CC BY
17
Ивашкина Г.А.
Оренбургский государственный университет
ВТОРАЯ ЗАДАЧА ДАРБУ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА - ДАРБУ С ПАРАМЕТРАМИ <х>0,р<0-1<<х + р<1
В работе построено общее решение уравнения Эйлера - Дарбу для параметров а > О, В < 0-1 < а + В < 1 с помощью введения специальных функций и решена задача Дарбу.
Рассмотрим уравнение « В
т т тт
и. Н-и.-и =0
Т| — я Т| -я (а>0,В<0,-1<а + В<1) (1)
1. Построение общего решения путем введения специальных функций.
Пусть 2(а,Б) является решением уравнения (1). Тогда, используя общие свойства уравнения Эйлера - Дарбу, его решение можно представить в виде
2(а,р) =-2(а-ш,р) =
т
э (И- х)1-а-ь+т z(1-b,1- а + т) Э"
Э в _ ку-а-В+т
z(1- ь - п, 1 - а - т), (2)
z(l — В — п,1 — ос + т) =
(Г, - ")« + Р+-«-' }4Г + (т1 _ "Р"' (1 - 1) - ' +
где
+ х, Ш/(£+СЛ-£)1)
0
ь"11" (1 - л
(здесьО < а-т < 1,0 < Б + п < 1,т,пе К) (3)
Введем специальные функции
СР©}Т(7)(7 -$)'dz,V© = jG(z)(z -i;)8dz (4)
с учетом которых (3) примет вид z(1 - В - п,1 - а + т) =
Л 1
= х I (1 - л)п + " (I) -1)""1 dtT(z)(t - z)' dz +
Л
+х2 СП - п)«+р+°-т-1 ] (1 - лг+т (п - 1)-р- dt
ОО^)^ - <<7 = Х111 + X 2 I (5)
где х.1. и х,1, - соответственно первое и второе
""1122 г г
слагаемые.
Изменяя пределы интегрирования, преобразуем I, к виду
I; = -Л)П+М(Л +
1 Т]
+ |T(z)dz(t-Лrp-I(n-t) — I(z-t)'dt = I,, +1,2 (6) ч I
В 1и сделаем замену переменной по формуле \ + ^ - = V .
Л 1
1„ = (Л Ч)""|Т^)^ ----dz V л а -V)' .
/ о
.a_z-iv)м.ldvлr(n + Р)Г« + 1) лЧ Г(п + В + £+1)
(И-х)а
ОТ^Х )п+ь+1 Р(1-а + ш,п + Ь;
х И -х
п + В + { + 1;-Ы^
лЧ
Проведем указанные в формуле (2) преобразования над 1п
д]л = Г(п + В)Г(1 +1) " »+р+„-т+<-21Т^уг~% Э" Г(п + В + " +1)
Л Л _ Л
Б(1-а + т,п + Б;п + Б + ""_"))
лЧ Л _ч
(п + Б + Р)-(п + а + Б + 1 - т - 1)Щ - а + т,п + В;
7 - 1
п + Б + Л+1;-))—(п + Б + Л)Б(1 -а + т,п + Б;
лЧ
п + Л + / = I С п + "Т"+1) 4 г + п_т + /_2
Т1—Ч Г(п + В + £ + 1)
7 Х П + Ь + 1-1 -X
6Т(2)(Ь-х) ёи-х
7-£
(1- а + т)Б(2 - а + т,
п + В;п + В + Г+1;-) - (п + В + £ )Б(1 - а + т, п + В; 4 - Ч
п + В + £;л4)]<^
Г(п + В)Г(£+ 1) Г(п + В + £ +1)
А
Ь-п+т+1-1
^ - x) a+b+n-m+l-2 ОТ(г)
г 4 ]
Лг4
Вообще,
/ л Nl-g-p+m " т
Э'
ЭЛП
(п + Р + ")Р(!-а + т,п + Р-1;п + Р +
чЧ
Г(п + Р)Щ + 1) _ ,,.ф,-„н] 7-% г(п + Р + £) 5 г | -1;
Б(1 - а + т, п + р-1;п + Р + £;-)аг
ч-£
Вообще,
Э° Г (Р + П ) Г (£+1) Гча + в + л-т-Лт, 2_лчв+/
-1„ = (-1)-(п-с) 1(7)(-)
, 1ш+п Г(Р + п)г(£ + 1) , Р>,-,Х, 1г-и ' " (ч_ч) I Ш)
(~1)
V чЧ у
Г(Р + £ + 1 - т)
V У
Б(1-а,Р;Р + т - т ; л | ) а г (7)
Преобразуем второе слагаемое формулы (6)
1 Г
1,2 = |Т(/)ё/1(1 - л)°+р-' (л - 1)-' (7 -!)< ё!
