ЗАДАЧА РИМАНА НА ЛУЧЕ ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С СИНГУЛЯРНОЙ ЛИНИЕЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2023. Т. 23, вып. 1. С. 58-69

Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2023, vol. 23, iss. 1, pp. 58-69

mmi.sgu.ru https://doi.org/10.18500/1816-9791-2023-23-1-58-69, EDN: UYQLJS

Научная статья УДК 517.54

Задача Римана на луче для обобщенных аналитических функций с сингулярной линией

П. Л. Шабалин0, Р. Р. Фаизов

Казанский государственный архитектурно-строительный университет, Россия, 420043, г. Казань,

ул. Зеленая, д. 1

Шабалин Павел Леонидович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики, [email protected], https://orcid.org/0000-0002-2791-3964, AuthorlD: 14693 Фаизов Рафаэль Рустамович, аспирант кафедры высшей математики, [email protected], https://orcid.org/0000-0003-4744-164X, AuthorlD: 1130264

Аннотация. В данной работе изучается неоднородная краевая задача Римана с конечным индексом и краевым условием на луче для одного обобщенного уравнения Коши-Римана с сингулярным коэффициентом. Для решения этой задачи выведена формула общего решения обобщенного уравнения Коши - Римана при ограничениях, приводящих к бесконечному индексу логарифмического порядка у сопутствующей задачи для аналитических функций. Получена формула общего решения задачи Римана и проведено полное исследование существования и числа решений краевой задачи для обобщенных аналитических функций с сингулярной линией.

Ключевые слова: задача Римана, обобщенные аналитические функции, бесконечный индекс, целые функции уточненного нулевого порядка

Для цитирования: Шабалин П. Л., Фаизов Р. Р. Задача Римана на луче для обобщенных аналитических функций с сингулярной линией // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2023. Т. 23, вып. 1. С. 58-69. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2023-23-1-58-69, EDN: UYQLJS

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0)

Article

The Riemann problem on a ray for generalized analytic functions

with a singular line

P. L. Shabalin0, R. R. Faizov

Kazan State University of Architecture and Engineering, 1 Zelenaya St., Kazan 420043, Russia

Pavel L. Shabalin, [email protected], https://orcid.org/0000-0002-2791-3964, AuthorlD: 14693 Rafael R. Faizov, [email protected], https://orcid.org/0000-0003-4744-164X, AuthorlD: 1130264

Abstract. In this paper, we study an inhomogeneous Riemann boundary value problem with a finite index and a boundary condition on a ray for a generalized Cauchy - Riemann equation with a singular coefficient. For the solution of this problem, we derived a formula for the general solution of the generalized Cauchy - Riemann equation under constraints that led to an infinite index of logarithmic order of the accompanying problem for analytical functions. We have obtained a formula for the general solution of the Riemann problem and conducted a complete study of the existence and the number of solutions of a boundary value problem for generalized analytic functions with a singular line.

Keywords: Riemann problem, generalized analytical functions, infinite index, integer functions of refined zero order

For citation: Shabalin P. L., Faizov R. R. The Riemann problem on a ray for generalized analytic functions with a singular line. Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2023, vol. 23, iss. 1, pp. 58-69 (in Russian). https://doi.org/10.18500/1816-9791-2023-23-1-58-69, EDN: UYQLJS

This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0)

Введение

В плоскости C комплексного переменного z = х + iy = гегв рассмотрим область D, границей которой служит луч Г = {z : Re z > 1, Im z = 0}, и мнимую ось L = {z : Rez = 0}. В области D рассмотрим частный случай обобщенной системы Коши - Римана с сингулярной линией L

с%и - A(z)U = F(z), A(z) = ^. (1)

z + z

Для решений U(z) этой системы в области D исследуем задачу Римана с краевым условием на луче Г

U+(t) = G(t)U-(t)+ g(t), t e Г, (2)

с непрерывными по Гельдеру всюду на Г, включая бесконечно удаленную точку, функциями ln G(t) и g(t). В формуле (2) U + (t), U-(t)- предельные значения функции U (z) при z ^ t слева и справа, т.е. при Im z> 0 и Im z< 0 соответственно. Решение краевой задачи проведем с использованием структурной формулы общего решения системы (1). Эту формулу выведем при достаточно общих ограничениях, приводящих к бесконечному индексу сопутствующей краевой задачи для аналитических функций.

