CC BY
28
Ивашкина Г.А., Спиридонова Е.В.
Оренбургский государственный университет E-mail: ekvls@mail.ru
ЗАДАЧА СО СМЕЩЕНИЕМ ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ
Задача со смещением для обобщенного уравнения Трикоми рассмотрена в специальной области, ограниченной нормальной кривой Г с концами в точках А(0;0) и В(1;0), лежащей в верхней полуплоскости у>0, лучом, выходящим из точки В и идущим в направлении оси Ох и характерис-
тикой АС: X -
2
m+2
(-y)
= 0 . Доказано, что решение задачи существует и единственно.
Ключевые слова: обобщенное уравнение Трикоми, сингулярное интегральное уравнение, единственность и существование решения.
1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение:
Sgny\y\mUxx +иуу = 0 , т > 0 (1)
в области Э, ограниченной нормальным контуром Г с концами в точках А(0;0) и В(1;0), лежащем в верхней полуплоскости у>0, лучом, выходящим из точки В и идущим в направлении оси Ох и характеристикой АС: х 2 х = х -
m+2
-(-y) 2 = о, уравнения (1).
т + 2
Обозначим Б+ и Б- - части области Э, лежащие соответственно в полуплоскостях у>0 и у<0, 1 = [0,+~].
Задача G. Найти в области Э решение и( х, у)еС(Б) П С1( Б+Ш ) П (Б~Ш) П С2 (Б + и Б-) уравнения (1), удовлетворяющие следующим краевым условиям:
и(х,у) |г = ф(х), (0 £х £ 1) , (2)
и(х,0) = §(х) "хе[1;»), (3)
Бо-/ и[ (х)]+ а(х)и(х,0) = Ь(х) "хе(0;+»), (4) Г 4
где во (x) = - - І
2
t-m+2
m+2
есть аффикс точки пересечения характеристики, выходящей из точки (х;0) с характеристикой
т+2
(-у) 2 = 0,
m+2
а(х), Ь(х), g(x), ф(х) - непрерывные функции.
На линии параболического вырождения выполняется следующие условие склеивания:
1ш Мху! = ит Мху!=и(х) "хе(0,+¥) (5)
у®-0 Эу у®+0 Эу • V /
2. Функциональное соотношение между
т(х) и п(х) . В характеристических координа-
_ ШТ2
тах x=x-(-y) 2 = о, h=x+~
т+2
,............... , (-у) ~ = 1,
т + 2 т + 2
уравнение (1) перейдет в уравнение Эйлера-Дарбу, область Б- - в бесконечный характеристический «треугольник»: Х = 0 ,ц = Х-
Решение задачи Коши с краевыми уравнениями
и( х,0 ) = р( х),
где
т(х), при0 < х < 1, g(х), прих > 1,
Ііт ди(x,у) =у(х) представимо в виде
у®-0 Эу
p( x )=
u(X,h)=g1 j(h-X)12p(h-1
P-1
(t-X)P 1 p(t)dt -
g2j (h-1) P(t-X) Pv(t)dt,
X
(б)
где
g1 =
Г(2P) Г2 ( P)
P=-
g2 =-
2P
m + 2
Г( 1 -2P) Г2 (1 -P)"
о <P<
2(т + 2)
Используя решение задачи Коши, найденные по формуле (6),определим
х
и(в0 (х)) = у 11х}~2р (х - г)р~1гр~1р(г)йг -0
х
- У21 (х - гУрг-ру(г)Л,
0
и, вводя операторы Римана-Лиувилля дробного порядка, получим:
и(в0 (х)) = у1г (Р)х1-2рБ0Ьхь-1р(х) -
