Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа в неограниченной области, эллиптическая часть которой прямоугольник Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

НЕЛОКАЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ, ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

КОТОРОЙ ПРЯМОУГОЛЬНИК

Р.Т. Зуннунов1, М.А. Мамасолиева2

1 Национальный Университет Узбекистана им. Мирзо Улугбека,

100174, Узбекистан, г. Ташкент, ул. ВУЗ городок

2 Кокандский государственный педагогический университет им. Мукини,

113000, Узбекистан, г. Коканд, ул. Амира Темура, 37

E-mail: zunnunov@mail.ru

В статье для уравнения смешанного типа в неограниченной области эллиптическая часть которой прямоугольник, доказана однозначная разрешимость одной нелокальной краевой задачи. Единственность решения доказана методом интегралов энергии, а существование методом интегральных уравнений.

Ключевые слова: уравнения смешанного типа, нелокальная краевая задача, метод интегралов энергии, метод интегральных уравнений.

(с) Зуннунов Р.Т., Мамасолиева М.А., 2014

MSC 35M10

A NONLOCAL BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A MIXED-TYPE EQUATION IN AN UNBOUNDED DOMAIN, WHICH IS PART OF AN

ELLIPTIC RECTANGLE

R.T. Zunnunov1, M.A. Mamasolieva2

1 National University of Uzbekistan by Mirzo Ulugbeka, 100174, Uzbekistan,

Tashkent c., VUZ gorodok st.

2 Kokand State Pedagogical Institute by Mukini, 113000, Uzbekistan, Kokand, Amira Temura st. 37

E-mail: zunnunov@mail.ru

In an article for mixed-type equation in an unbounded domain elliptic part is a rectangle, the unique solvability of a nonlocal boundary value problem. The uniqueness of the solution is proved by energy integrals, and the existence of the method of integral equations.

Key words: mixed-type equation, the nonlocal boundary value problem, a method of energy integrals, the method of integral equations

(c) Zunnunov R.T., Mamasolieva M.A., 2014

Введение

Математический аппарат дифференциальных уравнений смешанного типа является эффективным инструментом в решении прикладных задач физики. В настоящее время математическая теория бурно развивается чему свидетельствует множество работ посвященных этой проблематике. Не исключением является и наша статья

Постановка задачи

Рассмотрим уравнение смешанного типа

signy\y\muxx + uyy — Â2\y\mu = О, m = const > О,

(1)

в неограниченной смешанной области:

О = О+ U AB U О-,

где О+ = {(x,у) : 0 < x < 1,0 < у < 1}, AB = {(x,у) : 0 < x < 1,у = 0}, а О- - область, ограниченная полупрямой о = {(x,у) : 0 < x < <^,у = 0} и характеристикой Г : ^ = 0 уравнения (1), где ^ = x — [2/ (m + 2)](-у)(т+2)/2. Предположим, что X = X1 в О+ и X = X2 в О-, и X1,X2 - заданные действительные числа.

Пусть k = const > 1, a = 2/ (1 + k), 0 < a < 1 а 00 (x) и 0k (x)- есть точки пересечения характеристики Г уравнения (1) с линиями x + [2j/ (m + 2)] (-у)(т+2)/2 = x0,(0 < x0 < 1) при j = 1 и j = k соответственно, с координатами

x

0О(х) = ( 2,—

m + 2

2/ (m+2)4

, 0k (x) =

k +1’

m + 2 2 (k + 1)

2/(m+2)

Введем следующие обозначения:

ß = m/ (2m + 4),

01 = {(x, y) : x = О, О < y < 1},

02 = {(x,y) : y = 1,О < x < 1},

03 = {(x,y) : x = 1,О < y < 1},

o4 = {(x,y) : 1 < x < ^ ,

y = О}, Г1 = Г n (О < n < 1), Г2: % = 1, Г3 = Q— n (n = 1), Г4 = Г n (n > 1),

2

n = x +

m + 2

(—y)(m+2)/2,

- характеристический треугольник, ограниченный отрезком АВ и характеристиками Г и Г2 , - неограниченный характеристический четырехугольник огра-

ниченный характеристиками Г2Г и Г4, а ^^-неограниченный характеристический треугольник ограниченный полупрямой 04 и характеристикой Г2 уравнения (1).