Теория обобщенных аналитических функций с регулярными коэффициентами построена И. Н. Векуа (см. [1] и библиографию). Решению обобщенной системы Коши - Римана

dz U + A(z )U + В (z)U = F (z),

коэффициенты которой обращаются в бесконечность степенного порядка на некоторой линии L (L — сингулярная линия), и изучению краевых задач для ее решений посвящены работы [2-11] и др. Метод построения решений такой системы основан на купировании сингулярной линии семейством областей с последующим предельным переходом в последовательности построенных решений. Интересное развитие этого подхода к решению обобщенной системы Коши - Римана с сингулярной и сверхсингулярной линией в конечной односвязной области с гладкой границей разработано в статье А. Б. Расулова и А. П. Солдатова [11]. Полученное решение применено к

изучению задачи, объединяющей черты задач линейного сопряжения и Гильберта. Аналогичный подход был применен для решения задачи типа Гильберта в [12].

Следует отметить, что в приведенных выше работах рассматривались задачи, приводящиеся к краевым задачам теории аналитических функций с конечным индексом. А. Б. Расулов обратил внимание на то, что при решении краевой задачи с конечным индексом для обобщенных аналитических функций с сингулярной линией она может трансформироваться в аналогичную задачу теории аналитических функций, но с бесконечным индексом. Эта ситуация описана в работе [13] для задачи Римана на полуокружности и задачи Римана и Римана - Гильберта на гладком замкнутом контуре [14]. Приведены формулы общего решения и обсуждается разрешимость краевых задач.

Начало исследования задачи Римана в случае бесконечного индекса для аналитических функций было положено Н. В. Говоровым. Его результаты по краевой задаче Римана с бесконечным индексом степенного порядка с краевым условием на гладком разрезе составили содержание монографии [15] и инициировали развитие тематики краевых задач с бесконечным индексом. Этой проблеме посвящен ряд работ других авторов. Широкое развитие данной тематики содержится в монографии [16]. Задача Римана с бесконечным индексом на криволинейном контуре рассмотрена в [17]. Задача Римана с бесконечным индексом логарифмического порядка на гладком разрезе была исследована П. Г. Юровым [18,19].

1. Решение эллиптической системы

Следуя [11], мы будем предполагать, что для A(z) существует такая аналитическая в D, ограниченная в D функция a0(z), что

Ас(ф= ELP,2(D), р> 2. (3)

Граничные значения функции a0(z), т.е. функции a+(x), a-(x), будем считать непрерывными по Гельдеру всюду на Г, включая бесконечно удаленную точку, в которой они принимают чисто мнимые значения. Кроме того, на функцию a0(z) дополнительно налагаем следующие ограничения:

la0(z) -а0(-z)l ^ К(lz + Ца), х ^ 0, 0 <а ^ 1, (4)

ao(z) = 0(|z|"7), j> 0, y = 0, (5)

ao(z) = 0(lzl), z^ 0. (6)

Отметим, что мы несколько ослабили ограничения из [11] на функции a0(z), отказавшись от непрерывности a0(z) на Г и требования обращения в нуль функции a0(z) в точках пересечения контура Г и сингулярной линии. Эти изменения при решении краевой задачи приведут к случаю бесконечного индекса при редукции к аналогичной задаче теории аналитических функций.

Выведем формулу общего решения уравнения (1) в области D методом из работы [11]. Пусть е малое положительное число, Е\/е — круг радиуса 1/£ с центром в начале координат. Введем области D± = Ех/е П [z : ± Rez > £} П D. Граница области D-состоит из части полуокружности 7-/е и вертикального отрезка L-. Граница области D+ состоит из части полуокружности 7+,е, вертикального отрезка L+ и разреза Г£ по лучу Г. Теперь введем открытое множество Ds = D~ U D+.

