ЗАДАЧА СО СМЕЩЕНИЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА ДАРБУ С ПАРАМЕТРАМИ α>0, β Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ивашкина Г.А.

ГОУ ВПО «Оренбургский государственный университет»

ЗАДАЧА СО СМЕЩЕНИЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА - ДАРБУ С ПАРАМЕТРАМИ а>0, £<0

Задачи со смещением были впервые поставлены Нахушевым А.М. [6]. Для уравнения

иЕп —(U_ - U f)=о -1 <р< о задача со смеще-

si п-е 1 s 2

нием была решена в работе [5], причем в работе были использованы операторы дробного порядка интегрирования и дифференцирования в смысле Лиувилля [1].

В данной работе поставлена задача со смещением с операторами Saigo [3, 4] для более широкого спектра параметров а и в.

В работе использовано общее решение уравнения Эйлера - Дарбу, полученное автором в работе [7].

Рассмотрим уравнение

Un+-ar и^-Л Un= о, (1)

п - i п-i

где а >0, в <0.

Для нахождения общего решения будем использовать два основных свойства уравнения Эйлера - Дарбу.

1. Если ввести новую функцию

и(Ы=(п-еГ-р v(i,п)

то уравнение (1) перейдет в уравнение

V + ^ Vi- о. (2)

п-i п-i

Если через Z(a, b) обозначить любое решение уравнения (1), то в силу (2)

z(а,в) - (п-е)1-а-рz(1-РД-а). (3)

2. Если Z(a, b) любое решение уравнения (1), то

^- z(1+а.Р), dZiO!Pl-zW + Р). (4)

Эп

Используя (3) и (4), можно записать

z(«,P) = ^imz(“- m,e) =

dm dn

(п - i)1-“-p+m — z(1 - в - n,1 - а + m) dim v 1 din \ r- ’ / .

где

z(1 - в - n,1 - а + m) -

= Xi (п - i)“+P+n-m-1 J ф( i + (п - i)t)tn+e-1(1 - +

Jv(i + (п-адГ-а(1-t)-p-ndt (5)

X2

(здесь 0<а-т<1, 0<Ь+п<1, т, пОК).

Введем вспомогательные функции

4 4

ф( 4) = | Т>)(4 - z)1 dz, у (4) = | G(z)(4 - z)8 dz.

0 0

После ряда преобразований получим общее решение уравнения (1).

(Эти преобразования приведены в работе [1].)

U(i,!) - (п - i)1-m J T(t)| | F(m -1, а; а + Р; )dt +

• I п -1 I п -1

+ Г(а + в)Г(1 - m +1) (п _ i)i-m

. !^i)

; п-

Г(Р)Г(1 +1 - m + а )

п

J T(t)( Л-! )а-m+1Р(1 - р,а;а - m +1; Л-! )dt + (п - i)

J п - i п - i

1-а-р+8

J G(t)|^-^—i j F(-8,1 -в;2 -а-в;

п-£)dt + Г(1 + 8)Г(2-а-Р) (п-£)1-а-р+8 п-t Г( 2-в + 8)Г(1 -а)

п , -1+8-Р

JG(t)| I F(а,1 -в;2-р + 8;

-i

(6)

д:

^ чП-4^

где ё>а-2, —1—в + ш < 1 < т — в.

Задача. В области Б, ограниченной линиями 4=0, П = 1, П= 4, найти решение и(4,п)еС(п^(р)^с(п+1^(оиI) уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям

4

и( 4,4) = т( 4) = / T(z)(4—z) dt

0

(ц = 1—ш,—1 — р<ц<—р), (7)

р(4)101—а—цД+ц-“+р+ци(0,4)+

+ g(4)I0^oЦop’1+ц■a+p+ц и(4,1) = г( 4) (8)

Здесь через іа-Ь,с и І-іЬ,с обозначены операторы Saigo.

