О решении краевых задач для уравнения Лапласа в полуплоскости с неограниченными граничными функциями. Метод квазиинтегралов Фурье Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956 ББК 22.161.1

Ирина Анатольевна Ефимова,

кандидат физико-математических наук, доцент, Забайкальский институт предпринимательства, 672086, Россия, г. Чита, ул. Ленинградская, 16, e-mail: yefimova79@yandex.ru

О решении краевых задач для уравнения Лапласа

в полуплоскости с неограниченными граничными функциями.

Метод квазиинтегралов Фурье1

Рассмотрена третья краевая задача в полуплоскости с достаточно гладкой граничной функцией, которая в бесконечности имеет произвольный степенной рост. Решение задачи получено в виде квазиинтеграла Фурье с классическими коэффициентами Фурье от n-ой производной граничной функции. Полученные результаты позволяют решать краевые задачи с особыми точками в бесконечности.

Ключевые слова: краевые задачи с неограниченными граничными функциями, метод квазиинтегралов Фурье.

Irina Anatolyevna Efimova,

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Transbaikal Institute of Entrepreneurship 16, Leningradskaya St., Chita, Russia, 672086, e-mail: yefimova79@yandex.ru

On the Solution of Boundary Value Problems for the Laplace

Equation in the Half-Plane with Unbounded Boundary Functions.

The Method of Quasi-Integrals of Fourier2

The third boundary value problem in the half-plane with sufficiently smooth boundary function which at infinity is an arbitrary polynomial growth was considered. The solution of the problem is obtained in the form of quasi-integral Fourier with classical Fourier coefficients of the n-th derivative of the boundary function. The results allow solving boundary value problems with singular points at infinity.

Keywords: boundary value problems with unbounded boundary functions, method of quasi-integrals of Fourier.

Одним из мощных методов решения краевых задач математической физики является метод разделения переменных — метод Фурье, позволяющая представлять заданные и искомые функции по единым формулам с последующим определением коэффициентов Фурье искомого решения из граничных условий, условий сопряжения и т. д. Однако при решении задач методом Фурье в неограниченных областях заданные функции должны удовлетворять достаточно сильным ограничениям в бесконечности [1, с. 524], что сужает класс решаемых задач. Например, граничная функция /(ж), стремящаяся к различным конечным

1 Работа выполнена в рамках Государственного задания вузу Министерства образования и науки Российской Федерации (проект 2014/255 НИР 2603.14).

2The work was performed as part of the State Task to University of the Ministry of Education and Science of the Russian Federation (project 2014/255 research 2603.14).

38

© Ефимова И. A., 2015

или бесконечным пределам при х —> — оо и х —> +оо, не разлагается в интеграл Фурье. Кроме того, потенциал простейшего поступательного потока, а также потенциалы основных особых точек (источников, стоков, вихрей и т. д.), индуцирующих движение, имеют в бесконечности особенности и также не разлагаются в классический интеграл Фурье.

В данной статье на основании понятия квазиинтеграла Фурье [2; 3] решена третья краевая задача для достаточно гладких граничных функций, имеющих в бесконечности рост не выше произвольной степени. Решения получены в обычных функциях и содержат не более двукратных квадратур, как и при применении классического метода Фурье.

Рассмотрим для потенциала (р(х,у) в полуплоскости у < О третью краевую задачу вида

А (р = 0, ду(р + }ир\у=о = /(ж), (1)

где И > 0 - постоянная, А - оператор Лапласа по переменным х, у; граничная функция /(ж) не ограничена в бесконечности и имеет особенность типа полюса произвольного порядка: /(х) = 0(хп) при |ж| —> оо; аналогичную особенность в оо имеет (р. Поскольку производная от функций понижает порядок полюсов в бесконечности, то предположим, что п-я производная от граничной функции /(ж) разлагается в классический интеграл Фурье [1, с. 524]:

оо

/(») (ж) = j [Д (Л) sin Хх + /2 (A) cos Xx]d\, о

—оо

Дифференцируя задачу (1) тг раз по свободной переменной х, для функции Ф = дп(р получим аналогичную задачу с граничной функцией /(п\х):