Задача Г”. Найти функцию м(х,у), обладающую следующими свойствами:

x

x

x

4

1) и(х,у) е С (Й) П С1 (Й\ (Г2 и Г3)) ПС2 (й+ и Й- и Й- и Й-, а иу(х, 0) может обращаться в бесконечность порядка меньше чем 1 - 2в при х ^ 1;

2) и(х, у) является регулярным решением уравнения (1) в областях Й+,Й-,Й-

и Q—

3) и(х, у) удовлетворяет следующим условиям

и(0,у) = фЦу), и(1,у) = ф2(у), 0 < у < 1, (2)

и(х, 1) = ф3 (х), 0 < х < 1, (3)

и(х, 0) = ф4 (х), 1 < х < +°, (4)

и I г4 = ^1 (х), 1/2 < х < +°, (5)

А0хЯ2 {^о-ви[00(х)]} + ю(х)А,^2 и[%(х)]} = 8(x), 0 < х < 1, (6)

где ю(х), 5 (х), ф3 (х), ф4 (х), ф5 (х), фг (у) (г = 1,2) - заданные функции, причем фг(у) е

С [0,1]; ю(х), 5(х), ф3 (х) е С [0,1]; ф4 (х) е С[1, +°); ^ (х) - непрерывная и ограниченная функция на промежутке [1/2, +°).

Для заданных функций выполняются условия согласования:

ф4 (1) = ф2 (0) , ф1 (1) = фз (0) , ф2 (1) = фз (1),

1

^1 (1\2) = йпйв I[г(1 2г)]-в 1-в ^2^г(1 - г) ^1 (г) &.

0

Здесь 1Р [х] = Г (р + 1)(х/2)-р/Р [х], а 1Р [х] - модифицированная функция Бесселя первого рода порядка р [1];

° , ч I

^1(х) = ^ ( - а1 -2в ) Ш) (х) 81 (а^'х),

7=0 4

81 (х) = Г (в) хв8 (х),

Ши(х) = ю(х) ю(ах)...ю(аИ-1х), @Ь(х) = 1.

Условие (6) связывает значения искомой функции в двух точках, лежащих на

1 А 8

характеристике Г1. В силу обратимости операторов Л^х [2] и ^8х [3] из задачи ГИ°° в частном случае при ю (х) = 0 следует задача Трикоми для уравнения (1) в области Й.

Целью настоящей работы является доказательство существования и единственности решения задачи Т°°.

Пусть и (х,у) - решение задачи Ги°°. Введем обозначения:

и(х,0) = т(х), 0 < х < 1,иу(х,0) = V(х),0 < х < 1.

Теорема 1. Пусть

т(0) = 0, т(х) е С(0,а) [0,1], а > 1 - 2в (7)

и

max | ю (x) | = М0 < а2в-1, M0 = const > 0 (8)

[0,1]

тогда задача Tn°° не может иметь более одного решения.

Доказательство. Известно [4], что решение задачи TT в области О- удовлетворяющее условиям т (x) є C [0,1] П C2 (0,1),v (x) є C2 (0,1) представимо в виде

i

(xy) = Yi І т [x + 0(2Ті-/0)] 7в-i [2і2о(1 — т)

J [t (1 — t )]1 р L

0 [t (1 — t )]

1

+72у V [х + (21- 1)1 7-в [2Я2СУТО-)] Л, (9)

0 [7(1 - 7)]в 1 -1

где а = [2/(т + 2)] (-у)(т+2)/2, 71 = Г(2в)/Г2(в), 72 = Г(2 - 2в)/Г2(1 - в). Пользуясь (9) и проводя аналогичные преобразования как в работе [2], имеем

А0* ^и№(х))} = Г-, {Г(2в) С0хА21т(х)]- }, (10)

Л0хаЯз {о°-ви(в«(х))} = {Г(2в) СЙ[т(х)] - } ,

где 7з = Г(в) (2 - 4в)2в/ [2Г(1 - в) Г(2в)].

