Об одной краевой задаче со смещением для уравнения смешанного эллиптико гиперболического типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ивашкина Г.А.

Оренбургский государственный университет E-mail: matan@mail.osu.ru

ОБ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ СО СМЕЩЕНИЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ЭЛЛИПТИКО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Задачи со смещение были впервые поставлены А.М. Нахушевым [4]. В данной работе для

уравнения Ua + Sg,

Uy +4

и = 0 (0 < пі < 2) рассмотрена задача со смещением. Доказаны

единственность и существование решения.

Ключевые слова: эллиптико-гиперболический тип, единственность, существование решения, сингулярные дифференциальные уравнения.

1. Постановка задачи О.

Рассмотрим уравнение

Uxx + Sgny\y\mUyy +а\y" 1 Uy = О (О < m <'.

'gn.ri.ri и уу 1 ^\у\ иу - о (0 " п " 2), (1)

где т -1 <а< 1 - постоянная, в области Д ограниченной гладкой кривой Г с концами в точках Л(0;0) и В (1;0), расположенной в полуплоскости у > 0 и двумя характеристиками уравнения (1)

Задача О. Найти функцию и (х, у )є С (о) п С1 (о и I )п С2 (о), удовлетворяющую уравнению (1) и краевым условиям

и (0(х)) + аи (і(х)) = §(х),

и\г = ф(5) є Г, 0 < 5 < 1; (2)

причем на линии параболического вырождения (у=0) выполняются следующие условия склеивания

и(х;-0)= и(х;+0), 0 < х < 1, (3)

у(х) = Ііт(-У)ади = -Ііт уади ,0 < х < 1, (4)

у^-° ду У^+0 ду

где а - некоторая постоянная, 8(х) є С1 () и

5и (х) - кусочно-монотонная, I - отрезок оси Ох,Q0(х) и Q1(х)- афориксы точек пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки х є [0,1], с характеристиками АС и ВС соответственно

2. Функциональное соотношение между

Т(п) и V(х).

В полуплоскости у < 0 уравнение (1) примет вид в характеристических координатах

-(- у )2-

. П = x +

2 - m

(- У)

В характеристических координатах

2-m

(- У)

2 - m

(- У)

преобразуется в уравнение Эйлера - Дарбу

в

д 2и

Э|Эп п-I

дп Э|

= О,

(5)

„2а- т 1„„ , т

где в =--------, — < в < 0 при т-1 <а< — .

2(2 - т) 2 2

Обобщенное решение уравнения (7), удовлетворяющее начальным данным и (х,0) = т(х),

Эи Эи д^~дп

lim(- у)а Эи = f— 12в lim (п -|)2р y-V ^ Эу І 4 J п-!^Ои w

представимо в виде

U (I ,п) = J (п -1)~р (t -1)-в Г (t)dt +

О

1 п

+ ----- f (п -1)-р (t -1 )-р Г(t)dt -

2 cos п- |

п

Х2 }(п-1 )-P(t -|)-р v(t)dt>

(б)

где

X2 =

Г (2 - 2-) f 2 - m

(1 -а) Г 2(1 -в) І 4

1-2 в

т(х) = т(0)+1(х - г) 2^Г(Г)Л.

0

Без ограничения общности будем считать, что т(0) = 0, причем т(х) є С(I)п С1(I).

Рассмотрим характеристический треугольник: £ = 0, п = 1, П = ^. На линии п = ^ берем точку (х, х) и через нее проводим характеристики до пересечения с характеристиками £ = 0 и П = 1. Координаты этих точек пересечения будут соответственно (0; х) и (х;1).

Исходя из решения (6), получим

U (ЄО (x)) = f (x -1)t--г(t)dt -

-X2f (x-1)~Pt~pv(t)dt.

О

U (Є1 (x)) = f (x -1) -p (1 -1)-p Г (t )dt +

(7)

2

2

1 1

+ ------------ f (t _ x)-р (1 _ t)-р Г (t)dt _

2 cos пв x

1

Х2 f (t _ x)~P (1 _ t)-p v(t)dt.

