CC BY
38
Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2010. № 1 (1). C. 12-16
УДК 517.956
НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ТИПА ЗАДАЧИ БИЦАДЗЕ-САМАРСКОГО ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ*
Р.Т. Зуннунов
Ташкентский институт инженеров железнодорожного транспорта, 700005, республика Узбекистан, г. Ташкент, Мирабадский район, ул. А. Кодирова, 12
E-mail: zunnunov@mail.ru
Для уравнения смешанного типа в неограниченной области доказано существование и единственность решения нелокальной краевой задачи.
Ключевые слова: уравнение смешанного типа, нелокальная задача, метод интегралов энергии, метод интегральных уравнений
© Зуннунов Р.Т., 2010
MSC 68N01
NOT LOCAL PROBLEM OF TYPE OF THE PROBLEM
BITSADZE - SAMARSKY FOR THE EQUATION THE MIXED TYPE IN UNLIMITED AREA
R.T. Zunnunov
Tashkent institute of engineers of a railway transportation, 700005, Tashkent, Mirabadskiy
dis., A. Kodirova st., 12, Uzbekistan.
E-mail: zunnunov@mail.ru
In this paper the existence and uniqueness of the solution of the non-local boundary value problem for the mixed type equation in unbounded domain are proved.In this paper the existence and uniqueness of the solution of the non-local boundary value problem for the mixed type equation in unbounded domain are proved.
Key words: mixed type equation, problem, non-local problem, method of energy integrals, method of integral equations
© Zunnunov R.T., 2010
*Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект МОБ_СНГ_ СТ 09-01-90902).
Введение
Известно, что интерес к изучению краевых задач для уравнений смешанного типа возрос после того, как обнаружилась их связь с задачами газовой динамики, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и безмоментной теории оболочек и т.д.
Рассмотренная задача является обобщением задачи Трикоми. Такие задачи возникают при изучении различных вопросов прикладного характера, например вопросов математической биологии, прогнозирования почвенной влаги, математического моделирования процессов излучения лазера, проблем физики плазмы и т.д.
Рассмотрим уравнение
szgny |y|muxx + uyy — Я2 |y|mu = 0,m = const > 0 (1)
в неограниченной смешанной нестандартной области Q = Пі U li U П2, где Пі = {(x,y) : — ^ < x < +^,y > 0}; 11 = {(x,y) : 0 < x < +те,y = 0}; а П2 - бесконечная область полуплоскости y < 0, ограниченная полупрямой li и характеристикой Г: x — [2/ (m + 2)](—y)(m+2)/2 = 0 уравнения (1); Я - заданное действительное число.
m ___
Введем следующие обозначения: в = 2—^4, M = const > 0 (j = 1, 5), є-достаточно малое положительное число. Далее
І2 = {(x,y) : -" < x < 0,y = 0}, 0o(xo) = ( xQ, -
m + 2
—x0
2/(m+2)N
где 0о (xo) является аффиксом точки пересечения характеристики Г уравнения (1) и
характеристики x +[2/ (m + 2)](—y)(m+2)/2 = x0, выходящей из точки (x0,0) є li.
При постановке и исследовании нелокальной задачи для уравнения (1) мы будем
1 Я 1 я
пользоваться интегродифференциальными операторами A0x [f(x)] и C0x [f(x)], введенными и изученными в работе [1]. Наряду с указанными операторами используется оператор Dfx[f (x)] дробного в смысле Римана - Лиувилля интегродифференцирова-ния порядка 8 [2].
Предположим, что в уравнении (1) Я = Яг- в областях Щ (г = 1,2) и исследуем следующую задачу.
Задача BS~. Найти функцию u(x,у), обладающую следующими свойствами:
1) u (x, у) є C Щ П C1 (Щ и /2) n C2 (Щ U Щ2), причем uy(x, 0) может обращаться в бесконечность порядка меньше, чем 1 — 2ß при x ^ 0;
2) u(x,у) - регулярное решение уравнения (1) в областях Щ и Щ2;
3) lim u (x,у) = 0 при у > 0; r2 = x2 + [2/ (m + 2)]2ym+2;
Г0^+те
4) lim uy (x,у) = ф (x), —те < x < 0;
у^0
5) удовлетворяет условиям
А0;Я2 {D0—ß [u (00 (x))]} + c (x) uy (x, 0) = d (x), 0 < x < +те, (2)
где c (x),d (x), ф (x)-заданные функции, причем c(x) є C [0, +те) nC2 (0, +те), ф (x) є C (—те, 0), d (x) є C2 (0, +те), а d (x), ф (x) обращаются в бесконечность порядка меньше, чем 1 — 2ß при x ^ 0 и для достаточно больших |x| удовлетворяют неравенствам |d (x)| < M1x2ß—1—є, |ф (x)| < M2x2ß—1—є.
1 Я 8
Замечание. При c (x) = 0 в силу обратимости операторов A0x и D8x задача (1)-(2) является задачей Трикоми.