Обозначим символом ТеА интегральный оператор Векуа по объединению областей Ие. Нам нужно убедиться, что (ТеА)(г), г Е К, равномерно сходится при е ^ 0 к пределу 0,(г) на любом компакте К, К Е И- и причем д?) = А(г), г Е К. Следуя [11], представим ТеА в виде

(ТеА)(г) = (ТеАо)(г) - 1е(г), 1е(г) = - =

1 Г ао(()

^ С + С с -

причем последний интеграл понимаем как

Ш = Иш1 / • Ве,в = Пе П{|С - *| ^ 5}.

Ъ ] ( + ( С - *

Правую часть равенства преобразуем по формуле Грина

1 Г ао(() 4С

^ С + С С - *

1

2тН

(

\

+

ао(1)Ы II + Ц 1

-аъ +--

Ь — х 2т

а0(г) 1п + г|

г- г

сИ.

После перехода к пределу по 5 ^ 0 получим

(

^ = - ~2к1

\

дИ+ )

ао(г)1п ^ + ¿I

сИ - а0(г) 1п |г + г|.

(7)

Поскольку начало координат не принадлежит областям И- , 0+, формулу (7) с учетом теоремы Коши перепишем так:

Ш = - 2ш

1 г (1п |г + г| 1п(-2г)

(

^ а0(Ь) & -

1

2тН

(

ао;

1п |г + г| 1п(2г)

>

а0(Ь) & - а0(г) 1п |г +

(8)

Пусть х = х + г у — фиксированная точка из компакта К и г Е 0+. Выберем е настолько малым, чтобы выполнялись неравенства |z| < 1/е, И-ег > е. Рассмотрим входящие в правую часть формулы (8) криволинейные интегралы. Для интеграла по дуге окружности 7+/е с использованием условия (5) выводим оценку

ао(г)1п |г + г| ^ - г)

<И

агоооБ е

\— агоооБе

+ .1

2 0

Се т

1п

2созв\ а(егв/е) гегв¿в

егв /е -г е

<

1пД- .

(1 -Ф|) N

0

Аналогичные неравенства получаем и для остальных интегралов по дугам окружностей. Таким образом, имеет место следующее асимптотическое равенство:

(

\

+

(1

-м^ - ^ )'-о К)

е ->• 0.

(9)

У-/, 7+/е )

Теперь рассмотрим криволинейный интеграл из (7) по Ь£, Ь+, который представим в виде

( \ I+I

У- /

ао^)1п +

г - г

/Т^е4/ е

сИ = г 1п(2е)

-/1-еж/е

а0(-е + щ) а0(е + щ)

—е + г г] — г е + г г] — г

¿Г].

Отсюда с привлечением условия (4) и ограниченности функции а0(Ь) выводим

( \ N

У- Ь+

ао{ъ) 1п \г + г\ ^ — г)

о(еа Ы21)

0.

(10)

Такое же соотношение получим при е ^ 0 и для суммы интегралов

/ \

(/+1)

У- /

. Лп(^2Ь) ,

ао(г) ^ 1 <и

/1-е4/е

-/1-е4/е

ао(—е + Щ) Ы(2е — г2п) — ао(е + 1Г]) 1п(2е + г2П)

—е + г г]

е + г г]

¿Г].

Правую часть последней формулы перепишем так:

/ \ /1-е4/е

«оМ^А = -

1+]

У-

1п(2е — г2г)

-/1-е4/е

ао(—е + ао (е + щ)

—е + г г]

+

¿Г]+

/1-е4 /е

+

е+ ^

+

-/1-е4 /е

Модуль первого слагаемого оценивается с использованием условия (4) и ограниченности функции а0(г) величиной О (еа 1п21), е ^ 0. Оценим по модулю второе слагаемое

/1-е4/ е

-/1-е4 /е

со(е+г„)1п(2е—>2>т±тС1Г1

+

<

^ 2

( /е /1-еГ/Л / + -

|ао (е + г г]) аг^(е / г])

V0 / /

С использованием условия (6) имеем

|ао(е + г г]) аг^(е / г])

г2 I т2

\А2 + Г]2

¿Г].