(8)

Подставим х(6) и (8) в первое краевое условие (2), продифференцируем его и применим последовательно операторы и Б-в.

x2x pv(x) - x2a

cosпв(1 - x) р v(x) -

sin п— 1 f t j-p (1 _ t)-p v(t)

dt

t-x

------1-x ~вГ (x) _ a(1 _ x) ~в Г (x) +

2cosп—

+-----a-(cosпв(1 - x)-— - Г(x)) -

2 cos п—

1 / \_в sin п— ff t j ^ — T (t)

LH

п J І x

О

(1 _ t)-

dt

i— Щрд'(х), (9)

X2

1

t _ x Г(1 -—)

1 ' j-- t~Pv(t)

t-x

2cosп—

„ . . sinпв ff 1 _t

cosпвx pv(x) +----— II-----

п І 1-x

О

-X2a(1 - x)_—v( x) -c^Px-Pr (x) + f fi_. j-— '-—Г <»dt

Ж J І 1 — x

О

1 / \_в

cosжP(1 - x)-Pr(x) + 1li j (1 - t)

t-x

-в Г (t)

t-x

dt

+ a (1 -xГвГ(x) =--------------1---DxP5'(x). (10)

2 cos п— ^ Г (1 -в) x1 V 7

Умножая равенство (14) на x-P, а равенство (15) на a(l - x)-P и вычитая одно из другого, получим

Х2 (x_2в - 2a cosпрx~в (1 - x) ~в + a 2(1 - x) ~2P'j^(x) -

-----1---(x_2P -a2(1 - x)-2- cos2пвГ(x) +

2 cos пв

a2 sin п— f(1 -1) 2—Г(t)

'■f

dt =

t-x

x-p

-Бов8'(х) + д(1 х) П-Р5’(х). (11) Г(1 -в) 0 Г(1 -в) ^ ;

Равенство (11) дает первое функциональное соотношение между функциями Т (х) и у( х), полученное из условия, что решение и (х, у) уравнения (1) в полуплоскости у < 0 удовлетворяет краевому условию (3).

3. Принцип экстремума и единственность решения задачи С.

Полагая в равенстве (11) 8'( х) = 0, получим

Х2{х~2в - 2асо$,лрх~в (1 - х)-в + а2(1 - х)-2в)(х) =

2cosпв

x 2в - a2 (1 - x) г'Jcos2пвГ(x) -

2в

пв) (

a2 sin п— f(1 -1) 2вГ(t)dt

f

t-x

(l2)

Коэффициент, стоящий перед v(x), имеет положительный знак. Действительно,

x“2p - 2acosnPx~p (1 - x)~Р + a2(1 - x)~p =

= (x~p - acosnP(1 - x)-p ) +

+ a2(1 - x)-2p (1 - cos2пв) > 0 .

Определим знак правой части формулы (12) в точке х = £, положительного максимума функции т( х).

Очевидно, что

x-£

T(x) = sin 2пв lim d f (x -1)2pr'(t)dt =

2пв £—>0 dx J

б1п2пР d

---------lim —

2п— счО dx

T(t)(x_t)2—|0 є+ 2— jt(t)(x_t)2— 1dt

sin 2пв d

---------— lim —

2п— є——0 dx

T(x-є)є2—+ 2— Jr(t)(x -1)2— 1dt

sin2пв limL/(x_є)є2в + 2—T(x-є)є2в 1 + 2п— є—0

x-є

+ 2—(2в-1) fr(t)(x -1)2в-2dt] =

О

sin 2п— lim[r/(x-є)є2в + 2—т( x-є)є2в-1 + 2п— є—0

x-є

+ 2в(2— -1) I T(t) -т(x)](x -1)2—-2dt +

(x _ t)2P-1i

+ 2—(2в_ 1)т( x)

_ (2— _ 1)

x-є

0

= sin 2п— lim t'( x^2- + 2—є2в 1[т( x-є)-T(x)]+ 2п— є ——0

+ [t'(x -є) -т'( x)]2- + x-є

- 2—(2— -1) I T(t)-T(x)]x -1)2в-2dt + 2—t(x)x2e-1}

При x = I будем иметь

Г (I) =

sin 2пв

T(I)I2P-1 +

п

п

Л-є

x-є

+a

+

+

п

п

+ (1 -2P)j(r(|)-T(t)))-t)2p-2dt . (13)

0 J

Преобразуем следующий интеграл

f(1 - t) -2P T (t)dt |xt= (1 -5) -2Рх

0 t - x

11

(1 - 2P) j [(z) -TiOlz - |)2P-2 dz - T(5)(1 - |)2P-1 +

5 I

+ (1 - 2P) cos 2nPf [t(z) - t(|)1| - z)2P-2 dz -

0

- cos2nPT(O)O2P-1 | (14)

Найдем сумму двух слагаемых правой части формулы (12), учитывая, что T (|) и I (|) преобразованы по формулам (12) и (13), где x = | - точка положительного максимума функции т( x).