Подставляя (10) в (6) получим функциональное уравнение вида

Ф(х) + а1-2вю(х)Ф(ах) = 81(х), 0 < х < 1, (11)

где

ф(х) = Г(2в^[т(х)1- V.(х), (12)

ф(ах)=Г(2в )С0(“х) [т (х)]- V (ях)'

Применив метод итераций [5] к решению функционального уравнения (10), для п-ой итерации имеем;

п-1

ф(х) = (-а1-2в)и@и(х)Ф(аих) + ^ (-а1-2в)7(х) 81 (а7'х), (13)

7=0

Функцию ф(х) будем искать в классе функций С (0,1) и ограниченных при х = 0.

Переходя в (13) к пределу при п ^ ° и учитывая (8),0 < а < 1, 0 < М0а2в -1 < 1 а

также ограниченность искомой функции Ф(х), получим

ф(х)= ^(х), 0 < х < 1, (14)

Учитывая (12), из (14), получим функциональное соотношение, между т(х) и V(х) на

ЛВ, принесенное из области Й-:

v(x) = Y4C0xi2 [т(x)] — Г(24/) Fi(x), (15)

52

u

где 74 = Г (2в) sin (2вп) /п7з.

В силу 0 < a < 1, 0 < Moa2e -1 < 1 и 8 (x) е C [0,1], ряд в составе F1(x) сходится абсолютно равномерно , при x е [0,1].

Пусть u(x,y) решение однородной задачи Ги°°. При этом ф1 (y) = (р2 (y) = ф3 (x) =

ф4 (x) = ^1 (x) = F (x) = 0 ив области й+ справедливо тождество

(y'"l<B,)x + («By)y - y” (в,)2 - (By )2 - y'"A2B = 0, (16)

Интегрируя тождество (16) по области й+ и применяя формулу Гаусса-Остроградского имеем

1

11 y” (ux)2 +(ux)2 + A2y”u2 dxdy + J т (x) v (x) dx = 0. (17)

a+ 0

Рассмотрим интеграл

1

А = J т (х) V (х) ^х. (18)

0

Обращая равенство (15) относительно т (х) при (х) = 0 с учетом условий (7) ,

получим

х

т (х) = 74 У V (7) (х - 7)-2в 7-в [А2 (х - 7)] Л. (19)

0

Подставляя (19) в (18) и учитывая формулы [1]-[2]

|х - 7| -2в = Г (2в )с05 пв/ г2в -1С05 г (х - 7) *,

_в 1

J—в [І2(x — t)]= (~/ (‘ - %2)—в—1/2COSІ2% (x - Г)d%,

: 2 -1/2

I1 - ^

1

после несложных преобразований, имеем

А =_________'4.----------, I z2e—0d^ (1 — %2)—в—1/2 x

h.

2\fñ Г (2/ ) cos п/

О

где zj = z — (—1)j А2^, и откуда следует что А > 0. Учитывая А > 0 и и (x,у) = 0 на оГ U о2 U о3, из (17) при Я1 = 0 получим что и (x,у) = 0 в Й +. Если Я1 = 0, то и(x,у) = const в Й+. В силу нулевых граничных условий и в этом случае получаем и (x,у) = 0 в Й+.

Тогда т(x) = 0 на AB, откуда из (15) следует, что v (x) = 0 на AB. Тогда, согласно формуле (9), и (x,у) = 0 в Й—.

Регулярное решение задачи Гурса в области Й- удовлетворяющее условию (5) и

и I Гз = У2 (х), 1/2 < х < 1

имеет вид

и (х,у) = Ф (^1, ^2),

(20)

где ^2 (х) е С [1/2,1] П С2 (1/2,1) и

У2(х) = 71

т [х + (1 - х) (27 - 1)] -

[7 (1 - 7 )]1-в

ув-1

2А2 (1 - х) V* (1 - 7)

¿7+

(21)

+Г2у

V [х + (1 - х) (27 - 1)] [< (1 - 7 )]в

в

2А2 (1 - х) у 7 (1 - 7)

¿7.

Следовательно , учитывая функциональное соотношение (21) имеем ^ (х) = У2 (х) = 0. Отсюда из (20) получим и (х,у) = 0 в Й- .

