РЕШЕНИЕ СМЕШАННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ МОИСИЛА-ТЕОДОРЕСКУ В БЕСКОНЕЧНОМ СЛОЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.95

DOI: 10.18384/2310-7251-2022-2-6-16

РЕШЕНИЕ СМЕШАННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ МОИСИЛА-ТЕОДОРЕСКУ В БЕСКОНЕЧНОМ СЛОЕ

Алгазин О. Д., Копаев А. В.

Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана

(национальный исследовательский университет)

105005, г. Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1, Российская Федерация

Аннотация

Цель: найти точные решения смешанной краевой задачи для системы уравнений Мо-исила-Теодореску в бесконечном слое.

Процедура и методы. В статье рассмотрены смешанные краевые задачи для системы уравнений Моисила-Теодореску в слое и для системы Коши-Римана в полосе. Эти задачи сводятся к смешанным краевым задачам Дирихле-Неймана для уравнения Лапласа в слое и в полосе, соответственно, явные решения которых получены авторами ранее с помощью преобразования Фурье обобщённых функций медленного роста. Результаты. Получены точные решения смешанных краевых задач для системы Моисила-Теодореску и для системы Коши-Римана, которые записываются в виде свёрток быстро убывающих, бесконечно дифференцируемых функций (ядер) с граничными функциями, которые считаются обобщёнными функциями медленного роста. Если граничные функции являются обычными функциями медленного роста, то решения записываются интегральными формулами, которые можно считать аналогом формул Келдыша-Седова. В частности, если граничные функции являются полиномами, то решения также являются полиномами.

Теоретическая и/или практическая значимость работы заключается в получении точных решений смешанных краевых задач для системы Моисила-Теодореску и для системы Коши-Римана.

Ключевые слова: Система уравнений Моисила-Теодореску, система уравнений Коши-Ри-мана, краевая задача Римана-Гильберта, краевая задача Шварца, смешанная краевая задача, обобщённые функции медленного роста

© те BY Алгазин О. Д., Копаев А. В., 2022.

SOLUTION OF A MIXED BOUNDARY VALUE PROBLEM

FOR THE MOISIL-TEODORESKU SYSTEM IN AN INFINITE LAYER

O. Algazin, A. Kopaev

Bauman Moscow State Technical University

ul. 2-ya Baumanskaya 5, stroenie 1, Moscow 105005, Russian Federation Abstract

Aim. The purpose of the paper is to find exact solutions of a mixed boundary value problem for a system of Moisil-Teodorescu equations in an infinite layer.

Methodology. The paper considers mixed boundary value problems for the Moisil-Teodorescu system of equations in a layer and for the Cauchy-Riemann system in a strip. These problems are reduced to mixed Dirichlet-Neumann boundary value problems for the Laplace equation in a layer and in a strip, respectively, whose explicit solutions were previously obtained by the authors using the Fourier transform of generalized functions of slow growth. Results. Exact solutions of mixed boundary value problems for the Moisil-Teodorescu system and for the Cauchy-Riemann system are obtained, which are written as convolutions of rapidly decreasing, infinitely differentiable functions (kernels) with boundary functions that are considered to be generalized functions of slow growth. If the boundary functions are ordinary functions of slow growth, then the solutions are written using integral formulas, which can be considered analogous to the Keldysh-Sedov formulas. In particular, if the boundary functions are polynomials, then the solutions are also polynomials.

Research implications. Exact solutions of mixed boundary value problems for the Moisil-Teo-dorescu system and for the Cauchy-Riemann system are obtained. Keywords: Moisil-Teodorescu system of equations, Cauchy-Riemann system of equations, Riemann-Hilbert boundary value problem, Schwartz boundary value problem, mixed boundary value problem, generalized functions of slow growth

Введение

Система дифференциальных уравнений

rdq2 дао dq4 —1±+ -H + -2±=0

дх1 дх2 ду

dqi dq3 + dq4 = q

дх1 ду dx2

dqi + dq1- dq4 = q

дх2 ду дх1

dqi dq^+ dq3 = q

^ ду дх2 дх1

(1)

где q1(x,y), q2(x,y), qз(x,y), q4(x,y), х = (х1,х2) функции трёх переменных, введена румынскими математиками Г. Моисилом и Н. Теодореску [1] как обобщение на случай трёх переменных системы уравнений Коши-Римана для функций двух переменных и(х, у), р(х, у)

du dv дх ду~

du dv о

ду дх

В случае системы Коши-Римана (2) функции и(х,у) и v(x,y) являются гармоническими, а функция f(z) = и(х,у) + iv(x,y) является аналитической (голоморфной).