^ = О ^/ Ь1^ , 0.

С учетом неравенства |а0(г)| ^ С для некоторой постоянной С простой оценкой интеграла получим

/I—4/е

|а°(в + * ^ агсЫеМ ¿^Су 1п 1

л/е 2 + г]2

£ 3/2'

Таким образом, получена следующая асимптотическая формула: / \

!+)

V- /

Яо(^)

1п(^2£)

Г

сй = О^ 1п^ , 0, 3 = т\п{а, 1/2}. (11)

Наконец, для интеграла по обоим берегам разреза Ге = {Ь, 1 <Ь < 1/е} имеем

г а^(1)\п(21)_^ + Г ха+ (1)\п(21) ^

1/е

( - )

( - )

г(а+ (I) -а-(1))1п(21)

г(г - г)

сИ. (12)

Здесь а-(¿), а+(Ь) —краевые значения аналитической функции а0(г) на левом и правом берегах разреза.

В равенстве (8), принимая во внимание оценки (9)—(11) и формулу (12), переходим к пределу по е ^ 0 при фиксированном г Е К:

ИтШ = -— ^ ^ (*) - а-(1))1п№)

е^0

2т

( - )

сИ - а0(г) 1п |г +

Вблизи бесконечно удаленной точки имеем [19]

г Г (а-)(г) - а+(г))1п

2т

( - )

= - (+^) (+^) 1п2

Ал г

а- (+гс>) - а+ (+го)

1пг + О(1), |г| ^ +ж.

(13)

Итак, доказано, что при условиях (4)-(6) функция 1+(г) равномерно сходится на компакте к пределу (11) и д^^(г) = а(г), г еК.

Следовательно (см. [11]), если выполнены условия (3)-(6) и (е)(г) е Ьр,2(И), то общее решение уравнения (1) в области И в классе функций с ограниченным произведением и (г) е-п(г' задается формулами вида

и (г) = еп^[(Т (е))(г) + ф(г)], (14)

где функция

ч /гг, л ч/ ч ^ [ (а-Н) — а'п(Ь))\п2Ь1 . Ч1 . .

П(г) = (ТА0)(г) + — У оУ \ 0 -сИ + а0(г)Ы\г + г\, (15)

2—г J Щ — г)

1

интегральный оператор Векуа

1 [А+(0

(ТА0)(г) = — - ^ , геИ,

д

действует [1] из ЬР>2(И), р> 2, в класс Гельдера Н(И), функция ф(г) аналитична в области И.

2. Решение задачи Римана

Для функции и (г), удовлетворяющей уравнению (1) в И, рассмотрим задачу Римана с краевым условием

и+(г) = С(г)и-(г) + д(г), ге г, (16)

где С(Ь) и д(Ь) непрерывны по Гельдеру всюду на Г, включая бесконечно удаленную точку. Привлекая формулы (14), перепишем краевое условие (16) в виде краевого условия задачи Римана для аналитической в области И функции ф(г)

ф+(1) = С1(1)ф-(1)+ дМ, 1е Г, 01(1) = ^ ),

»«> = Д + ^"'У-) ^ —т (->+)('7)

Обозначим односторонние пределы функции а±(х) в бесконечности символами а±(+го) = гВ соответствии с равенствами (15), (13) для функции вблизи бесконечно удаленной точки справедлива формула

и _и+ и _и+

П(г) =---ln2z + г-\пг + а0(г)\п \г + г\ + 0(1), \г\ ^ +ж.

4— 2

Отсюда выводим

— + — I +

п+(г) = и —и \п2г + г-—— ыг + 0(1), +ж,

У ; 4— 2 у п

^ / ч — V + 2 .3V- — V + .