та,Ь,ег* _ 10- 1 -

--

Г(а) dn ,

} f(t)( -- t)a 1F(a + Ь,-с;а; -— )dt

'а---! )

- а >0; о)

с - Ь > -1,с,Ь є ^ є С[0,1]

Этот оператор обладает следующими свой-

ствами

і.(с )-1

-1

-а,- Ь,а+с 0-

г% та,Ь,сту,8,а+с та+у,В+б,с /

21 -1 10- =1 о? (а, У> 0)

(10)

(11)

Выразим и(0, х) через операторы Saigo

и( 0,-) =

Г(ц + а + Р)Г(2 - а - Р) іі+ц+а-ц-1,р_1о_(-) +

Г(1 -а)

0-

Г(а + Р)Г(Ц + 1) іі+.|г+а,-ц-і,р-іт(-)

Г(Р)

10-

Тогда

I---а-Ц.І+Ц.а+Р+Ци(0 -) =

Г( а + в)Г(ц +1) Г(Р)

Т( -) +

+ Г( а+р)Г(ц+1) Т( -) + Г( а+р+ц)Г( 2 -а~в) ^(-) (із)

Г(Р)

Найдем

Г(1 -а)

та,Ь,ср _ 1 -1 f =

(1--)-

1

-1f (t)(t - -)а-1 F(a + Ь,-с;а;^—-)ё-

Г(а)

ёп

(-1)п ——і-+п,Ь-п,с-п| ё-п -1

а > 0; а < 0;

с - Ь >-1,с,Ь є R,f є С[0,1]

Свойства этого оператора аналогичные.

В целях упрощения решения задачи выберем параметр d из условия 2 -в+5=а+ц+1, т. е. §=ц+а+в-1.

Тогда решение уравнения (1), удовлетворяющее краевому условию (7), примет вид:

и(п) = (п--)|Т(1)[ ^ | Б(-ц;а;а + в;^_|)ё- +

Г( а + в )Г( ц +1) Г(в)Г(1 + ц + а)

(п--)} т(-)|

п-1

п--

F(1 - в, а; а + ц +1; ——-)ё1 +

п-- / - л -1-а-в-ц -

-(--)} 0(-)[ | F(-1 - а - в - ц,1 -в;2-а-в; п-+

п - -

Г(ц + а + в)Г( 2-а-в) Г(1 -а )Г(1 + ц + а)

(--)} 0(1)1

п - -

п--

F(а,1 - в;1 + ц + а; ——- )ё-п--

(12)

Полагая в (12) - = 0 и п = -, получим

и (0, £,) =

Г(ц + а +р)Г(2-а -р) Г(1-а)Г(1 + ц + а)

Б (а,1 - Р;1 + ц + а;

А-*

)СІІ

Г (а + Р)Г(ц + 1) Г (Р )Г (1 + ц + а)

и(-,1) = (1 --)}Т(-)[ ^ ] ' F(-ц,а;а + в;^)ё-

1--

Г(а + в)Г(ц +1) ( - -)ц Гт(-)| 1-1

Г(в)Г(1 + Ц + а)У V 1 --

1 - -

F(1 -в; а; а + ц +1;------)ё- +

1--

(1 --)} 0(1)1

1-1 - -

1-а-в-ц

1--

F| 1 -а-в-ц,1 -в;2-а-в;—^ ё- +

Г(а + в + ц)Г(2 - а - в) Г(1 + а + ц )Г(1 -а)

(1 -- )ц} 0(-)[ 1

1-[_ --

1 - -

F( а,1 -в;1 + а + ц;---------------)ё- (14)

1--

Имеют место формулы

г{-ц, а,а+в; ^ У1-1

^| — ц,в;а + в;1| = Г(а + в)Г(в + ц)

і-- ] [ --- ] Г(в)Г(а+в + ц)

- ц,1 - ц - а - в;1 - ц - в;

--1--

Г(-ц)Г(а)

в,1 - а;1 + в + ц;

--1--

1 -в, а; а + ц +1;

1 - - У 1 - -

1 -и 1 --

Г( а + ц + 1)Г( ц + в) Г(ц + 1)Г( а + в + ц)

- ц,1 - а - в - ц;1 - в - ц;

--1--

Г(1 + а + ц )Г(-в - ц)

Г(1 -в )Г( а)

в+ц

1^] F(1 -а,в;1 + в + ц; ^);