Единственность решения поставленной задачи
Пусть и(х,у) - решение задачи иу (х, 0) = V(х) е С2 (0, +<^), и (х, 0) = т(х) е
С [0, +те) пС2 (0, +те) и V (х) может обращаться в бесконечность порядка меньше, чем 1 — 2в при х ^ 0. Тогда, пользуясь представлением решения задачи в области ^2 [1], в силу условия (2) получаем основное функциональное соотношение между т (х) и V (х) на 11, принесенное из области П2:
V (х) = 72Г(2в) 4 (х) С^2 [т (х)] — У2Г (в) 4 (х)хвй (х), 0 < х < +<*>, (3)
где 4 (х) = в , у, = (2 — 4в)2в Г (в) / [2Г (1 — в) Г (2в)], » = (яп2Рп) /яц
1 — У2Г (в) хв с (х)
Теорема. Пусть для решения и(х,у) задачи при достаточно больших г0 справедливы неравенства
|и(х,у)| < Мз/гд, |утих (х,у) | < М4/Г0, |иу (х,у) | < М5/Г0 (4)
и заданные функции удовлетворяют следующим условиям:
4 (х) < 0, 4 (х) > 0, (5)
тогда задача не может иметь более одного решения.
Доказательство. Возьмем произвольное достаточно большое число Г0 и рассмотрим конечную область ^1Г0, ограниченную в области П1 нормальной кривой х2 + [2/ (т + 2)]2ут+2 = г^ и отрезком 1Г0 = {(х,у) : —г0 < х < г0,у = 0}.
Пусть и(х,у) - решение однородной задачи В£~. Тогда в области П1г0 справедливо тождество
(утиих)х + (ииу)у — ут (их)2 — (иу)2 — утЯ^и = 0, (6)
а на отрезке 1Г0 имеет место равенство
v (х) = Г2Г (2в) 4(х) С0;Я2 [т (х)], 0 < х < +~. (7)
Применяя формулу Гаусса - Остроградского по области П1г0, в силу условий (4) теоремы и ф (х) = 0 при Г0 ^ имеем
IJ ym (ux) + (ux) + Яі ymu dxdy + y т (x) v (x) dx = 0. (В)
Пі 0
Проводя аналогичные рассуждения, как и в работе [3], получим:
А = J т (х) V (х) йх = уз J г2в—(1 — £2)—в—1/2й^
X < b £
к=і
2
Рі (t) cos zktdtJ + І у рі (t) sinzktdtJ
00
00
Y3 = [(2 — 4в )2в Г (в )]/[8Г (1/2 — в ) Г2 (20 ) cos ],
zk = z — (—1)k , Pi (x) = [т (x)],
lim q (x) = b, О < b < +<*>.
В силу условий (5) теоремы имеем А > 0. Из равенства (8) при ^ = 0 сразу следует, что и (х,у) = 0 в П1. Если Я1 = 0, то из равенства (8) получим и (х,у) =еопэ1 в области П1. Учитывая условие (2) задачи и ф (х) = 0, в этом случае получаем и(х,у) = 0 в П1. Тогда т (х) = V (х) = 0 при 0 < х < +<*>. Поэтому из представления решения задачи Коши [2] в области следует: и(х,у) = 0 в П2. Следовательно, и(х,у) = 0, (х,у) е П. Теорема доказана. □
Доказательство существования решения задачи
Пользуясь представлением решения задачи ^ в области П [3], при у = 0 получаем основное функциональное соотношение между т (х) и V (х) на 1, принесенное из области П1:
где k¿ = (1 — 2в)2в (|Al| /2)в / [^ЛГ (в + 1/2)], r2 = (x — t)2 + [2/(m + 2)]2ym+2, Ka (z)
О
- функция Макдональда [4], f (х) = — к0 / ф(г)|х — г| вК [|А11 |х — г|]Л. Исключая из
соотношений (3) и (9) функцию т(х), получаем сингулярное интегральное уравнение относительно V(х) в виде
т(x) = —koj v(t)|x — 11 вКв Pl||x — t|]dt + f (x),
(9)
О
x
P (x, t) = 72 J Q (x, z) Hl (z, t) dz + ko 72 Г (2в ) dJx20 [H2 (x, t)],
О
F (x) = 72 {Г (2в) C¿xA2 [f (x)] — Г (в) x0d (x)},
h, (x, t) = k¿ |x — 11 в Кв [|Яі I |x — 11],
|x — 11 вi0 [|*i||x — 11]
a (x) = 1 + sin пв — Г (в) Y2xe c (x), у4 = C0S пв .
п
Таким образом, задача BS“ эквивалентна (в смысле разрешимости) и редуцирована к сингулярному интегральному уравнению (10) . В силу условий a2 (x) — у| = 0, 0 < x < уравнение (10) является уравнением нормального типа [5] и его решение будем искать в классе функций, которые могут обращаться в бесконечность порядка ниже 1 — 2в при x ^ 0 и ограниченных x ^ +<^. Индекс уравнения в данном классе равен нулю. Регуляризируя его методом Карлемана - Векуа [5], получаем интегральное уравнение Фредгольма второго рода, безусловная разрешимость которого следует из единственности решения задачи BS“.
Литература
1. Салахитдинов М.С., Уринов А.К. Краевые задачи смешанного типа со спектральным параметром. Ташкент: ФАН, 1997. 165 с.
2. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1995. 301 с.
3. Зуннунов Р.Т Задача со смещением для уравнения смешанного типа в неограниченной области // Доклады Адыгской (Черкесской) Междунар. акад. наук. 2009. Т. 11. № 1. C. 21-27.
4. Кузнецов М.С. Специальные функции. М.: Высш. шк., 1965. 424 с.
5. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 512 с.
Поступила в редакцию / Original article submitted: 11.09.2010