2 1 P(~2P - a 2(1 -|)-2P cos2nP)*

2cos nP

Доказательство. Внутри области Б+ решение и (х, у) задачи С не может достигать экстремума в силу принципа Хопфа. Предположим, что положительный максимум (отрицательный минимум) в в+ достигается в точке | е I. Тогда из формулы (17) с учетом (18), (30), (31) и второго условия склеивания (6) V + (|) > 0. Это противоречит принципу Заремба - Жиро, согласно которому, если значение и (х, у) на Г меньше (больше), чем в точке (|,0), то

у+ (|) = 1т уа — < 0 (> 0).

у^+° ду

Из принципа экстремума следует, что задача С не может иметь более одного решения.

4. Сведение задачи С к сингулярному интегральному уравнению.

В случае нормальной кривой Г:

'2 - т ^2-т г 1

у = |—^ [х(1-

sin 2nP

Ь I

T(|)|2P-1 + (1 - 2P) j T(|) - T(t)] - t)2P-2dt j

_ a2 sin nP (1 _|)-2P_ n

1

-(1 - 2P)|[t(|)-ml _|)2p-2 dt-

решение и (х, у) е с (у ) с1 (в+ и I) с2 (Б+) задачи Еа для уравнения их + утиуу + аут-1иу = 0 с краевыми условиями и (х, у) г = ^(у), 0 < у < I,

Пт уаиу = V + (х), 0 < х < 1 получено в работе [1],

у^+°

исходя из которого при у ^ +0 будем иметь второе основное функциональное соотношение между Т( х) и V + (х)

-t(|)(1 -|)2P-1 -- (1 - 2P)cos2nPf T(|) -T(t)](| -1)2P-2dt - cos 2nPT(|)|2P ^

!

= + <1 -2P)snnPr2P fh!)-r(t1)P2dt-

n ! n J

0

1

+ (1 -I)-2Pa2(1 - 2P)sn.nP j[(!) -T(t)](t -!)2P-2dt +

T(x) = -fe11 V где

-(t + x - 2 + x) 2P]t + ^(x),(16)

k = _L( 4 г2(P)

Ф(X) :

^1m ( 2

2 I 2 - m

4n\ 2-m ) Г(2P)

2 P -1

x(1 - x,bm (17)

V(s) = u(!(s),n(s)

(

) ) = u x;

1

4

(2 - m);

-x(1 - x)

1

2-m

= %( x).

+ a2^^ < 0.

1 . ... (15)

п 1 -|

Итак, окончательно, исходя из формул (15) и (12), заключаем, что знак у(х) отрицательный.

Лемма (принцип экстремума)

Пусть 8( х) = 0, тогда решение и (х, у) задачи С положительный максимум (отрицательный минимум) в замкнутой области б + принимает на кривой Г.

В 3 было доказано, что если решение задачи С существует, то оно единственно. Вопрос о существовании решения сводится к вопросу о разрешимости системы (16), (11).

Учитывая, что в функциональное соотношение (11) входит функция

Т (х) = х (х - г)2вт’(г)Л,

2пр ёх 0

определим ее из соотношения (16)

T (x) = k12P

x 1

- f V(z)( x - z)-2P-1 dz + f v( z)(z - x)-2P-1 dz +

п

0

x

+ |у( г)(х + г - tz) 2 '(1 - 2г)—г + Ф'(х)

0 _

(здесь V+ (г) заменено на - у(г)).