у ' 4— 2 у '

С учетом приведенной асимптотики из формулы (17) получим

argGi(t) = (v- — v+)lnt + <p(t), te (1. +<x>). <p(t) G #(i,+«,). (18) In |G(i)| = ^(t). ф(t) G H(i

/4 i U+ — V- П 9 -V- + U+ П 1 ^/-,4

flfi(i) = exp <---ln9i -г-lnt } 0(1).

Вместе с задачей (17) рассмотрим соответствующую однородную задачу

ф+ Ц) = С1 Ц)ф-Ц). (19)

Нас интересует ситуация, когда функции 1п (¿)|, д\(^ непрерывны по Гельдеру на (1, включая бесконечно удаленную точку, а индекс краевой задачи Римана (18) равен поэтому будем считать выполненными условия

{

- + "+ < о. (20)

z/- - v+ * 0.

Таким образом, задачу (16) сводим к краевой задаче Римана (17) на разрезе для аналитических функций с бесконечным индексом и завихрением в бесконечно удаленной точке логарифмического порядка. Полное решение этой задачи проведено П. Г. Юровым в [18] (см. также [20]) и традиционно представлено в виде суммы частного решения неоднородной задачи (17) и общего решения соответствующей однородной задачи (19). Формулу последнего мы позаимствуем из более поздней работы [20] как более наглядную. Именно в [20] общее решение задачи (19) с краевым условием на разрезе по положительной действительной полуоси с началом в точке с координатой, равной единице для функции, аналитической и ограниченной в комплексной плоскости с разрезом, представлено формулой

ф(г) = е^ОЗДЛтг Х (г)/(г), X (г) = ег(г), (21)

Т(г), ^ ^ 1 /* .^ (г,-_^+)кеТ(т)/2^ ^

{

T*(z) :={ -У) m * 0. = ln[G!(т)е

Т(z). lmz < 0. J т-z

г

Здесь Т(z) := (In(z + г) — in)9, под (In(z) — in)9 будем понимать непрерывную однозначную ветвь, аналитическую в верхней полуплоскости lmz * 0, кроме точек z = 0, z = 1. Наконец, f(z)— произвольная целая функция нулевого порядка, удовлетворяющая условию

|f(t)l <Се("+)ReT(tV4.. te Г. (22)

Следовательно, множество решений однородной краевой задачи Римана (19) зависит от множества целых функций нулевого порядка, удовлетворяющих условию (22). Именно [18] если v- — и+ < 0, то однородная задача (19) неразрешима в классе ограниченных аналитических функций, при v- — u+ = 0 задача (19) имеет единственное решение вида (21), где f(z) = const. Если v- — u+ > 0, то однородная задача (19) имеет бесконечно много решений, заданных формулой (21), в которой f(z) — произвольная целая функция нулевого порядка, удовлетворяющая условию (22).

Формулу частного решения фо(г) неоднородной задачи (17) возьмем из работы П. Г. Юрова [18]

¡о{г)Х(г) [ д1(т)<1т \ г [ЫСг(т)<т Фо(г) =-^- £ , ч ^^-г, Х(?) = ехр < — '

2жг J ¡о(т)Х+(т){т - z)' ' 2m J т(т - z)

г I г

где

rn = п U + f), nf0 (г) k=l ^ k//

1 Z/- - V+ ,

—I--In r

2 2m

все нули функции fo(z) лежат на отрицательной полуоси, n/0(г) — считающая функция нулей целой функции fo(z), а [х] обозначает целую часть числа х.

Таким образом, общее решение неоднородной задачи (17) в случае v- - > 0 можно представить формулой

ФЫ = i ТТ^ХШ-Т + Х(z)e(z), (23)

2тг J /о(т)Х+(т)(т - z) г

в которой f(z) — произвольная целая функция нулевого порядка, удовлетворяющая условию (22).