+

+

+

+

+

+

+

где через и1 (-,1) и и 2 (-,1) обозначены соответственно три первых и три последних слагаемых формулы (15)

Б(1 - а - в - ц,1 - в;2 - а - в;

.1 --/1 --

1 - - [ 1 - -

1-а-в-ц

1--

-1+а+в+ц

1 - а - в - ц,1 - а;2 - а - в;

1--

---

применив которые, найдем выражение для и(-,1) в следующем виде:

и(-,1) = (1 --)ц

Г(а + в)Г(в + ц) Г(в)Г(а + в + ц)

1

}Т(^(-цД - ц - а - в;

t -1 -ц-в;-—-)* + (1 --)ц 1 --

Г(-ц)Г(а)

ц+в

Б(в,1 -а;1 + в + ц;

)Л + (1 --)ц

1 --

Г (а + в)Г (—в - ц)Г (1 + ц) Г(в)Г(1 -в)Г(а) .

Т(1)

І--

1 --

ц+в

F(1 -а, в;

1 — -

1+в+ц;т^ )*+(1 --)ц

Г(2 -а-в)Г(в + ц) Г(1 - а)Г(1 + ц)

}G(t)F(1 - а - в - ц,-ц;1 - в - ц;1—-)Л +

;1 --)

-1+а+в+ц

(1 - -)ц }0(1)[ і—-г I ^ - а -в -ц.1 - а;2 -а -в;т—- )^1 +

+(1 --)ц

Г(а + в + ц)Г(2 - а - в)Г(-в - ц)

Г(1 -а)Г(а)Г(1 -в)

0(1)

Г--.1 -Заметим, что

)в 1 Г(1 + в + ц)

в+ц

1 - -

Б(1 - а, в;1+в+ц; 1—-)Л

(15)

1+в+ц, -1 -ц,а -1’ -1

Т(-)

Аналогично можно выделить оператор Ба1§о из последнего слагаемого. Ввиду громоздкости, связанной с преобразованиями этих интегралов, выберем конкретное значение ц, учитывая, что —1 — р < ц < —р. Легко показать, что в качестве ц можно взять ц = —а — р + ш.

Действительно, исходя из верного неравенства —1 <—а + ш < 0, получим —1 — р<—а —р + ш <—р.

Итак, взяв в (15) ц = —а — р + ш, найдем

I0^—p—ц’—ц-1’а+p+ц (и! (41)+ и2 (4,1)) =

= I0l+аoшд-а-p+ш,ш (и1(4,1)+ и 2 (4,1)),

(-,1) =

= (- 1)ш ё | і«-1 в1 а 0и (,-1)=(,-1 Г(а + в)Г(т ~ а) ё

= 1 1 ё-т -1 Ц ' =1 1 Г(в)Г(т)

а-}Т(-)й|^а + в-ш,1 -ш,1 + а -+ (-1)т

Г( а + в)Г(а- т) ёт

Г(а)Г(а + в-т)Г(а-1)

1 -

(1 --)}(- - -)а-2 (1 - -)-в ё-} T(z)(t - z)—а+ш - 0

z - -

Й(в,1 - а;1 - а + ш;-—- )dz +

+ Г(1 - а - в + т)Г(а + в)Г(а - т)Г(1 - а + т) т(-) (16) Г(в)Г(1- в)Г(а) ( ( ;

Обозначим первое слагаемое формулы (16) через І1 ,второе через І2.

І1 = (-1)п

Г( а + в)Г(т -а ) ёш Г(в)Г(а-1)(т -1)! а-1

(1 --)в} (---)а-2 (1 - -)

а-в+т

а-

} Т(г)й(а + в- ш,1 - ш;1 + а - ш;^—- )ёг = Г(а + в)Г(т -а) ёт

=(-1)”

Г(в)Г( а-1)(т - 1)!ё-п

а-в+т

11 (1 — 4)Р/T(z)dzJ (t — 4)а—2 (1 —1)—а—1

04

z — t

F( а + Р — ш,1 — ш;1 +а — ш;-Ш.