-у2Г(1 -Р)БрР--1у(х )х-р (7)
Подставим (7) в краевое условие (4) и применим оператор Б‘рхр:
УГ( Р)Бр-хРх1-2рБ0РхР-1р( х ) -
— у2Г(1 - РП(х)х~Р + а(х)р(х) = Ь(х) (8) Учитывая, что р(0) = 0 и
Б10-хРх1-2РБ0РхР-1р( х) =
-р й
Г(2Р ) йх
|р(г)(х - г)2р 1йг-
-р х
Г( 2Р)
\р'(г)(х - г)2р 1йг
равенство (8) примет вид
]р'( г)( х - г )2Р-1Ж - У2-—-рп( х)+
0 ЁХП—Р
+ Г( Р)а( х )р( х)хР=Г( Р)хРЬ( х ) (9)
Из формулы (9) определим п(х) и подставим в (6)
и(Х,Л) = У1 ((V-Х)12Р (V- г)Р-1 (г-Х)Р-1 р(г)1г -
X
- Ё-]^- г )-Р(г-Х)Рх — X
г
]р'(2)(г - 2)2Р-<12+Г (Р )гР(а( г )р(г) - Ь( г))
х
Преобразуем интеграл
йг
(10)
3 = р (ц-г) р(г-Х) рйгрр'(і)(г-і)2р гйі =
= ]р'(г)йг] (V-г) Р(г-X) Р(г-2)2Р 1йг+
0 X
V V
+ ]р'(2)12 ] (V-г)~Р(г-Х)~Р(г-г)2Р-1Ж
X 2
Во внутренних интегралах выполним соответственно подстановки
V-(Л-Х)т = г и V-(V-г)ц = г, тогда J примет вид:
Х( % -1-2р
■’ц-Х
3=р р'(2)йірт~р(1 -т)
рп -т )-р
+Х р'(і)йірт~р(1 -т)2р-1
, X х ч1-2р
г2 (1 -р) Хг(ц-Хл
1 -П^т
ц-і
, ц-і 1 -^т ц-Х
2р-1
йт+
йт=
Г(2-2р)
ц-і
Р'( ?)Р
1 -р,1 -2р;2-2р;ц-Х- йі +
+
Г(1 -р)Г (2р) Г(1 + р)
цХ ( \р
ц - і
ц-Х
р'( ?)р
ц-і
1 -р; р;1 + р;^ йі ц-Х
Применим формулу интегрирования по частям:
3 =
Г2 (1 -р)
Г( 2-2р) \1-2р
-р( 0)
ц-Х
ц
Р(Х)Р (1 - 2р,1 -р; 2 - 2р;1) ц-Хх
1 - 2р,1 - р,2 - 2р,
-р(1 - 2р)
ц-Х
-2 р
ц-і
ц-Х
х
2 - 2р,1 -р,2 - 2р
(ц-і )2 ц-Х
Р( і )Р X
Г (1 -р)Г ( 2р)
Г( 1 + р)
ц-і
ц-і
-р(Х)¥ ( р,1 -р,1 + р,1)+
ц-Х ц-Х
1 -р,1+р,1+р
ц-1 ц-Х
г2(1 -р)
Г(1 - 2р)
Х
р(ц-Х) 2рр(і)(Х-і)р 1(ц-і)р 1йі+
Г(1 -р)Г( 2р) Г(р)
р(ц-Х)12рр( і)( і-Х)р 1(ц-і)р 1йі
X
Найденные значения J подставим в (10)
2 X
и(^;ц) = ЁП—РГ (1 -Р) ](h-X)1~2рX ^ и — Г(1 -2Р)] 1 ^
XV- t)Р-1(X- г )Р-1 р( ()Л -
- Ё—РГ( Р)^-г ТР(г ) - Ь(г)]
— X
(11)
При 0<x< 1, 0<ц< 1 функция р(х)=т(х), которая неизвестна, при 0 <X<¥, 1 функция р(х) = ё(х) .
3. Принцип экстремума. Определим знак п(х) при условии, что Ь(х)°0 и а(х)>0.
При 0 £ х £ 1
у2 — ап( х) = (г'( г)( х - г )2Р-11г + Г( Р)а( х)хРт( х) (12) вт-Р 0 4 '
Пусть х=X — точка положительного максимума функции т( х) .Тогда второе слагаемое Г(Р)a(X)XРt(X) > 0.
Рассмотрим
X 4-е
]'(1 XX-г)2Р-1Ж = Пт ( т'(гXX-г)2Р-1Ж =
1 е®0 3
= Пт
е®0
Х-е
х(г)(Х-г)2р-1 Х-е-(1 -2р) рт(0(Х-02р-2йг
= Ііт
е®0
Х-е
т(Х-£)£2р-1 -т(0)Х2р-1 + (1 -2р) р X
Х
р
р
Х[(Х)-х(г )]Х-і)2р-2йі - (1 - 2рХ(Х)(Х]-_ 2р Х-е
= Ііт
е®0
Х-е
(1 -2р) р((Х)-х(г))Х -г)2р-2йг -((Х)-х(Х -еУр-1
Будем полагать, что х(х) удовлетворяет условию Гельдера с показателем 1 -2Р+5, где
X
5 > 0. Тогда ( 1'(г XX - г )2Р-111 будет иметь положи-
0
тельный знак, следовательно, у( х) > 0.