ДФ = 0, У < 0; ауФ + НФ\у=0 = ^п\х), (3)

здесь и далее нижний числовой индекс п при дп означает производную n-го порядка по х, а буквенный индекс — производную по этой переменной. Применяя метод разделения переменных, найдём ограниченное в полуплоскости у < 0 решение задачи (3) в виде

оо

Ф(х, у) = дп<р = J eAj/[Fi(A) sin Хх + F2(X) cos Xx]dX, у < 0, (4)

о

где

m) =

m

X + h'

fi(А) коэффициенты Фурье функции f(n\x) (2). Входящие в (4) функции еХу sin Хх и еХу cos Хх являются сопряжёнными гармоническими функциями.

Отсюда для потенциала <р(х, у) имеем задачу о восстановлении гармонической функции по одной её п-й производной Ф(х,у) = дп(р вида (4). Гармоническая функция, сопряжённая функции Ф (4), имеет вид

оо

Ф(х,у) = ! еХу[^1 (А) соэЛа; - ^2(А) этАж^А, у < 0. (5)

о

Пусть ф(х,у) - гармоническая функция, сопряжённая потенциалу <р(х,у), т. е.

дх<Р = дуф, ду(р = -дхф.

Дифференцируя последние условия Коши-Римана к раз по х, получим

дх{дкф) = ду{дкф), ду(дк<р) = ~дх{дкф), (6)

т. е. дк(р и дкф являются сопряжёнными гармоническими функциями. Из равенств (6) следует, что если известны функции дк<р и дкф, то известны обе частные производные функции дк-1<р: дх{дк-\ф) = дк<р, ду(дк-цр) = -дкф, при этом

(^1,2/1)

дк-\<р(х1,у{) = J дк<рйх - дкфйу + дк-\(р(0,0). (7)

(0,0)

Отсюда при к = та найдём

(zi.yi) XI 2/1

= dn-M^i, yi) = J ®dx-4>dy = J Ф\y=yidx - J Ф|х=0 dy = (0,0)

oo

j \(F!Pi + F2Qi) dX + d„_l¥>(0,0), (8)

где в окончательном результате х\ = х, у\ = у (во внутренних равенствах аддитивное слагаемое опущено),

Pi = 1 - еХу cos Хх, Qi = еХу sin Ах, (9)

= = 0 при х = у = 0, функция Ф = дпф - сопряжённая функции Ф (4), (5), при этом Р\{х,у) и С}\(х,у) (9) - сопряженные гармонические функции.

Функция Фх = дп-\ф, сопряжённая функции Ф1 (8), с учётом (6) имеет вид

оо

Фх = -дп-2,уЧ> = I\iFiQx - А - дп-2,2,^(0,0).

о

Вычисляя соответствующий криволинейный интеграл (7), находим

оо

ф2 = дп-2ср = I -^(ВД + ^2<Э2) <1\ + х дп-М0,0)+

где

+У дп-2, у<р(0,0) + <9„_2</?(0,0),

Р П ^ Р1

<31, Рх имеют вид (9), Р2 и фг ~ сопряжённые гармонические функции, равные нулю при х — у — 0. Далее указанную процедуру повторяем.

На к-м шаге получим формулу, которая доказывается по индукции,

оо

Фк = дп-кЧ> = J \iFiPk + ЭД*)

о

к-1

^тдп—к+тп—1, 3/^(0) 0)] + дп-к<р(0,0), (10)

т=1

где

Рщ —

Яег"1 т\ '

1гп. -

1т гт т\ '

г = х + %у\

(П)

сопряжённые гармонические функции Рк и Як строятся по рекуррентным формулам

Як ^ Рк

Рк+1 = Як--д-) Як+1 = 1к + -д")

Р\, Я1 имеют вид (9), причём Рк — Як — ^ ПРИ х — у — 0. Отсюда с учётом Рк+\ — {Р-к^2 ~ 1А — Рк-г)\~2, Як+1 = (ДА2 + Д/г-хА — <5/с-1)А-2 следуют формулы непосредственного вычисления функций Рк, Як (без рекуррентных формул):

Р*к =

Х2к-1

к-1

^(-^-Н^+хА^1 - /адЛ«) - (-1)*(Я1А - до

¿=1

=

Х2к-1

+ ДуА«) - (-1)Л(/1А + А)

з=1

-

3=1

Я2к+1

Х2к

(12)

где при к = 1 в первых двух равенствах суммы £ = 0.