Регулярное решение задачи Дарбу в области Й- удовлетворяющее условию (4) и

и IГ = Уз (х), 1 < х < +°

имеет вид [2]

и (x,у) = 74/ [(« - 7) (п - 7)]в 1 7в-1 А2\/(« - 7) (п - 7) ф4 (7) ¿7+

(22)

Ч

+ ^ Ф1 (7) и (0,7; «, п) ¿7,

где Ф1 (7) = уз (7/2) + 2в^з (7/2) /7,уз (7) е С [1, +°] П С2 (1, +°),

«(« п• « п )^ и1(«, п;^ П0),п >

и («, п• «сь П0)-( из («, п• «0, П0),п < «0

«1 («,п;^0 = (п—Н £2(в, 1 -в, 1;*ь*2),

\п0 - «0/

из («, п; «0, п0) = к (п - « )1(пв0 - «0)1 ^ Нз (1 - в, 1 - в, 2 - 2в • -,*2

(п0 - п )1-в («0 - «)1-в V *1

£2 и Нз - гипергеометрические функции Гумберта и Горна [6], а

* («0 - «)(п0 - п) * = А2 (« _«)(п _п) к = Г (1 - в)

51 (п0 - «0)(п - «), *2 4 («0 «)(п0 п), к Г (в) Г (2 - 2в)'

Функциональное соотношение на характеристике Г2 имеет вид

Уз (х) = ф (^1, ^2).

1

1

Так как ф4 (х) = уз (х) = 0, то из (22) получим и (х,у) = 0 в Й-. Следовательно и (х,у) =

0, в Й, откуда следует единственность решения задачи Т°°.

Теперь переходим к доказательству существования решения задачи Т°°. При этом от заданные функции удовлетворяют следующим условиям, 8(х) = х1-в8о(х),50(х) е С2 [0,1],ф4 (х) е С[1/2, +°) ПС2 (1/2, +°),Ф7 (у) = у2ф. (у),ф. (у) е С[0,1],ю(х) е С2 [0,1]. Нетрудно убедиться, что решение задачи N для уравнения (1) в области Й+ имеет

вид

і 1 u (x, y) = — J v (% ) G (%, 0; x, y; i, ) d % — J n m^i (n ) Gs (0, n ; x, y; ii) dn+

(23)

1 1

+ У птф2 (п) С« (1, п;х,у; А1) ¿п - I фз («) Сп («, 1;х,у; А1) .

00

Здесь С(«, п;х,у; А1) - функция Грина задачи N имеющая вид

+°

С(«, п;х,у;А1) = £ [Сг (« + 2п, п;х,у; А1) - Сг (-« + 2п, п;х,у;А1)],

где Сг(«,п;х,у;А1) - функция Грина для горизонтальной полуполосы, которая имеет вид: {

С(«,п;х,у;А1)Л С1(«,";х,у;А1), 0 ^

1 ^2(«,п;х,у;А1), 0 < п < у,

г % n ^ 4аVyñ [ Ка [2ад]

Gi(%,n;x,y;ii)=-—J т—араді7а

' m+2

2аду 2

' m+2

2одп 2

sin px sin p% dp —

4аVlñ f Ка [2ад]

n і aiI-а [2ад)]

Ка

' m+2

2аду 2

m+2

2одп 2 sinpx sinp% dp+

+ 4аVlñ f i« [2ад] _

+ n J 7-а [2ад] 0

m+2

2аду 2

Ка

m+2

2одп 2

sin p x sin p% d p+

n У aiI-а[2ад]

m+2

2аду 2

Ка

m+2

2одп 2 sin px sin p% dp,

G2(%, n ; x, y; i,)= — ^ f 7o

n J 7-а[2ад]

' m+2

2аду 2

m+2

2одп 2 sin px sin p% d p+

4аVin f Ка [2ад]

n J aiI-а[2ад]

О

Ка

' m+2

2одп 2

' m+2

2аду 2

sin p x sin p% d p+

4аVin f 7а [2ад]

n і 7-а [2ад]

' m+2

2одп 2

Ка

m+2

2адy 2 sinpx sinp% dp+

n=—о

7

а

а

7

а

7

а

а

4аVin f 7° [2ад]

+ I т пКа

п J aiI-а[2ад]

О

' m+2

2аду 2

Ка

m+2

2одп 2 sin px sin p% dp,

1

а=

a, =

П ,2 „2 , і 2

-, д 2 = p 2 + І,

m + 2 2 sin ап

Здесь Ка[z]- модифицированная функция Бесселя второго рода [1].

