Краевая задача для дифференциально-разностного уравнения эллиптико-параболического типа третьего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Е.А.Зарубин

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИКО-ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Для уравнения смешанного эллиптико — параболического типа Lu = х -t)u(x -t, y), Lu = l)u при y>0, Lu = L2u при y<0, Lu = uxxx(x,y)-uy(x,y), L2y = uxxx(x,y) + uyy(x,y) H — функция

Хевисайда доказана однозначная разрешимость краевой задачи R в области D = Di и D2 и J , где

+ ¥

D1 = {(x, y): x > 0, 0 < y < l}, D2 = U D2k, где D2k — односвязная область, ограниченная от-

k=0

резком Jk = {(x, y): kt < x < (k + 1)t, y = 0} оси x и непрерывной "нормальной" кривой Pp =(x - (2k +1)t 2)2 + y2 = t2/4, лежащей в полуплоскости y < 0 и опирающейся на ось x в точках (kt, 0) и ((k + 1)t, 0) (k = 0,1,2,...).

i+¥ iuxxx (x, y) - uy (x, y), y > 0;

Пусть D = D1 U D2 U J, где J = U Jk , И L u(x, y) -

k=0 i uxx (x, y) + uyy (x, y), y < 0

эллиптико-параболический оператор.

Рассмотрим в области D уравнение

Lu(x, y) = H(x -t) u(x -t, y), (1)

где 0 < t ° const, H(X) - функция Хевисайда [1].

+ ¥

Пусть D1 = U D1k, где D1k = {(x, y): kt < x < (k + 1)t, 0 < y < 1}

k=0

З а д а ч а R. Найти непрерывную в замкнутой области D функцию u(x, y) с непрерывными внутри D производными ux (x, y) и uy (x, y), удовлетворяющую уравнению (1) в области D при y Ф 0 и граничным условиям

u(0, y) = j1(yX ux(0, y) = j2(y), u(+¥, y) =0, 0 < y <1;

u(x, y)| = fk (s), kt < x < (k + 1)t (k = 0,1,2,...),

1 pk

где j (y) (/ = 1, 2) - заданные непрерывные, а fk (s) - дважды непрерывно дифференцируемые

функции, причем j1(0) = /0(0), fk (l) = fk+1(0). Длина s отсчитывается от точек (kt, 0) в по-

ложительном направлении; l - длина полуокружности pk = t/ 2, а l = ntj2.

Пусть ю(x) = u(x,0), v(x) = uy (x,0).

Единственность решения.

Т е о р е м а. Однородная задача R (j1 = j2 = /k = 0) имеет в области D тривиальное решение.

Доказательство. В силу непрерывности первых производных от u(x, y) из параболической части D1 области D получим на y = 0 соотношение

сот(x) = n(x) + H(x -t) w(x -t), x > 0, (2)

причем

o(kt) = 0, о'(0) = 0, о(+да) = 0 (k = 0,1,2,...). (3)

Исходя из (2), при 0 < x < t имеем H(x -1) = 0, о(x) = n(x) и потому, в силу (3), имеем t t *

bo =|о(x) v(x) dx = |o(x) о"'(x) dx = — (о'(r))2 < 0. (4)

0 0 2

С другой стороны, интегрируя по области D20 тождество

u(X, у) L и(X, у) ° и(X, y) {uxx (X, у) + Uyy (X, у)) =

= (u(X, у) UX(X y))X + (u(X У) uy(X У))у - u2 (X y) - u2 (X y) = 0

и учитывая, что u \ = 0, найдем

bo = jj(u2 (x, y) + u2 (x, y)) dxdy. (4,)

D20

Так как из (4), (4') следует, что b0 = 0, то из (4') имеем ux (x,у) ° 0,

uy (x,у) ° 0 "(x,у) є D20. Значит u(x, у) ° const "(x, у) є D20. Но u(x, у) є C(D) и u\A = 0,

поэтому u(x,у) ° 0 "(x,у) є D20. Следовательно, в частности, u(x,0) = m(x) = 0 при 0 < x < t и w'(t) = 0.

Аналогично, учитывая, что w(x) = 0 при 0 < x < t, w(t) = w'(t) = 0, w(2t) = 0, можно показать, что u(x, у) ° 0 "(x, у) є D21 и, значит, u(x,0) = w(x) = 0, когда t< x < 2t, причем а'(2т) = 0.