1 — Г

Во внутреннем интеграле выполним подстановку t = 4 + (1 — 4^ и заменим гипергеометри-ческую функцию по формуле

- - и

Й(а + в - ш,1 - ш;1 + а - ш;--------) =

1 - -

ч т-1 Ґ

-—- ] 1 -в,1 - ш;1 + а- ш;^—-

Тогда І1 примет вид

І1 =(- хг ■

Г(а + в)Г(т - а) ёт Г(в)Г(а -1)(т-1)!а-т

[Т(7)(1 - 7)т-1 ё7} Vа-2 (1 - у)1-а-в

Й(1 -в,1 - т;1 + а- т;1-------------------(1 --)) = 0 (17)

1 - г

Действительно, гипергеометрическая функция 1 - в,1 - ш;1 -1--^ (1 - -)] представляет многочлен т-1 степени по переменной 1 -1— (1 --),

1 - -

линейной относительно х, т. е.

1 - V

Й(1 - в,1 - ш;1 + а - ш;1-(1 - -)) =

1 - -

= 1 +(1 ^Х1 -ш)^1 -Ы(1 --) | +

(1 + а- ш)1! [ 1 -л

(1 - в)(2 - в)(1 - ш)(2 - ш) (1 - 1 - v (1 - -))2 +

(1 + а- ш)( 2 + а- ш)2! 1 - -

+ (1 -в)(2-в).-(-в + ш- 1)(-1)ш-1 Г1 - 1-V (1 --)

(1 + а- ш)(2 + а- ш)....(-1 +а) [ 1 - -

т-я производная от которого будет равна нулю. Преобразуем второе слагаемое формулы (16)

І = ( 1)т Г(а + в)Г(а -т) Дт (1 - в^

2 Г(а)Г(а + в-т)Г(а-1) ё-т

1 г

■} (1 --)а-2 (1 - 1)-в } Т(1)(1 - 7)-а+т

7___1

Р(в,1 - а;1 - а + т;— )ё7 = (-1)т ■

Г(а + в)Г(а -т) _Ё”!(1 --)в} (1 --)а-2ё1

Г(а)Г(а + в - т)Г(а -1)

I" Т(г)(1 - - ) в (- - г) а+тй(в,ш;1 -а + т;—-)ёг 0 1 - -

Изменим порядок интегрирования

т ( 1)ш +(а + в)+(а-т) ёш --.р 2 ( 1 +(а)+(а + в -m)+(а -1) ё-т (

- 1

(} Т(7)(1 - 7)-в ё7 ■}(1 - -)а-2 (1 - 7)т-а F(в, т;1 - а + т; — )ё1

о - 7

1

+ } Т(7)(1 - 7)-в ё7 ■

-

1

■ }(1 - 2 (1 - z)m_« F(в, т;1 - а + т; —)ё1 =

J 1 - 7

= (-1)^^т(І21 +122) ё

(18)

где І

21

Г(а + в)Г(а- т) Г(а)Г(а + в - т)Г(а -1)

(1 --)■

} Т(7)(1 - 7)-в ё7} (1 - 7)т-а (1 - -)а-2 F(в,m;1 - а + т; -1—7)ё1

В гипергеометрической функции применим формулу перехода от аргумента х к 1 — х

тт/о , , t — г Г(1- а + ш)Г(1-а —в)

F(P,ш;1 — а + ш;----------------) = —-—-----— F(P,ш;а +

1 — z Г(1-а)Г(1-а - в + ш)

в 1 —Г(1 — а + ш)Г(—1 + а + в)

+ в; 1—7) + Г(в)(ш — 1)!