Отсюда по формуле (10) при к = п найдём решение исходной задачи (1) в виде

оо

<р(х, У) = J

flPn + hQr, Л(А + h)

d\+

n-1

+ °) + öfe-1,уф, 0)] + <p{0,0),

(13)

к=1

где fi, Pn, Qn, Rk, Ik определены в (2), (12), (11), при этом из граничного условия (1) еле-дует 3fciJ/v(0,0) = /«(0) - hdk<p(0,0).

Подынтегральная функция (13) в особой точке А = 0 имеет конечный предел, что доказывается по индукции с помощью правила Лопиталя, при этом

Pn Qn

lim — = -7n, lim — = Rn. A-»-o A A—>o А

При А —> оо интеграл (13) сходится равномерно по х,у, т. к. функции Рк/А и Qk/А имеют порядок 0(1/А) и fi —> 0 (2), при этом интеграл (13) мажорируется сходящимся интегралом (4) при у = 0.

Функция (13) в силу гармоничности функций Pn, Qn, Rk, Ik удовлетворяет уравнению Лапласа в полуплоскости у < 0 (1).

Граничное условие (1) для функции (13) примет вид

оо

дк(р + hcpiy=Q = J д^д1^ [fi(hpn ~ Qn-1) + h{Pn-i + hqn)]d\+

n—1

+ Y^ [Xk-idk-1, y<p(0,0) + hXkdkip(0,0)] + hip(0,0) k=1

f l

/ TifiPn + f2Qn)d\ + Xk{ßkyip + hdkip)| x=y=0 l k=0

n-1

= f \{hPn + hqn)d\ + YsXkf{k\ü), { k=о

где qi — sinAx, pi — \ — cosAa;, Xk — xk/k\,

к

(-l^i + ^-l^-^i-iA2*"1

P2k =

X2k-1

i=1

P2k+1

Л2 к

2 i

i=1

(14)

k-1 ¿=1

к г=1

(здесь полагаем Yli=a = О ПРИ b < а). Правая часть равенства (14) представляет собой разложение граничной функции /(ж) (1) в квазиинтеграл Фурье [2; 3], т. е. граничное условие (1) для функции (13) выполняется. Итак, доказана теорема.

Теорема. Если граничная функция f(x) G Cn+1(R), f^n+1\x) - абсолютно интегрируема при х G R и f^n\x) разлагается в интеграл Фурье, то решение третьей граничной задачи (1) строится по формуле (13) с точностью доп постоянных дк<р(0,0), к = 0, ...,n—1.

Таким образом, для единственности решения задачи (1) следует, кроме граничной функции f(x), задать значения указанных производных искомого решения по переменной х в одной точке.

Список литературы

1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. М.: Наука, 1962. 656 с.

2. Холодовский С. Е. О разложении функций в квазиинтегралы Фурье и их приложении // Обозрении прикладной и промышленной математики. 2003. Т. 10. Вып. 1. С. 247-248.

3. Kholodovskii A. S. and Kholodovskii S. Е. Fourier quasi-integral expansions of functions and their applications to the solution of boundary value problems // Differential Equations. 2004. Vol. 40. №. 10. P. 1491-1495.

References

1. Fikhtengol'ts G. M. Kurs differentsial'nogo i integral'nogo ischisleniya. T. 3. M.: Nauka, 1962. 656 s.

2. Kholodovskii S. E. О razlozhenii funktsii v kvaziintegraly Fur'e i ikh prilozhenii // Obozrenii prikladnoi i promyshlennoi matematiki. 2003. T. 10. Vyp. 1. S. 247-248.

3. Kholodovskii A. S. and Kholodovskii S. E. Fourier quasi-integral expansions of functions and their applications to the solution of boundary value problems // Differential Equations. 2004. Vol. 40. №. 10. P. 1491-1495.

Статья поступила в редакцию 15.05.2015

1

1

Q2k+1 ~ J2k