Продолжая процесс, найдем

u(x,у) ° 0 "(x, у) є D2 и u(x,0) = w(x) ° 0 "x > 0. (5)

i( X у) uxx(x, у) - 2 e (X у) 1- 2 IT (e ^ 2( X у))-

2 0 2 dy

В области П1 рассмотрим тождество

и(х, .у) е~аЬ и(х, у) ° и(х, у) е~а (иххх (х, у) - иу (х, у) - Н(х - т) и(х -т,у)) =

_ д дх 1

-а(ху)-е-„(ху) Н(х-т) и(х-ту) _О, а.ош,.

Интегрируя его по области П1е8 _ {(х, у) :0 < х < 8, е < у < 1}, где 8 > 0, 0 < е < 1, применяя формулу Грина, переходя к пределу при е ® 0,8 ® +да, используя однородности граничных условий и (5), получим

Ie ayu2x(+¥,у) dy + e a Iu2(x,1) dx + (a-1)jje au2(x,y) dxdy-

.........' +

0 0 П10

+ (а-2) 1Г е~аи2(х,у) dxdy + 1Г е(и(х,у) + и(х-т,у))2dxdy _ 0.

А А

Отсюда, при а> 2, и(х, у) е С(П) и из однородности граничных условий имеем

и(х, у) ° 0 "(х, у) е П1. Последнее утверждение вместе с (5) доказывает теорему, т.е.

и(х,у) ° 0 "(х,у) е П.

Из теоремы непосредственно следует, что задача Я имеет единственное решение в П. Существование решения задачи Я.

Решение уравнения (1) в области П2к, удовлетворяющее условиям

и(x,у)| Р _ Л (^ иу(x, у)| 0 _п(x), х е -1к ,

1Ик у 1у_0

выражается формулой

ик(x,у) _и0к(ху) - Ц ик-1(Х,Ф (Х + т^;x,у) dxdh, (x,у) еП2к, (6)

П2( к-1)

(к _ 0,1, 2,...), где

1 (к+1)т 1 д

и0к(x,у) _-— | КО°к(,,°;x,у)^+^~11к(5)°кХ(ь')Жь,);x,у) ^

2л * 2Р дЖ

кт р

и

„ . 4ГкГ1к Рк

Ок(^у;xo,у0) _ 1п-----2---к- ;

т г г1

2}-(х-хо)2 + (у + yo)2, -2

Гі21 Пк

(х - (2к +1)т/2 - х 0 )2 +(у + у о )2

— т2 — т2

х о = —-2 (хо - (2к +1)т/2К У о = ^т Уо,

4рк 4рк

причем и(-1) (х, у) = о и, без ограничения общности, /к (о) = / (о) = /к+1 (I) = /к'+1 (I) = о. N -

внутренняя нормаль границы.

Полагая в (6) у _ 0, найдем функциональное соотношение

(к+1)т

1 \ЛТ1 ^ ^

а( х) =— Г у(І )1п - Г

I х - г |

12 х/ т - 2к -1| (хк - г)

ёг + Рк (х), кт < х < (к + 1)т,

(7)

(2к +1) х - 2тк (к +1)

где хк _------------ --------------, а

2 х/ т - 2к -1

рк(х) _ -Л 1 /к(5) °к((s), п(•*); x,0) ^- Ц ик-1(Х п ск(Х+т, п;х,0) ^^.

2л Р дЖ п

Рк П2 (к-1)

Известными методами [2] можно показать, что Рк (х) е С 1[кт,(к + 1)т] I С2 (кт, (к + 1)т), причем Рк (х) при х ® кт или х ® (к +1)т обращается в бесконечность порядка меньше еди-

ницы.

Дифференцируя (7), получим

(к+1)т /

'(х) = - - Г п(г) - “

1 2к +1 - 2 г/т

+ -

А

ёг + Р1 (х),

(8)

, - х (2к +1)(, + к) - 2,х/ т- 2ик(к +1) кт < х < (к +1)т .

Функциональное соотношение между о(х) и п(х), принесенное из параболической области П1 на у _ 0, определяется из решения задачи (2)-(3) относительно о (х) и имеет вид рекуррентной формулы

1 х

а(х) = — Г(х - г)2 [г) + н(г -т) а (г -т)]г -

2т

( к )2 (к+1)т

х т Г ((к + 1)т - г)2[Кг)+н(г -т) а (г -т)] ёг +

2т

кт

Отсюда

+ 1 Н(х - т) (х - кт)((к + 1)т - х')а'(кт), кт £ х < (к + 1)т (к = о,1, 2,...).