1 — t ^1oаoP 1 — t

F(1 — а —в + ш,1 — а;2 — а —в;--)

1 — 7 I 1 — г

Тогда 121 примет вид

I = Г(а + в)Г(а— ш)Г(1 — а + ш)Г(1 — а —в) ( „\р

21 = Г(а)Г(а + в — ш)Г(а — 1)Г(1 — а)Г(1 — а — в + ш)( '

4 1 1 — р

| Т(г)(1 — г)—в ёг| (1 — 4)а—2 (1 — г)ш—аР(Р,ш;а + в;—)ё1 +

0 4 1 — г

Г(а + в)Г(а — ш)Г(1 — а — ш)Г(—1 + а + в) ^

Г(а )Г(а + в — ш)Г( а — 1)Г(Р)(ш — 1)! ( —4)

4 1

| Т(г)(1 — г)а—1 dгJ (1 — t)1oаop (1 — 4)а—2 (1 — г)ш°а

1 - -

Й(1 - а - в + ш,1 - а;2 - а - в;-----)ё- =

1--

Г(а + в)Г(а - т)Г(1 - а + т)Г(1 - а - в) Г(а)Г(а + в - т)Г(1 - а)Г(1 - а - в + т)Г(а -1)

(1 --)в^

■}Т(7)(1 - 7)-

-а-в+т

ё7

1

1(1 --)а 2Р(а,а + в-т;а + в;------)ё1 +

1-7

Г(а + в)Г(а-т)Г(1 -а + т) Г(-1 + а + в) Г (а)Г (а + в - т)Г (а - 1)Г (в) (т -1)!

[т(7)(1 - 7)т-1ё7 ■

(1--)в

■ } (1 - 1)1-а-в (1 - -)а-2 F(1 - т,1 - в;2 - а - в; — №

1-7

-

Во внутренних интегралах сделаем замену переменной по формуле 1 - (1 - = -

І21 =

sin лasmп(а + в - т)(1 - -)в sin п(а + в)sin п(а - т)Г(а -1) 1

}Т(7)(1 -7) а в+тёг}((1 --)(1 -V)) 2F(a;а + в-т;

а + в;1—- V) 1-7

(1 --^ + -

Г(а + в)Г(-1 + а+в)

sin п(а - т) Г(а)Г(а - 1)Г(а + в - т)Г(в)(т -1)!

(1 — 4)в| Т(2>(1 — 7)Т-Ц ((1 — 4)у Х-“-в

[ Т(ъ>(1 — ъ>1+Т-а-вР(1,2 — а — Р;2 — а — в + т; >ёъ (20)

J 1 — 4

((1 — 4)(1 — у>>а—2 F(1 — т,1 — в;2 — а — в;(1 4>У>(1 — 4>dу =

1 — ъ

= sin па sin п(а + в — т)(1 — 4>а+в—1 sin п(а + в) sin п(а — т>Г (а)

4 1 —4

Г Т(ъ>(1 — ъ>Т-а-в Р(1, а + в — т; а + в; —4 >dz +---------П------

J 1 — ъ вт п(а — т)

0

Г(а + в>Г(—1 + а + в>Г(2 — а — в>

Г(а>Г(а + в — т)Г(1 — Р)Г(Р)(т —1>! 4

Г Т(ъ>(4 — ъ>Т—1ёъ = о

\а+в—

1—4,

-1- Г Т(ъ>(1 — ъ>Т-11 ^ I Р(1, а + в — т; а + в;>ёъ +

Г(ар 1 1 — ъ I 1 — ъ

< — 1^)ш—1 , Г)<!аГ+в1Г,<1~а‘)°°Пв в) ГТ(г)(4 — г)т—1 ,Ь(19)

(т — 1)!Г(а + в — т)яш п(а + в) •

Преобразуем второе слагаемое формулы (18)

122 =

Г(а + в>Г(а — т>(1 — 4> Г(а>Г(а + в — т>Г (а —1>

| Т(ъ>(1 — ъ>-

1

• Г 0 — 4>а-2 0 — ъ>т-а Р(в, т;1 — а + т;-^ >dt J 1 — ъ

ъ

Во внутреннем интеграле делаем замену переменной по формуле г + (1—г)у = 1

= Г( а + в)Г(а -ш)(1- 4)в 22 Г( а)Г(а + в-ш)Г(а-1)

1

| Т(ъ>(ъ — 4>а—2 (1 — ъ>т—а—в+1 ёъ

1

| ут-а (1-

1 — ъ

4-ъ

у>а 2F(в,т;1 — а + т;у>ёу =

Г(а + в>Г(а — т)Г(1 — а + т)Г(2 — а — в>(1 — 4>а+в 2 Г(а>Г(а + в — т)Г (а — 1>Г(2 — а — в + т)Г(2 — а>