Если v- - = 0, то задача (17) имеет единственное решение, представленное формулой (23) с f(z) = const.

Если v- - < 0, то задача (17) имеет [18] единственное решение

xl(z) f дг(r)dr

2ттг J Х+(т)(т - z) г1

при выполнении следующей системы условий:

i Ш gi(r)dT

г

Х+(т) т + r-k

0, k=1,oo.

На основании изложенного выше получается следующая

Теорема. Пусть для коэффициентов уравнения (1) выполнены условия (3)-(6) и (е-nF)(z) е LP,2(D), р > 2, односторонние пределы на бесконечности функции а±(х) удовлетворяют системе неравенств (20). Тогда если v~ - и+ > 0, то неоднородная задача Римана (16) имеет бесконечное множество решений в классе функций U(z), удовлетворяющих уравнению (1) в области D с ограниченным произведением U(z)e~n(z\ Общее решение задачи (16) представляется формулой (14) с ф(г) в виде (21), в которой f(z) — произвольная целая функция нулевого порядка, удовлетворяющая условию (22). Если v~ - и+ = 0, то неоднородная задача Римана имеет единственное решение, представимое формулой (14) с ф(г) в виде (21), в которой f(z) = const.

Список литературы

1. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. Москва : Наука, 1988. 507 с.

2. Михайлов Л. Г. Новые классы особых интегральных уравнений и их применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе : Таджик-НИИНТИ, 1963. 183 с.

3. Раджабов Н. Р. Интегральные представление и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или с сингулярными поверхностями : в 2 ч. Ч. 1. Душанбе : Таджикский гос. ун-т, 1980. 147 с.

4. Раджабов Н. Р. Интегральные представление и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или с сингулярными поверхностями : в 2 ч. Ч. 2. Душанбе : Таджикский гос. ун-т, 1981. 170 с.

5. Раджабов Н. Р. Интегральные представления и граничные задачи для обобщенной системы Коши-Римана с сингулярной линией // Доклады Академии наук СССР. 1982. Т. 267, № 2. С. 300-305. URL: https://mi.mathnet.ru/dan45725 (дата обращения: 02.08.2022).

6. Раджабов Н. Р., Расулов А. Б. Интегральные представление и граничные задачи для одного класса систем дифференциальных уравнений эллиптического типа с сингулярным многообразием // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25, № 7. С. 1279-1981. URL: https://mi.mathnet.ru/de6927 (дата обращения: 02.08.2022).

7. Усманов З. Д. Обобщенные системы Коши-Римана с сингулярной точкой. Душанбе : ТаджикНИИНТИ, 1993. 245 с.

8. Begehr H., Dao-Qing Dai. On continuous solutions of a generalized Cauchi - Riemann system with more than one singularity // Journal of Differential Equations. 2004. Vol. 196, iss. 1. P. 67-90. https://doi.org/10.1016/j-.jde.2003.07.013

9. Meziani A. Representation of solutions of a singular CR equation in the plane // Complex Variables and Elliptic Equations. 2008. Vol. 53, iss. 12. P. 1111-1130. URL: https://doi.org/ 10.1080/17476930802509239 (дата обращения: 02.08.2022).

10. Расулов А. Б. Представления многообразия решений и исследование краевых задач для некоторых обобщенных систем Коши - Римана с одной и двумя сингулярными линиями // Известия АН Тадж. ССР. Серия физико-математических, химических и геологических наук. 1982. № 2 (84). С. 23-32.