Это противоречит принципу Заремба-Жиро [1].
Лемма (принцип экстремума). Если Ь(х) ° 0 и а(х)> 0, то положительный максимум в замкнутой области б+ достигается на Г.
Из принципа экстремума следует единственность решения области Б+и Б-, где б- — область, ограниченная отрезками АВ оси Ох и характеристиками,выходящими из точек А и В. Решение задачи в области б- = б- \б- следует из единственности решения задачи Коши.
4. Сведения задачи G к сингулярному уравнению. Основное соотношение между X х) и п( х), принесенное из б+ на линию вырождения типа, имеет вид
т( х)=-к1 ] п(г )^|х - г| 2Р - (х+г - 2хгу2Р~\йг+Ф( х),
где
Ф(х) = 2к1 р( 1 - 2р)-р х( 1 - х)р <р(г)(( 1 - г)]-1X
0
х[х2 +(1 - 2х)]1-рйг,
2р 2
к1 = 1
Г2(р)
4—у т + 2 0 Г(2Р) .
Подставим выражение для у(х), найденные по формулам (12) в (13)
Т(х) = -ЕО-] Г|х-Л-2Р-
-(х+г-2хгу2р 1-1] т'(2)(г-2)2р-112+
и
+ Г( Р)хР [а(1)т(г) - Ь(г)] + Ф( х)
Рассмотрим интеграл
(14)
1 -2р
31 =р I |х-г\ 2р-(х+ г-2хгу2р Ійгр Х(-)(г-і)2р-1йі = 0 1 0
= Р Г|х-г\ 2р-(х+ г-2хгу2рІйгр х'(-)(г-і)2р-Ійі+
0 0
+-х)~2р -(х + г-2іху2р\ір х'(і)(1 -і)2р-1 йі = і1 + і2
Преобразуем ^ изменив порядок интегрирования
11 = (т'(2)12р [х-гу2Р -(х+г-2хг)~2р\ -2)2Р-1Ж
0 2
Выполним замену переменной по формуле / = г + (х - г)%
11 = Х(т'(2)с{2( (1 -XУ2рX2р-1dX-
00 \2р
-р.Ц] й-]^-1\1 -(2х-1ХГ-)хТ йХ
0 I х + і - 2хі 0 0 І х + і - 2хі 0
-т(х) —— р Х(-)[■
( ( 7 2р р ( ^
зіи2жр
х +1 - 2х-(2х -1)(х -1)
ХЛ 2р,2р;1 + 2р,
I х + 2 - 2х2
Применим формулу интегрирования по
частям:
2Р
і1 =
зіп2к/}
х( х)-
«-)\х^2 )' 2рр \2р,2р;1+
+ 2р;(2х- 1)(:с-і) ^ х + рт(-)(2х(1 -х))1-2р
х+-- 2хі 0 0 0 х + - - 2х-
й-
р
$іп2п
(х - -)
2р-1
-й-
-Xх) -(2х(1 - х)У-2Р( Т(2)( .
: 0 х+2 - 2х1
Рассмотрим интеграл:
12 =( [ - х у2р - (г+х - 2гху2р\г( т'(2)( г - 2)2р-112 =
х 0
= ( т'(2)12( (г - хУ2р - (г + х - 2гху2р\-2)2р-11г +
0 х
+ (т'(2)12( [(г - хУ2р - (г + х - 2гху2р (г - г)2р-1 \г =
= 121 +122 (17)
Используя подстановку г=1 -(1 -хX , 121 запишется в виде:
і21 =р *'(і)(1 - х)1 2р(1 - -)2р 1
—^F\ 1;1 - 2 р;2 - 2р;—
1 -2р I 1--
- FІ (1,2р,1 - 2р;2;1 - 2х:
1 - х
1 - -
й-
Применим формулу интегрирования по частям:
і21 =Х х)Ііт-------------F (1,1 - 2р;2 - 2р;
х1-2р
;1-х 1 - і
-хх^(1,2р,1 -2р;2;1 -2х;1)-р X-)\^
1-2р 1 - х і й-
+ рХ-)(1 - 2р)\1-х 1 X
1 - 2
-2р
X 1 х , FІ (1,2р,2 - 2р;2,1 - 2х;У- =
(1 --) І 1 -1 I
+
х - 2
= х( х )Ііт F (1,1 - 2р;2 - 2р; 1-х
1 - 2р -®х \’н’ н’ 1 - -
1-2р 1 - х і й-
|--рТ(х^(1;2р;1 + 2р;1 -2х;)-р х(-)^)
+ (1 -2р)\ «-^ У -±-F(1,2р;2;^- .