Из (23) при y ^ 0 получаем фундаментальное соотношение между т (x) и v (x), принесенное на AB из эллиптической й+ части смешанной области й в следующем виде

т (x) = — J v (t) H0(x, t)dt — J v (t) H2 (x, t)dt + F2(x),

ОО

H0(x, t ) = k0 j \x — t\-2/ — (x +1)-2/+

о[

+ £ [(2n — x +1)-2в — (2n — x — t)-2в + (2n + x — t)-2в — (2n + x +1)-2/

(24)

n=1

H2(x, t) = f (x, t)+ £ [f (x, t + 2n)+ f (x, t — 2n)]

n=1

f (x r) = k2 £

\ii\k

kt0 Г (k — в + 1) k!

|x—t|

2k—2/ /x + ^ 2k—2/

+k3

о

+ k4

22

(x +Г) в7в ((x +Г) \ii\) — \x — Г\ в7в (\x — Г\\ii\) К1/2—в [(1 — 2/) /p2 + i2]

+

+

[p 2 + i,2] sin p x sin p% d p,

0 7в —1/2[(1 — 2/) y/P2+ii2]

о о

F2(x) = —J n ”Фі(п ) G% (0, n ; x, 0; ii )dn + J n m^2 (n ) G% (1, n ; x, 0; i,)dn —

ОО

i

— J фз (% ) Gn (%, 1; x, 0; i,) d %,

ki = -°

4

2в Г2 (в) , (m + 2)-2в Vn

, k2 =

,k3 = \2І0\в ,k2 = 4(m + 2)-2в

4п т + 2) Г(2вУ"2 2Г2(1/2 + вГ з пГ2(1/2 + в)’

Исключая функцию т(х) в (15) и (24) получим сингулярное интегральное уравнение относительно неизвестной функции V (х) в виде:

1 1 v (x) + y5 У v (t)К(x, t)dt = J v (t) L(x, t)dt + F3(x),

где

, / x \2^ 1 1

К (x, t )=(-) <! -+

t t— x t+ x

и= 1

t

2n t

2в

1

+

1

2n — t + x 2n — t — x

t \ 2ß / 1 1

■ + ■

2n + t 2n + t — x 2n + t + x

Li(x,Т) — Г(2ß)(i + s,nnß) I I/(x- %)2в—1 [Н (%,Т) [0 -J[i2(x — %)]l

О

il

2 (i + ß ) Г (1 + 2ß )

--------------------/(x — %)2ßJß+i [i(x — %)]Hi(%,t)d% i ,

F (х)=(шПпв){C- [F2 (x)]- р(2р)F (хП ,

75 = cos пв/п (1 + sin пв ).

В силу условий, наложенных на заданные функции имеем F3 (х) е C[0,1] ПC2 (0,1), причем F3 (х) = O (х2^.

Теперь переходим к решению уравнения (19) с этой целью запишем его в виде

i

v (x) + y5 У v (t) К (x, t) dt — F4 (x), (26)

1

где F4 (x) = F3 (x) — / v (t) L (x, t) dt.

0

Полагая v (x) = х2вд (x), K (x, t ) = ( x )2в K (x, t ), F4 (x) = x2e F5 (x), приведем уравнение (26) к виду

1

д (x) + Y5 J д (t) К, (x, t) dt = F5 (x), (27)

где

Ко (V) — -1- + -^~ — £ { ^-М2в + 1

t — x t + x n 1 ^ \ 2n — t y y 2n — t + x 2n — t — x

t '2ß

2n + t / \2n +1 — x 2n +1 + x

Найдем с начала функцию K0 (x,t), имеющую те же линии особенностей что и ядро Ki (x, t) и такую что сингулярное интегральное уравнение с ядром Ko (x, t) допускает решение в замкнутом виде.

В качестве ядра Ko (x, t) возьмем выражение

1 1 “ / 1 1 1 1

0 , t — x t + x “1 \ 2n +1 + x 2n +1 — x 2n — t + x 2n — t — x

И запишем уравнение (27) в виде

1 1 д (x) + 75 У д (t) K0 (x, t) dt = F5 (x) — 75 У AK (x, t) д (t) dt (28)

0 0

x

1

1

где АК (х, ?) = К0 (х, ?) — К1 (х, ?).