0 (х) = Г (х - г) [г) + н(г - т) а (г - т)] -г -

(9)

х - кт

кт (к+1)т

Г ((к + 1)т - г)2 П(г) + н(г - т) а (г - т)] ёг +

кт

+1Н(х - т) ((2к + 1)т - 2х) а ’(кт), кт < х < (к + 1)т.

(Ю)

Исключая а'(х) из (8) и (Ю), приходим к сингулярному интегральному уравнению первого рода для определения функции п(х):

. (к+1)т (

- Г п(г)

тт •>

кт

1

2к +1 - 2 г/ т

А

ёг = Як(x),

г - х (2к + 1)(г + х) - 2г х/т - 2тк(к +1) ^

х

кт < х < (к + 1)т (к = о, 1, 2,...), где як (х) = Р^(х) - |(х - г) П(г) + н(г -т) а(г -т)] ёг +

кт

х - кт( к+1т 1

+--------2— Г ((к + 1)т - г)2[^(г) + н(г -т) а(г -т)] ёг------н(х -т) ((2к + 1)т - 2х)<э'(кт).

(11)

кт

+

Исследования показывают, что gk (х) (§'к (х)) при х ® кт и х ® (к + 1)т стремится к конечному пределу (обращается в бесконечность порядка не выше единицы).

Предполагая, что gк (х) известна, будем искать решение п(х) уравнения (11) в классе функций, удовлетворяющих условию Гельдера на интервале кт < х < (к + 1)т . Тогда функция gk (х) также удовлетворяет условию Г ельдера.

Произведя в уравнении (11) замену переменных и функций по формулам

х - кт

Кх) = Ь(У), ёк (х) = Рк (У), У =

(12)

Л

= Рк (уХ 0 < у <1-

(13)

получим уравнение

1 " 1 1 - 2Х

------1------------

_ Л-у Л + у - 2Х у ,

Для решения уравнения (13) применим метод аналитического продолжения в комплексную область.

Пусть г - произвольная точка комплексной плоскости. Следуя идее Карлемана [3], поло-

Ф( 7) =

Р Ьл)

2лі і

(

1

1 - 2Л

\

д.Л.

(14)

Функция Ф(х) голоморфна как в верхней, так и в нижней полуплоскости, принимает соответствующие предельные значения Ф+ (у), Ф-(у), когда х стремится к точке у действительной оси. Кроме того, Ф(х) из (14) обладает свойством

Ф| — | = (27 - 1Г Ф(7).

Следовательно,

Ф±

У ' = (2 у -1)2 Ф т (у).

2 у -1

Используя формулы Сохоцкого [4], при 0 < У < 1, имеем

Ф+ (У) + Ф- (У) =

—Ьл) р і „

(

1

1 - 2Л

Л-У Л + У - 2Л У

с1Л;

Ф+(У) -Ф-(У) = Ь( У). Уравнение (13) с помощью (17) можно переписать в виде

Ф+ (У) + Ф- (У) = -і рк (У), 0 < У < 1.

При у < 0 или у > 1, производя замену у на

У

2 у -1

в (19) и учтя (16), получим

Ф+ (У) + Ф (У) =------------1---Т Рк I --У--- I , -¥< У < 0, 1 < у < +¥ .

(2у -1)2 ^2у - Г

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

Таким образом, решение сингулярного интегрального уравнения первого рода (13) сводится к следующей задаче Римана на комплексной плоскости: найти функцию Ф( 7), голоморфную в верхней и нижней полуплоскости, удовлетворяющую тождеству (15), исчезающую на бесконечности по граничному, согласно (19)-(20), условию

где

(22)

Г(У) =

Ф+(У) - 6(у) Ф-(у) = г(у),

0( у) = -1;

- ірк( у X 0 < у <1;

У

----------2 Рк|

(2у -1)2^к ^2у -1

- ¥ < У < 0, 1 < У < +¥.

(21)

Индекс задачи (21): к = 0(у) = 0 .

т

Функция Ф(7) может быть построена в явном виде.

Решим предварительно соответствующую задаче (21) однородную задачу, что позволит провести факторизацию коэффициента С(у) из (22).