Имеет место тождество F ( 0,2р -1;1; -) - F (1,2р -1;1; -) + ( 2р-1)^ (1,2р; 2; -) = 0, с учетом которого
х+--2х-
1 -2р х+--2х- 1 -2р
X (1 --)1-2р(х --)2р .
х + - - 2х-
Подставляя полученное выражение для гипергеометрической функции в і21 , получим
• 1 х(х)Ііт F (1,1 - 2р; 2 - 2р; 1-
1-2р х( х) 2р
І 1 - -
F (1,2 р;1 + 2 р;1 - 2х;) +
+ (1 - х )1-2р р х(і)(1 - -)2р-1\—-------^г+
(1 -х)-213р х(-)(х--)2М
х+1 - 2хі I й-
х+1 - 2хі
0
Интеграл і22 с помощью подстановки г=1 -(1--)Х приводится к виду:
1 2р
^ = рх'(-)(^ тх)
—F \1,2р;1 + 2р;— 2р I И И 1 - х
й-
Применяя формулу интегрирования по частям, получим:
-2р
х(х)Ііт F (1,2р;1 + 2р;
1--1-х
|+—х( х ^ (1,2р;1 + 2р;1 - 2х) +
И 1-х П1
V
-- х х+--2х-0
Так как і2 = і21+і22, то в результате сложения будем иметь
і2 =р Х(-{—--------1~^~^- +
0 І - - х х+1 - 2хі I
+ [2х(1 - х)]-2р 1 х( х)————————й-
0 х + - - 2х-
и, следовательно, по формуле (15) получим
31 =
---------х( х ) +1 х( х)
зіп2пр 0 I 1 -1
1 Т( х /^ у и------------1—и
0 I 1 - 2 0 I 2 - х х + 2 - 2х2 0
Подставляя J1 в (14), получим сингулярное интегральное уравнение для определения функции х( х)
х(х)+Х\ Г — 1 Рх(1{—------------1---\г =
0 у 1 - г 0 у г - х г + х - 2гх )
1
= -1( к(х,г)х(г)1г+Л(х) (18)
где
Х = -
зіп2лр
—(1 + 2 ып—р ) к( х,г) = Г( р )|ё х - г) 2Р - ( х + г - 2гх у2р~\\1р а(г),
1 -2Р
Л(х) = 1Г(р)( \ \х - г\~2р - (х+г -2ьху2р \грЬ(г)1г +
0
+ _2*пр_ф( х).
1 + 2 вгп—р
5. Исследование функции Л(х) и ее производной. Рассмотрим первое слагаемое формулы Л(х) и оценим его по модулю. В силу непрерывности функции Ь( х), она ограничена, т. е. |Ь( х) £ М1
|1;| £ Ь1 ( [(х-г)-2р -(х+г -21ху2р\р +
0
+ ( (г - х )2р — (х+г - 2гху2р\р 1г
Выполняя соответственно подстановки х7=1 и 1 - (1 - х )2 = г, сведем интегралы к гипер-геометрическим функциям:
3 < Ь1х1-р
+ Ь1( 1 - х )‘-2р
В( 1 + р;1 - 2р)----1—F (1 + р,2р; 2 + р;2х -1)
1+р
^ (1,-р,2 - 2р,1 - х) -
1 - 2Р
- Л1( 1,2р,-р,2,1 - 2х;1 - х)
Покажем, что J1 обращается в нуль при х=0 и х=1. Действительно, при х=0 первое слагаемое обращается в нуль, второе слагаемое при х=0 примет вид
1 Г(2 - 2р)Г(1 -р) Г(1 + р) Г(2 + р)Г(1 -р)
--0
ё 1 - 2Р Г(1 - 2Р)Г(2-Р) Г(2 + Р) Г(1 + Р)Г(2-Р)
Аналогично, при х=1 второе слагаемое равно нулю и первое также равно нулю:
~Г(1 + р)Г(1 - 2р) 1 Г( 2 + р)Г(1 - 2р) ~
Г( 2 -р)
1 + р Г (2-р)
-- х
+
+
Нетрудно показать, что 1 в точке х=0
имеет особенность порядка р, а в точке х=1 — особенность порядка 2р.