1

Г Т(ъ>(1 — ъ>1+Т—“Л F2 (1,2 — а,2 — а — в;2 — а + т — в,2 — а;—>ёъ 4 1 — 4

(1 — а — в> вш п(а + в — т> вт п(а —1> — 4> а+в—2

(1 — а — в + т>Г(а> вт п(а — т> вт п(а + в>

1

Г Т(ъ>(1 — ъ>1+Т-а-в Р(1,2 — а — в;2 — а — в + т; ^^>ёъ = 3 1 — 4

(1 — а —в>(1 — 4>а—в—2 (1 — а —в — т)Г(а)

Подставим (19) и (20) в (18)

а+в—.

-ъ

12 = А- ( (-А Г Т(ъ>(1 — ъ>Т-11х—^

2 ё4Т Г(а> .1 I 1

ъ о 4

1 —4

Р(1, а + в — т; а + в; —->ёъ —

1 — ъ

Г(а + в)Г (1 — а> вт пв (т — 1>!Г(а + в — т>в1п п(а + в>

Т(ъ>(4 — ъ>Т-1Ръ + (—1>^

—1 1 — а — в

(1 — а—в + т)Г(а)

Т(ъ>(1 — ъ>Т

2-а-в

1 —

F(1,2 — а — в;2 — а — в + т;--------------->ёъ> =

1 — 4

Г (а + в)г(1 — а)т пв Т(4)+(— 1)т ёт г(а + в - т )ш п(а + в)П^+Г 1 ^

1 4 (1 — 4Л“+в-1

ЫТ(ъ>(1 — ъ>т-1( 1- 4 аЫ 1 1 -

Г(а>

1—41

1,а + в—т;а + в;—2 ръ-

1—ъ I

1 —а —в (1 — а—в + т>Г(а>

Т(ъ>(1 — ъ>

—1( 1 — ъ

т-1

1—4

2-а-в

1__ъ

Б] 1,2 — а — в;2 — а — в + т^—^

Ръ). (21)

Учитывая, что получим 12 ='(-(а’у(1 — а —вХ^ — а — в)-(т — а —в)

ГТ(ъ )(1—1

а+в-т -1

1 -4

—ъ

РЛ,а + в — т;а + в — т;1-4 —

I 1-ъ I

(1 — а — в)2 — а — в)..(1 + т — а — в) (— 1)т 1 — а —в + т г(а)

|Т(ъ» - ъН 1-4 ]2-“-,*т

1-ъ

Р 1,2 — а —в + т;2-а —в + т;^-^ ръ —

Г(а + в)Г(1 -а)ш пв Г(а + в - т)п п(а + в)

Т(-) =

( 1)1 г( + т - а - в) ( — 4 )с(+Р—т-1

г(а) г(1 — а —в)

Гт(ъ)(1 -^- Г(а + р)г(1-а)„п,р^ )(22)

J 4 — ъ г(а + в — т )й1п п(а + в)

Выражение для 11 и 12, найденные по формулам (17) и (22), подставим в (16) и найдем

I—1+а—тД-а-в+т,т-ц (4 1) =

= (— 1)тг(1 + т — а — в) ( 4 )И+Р—т—1

= г(а)г(1 — а —в) 4

} Т(

--7

Т(-)(-1) т Г (а + в)sin пвГ(1 - а - в + т) _ 1 Г(а) sin па

Г(а + в)Г(1 -а)sinпв Л =

Г(а + в- m)sin п(а + в) I

= (-1) Г(1 + т ~а - в) (1 - -)*+в-т-1

г(а)г(1 - а - в)

} Т(>

(1 - 7У'

-а-в+т

-- 7

.

(23)

(коэффициент у функции Т(х)равен нулю). Аналогично находится

I

-1+а-ш, 1-а-|

1-а-в+ш ши 2 (4,1)= (—1) 2 (4,1),

где и 2 (4,1) - три последних слагаемых формулы (15).

