических уравнений [9] (£, п) € О1р. В силу условия (2) и (у) = ф2 (у) = 0 следует, что (^, п) € ВБ и РА. Тогда (^, п) € АВ и БР. Пусть (£, п) € АВ, т.е. 8ир |и(х, у)| = 8ир |и(х, у)| = |и(|, 0)| > 0, 0 < \ < 1.

О1р АВ

Тогда, если и(^,0) > 0 (< 0), то есть (^, 0) является точкой положительного максимума (отрицательного минимума) функции и(х,у). Рассуждая аналогично, как и в работах [4],[7] можно доказать, что иу(^,0) > 0 (< 0). С другой стороны, в силу принципа Заремба-Жиро [9], иу(^,0) < 0 (> 0). Из полученного противоречия следует (£, п) € АВ.

Следовательно, (^, п) € БР, т. е. 8ир |и (х,у)| = 8ир |и (х, р)| > 0.

О1р 0<х<1

Взяв произвольное число pi > р, таким же методом получим:

sup |u(x,y)| = sup |u(x,p1)| > 0.

a

ipi

o< x< i

Так как a1p с a1p1, то sup |u (x,y)|> sup |u (x,y)| > 0, т.е. sup |u (x,p1)|> sup |u (x, p)| >

a

1pi

aip

0< x< 1

0< x< 1

0. Отсюда следует lim u (x,y) = 0, что противоречит условию (3). Следовательно,

y^ro

u(x,y) = 0, (x,y) e Qb Так как u(x,0) = т(x) = 0, то из (16) следует, что v(x) = 0. Тогда, согласно формуле (6), u(x,y) = 0 в Q2. Следовательно u(x,y) = 0, (x,y) e Q. Теорема доказана.

Существование решения задачи докажем методом интегральных уравнений. Решая задачу N в области Qi методом функций Грина получим функциональное соотношение между т (x) и v (x), принесенное на AB из эллиптической Qi части смешанной области Q которая имеет следующий вид:

i

т (x) = -J V (t) G(x, t )dt + F2(x),

(17)

G(x, t) = k1

|x-1Г2в " (x +1)-2в+

-20

+ £ (2n -x + t)-2e - (2n -x- t)-2e + (2n + x-1)-2e - (2n + x +t)

n=1

-20'

F2(x)^ п >1(п) (0, п; x, 0)d пп>2(п) (1, п; x, 0^п. 0 0 Учитывая условия склеивания (5), исключая функцию т(x) в (15) и (17) получим сингулярное интегральное уравнение относительно неизвестной функции v в виде:

i

V(x) + Уз J V(t)K(x, t)dt = F3 (x),

(18)

K (x, t) = (

x f

1 1

+

t - x ' t + x n=1 V 2n -1

20

1

+

1

2n -1 + x 2n -1 - x

2n +1

2в

1

+

1

2n +1 — x 2n +1 + x

F3 (x) =

1

У2 (1 + sin пв )

71D0;2e [F2 (x)] - F1 (x)} ,

Уз = cos пв/ [п (1 + sin пв)].

Уравнение (18) сводится к сингулярному интегральному уравнению с ядром типа Коши. Затем применяя к нему известный метод регуляризации Карлемана-Векуа [10], приходим к эквивалентному в смысле разрешимости уравнению Фредгольма второго рода, безусловная разрешимость которого следует из единственности решения задачи. □

Í.XJ

Í.XJ

t

t

Заключение

Результаты работы получены с использованием метода принципа экстремума, свойств интегро-дифференциальных операторов, метода фукций Грина и методов теории интегральных уравнений.

Рассмотрен аналог задачи со смещением с условиями А.М. Нахушева для уравнения (1) в смешанной области, когда нелокальное условие задается на характеристике одного семейства. Эллиптическая часть рассматриваемой области является вертикальной полуполосой. Построена функции Грина задачи N для этой области. Доказана однозначная разрешимость поставленных задач.

Список литературы

[1] Кароль И. Л., "Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа второго рода", Докл. АН СССР, 88:2 (1953), 197-200.

[2] Кароль И. Л., Автореферат кандидатской диссертации. Л.,ЛГУ,1952..

[3] Салахитдинов М. С., Исамухамедов С. С., "Краевые задачи для одного уравнения смешанного типа", Изв. АН УзССР. Cер. Физ. Мат. науки, 1968, №5, 73-74.

[4] Смирнов М. М., Уравнения смешанного типа, Высшая школа, М., 1985, 304 с.

[5] Крикунов Ю. М., Краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа, Изд-во Казанского университета, Казань, 1986, 148 с.

[6] Орамов Ж., "О некоторых задачах типа задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного типа второго рода с негладкой линией вырождения", Дифференциальные уравнения, 19:1 (1983), 94-101.

[7] Ивашкина Г. А., "Краевая задача со смещением для уравнения второго рода", Дифференциальные уравнения, 17:2 (1978), 281-290.

[8] Зуннунов Р. Т., Мамасолиева М.А., "Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа в неограниченной области, эллиптическая часть которой прямоугольник", Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2014, №1(8), 49-59.

[9] Бицадзе А. В., Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка, Наука, М., 1966, 204 с.

[10] Мусхелишвили Н.И., Сингулярные интегральные уравнения, ГИФМЛ, М., 1962, 600 с.

Поступила в редакцию / Original article submitted: 01.03.2016