ч I
С помощью подстановки \ + (7 - ^ = V оно сводится к виду
1-а-т,Р;Р + { + 1 ; - Р2 Полученный результат умножим на
(
Э
Г(Р + п)щ + 1) (
ГСп-БуЛЛ-^тССгХг-Буёг
оуь+"-1 (1 - V) \1—чЧ1т dv =
7 4 I
ОТ(г) л_л| Р(1-а + т,Р;Р + { + 1; —)аг \4-sJ 4-8
и найдем первую производную по переменной %
Э ЭП1
(-1) Г(Р + П)Г(£+ 1) (Т1-Лг]Т(г) Г(Р + £+ 1)
г-х
£Б(1-а+т,Р;Р+Г+1;—Л)н
¿1-х чЧ
, + (Р+„-« + п,Р;Р + гЛ)(У(Рл
Р(1-а + п;Р;Р + л)]ёг =
/. ,\п Г(Р+П)Щ+1) (ц_г1Т(2)(2-и.\ ЦЗ+л+1) I Т|Ч'
рРО-а + щ! + Р;Р+1+1)-(Р + £)Ра-а+т,Р;
Г(Р+п)Г(а-т) Г(а + Р + п-т)
а+|1+п-т+/-!
(чЧ)
чЧ
в+ Л) о ,
I Т(7)(Л-|)"< Б(-4 Р + п;а + Р + п-т; л-ТЪёг ч 7 4 7 4
Снова выполняем указанные в (2) преобразования
Э1,2 Г(Р + п)Г(а-т) ( Ч) п+а+Р-т+/-2 Ъ\ Г(а + Р + п-т) ( )
1 Т(7)(-ЛГ' [(- (а + Р + п - т + 1 -1) ч 7 4
Б(-Г,Р + п;Р + п + а-т;!-л) +
+ £Р (1 - £, р + п; I + р + п -%;-)) - 1,
ч Ч
7 4 7 _ 8 Р(1-Р,Р + п;а + Р + п-т;-л]ё2 =
7 _ 8
Г(Р + п)Г(а - т) Г(а + Р + п - т)
/г| - ' 4
(а + Ь + п - т -1)Б(-1,Ь + п;а + Ь + п - т -1;
з>
Г-ЛБ(1-Г,Р + п;а + Р + п-т;!-л = 7 4 I
к -1-м Z 4
|Т(г) Ч I РГт-аЛР + гАё7
5 ,,М41
ЧЧ
Г(Р + п)Г(а-т)
чЧ
Г(а + Р + п - т - 1)(|1 - х)а+Ь+п-т+1-2 ОТ(г^ 24 ;
,. 1 )
Естественные науки
Б(-4Р + п-1;а + Р + п-т-1;2 — Г^ .