Прейдем к исследованию функции Ф(х).
Ф(х) = к2х( 1 -х)( ф(г)(( 1 -г)]р-~2(с2 + (1 -2х)г\
dt,
где
k2 = 2kIp(1 _ 2 p )~p
2 Sinpp
1+2 вт-Р
Пусть
ф(х) = [х(1 - х)]Р+ 2 ф (х), где ф'( х) — непрерывная на [0;1].
Тогда
|Ф(х)\ £ к2х( 1 - х)М1 ( ((1 - г)\р [х2 + (1 - 2х)г'\ \ \г.
0
Из неравенства видно, что Ф( х) — ограниченная величина, причем Ф( 0)=Ф( х)=0.
Заметим, что при замене х на 1-х и Ь на 11, подынтегральное выражение останется тем же самым с той лишь разницей, что аргумент у функции ф*(х) заменится на 1 - г. Выясним, как ведет себя — при х ® 0 и х ® 1. В силу сказанного достаточно исследовать поведение
Ш
при х ® 1 или х ® 0 . Проще это сделать при х ® 1.
Найдем
dx
1 _ 2x )xF (1+2 p ,1 + p ;2 + 4 p ;
2x _ 1
_2x(1 _x)(1 + p)F(l + 2 p2 + p;2 + 4p;2xTl |+
I _ 1
+ (1 + p)(1 _x)FI 2 + 2 p,2 + p;3 + 4p;^-L
= k2Mx-3-2
- 2x(1 - x)(1 + )
l _ 2x )xF (l+2 p ,l + p ;2 + 4 p;
2x-1
2 -2
1-x
2 -2
F11+2 p ,3 p ;2 + 4 p; |+
2x-1
Fj^l + 2p,1 + 3 p ;3 + 4 p, 2
+ (1 _ x )(1 + p )|
Из последнего неравенства видно, что при
dx
стремиться к бесконечности порядка 1 - 2 р. Ту же самую особенность имеет 1ф-при х ® 0, в чем еще раз можно убедиться, выполнив переход от аргумента 2=к аргу-
менту
±- = х2
1 - 2 (1 - х)2'
Итак, функция Б(х) непрерывна, в отрезке [0; 1] и на его концах обращается в нуль;
имеет производную —, непрерывную в интервале (0;1) и допускающую в точках х=0 и х=1 интегрируемую особенность.
Сингулярное интегральное уравнение (18) есть уравнение нормального типа. Решение такого уравнения существует в силу единственности решения задачи О [4].
10.09.2012
Список литературы:
1. Бицадзе, А.В.Уравнение смешанного типа / А.В. Бицадзе. — М.: Изд. АНСССР, 1959. — С. 84-86.
2. Градштеин, И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштеин, И.М. Рыжик. — М.: Госуд. изд. физико-математической литературы, 1969. — С.168-169, С. 298-301.
3. Смирнов, М.М. Уравнения смешенного типа / М.М. Смирнов. — М.: «Высшая школа», 1985. — С.159-161.
4. Мусхелишвили, Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мусхелишвили. — М.: Физматгиз, 1962. — С. 235-239.
Сведения об авторах:
Ивашкина Галина Андреевна, доцент кафедры математического анализа Оренбургского государственного университета, кандидат физико-математических наук Спиридонова Екатерина Владимировна, старший преподаватель кафедры математического анализа
Оренбургского государственного университета 460018, г. Оренбург, пр-т Победы, 13, ауд. 2240, тел. (3532) 372576
UDC 517.944
Ivashkina G.A., Spiridonova E.V.
Orenburg state university, е-mail: ekvls@mail.ru THE PROBLEM WITH SHIFT FOR A SPECIAL AREA
Problem with shift for generalized Tricomi equation is considered in a special area, bounded normal curve Г with endpoints A (0, 0) and B (1, 0), which lies in the upper half y >0 , a ray emanating from the point B and going in the
2 m+2
direction of Oх, and feature АС: x = x------(-y) 2 = 0. Proved that the solution exists and is unique.
m+2
Key words: generalized Tricomi equation, singular integral equation, uniqueness and existence of solutions.