Найдем функцию с(7), голоморфную как в верхней, так и в нижней полуплоскости, удовлетворяющую на действительной оси условию

С+(У ) = G(y )с~(у), (24)

или, что то же, 1пс+ (У) - 1п(У) = 1п^(у).

Одно из частных решений последнего уравнения есть функция

1пС(7) = р. Ііт [ "Л;(ЛЛ йЛ= [1п^(Л) =1п(-1) = іл] = ]| Л

2л і л Л - 7 2 і і Л -

-Ы 7 0 V7

- 7 Л + 7 - 2Л 7

Л (25)

-ы

которая удовлетворяет условию

Л—V—

2х -10 с(х)

Из (25) находим 1пс± (у) = 1 1п У ± гР .

2 1 - у 2

х

Под 1п----- следует понимать ту ветвь логарифма, которая голоморфна в плоскости, разре-

1 - х

занной вдоль лучей (-¥,0) и (1,+»), и принимающую действительные значения на отрезке [0,1].

Следовательно,

с" (у) = ±^ <26)

- решение однородной задачи (24).

Перейдем к решению неоднородной задачи (21)-(23).

С помощью (24) коэффициент G(у) из (22) задачи (21) факторизуется и потому краевое условие (21) приводится к виду

Ф+ (у) Ф-(у) = г( у) с+(у) (у) с+(у)

Так как индекс задачи (21) равен нулю, то, на основании (27), решение задачи (21) с учетом (23) можно записать в форме

1

Ф(х) = _±_ +» =-Ш*. Г_±_ + 1 -2Х х

с(х) 2р/-¥с+ (Х)Х-х 2р0 с+(Х) IХ-х Х + х-2Хх0 '

На основании (18), (26), найдем

п(у) = Ф+(у)-Ф-(у) =--|Рк(Х) Г+ Х 1 ^Х, 0<у < 1.

р 0 К(1 - у) IТ-у Т + у - 2Т у 0

Возвращаясь к старым переменным и функциям по формулам (12), получим решение уравнения (11) в форме

1 (к+Рт 1(х - кт)((к + 1)т- і) I 1

Кх) =------[ 8кШ(. . )/(. 1)-) | —

л І М(і - кт)((к + 1)т- х)і -

кт

2к +1 - 2і/т Л

+ - х

+--------

(2к + 1)(і + х) - 2хі/т - 2тк(к +1)

йі, кт < х < (к + 1)т .

Подставляя вместо gk (/) правую часть уравнения (11), получим для определения функции п(х) уравнение Фредгольма

(k+1) t

1 IV ~ 1 J V

n(x) - — f n(t) Mk (x, t) dt = hk (x), kt < x < (k + 1)t, p f kt

(k+1)Z ((k + 1)t- t)2(k+1)Z

где Mk t) = f Qk(x,X)(X-1) dx- ---------------------------2— f Qk(x,X)(X- kt) dX;

t t kt

1 (k+1)t x

hk (x) = — f Qk (x,X) Pk'(X)-f (X-1) H (t-t) ©(t-t) dt +

X- kt^k+1)r 1

+ f ((k + 1)t-t)2H(t-t) ©(t-t) dt --H(X-T) ((2k + 1)t-2^)©'(kr)

t 2 kt t

Q (x,X) = /(x - kr)((k+1)t- XX f _x_ + 2k+1 - 2x—

dX;

(Т -кт)((к + 1)т -х) )Т-х (2к + 1)(Х + х)-2хХ/т-2тк(к +1)

Задача Я имеет единственное решение. Следовательно, уравнение (28), безусловно, разрешимо.

Найденное решение п(х) уравнения (28) дает возможность определить с помощью (9) функцию /п(х), а это позволяет известным методами [5] построить решение задачи Я в области О, что в совокупности с (6) решает задачу Я для уравнения (1) в области О .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Маричев О.И. Метод вычисления интегралов от специальных функций.Минск: Наука и техника, 1978.310 с.

2. БицадзеА.В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР, 1959. 164с.

3. Carleman T. Arkiv for Mat., Astr. och Fysik. Bd 16, 26. 1922, Р. 1-19.

4. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

5. Зарубин Е.А. Краевая задача для дифференциально-разностного уравнения параболо-гиперболического типа третьего порядка // Изв. Самар. гос. экон. акад. Самара: СГЭА, 1999. № 2.