Э
Сравнивая I 12 с чрп, можно заключить, что
э°„1и=Г(1 + п)Г(а:т) (- 1)°(чЧ) — Эл Г(а + |3-т)
1 Г|
(z - 1)й dt + ОО^^ (О1 - х)-а+т (И - 1)"Ь"п (7 - 1)" <) И х
где
Т21 = (И - Х)а-т-1 0О(2)(2 - х)1-а+т+"
ОТ(7) 11:11., Б(-4Р;а + Р-т';"1^ z_s I z_s
Снова умножаем полученный результат на (п _п-«-¥-т и находим производную
£«л -8Г*- |л|в)=(-Б° Гt+n)?a-mWs»
6%
6%
6Т(7)'
Г(а + р-т ) Ы-%\ {-(•) г — Ь, I а + Р-т
IV "+т(1 -V) 1 -Ее7 I ¿V
Г(1 - а + т)Г(8 +1)
(И - х)
Г (2 - а + т + 8)
i] у_s
|G(z)(-ь у^т+5 р"-' - а + т, Р + п;
5 л Ч
2 - а + т +^8—
Ч-Р
z _ s
Б(1 —",1 +Р;а + Р~т +Т1;С\ +
+ (а + Р-т) —"Б(1-4Р;а + Р-т;! — !?)^ z _ s z _ s
Па т +р1)Г(р ^п) (-f)(-l).(4-Л)"'т(z) Ч -5 1
Г(а + Р~т + 1) ¥ z-л J
Б(1 -£,Р;а + Р~т + 1;--^
z —Я
Вообще,
Выполняя преобразования, аналогичные приведенным выше, получим
Э Г ( 1 - а + Ш ) Г ( 8 + 1 ) Кчб - Л " '-"ч-а+т + 5
— 1„ =-(Л — s) G(z)(-)
Э" 2" Г(2-а + т + 8)Ъ | Ц-В,
г — Ь„
(—8Б(1 - а + т, Р + п;2 - а + т + 8;
г % + (1 - а + т + 8)Б(1 - а + т, Р + п;1 - а +
Л - "
7 _ с
+ т + 8;-)) - (1 - а + т + 8)Б(1 - а + т, Р + п;
,Г(а)Г(Р + п) , , 1Л ,
= (-1)-(-()(-( +()...(-( +т —1)
Г(а + Р)
РТ^)^ - £)"°Р(т - 4Р; а + Р;лл)<7 =
4 ъ - Ъ
ПГ<Г++ п)Г(-£+п, ,\ [(1)(ж-о
Г(а + Р) г(-д \
Б(т-4Р;« + Р;'1^^
г — с,
Сведем выражение для I,,, входящее в формулу (5), к гипергеометрическим интегралам
Л 1
12 = (т) -П)«+Р+-°-^-П)-«+т(Т - t) + п G(z)(z -О8^ =
(И - х)а
оо^ о(1 - х)-а+т (И - ^"Ь"п
<- z —E.-i Г( 1-а + т)Г(8 + 1)
1-а + т + 8:—)1<±г =-——01-4)"
Т| - i; Г(2 - а + т + ;
V 74 Г74
•'с'^Х ^ м + 51 ^ ^ (1-а + т)-
е, 4-я |_Л_Ч
z — с
• Б(2 - а + т,Р + п;2 - а + т + 8; ) -(1 - а + т + 8)Б(1 - а + т;Р + п;1-а + т.Й 8;-)№
Г(1 - а + т)Г(8 + 1) . н 1 I г — с, | Г( 1-а + т + 8) -£ ,
•Р(1 -а + т,Р + п -1; I - а + т + 8;-^1)а7.
4-Ч
Следовательно,
Э°1„ Г( 1-а + т)Г(8 + 1), .Л „
"- (-1)-'—:_? __01~ sr
3яп Г(2 - а + т + 8-п)
7 ^
4 - <э
- ъ -х , 60(г¥ -) х п - х
•Г(1-а + т,Р;2-а + т-п + 8 ; л ) аг.
чЧ
Умножим полученный результат на (п _ р у «р+т и найдем производную по перемен-
шй £.