11. Расулов А. Б., Солдатов А. П. Краевая задача для обобщенного уравнения Коши-Римана с сингулярными коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 2016. Т. 52, № 5. C. 637-650. https://doi.org/10.1134/S0374064116050083

12. Федоров Ю. С., Расулов А. Б. Задачи типа Гильберта для уравнения Коши-Римана с сингулярными окружностью и точкой в младших коэффициентах // Дифференциальные уравнения. 2021. Т. 57, № 1. C. 140-144. https://doi.org/10.31857/S0374064121010143

13. Расулов А. Б. Задача Римана на полуокружности для обобщенной системы Коши-Римана с сингулярной линией // Дифференциальные уравнения. 2004. T. 40, № 9. C. 1290-1292. https://doi.org/10.1007/s10625-005-0015-7

14. Расулов А. Б. Интегральные представления и задача линейного сопряжения для обобщенной системы Коши-Римана с сингулярным многообразием // Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36, № 2. С. 270-275. https://doi.org/10.1007/BF02754217

15. Говоров Н. В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом. Москва : Наука, 1986. 240 с.

16. Монахов В. Н., Семенко Е. В. Краевые задачи и псевдодифференциальные операторы на римановых поверхностях. Москва : Физматлит, 2003. 416 с. EDN: UGLDLN

17. Островский И. В. Однородная краевая задача Римана с бесконечным индексом на криволинейном контуре // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. 1991. №. 56. С. 95-105.

18. Юров П. Г. Неоднородная краевая задача Римана с бесконечным индексом логарифмического порядка а ^ 1 // Материалы Всесоюзной конференции по краевым задачам. Казань : Изд-во Казанского ун-та, 1970. C. 279-284.

19. Юров П. Г. Однородная краевая задача Римана с бесконечным индексом логарифмического типа // Известия высших учебных заведений. Математика. 1966. № 2. C. 158-163. URL: https://mi.mathnet.ru/ivm2700 (дата обращения: 02.08.2022)

20. Салимое Р. Б., Хасанова Э. Н. Решение однородной краевой задачи Римана с бесконечным индексом логарифмического порядка на луче новым методом // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17, вып. 2. С. 160-171. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2017-17-2-160-171

References

1. Vekua I. N. Obobshchennye analiticheskie funktsii [Generalized Analytic Functions]. Moscow, Nauka, 1988. 507 p. (in Russian).

2. Mikhailov L. G. Novye klassy osobykh integral'nykh uravneniy i ikh primenenie k differentsial'nym uravneniyam s singulyarnymi koeffitsiyentami [New Classes of Singular Integral Equations and Their Application to Differential Equations with Singular Coefficients]. Dushanbe, TadjikNIINTI, 1963. 183 p. (in Russian).

3. Radzhabov N. R. Integralnye predstavleniya i granichnye zadachi dlya nekotorykh differentsial'nykh uravneniy s singuliarnoy liniey ili singuliarnymi poverkhnostyami [Integral Representations and Boundary Value Problems for Some Differential Equations with Singular Line or Singular Surfaces]. Vol. 1. Dushambe, Tadzhikskiy gosuniversitet Publ., 1980. 147 p. (in Russian).

4. Radzhabov N. R. Integral'nye predstavleniya i granichnye zadachi dlya nekotorykh differentsial'nykh uravneniy s singuliarnoi liniei ili s singuliarnymi poverkhnostiami [Integral Representations and Boundary Value Problems for Some Differential Equations with Singular Line or Singular Surfaces]. Vol. 2. Dushambe, Tadzhikskiy gosuniversitet Publ., 1981. 170 p. (in Russian).

5. Radzhabov N. R. Integral representations and boundary value problems for the generalized Cauchy - Riemann system with a singular line. Doklady Akademii Nauk SSSR, 1982, vol. 267, iss. 2, pp. 300-305 (in Russian). Available at: https://mi.mathnet.ru/dan45725 (accessed 2 August 2022).

6. Radzhabov N. R., Rasulov A. B. Integral representations and boundary value problems for a class of systems of differential equations of elliptic type with singular manifolds. Differentsial'nye Uravneniya, 1989, vol. 25, iss. 7, pp. 1279-1981 (in Russian). Available at: https://mi.mathnet.ru/de6927 (accessed 2 August 2022).