Итак,

1-1+а-т, 1-а-в+т; т^ (4 1) =

Г (2 — а —в)г(—а + т) ^

г(1 — а)г(1 — а —в + т)г(а — 1) Р41

1

Г(1—t )—а—в+т (t — 4)а—2dt

(-1)"

-(1 --)■

}о( Х1 -7)" 1 ■ F[l -т,1-а; 2-а-в;--—-]ё:

+ (-1)т (т - 1)Г(2-а - в) о(-)

г(1 -в) ^.

7+

(24)

Здесь учтено, что последний интеграл формулы (15) представим оператором Saigo

(| - -)-в

і1-а+т, а+в-1-т, «-1о(- ) = У1 _

-1 К Г(1 -а + т)

} о(-Х- - -У”-01 й|[вд - а;1 - а + ш;1--.

Преобразуем сначала гипергеометричес-кую функцию

1--

Й(1 - т,1 - а;2 - а - в;-)

- - -

Запишем формулу перехода к обратному аргументу

7 - 1

F(1 - а, в;1 - а + т;-) =

1 - Г

Г(1-а + т)Г(а + в-1) (1-1 Г(в)(т-1)! I 1 - 7

1 -1

F(1 - а,1 - т;2 - а - Р;---------------) +

7 -1

Г(1 -а + т)Г(1 -а-в) (1 -1

1-а

Г(1 - а)Г(1 - а - в + т) I 7 -1

1 -1

F(Р, а + р- т; а + р;------------),

7 -1

из которой определим функцию

1 -1

F(1 - а,1 - т;2 - а - в;---------------) =

7 -1

Г(в)(т -1)!

1 - 7

Г(1 - а + т)Г (а + Р - 1) I 1 -1

7 — 1

F(1 -а,р;1 - а + т;-------) -

1 -1

Г(1 - а - р)Г(р)(т -1)!

1 -а

1 - 7

1 - а -в

} 0()(1 - т, а + в- т;1 + а - т;-7—1 ]ё7 +

1 1--

+ (- 1)т ёт (1 --) I*(1 - Л-а-вА --)а-2ё1 Й(р,а + в-т;а + в;—-) перейдем к обратному

ё£т Г(а-1)

Г(1 -а)Г(1 -а-р + т)Г(а + Р-1) [ 1 -1

1 -1

F(P,a + P- т;а + Р;-----------). (25)

7 - 1

В гипергеометрической функции

аргументу

в

+

1 — t

F(P, a + P- m; a + P;--------) —

z-t

Г(a + P)Г(a- m) [ t - z

P

Ца + P- m)Г(a) I 1 - z

wm і z - t. Г(a + P)Г(m-a)

F(P,l - a;l - a + m;----) + —----------------

l -1

Г(P)(m -1)!

t-z 1 -1

a+p-m

F(a + P - m,1 - m;1 + a - m;---------------)

1 -1

Полученный результат подставим в (25)

l — t

F(1 - a,1 - m;2 - a - p;--------):

z-t

Гф)(т -1)!

t-z

Г(1 — a + m)Г (a + P — 1) 11 — t z-t

F(1 - a,P;1 - a + m;-------------)

1 -1

Г(1 - a -P)Г(a + P)^! - a + m)Г(a - m)

)-

Г(1 -а)Г(1 -a-p + m)Г(a + P- m)Г(a)

Г(1 -a-P^a + P^m -a) j1 - z Г(1 — а)Г(1 — a — P + m)Г(a + P— 1) I 1 — t

z -1

Fta + P - m,1 - m;1 + а - m;-)

1-t

Покажем, что выражение

Г(1 -а-Р)Г(а + Р)Г(1 -а + m)r( а- m)

1-------------------------------------- о

Г(а)Г(1 - а)Г(1 - а - Р + m)Г(а + Р - m) Действительно,

sin па sin п(а + Р- m) sin па(-1)msin п(а + Р)

1-----------------------1----------------------- о

sin п(а + P)sin п(а - m) sin п(а + Р)(-1)m sin па

Таким образом,

1-t

F(1 - а,1 - m;2 - а - Р;-) -

z-t

Г(2-а-Р^^-а) (t-z

Г(1 -а)Г(1 -а-Р + m) [ 1 -1

m z-t

F(а + В-m,1 -m;1 + а -m;---)