Тогда

Т (х) = к'аш2жв — [-[ (х -1)2в Л [ v( г)^ - г)-2в-1 —г + п ах 1 1

+| (X - г)2» Лг| У(г)(г - г)-2»-1Лг +

г - х ( г -' ' + г - 2'г

2^2» у( г,г1-2в(

п

= -^і8іп2лв(1 - х) 2»п(х) + .2^і!іп2пв Гу(г)г1 2»(1 - г)Лг*

п Л

• Ї (т7

(' — х)(г -')(' + г - 2'г)

2к 8іп2пв Л' = —1----------- *

-2в

1

(г + г - 2гг)(х - г)

-Лг +

+ Г (х - г)-2»-1 ЛгГУ(г)(г + г - 2'г)-2»-1 (1 - 2г)Лг]+

2кГ біп 2пв Г г(г)г1 2»(1 - г)

Лг •

г-х

ит2п» Л 2п» Лх

х

Г (х - г)2»Ф'( г)Лг. (18)

Выполняя ряд несложных преобразований над интегралами, входящими в формулу (18), получим

1 -2»

Т(х) = 2к1у(х) біп 2 п» + к1 БіП ^Лв Г у(г)|г *

Г'1 - г і-2»

-Лг ■■

(г + г — 2гг)(г — г) 2к1 біп 2пв Г г(г)г1-2»(1 - г)

(х + г - 2хг)(г - х)

Лг •

*и— 1-2вГ-^^ + —— Лг +

г ) ( х — г г + г — 2+г

1 1 - 2г ,,

- +------------------:— Лг +

^г - х г + х - 2 гх

х

біп2п» Л 2пв Лх

Г (х - г)2»Ф'( г)Лг. (19)

С помощью найденного по формуле (19) выражения для функции Т (х) преобразуем интеграл, входящий в (11)

с (1 - г) ~2» г (1 - г)-2»

I-Т(г)Лг = 2к1 біп пв I-----------------------------г(г)Лг +

J г — х J г — х

0 0

+ л Г У( г г Т2»(_1_ + _1^ Л +

к 3 г - х л (г ) ( г - г г + г - 2гг )

-2в

г - х

0 0

біп2п» Г(1 - г)-2» Л Г ч2йл/,

-ПфГ -7-хг л Г( - г|вф,г|* (20)

0 0

:к18іп2Пв (1 - х)-2» 1 |і-2' 1 У(г)Гг і2' *

я 0 (г - х ) г - х 0 (г )

•(-^ + -Ь2^ Лг

г -1 I + г - 2tг По формуле Пуанкаре - Бертрана изменение порядка интегрирования дает выброс в виде -n2v(x), т. е.

I* = Мт2пв (1 -х) -2в [-п2v(x) + (1 -х)2в *

к1Біп2пв Г г(г)г 2вЛг С( 1 - г і 21 1 1 - 2г

^-1—■-{ г( | \^-+-^:г-—(21)

п 3 г - х Л t I I г -1 t + г - 2tzГ

о оу у у

Рассмотрим внутренние интегралы 1 -2в

-2»

■ Д іг7

0

1 + 1 - 2г

І (^ 1—2» і1' Лг + Ї (1—г

х - г г + г - 2гг

2»

1 - 2г г + г — 2'г

яш 2пв

1 -

1 - X

2»

соя 2пв

2пв

1-

1 - г

-2»

= К

II. л

Л-2»

1 - X

с'^ 2я» -

я1п 2пв

(1 - г і -2»'

( г )

(22)

1 1 — 2г

- + -

1—г

г ) [ г — г г + г — 2гг

=Г (І—7 Ї “ г"—т(І—7

-2»

1 — 2г

г — г 01 г ) I г + г — 2гг

п (1 - г і ' „г, п

г + 1--- с^ 2ж»+ —

яіп 2п» ( г

яіп 2п» яіп 2п» ( г

' і — 7 і-2» П

=-I------- ----------(1 - соб2ж») =

1 г ) біп2п»

1 - г

г ) 2 біп п» соб п»

2біп2 кв = -Mgкв|1—г і . (23)

0

0

к

1

*

*

х

г

1

I

п

Подставим (22) и (23) в (21)

П ( 1 - z \2в п

- + I------ ctg 2пР + —

sin 2п/ I z

П ( 1 - z

1 - Z

-2в

sin 2п/ sin 2п/ I z

-(1 - cos2n3) :

-2в

/1 - z V2°

sin 2п/

-2sin2 п/ = -ntgne

/1 - z v2/

2sinnecosne Тогда формула (20) примет следующий вид

.(1 - t)-2РТ(t)dt t — x

/1 Л-2в

1-x

}'