7. Usmanov Z. D. Generalized Cauchy - Riemann Systems with a Singular Point. New York, Routledge, 1997. 232 p. (Russ. ed.: Dushambe, TadzhikNIINTI, 1993. 245 p.). https://doi.org/10.1201/9780203753750

8. Begehr H., Dao-Qing Dai. On continuous solutions of a generalized Cauchi - Riemann system with more than one singularity. Journal of Differential Equations, 2004, vol. 196, iss. 1, pp. 67-90. https://doi.org/10.1016/jj.jde.2003.07.013

9. Meziani A. Representation of solutions of a singular CR equation in the plane. Complex Variables and Elliptic Equations, 2008, vol. 53, iss. 12, pp. 1111-1130. Available at: https://doi.org/ 10.1080/17476930802509239 (accessed 2 August 2022).

10. Rasulov A. B. Representation of the variety of solutions and investigation of the boundary value problems for some generalized Cauchy - Riemann systems with one and two singular lines. Izvestiya AN Tadzh. SSR. Seriia fiziko-matematicheskikh, khimicheskikh i geologicheskikh nauk, 1982, iss. 4 (84), pp. 23-32 (in Russian).

11. Rasulov A. B., Soldatov A. P. Boundary value problem for a generalized Cauchy - Riemann equation with singular coefficients. Differential Equations, 2016, vol. 52, iss. 5, pp. 616629. https://doi.org/10.1134/S0374064116050083

12. Fedorov Iu. S., Rasulov A. B. Hilbert type problem for a Cauchy - Riemann equation with singularities on a circle and at a point in the lower-order coefficients. Differential Equations, 2021, vol. 57, iss. 1, pp. 127-131. https://doi.org/10.1134/S0012266121010122

13. Rasulov A. B. The Riemann problem on a semicircle for a generalized Cauchy - Riemann system with a singular line. Differential Equations, 2004, vol. 40, iss. 9, pp. 1364-1366. https://doi.org/10.1007/s10625-005-0015-7

14. Rasulov A. B. Integral representations and the linear conjugation problem for a generalized cauchy-riemann system with a singular manifold. Differential Equations, 2000, vol. 36, iss. 2, pp. 306-312. https://doi.org/10.1007/BF02754217

15. Govorov N. V. Riemann's Boundary Problem with Infinite Index. Operator Theory: Advances and Applications, vol. 67. Berlin, Birkhauser Basel, 1994. 263 p. https://doi.org/ 10.1007/978-3-0348-8506-5 (Russ. ed.: Moscow, Nauka, 1986. 240 p.).

16. Monakhov V. N., Semenko E. V. Kraevye zadachi i psevdodifferentsial'nye operatory na rimanovykh poverkhnostyakh [Boundary Value Problems and Pseudodifferential Operators on Riemann Surfaces]. Moscow, Fizmatlit, 2003. 416 p. (in Russian). EDN: UGLDLN

17. Ostrovskii I. V. Homogeneous Riemann boundary value problem with infinite index on a curved contour. Theory of Functions, Functional Analysis and Their Applications, 1991, iss. 56, pp. 95-105 (in Russian).

18. Yurov P. G. Inhomogeneous Riemann boundary value problem with infinite index of logarithmic order a ^ 1. In: Materialy Vsesoyuznoy konferentsii po kraevym zadacham [Materials of the All-Union Conference on Boundary Value Problems]. Kazan, Kazan State University Publ., 1970, pp. 279-284 (in Russian).

19. Yurov P. G. The homogeneous Riemann boundary value problem with an infinite index of logarithmic type. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika, 1966, iss. 2, pp. 158-163 (in Russian). Available at: https://mi.mathnet.ru/ivm2700 (accessed 2 August 2022).

20. Salimov R. B., Khasanova E. N. The solution of the homogeneous boundary value problem of Riemann with infinite index of logarithmic order on the beam by a new method. Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2017, vol. 17, iss. 2, pp. 160-171 (in Russian). https://doi.org/10.18500/1816-9791-2017-17-2-160-171

Поступила в редакцию / Received 09.08.2022

Принята к публикации / Accepted 26.09.2022

Опубликована / Published 01.03.2023