Пользуясь разложением ядер К1 (х,?) и Ко (х,?) функцию АК(х,?) можно писать в

виде:

ЛК (x, t) = 2 £

n=1

(2n -1)1-2в (2n -1)2в -12p (2n +1)1-2в (2n +1)2в -12p

(2n -1)2 - x2

(2n +1 )2 - x2

Отсюда нетрудно доказать, что АК(х,?) - ограниченна в квадрате 0 < х,? < 1. Теперь считая правую часть уравнения (28) известной, запишем ее виде

1

д (x) + 75уд (t)Ко(x,t)dt = F6(x).

(29)

Используя разложения ctgx на простейшие дроби

1 ~ 1

ctg- = - + 2- £ 32—, - = 0, ±n, ±2n.

z k=i z2 - k2n2'

можно упростить ядро K0 (x, t):

d

TJT / \ П П ^ N

Ko(x, t) = 2 ctg 2(t - x) + ctg 2 (t+x)

П t

— sin" —

dt У 2

, 2 nt , 2 nx

sin —— sin — 22

Произведя замену - = sin2 ПХ, Z = sin2 т и полагая p (-) = д (x), r(-) = (x) из (26)

получим сингулярное интегральное уравнение типа Коши

Г Р (Z) dZ

Р (z) + Y5 J Z - z = r (z).

(30)

Так как 1 — 7? = 0, то уравнение (30) является уравнение нормального типа. В соответствии с этим решение уравнения (30) может быть построено согласно общей теории [7]. Из постановки задачи 7°, введенных обозначений и свойств заданных функций следует что решение уравнение (30) будем искать в классе к (0), то есть в классе функций, ограниченных при г ^ 0 и неограниченных при г ^ 1.Индекс х уравнение (30) классе к (0) равен нулю, а каноническая функция X(г) класса к (0) имеет вид:

1—2в

X (г) = [г/ (г — 1)]^ .

Тогда, согласно общей теории уравнения (30) имеет единственное решения и оно дается формулой

Р ( z) =

у/1 + sin пв

72

r (z) cos 2 (р - 2)+

sin п (в -1) 1А (1 - Z) А1-2 r (Z) dZ

П

Z (1 - z)

Z-z

Учитывая (31) и возвращаясь к прежним переменным х, г, и к функции V (х) получаем интегральное уравнение Фредгольма второго рода со слабой особенностью, эквивалентное (в классе разрешимости и в классе искомых решений) задаче 7°.

1

V (х) + У V (г) К2 (х, г) Л = ^7 (х), (32)

где

Кг (x, г ) = Y6

1 / tn nx \ і — p

/x\ 2p

Y5 (т) ЛК (x, Г) — L (x, t)

} /to 2-p / x 4 2ß

+4 (rg^j (7) Ko (x,§) [75ЛК(§,t) — L(§,t)]d§,

} / tgnx \ г-p Zx \ 2ß

F6 (x) = Y6F2 (x) + Г/J (t) Ko (x, t) F2 (t) dt,

- - 2 7 4

О2

л/l + sin nß П /_ l\ sin 2 (в — i) л/l + sin nß

76 = --^—-• cos- в — - , Y/ = 2V 27 v ^

л/2 2\r V п ^ '

В силу единственности решения задачи 7°, существует единственное решение уравнения (32). □

Заключение

После того как найдено v(x), функция т(x) находиться из (15). Затем решение задачи 7° в областях й+ и й— находится по формулам (9),(20),(22) и (23) соответственно.

Библиографический список

1. Кузнецов Д.С. Специальные функции. М:Высшая школа.1965.424с.

2. Салахитдинов М.С., Уринов А.К. Краевые задачи для уравнения смешанного типа со спектральным параметром. Ташкент: ФАН, 1997. 165 с.

3. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа. 1995. 301 с.

4. Бакиевич Н.И. Сингулярные задачи Трикоми для уравнения ymwxx — — Я2= 0 // Изв .высш.

уч. зав. Серия «Математика». 1964. №2(39). С.7-13.

5. Салахитдинов М.С. Уравнения смешанно-составного типа. Ташкент: ФАН, 1974. 155 с.

6. Самко С.Г., Килбас А.А, Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688.с.

7. Мусхелешвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 512 с.

Поступила в редакцию / Original article submitted: 20.03.2014