Э, р,,_„_,+т Э° Т м„ Г(1-а + т)Г(8 + 1) Э
Л-(ч-д) Л|21 = (_1)-¡-Аг
ёд ёд Г(2 -а + т + о-п) ёд
С !-а+т-п+5
•((11_Р)1-«-Р+п, + 5-»'0(7)(Л71)
5 ч Ч
2 - е
•Щ -а + т,р;2-а + т-п + 6;-)ё7) =
(_1)п Г(1 - а + т)Г(5 +1) Л _
Г(2-а + т + 5-п) ? 1г'-М
г7_р
•Г(1 - а + т,-8;2-а-Р + т-п;-,г)аг •
г — 8
Э^^-(1-а + т)Г(1-р~п) (-ф(- - х)в-1 бС(г) Л-5 Э2, Г(2 -а-р + т-п) "
[(Б(1 -а + т,-8;2 -а-Р + т-п;
■3'
-(-(1 - а -Р + т -п + 8)Б(1 - а + т,Р;
-Б(1 - а+ т, 1-8; 2-а-Р + т-п;-г)) +
2-д
ТТТ I - £, , , . . „ „ , 4 — л N1, Н-0(1 - а + т, 1 - о ; 2 - а-'р + т-п;-¿¿аг =
г - q г — q
Г(1-а + т)г(1 - Р -п)( -о^-дуЧ^У"-4 ' Г(2 -а-Р + т-п) 2_Л ;
1 (1 -а + т)-Б(2-а + т,1-о;
2-а-Р + т-п 7 -\
3 -а-Р +т-п;!-Л) + -Л(2-а-Р + т-п)
2 - Г
2 - а + т-п + 8;-)) - (1 - а + т-п + 8)-
4 - в
Б(1 -а + т,Р;1-а + т-п +
4 - в
(Л)-
Г(1-а + т)-(5 +1)
С "П--] ' ° 7)
(2-а + т
2 - £ „ „ „ г — Е )
Т|-|- Рг(1 -а + т,1 + Р;2-а + т-п + о; '
-(1-а + т-п + 5)Щ - а + т; |3;1 - а + т - п + 5;-))аг
П-1 -
=С—у+1 -(1 - а + т)-(0 +1) ,,-л„8., | 0(7 / 7-д -(1-а + т + 5-п)
• Р(-а + т,Р;1 - а + т-п +
4 - в
Таким образом,
ЭЛ
(И - х)1-а-Ь+т — I
э°
,, Л-Л -(1 - а + т)г(6 +1) I
-(2-а + 5-п)
Б(1-а,Р;2-а-п + S;2—)dz (10)
чЧ
Выполняя замену переменной по формуле % + (п - В,)у = !, преобразуем 122 к виду
-а+т
1 И
122 = (И - х)-+Ь+п-т-> 6С(г)аг6(1 - х) (П| - 1}"ь_п (г - 1)" а1 Ю^)^^) azjv (1 -V) -Р(Г Ч - - V) av
ч о Z - в
-П - ос + т)-(1 - Р р ]
- (2 - а - Р + т - п) 7 _ л 1
Б(1-а + т,1 - 8 ; 2 - а - Р + т-п;-))ёь =
ГС-ос + т) Г(2- Р-п)..... е^-, / ч - л Т
-(3-а-Р + т-п) 1 )
й
Б(1- а + т,1-й;3 - а -Ь + т - п; Л5\)ёх
7
Следовательно,
Э°122 _ -(1 - а + т)-(1 - Р)
-(2-а~Р + т)
(-6X1 -6) ■
п-1-8)(г|-Л)8-'0(7) ч-7-8
Б(1 - а + т, п - 8;2 - а - Р + т;
Т|-£ -(1 - а + т)-(1 - Р) -(8 + 1)
-л)аг=(-1)-1
7—л -(2-а~Р + т) -(8 -п + 1)
(п-Л)8-°'0(7) ч-
лП
Р(1 - а + т, п - 8;2 - а - Р + т; ч-£ )аг
г —л
Умножим полученный результат на (Л - л'«Р - , найдем производную по переменной §.