1-t

Подставляя найденное выражение для ги-пергеометрической функции в (24), получим

т—1+а—m.l—a—P+m.m-rт /£ i\_____

ІІ1 u2 (І,1) —

ІІ1

(-1)m(m - 1)!Г(2 -a-P)

Г(1 -P)

Г(2 — a — P^-a + m)

G© + (-1)”

dm

Г(1 - а)Г(1 - a - P + т)Г(а -1) d£n

l

J (1 - t)°„°p+m(t -І)„°2*

+ (-і)”

z-t

j G(z)F(1 -m,a + P-m;1 + a-m;-----------)dz =

— (-1)m(m - 1)!Г(2 -a-P)G(j)

Г(1 -P)

Г(2 - a -P)Г(m-a) dm _p

Г(1 - а)Г(1 -a-P + т)Г(а -1) d^” (

1

J G(z)(1 - z)m 0„0p dz

t-z

(t-І)„ 2F(a + P-m,a,1 + a-m;----------)dt .

1 1 - z

Выполним замену переменной по формуле

1 - (1 -£)v — t

I-1+„—m)1-aop+m)mu (і і) .

— (-1)т(т - 1)!Г(2 -a-P)

— Г(1 -P)

Г(2 -a-P^m -a) dm

Г(1 - а)Г(1 - а - P + т)Г(а -1) d£”

і

J G(z)(1 - z)m 0„0p dz

G(£) + (-1)”

-(і -І)

a+P—1

f (1 - v) F(a + p - m, a; a +1 - m;1----------v)dv —

J 1 - z

о

— (-1)m(m - 1)!Г(2 -a-P)

g® + (-1)”

Г(1 -P)

Г(2 -a-P^m -a) dm

Г(1 - а)Г(а - 1)Г(1 - a - P + m) d^1

і

. 1 0„0P -

; „ +1 - m;

о

J G(z)(1 - z)m—1 dz J (1 - v)„—- P,1 - m; a +1

1 - ЬІ V) = (-1)т (т - 1)!Г(2-а-в) О(-). (26) 1 - 7 Г(1 -в) 4 ’

Гипергеометрическая функция представляет многочлен т-1 степени относительно пере-1--

менной 1------- V , поэтому

1--

аш V

---Й(1 - в,1 - ш;1 + а - ш;1--) = 0.

а-т 1 - -

Подставляя (13), (23) и (26) в краевое условие (8), получим уравнение относительно неизвестной функции С(х)

(т - 1)!Г(2 - a - P)G(0

[ р(і) + (-l)mg(j)1

Г(1 -а) Г(1 -P)

1-а

+

Г(а + P)F(1 - а -P + т)

+ Гф)

рсотсі)+(-i)m - £)a+p'

Г(а)Г(1 -a-P)

T(z)

(1 - z)

1-a-P-m

І-z

-dz — г(І) .

Уравнение разрешимо при условии

P© + ( 1)mg(4) . о

■+(-1) 1Гв*о, о<£< 1

Г(1 -а)

Функции P(x), g(x) и r(x) - непрерывны на сегменте [0,1], g(£) - g*©£S (1 -£)S, где -а-Р + m< S< 1 -а-Р+m, о<S< 1; T(^) и G(x) — интегрируемые.

Список использованной литературы:

1. Hardy G., Littlewool I., Some properties of fractional integrals. I. Math., z., 27, 565-606, 1928.

2. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1962. 1110 с.

3. Saigo M., Math. Rep. Kyushu Unir, 1978, vol. 11.

4. Saigo M., Math., jap., 1979, vol. 24.

5. Ивашкина Г.А., Невоструев Л.М. Дифференциальные уравнения, 14, №2, 1978.

6. Нахушев А.М. Дифференциальные уравнения, 5, №1, 1969.

7. Ивашкина Г.А. Задача Коши для уравнения Эйлера-Дарбу с параметрами а>0, в<0, 0<а+в<1 // Вестник ОГУ. — 2002. — №5. — С. 98-106.