* J v(z)z

0

1

+ h J v( z)(1 - z)

= -k1

1 1 - 2 z

z - x z + x - 2 zx

- z)-2e

cos2ne *

-2в

z+

1 1 - 2 z

+ -

z - x z + x - 2zx

' dz - к1п sin 2п/ (1 - x) 2в v(x) +

^ JX t )2в dtdJ (t-^V^ . (24)

2пв J t - x dt J

2пв J t-x

0 0

Подставляя (24) и (19) в функциональное соотношение (11), после несложных преобразований получим

[(x2Cosne-&1 sin2 nfi)x~2e - 2a cos2 пв~в (1 - x)-/ x2 + + a2 (cosn/fe^ + ( cos 2п/ sin2 п/ - k sin п/ sin 2п/ cos п/ )*

* (1

- x)-24( x)-

sin2пв f / ч -2вС 1 1 - 2z

2п

v(z) z

z - x z + x - 2 zx

a sin2пв ,

* dz +------;-----— k1

)-2в.

2п

0

1 - 2z

J v( z)(1 - z)

lz = F(x) •

где

^z - x z + x - 2 zx F(x) = (x_2в - a2(1 - x)-2в cos2^)*

x

sinпвcosпв d Г ч2йЛ/, ч ,

- F F -I (x - z) Ф (z)dz -i J

(25)

2п/ dx.

a2 sin2 п/cos2п/ f (1 -1) 2pdt d

п2в

x в cos пв о

2в/

t-x dt

I

J (t - z)2вФ'(z)dz-

°S1 + a (1 - п-в5, (26)

Г(1 -в) w д!-в) x1 . (26)

Учитывая, что x2 = к^пв, уравнение (25) можно представить в виде

(x~2в + a2 (1 - x)-2в - 2aXx~в (1 - x)~в )v(x) +

1

X

- + -

1-2z

F (x)

z - x z + x - 2 zx 1

k(z)dz =

h sin п/ (1 - sin пв )

(27)

. cos п/ , ,я ,я

где X = -----С-, k (z) = a2 (1 - z)-2в - z~2в.

1 - Sinлв

Из единственности следует разрешимость уравнения (27).

12.05.2010

*

п

z

1

п

X

+

*

+

п

Список использованной литературы:

1. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: «Высшая школа», 1985. С. 241-260.

2. Ивашкина Г.А., Невоструев Л.М. // Дифференциальные уравнения, 14, №2, Минск, 1978, с. 137-143.

3. Нахушев А.М. // Дифференциальные уравнения, Минск, 5, №1, 1969, с. 90-96.

4. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. Физматгиз, 1962. С. 235-244.

5. Hardy G., Liltlewood I., Some properties of fractional integrals I, Math.Z. 27,4, 1928. С. 565-606.

6. Градштейн И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений /Рыжик И.М. М., 1962. С. 298-306.

Сведения об авторе:

Ивашкина Галина Андреевна, доцент кафедры математического анализа Оренбургского государственного университета, кандидат физико-математических наук 460018, г. Оренбург, пр-т Победы, 13, ауд. 2240, тел. (3532)372576, e-mail: matan@mail.osu.ru

Ivashkina G.A.

On one boundary-value problem with the displacement for mixed elliptical-hyperbolic type equations Tasks with displacement were for the first time set by Nakhushev A.M. [4]. In this work task with the displacement is examined. Uniqueness and existence of the solution are proved.

The key words: elliptical-hyperbolic type, uniqueness, existence of the solution, singular differential equations.

Bibliography:

1. Smirnov MM The equations of mixed type. M.: «High School», 1985. S. 241-260.

2. Ivashkina GA, Nevostruev LM / / Differential Equations, 14, № 2, Minsk, 1978, pp. 137-143.

3. Nakhushev AM / / Differential Equations, Minsk, 5, № 1, 1969, pp. 90-96.

4. Muskhelishvili NI Singular integral equations. Fizmatgiz, 1962. S. 235-244.

5. Hardy G., Liltlewood I., Some properties of fractional integrals I, Math.Z. 27,4, 1928. S. 565-606.

6. Gradshtein IS Tables of integrals, sums, series and products / Ryzhik IM M., 1962. S. 298-306.