3 ,. ий-а£+н]+5 Г(1 - а - т)Г(1 - Р)Г(п - 8) Э1; "У - ( 2 - а - Р + т)-(-8)
Т | - - " _ Л
ОО(г) Р(1 -а + т,п-8;2-а-Р + т*-Л
7 - д I 7 _ 8
7
Г(1 - а + т)Г(1 - (3) Г(8 + 1) ^«-рЬ-й Г(2-а-|3 + т) Г(8-п + 1)
60(7) л - 5 * [(-(1- а -Ь + т - п + с1)Р(1- а + т,
z-л J
п - 8;2 - а - (3 + т;-) — (ц — 8) z_s
1Б(1 — ос + т,п — 8+1;2 — ос — Р + т;-")) +
z_s
+ (п-8)-лР(1 —а + т, п —8 + 1;
z-q
2-а-(3 + т;—л)Jdz = z -д
. „ Г(1 - а + т)Г(1 - В)Г(1 + 8) еч—а—в+т—п+6
(-1)-(Т - ч)
Г(2 - а - (3 + т)Г(1 + 8 - п)
Л1
с 60(7) [- (1 - а - (3 + т)
V z- л J
Б(1 - ос + т,п - 8;1 - ос - Р + т;-л) +
z_s
+ (п - 8)Б(1 — а + т,п — 8 +1,2 — а — Р + т;- л)Ш
z_s
Г(1-а + т)Г(1-Р)Г(1 + 8) Г(1 - а - р + т)Г(1 + 8 - п) '
- £уа-Р+т-п+3/ IV
60(7) л 4 | Р(-а + т,п-8;1-а-Р +т;л4)с12 z - д J z - 8
Итак,
(-1)
(ТЬяу-^л^ =
Г(1 - а + т)Г(1 - Р)Г(1 + 8)
Г(1 + 6 - п)Г(2 - а - р)
( И - х)1-а-ь-п+с 60(7)
Е(1 - а, п - 8;2 - а - Р; 3—|)dz.
z-q
(11)
Подставим (7), (8), (10), (11) в (2), тогда с учетом (5), (6) и (9) получим общее решение уравнения (1).
, Л 1лт+пГ(Р + п)Г(£+ГЬ ,ур
И(я,ТО = х1(-1) /;-Яч -У
Тф + £ + 1 - т) ]T(z)(z-лmF(1-a,P;P + f+1-m;лл)dz + х,(-1) п
е, 4-8
Г(ос)Г(Р + п)Г(-1 + т) 6Т(2)(2 - х)1-т
Г(а + Р)Г(-£)
Е(т-4Р,ос + Р;Л|)<7+х2(-1)" г-ч
XI =(_1)
Г(1 - а + т)Г(8 +1) ( и - х)-ь 60(7)(7 - х)1"а"п+" Е Г(2-а + 8-п)
Е(1-а,Р;2-а-п + 8;-)& + (п -Е,)1" рх,(-1)т+п
чЧ
Г(1 - а + т)Г(1 - р)Г(1 + 8) 60(2)(2 - х)"
Г(1 + 8-п)Г(2-а-Р) л -1<а + Р<1
F(1 —а,п —8;2 —а —Ф;--^. (12)
z-q
Обозначим л - т = ц. - р-1 < ц.< -Р; в частности за ц. можно взять число ц = -а-Р + т (-Р-1<-а-Р + т<-Р)
Параметр 5 выберем, исходя из того, что
8 > -2 + а + п (а > 1) В частности за $ можно взять 8 = т + п -1
Произвольные постоянные х, и х2 полагаем равными
Г(а + Р)Г(-£) Г(а)Г(Р + п)Г(-£ + т)
(-1)Т(а + Р)Г(а + Р-2т) Г(а)Г(Р + п)Г(а + Р-т) '
0т+„ Г(1 + 8 - п)Г(2 - а - Р) Г(1-а + т)Г(1-Р)Г(1 + 8)
(-1)" « Г(1 - ат—Щ 2- ^+)п — 1)!
С учетом выбора цДх, и х, решение уравнения (1) примет вид
/К ч Г(а + Р)Г(1-а-Р + т), КчВ
и/С ,Т|) = 4 Г( )ГД-+ ) ;'(Т|-Ц В
Г(а)Г(1-а + т)
1 z-E
Р T(z)(z - £у"+т F(1 - а;Р;1 - а + m;Л)dz + 5 чЧ
'Тф^ - л)-"-p+mF(a + Р - т,Р;а + P;л|)dz + ч z - ч
(т-1УГ(2-«-Р) (т, - лJ G( - $)" (т + п -1)! Г(1 - а + т)Г(1 - Р)
F(1 - а,Р;1 + т - a;Л-Л)dz + (ч - яТ"-р
ч-Г
]С(/)(/-Л)т Т(1 —ос,—т+1;2 —ос —Р;—^ . (13) ч z - ч
2. Постановка и решение задачи Дарбу
Задача. В области Б, ограниченной линиями л = о,Т = 1Д1 = найти решение
И^Т^еС^^В^С^^Ои!) уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям
и(лД) = т(л) = |Т(7)(7 -л) " р+тё7
8 (14)
и(1;,1) = Ч'(л) = '1л«+т.«.°.1+11.«.1х(л) (15)
Из (13) сразу следует, что общее решение уравнения (1) удовлетворяет краевому условию (14).
На характеристике ц = 1 решение уравнения (1) примет вид
ТТ,,1Ч -(а + Р)Г( 1 -а-Р + т) (1-£ур
и(с,1) =-
Г(а) Г(1-а + т) fТф^ - £) т-"Щ - а, (3,1 - а + т; - ) +
(т-1)!Г(2-а-(3) (1-Л)~р (т + п-1)!Г(1-Р) Г(1-а + т)
¿в(г)(г-£) Б(1-а,Р;1-а + т;лл)аг = Г(а + Р)Г(1-а-Р + т)
где ¡',а+та+|1 т '." 'f - оператор Saigo.
Г(а)
Ii-«+m,« + p-m-i,«-iT(" +
(т-1)!Г(2-а-Р)т, „,т ,„, т , „,_,,..
-К/Jl a«,«tM 1.«1Q/S\
51 VV
(16)
(т + п-1)!Г(1-Р)
Оператор обращения имеет вид j»-»1 -«-Р+°+1 «
т. е.
ri « 111 „ „ t. Г(« + Р)Г(1 - a -P + m)
ja-m-l,-a-p-m+l.mjj"t дч _ ч—
Г(ос)
(т-1)!Г(2-а-Р)
G(ij).
(17)
(т + п-1)!Г(1-Р) Учитывая, что U&1) = ц — «. -л.лх©, полу
чим
d
dxx1
d
I a-m, -a-b+m,m-1I1-x1 x1
-Л.( С,)
dx
JX(t)dt = X(ij).
11, 1-1,т-!Х(х)
Подставляя этот результат в (17), получим основное соотношение, из которого определим функцию
Г(1 -Р)(т + п -1)! (т- 1)!Г(2-а-Р)
G(ij)
Г(а + Р)Г(1-а-Р + т),
л(ц)-1 (ц)
Г(а)
.>1 J
d
Список использованной литературы:
1. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм рядов и произведений.: Физматгиз, 1962. 1100 с.
2. Hardy G., Liltlewood I., Some propertiesof fractional integraes. I Math Z., 27., 565-606. 1928.
3. Saigo M., Math Rep. Kyushu Univ, 1978, Vol 11.
4. Saigo M., Math., Jap., 1979. Vol 24.