В случае системы Моисила-Теодореску (1) четырёхкомпонентный вектор q = (Ч1> Чг> Ч3> Ч4) называется голоморфным, а его компоненты являются гармоническими функциями трёх переменных.

Теория краевых задач для аналитических функций (для системы Коши-Ри-мана) изложена в книгах [2; 3]. Задачей Гильберта (Римана-Гильберта) называется задача отыскания аналитической функции (решения системы (2)) в области D, если на границе области д D задана линейная комбинация функций и и v:

аи + bv = с

или

Re((a — ib)f) = с, где а,Ь,с — заданные функции.

Частный случай, если а = 1,Ь = 0, называется задачей Шварца.

В случае кусочно-постоянных коэффициентов а и Ь, если на одной части границы а = 1, b = 0, а на оставшейся части границы а = 0, b = 1 , то есть на одной части границы задана функция , а на оставшейся части границы задана функция v, мы имеем смешанную краевую задачу [2, с. 472; 3, с. 308]. Для случая полуплоскости решение этой задачи даётся формулой Келдыша-Седова [2-4].

Основные факты теории аналитических функций переносятся на голоморфные векторы [5, с. 222; 6, с. 164]. Например, в [6, с. 179] рассмотрен один из аналогов задачи Римана-Гильберта для полупространства. Другие аналоги задачи Римана-Гильберта для ограниченных областей в R3 рассмотрены в [7; 8].

В данной работе мы рассматриваем смешанную краевую задачу для системы уравнений Моисила-Теодореску в бесконечном слое

D = {(х,у) ER3: хеЕ2, 0 <у < а],

в которой требуется найти решение системы (1), удовлетворяющее граничным условиям:

q1(x,0) = к(х), q2(x,a) = 1 (х), q3(x,a) = т.(х), q4(x,0) = п(х).

Предварительно мы решаем смешанную краевую задачу для системы уравнений Коши-Римана в полосе.

Полученные интегральные формулы, представляющие решение, можно рассматривать как аналог формул Келдыша-Седова.

1. Смешанная краевая задача для системы Коши-Римана в полосе

Требуется решить краевую задачу

W

3u ÖV

Зх Зу

,, ,, , —от < х < от, 0 < у < а, (2)

du 3v о

Зу Зх

и(х, 0) = ^>(х), v(x, а) = ^(х), —от < х < от. (3) Эта задача сводится к двум смешанным краевым задачам Дирихле-Неймана для уравнения Лапласа в полосе для функций и(х,у) и v(x,у):

Ди(х,у) = 0, —от < х < от, 0 < у < а, (4)

u(x, 0) = ^(х), иу(х, а) = —^'(х), (5)

Д^(х,у) = 0, —от < х < от, 0 < у < а, (6)

ъу(х,0) = £>'(х), ^(х,а) = ^(х). (7) Эти задачи решены в [9]. Их решения записываются в виде свёрток

и(х,у) = ф(х) * г(х,у) — ^'(х) * s(x,y) , (9)

v(x,y) = ^(х) * r(x, а — у) — ^'(х) * s(x, а — у) , (10) где для ядер введены обозначения (J"t-1 — обратное преобразование Фурье)

r(x,y) = ^t-1[R](x,y), R(i,y) = tel,

sh(ty)

s(x,y) = ^t-1[S](x,y), S(t,y) = tch(^a), teffi,

1 sin Go)ch Ga) crY1,=±lnfchilÜ+ÜnilS

Заданные функции ф(х) и ф(х) можно считать обобщёнными функциями медленного роста, ф(х), ф(х) е [10]. В этом случае решения системы Коши-Римана и(х, у) и v(x, у) имеют граничные значения в смысле теории обобщенных функций:

lim u(x,y) = ^(х) в £'(М), lim v(x,y) = ^(х) в £'(М),

у^0+ у^а-

то есть для каждой основной функции а(х) е S (М) имеют место равенства: lim (u(x,y), а(х)) = (^(х), а(х)), lim (v(x,y), а(х)) = (^(х), а(х)).

у^0+ у^а-

Замечание 1. По свойствам свёртки

д д f , ^'(х) * s(x,y) = ^(х) *^s(x,y) = *

д д f ч ^'(х) * s(x,a — у) = £>(х) *—s(x,a — у) = — (^(х) * s(x,a — у)),

ох ох

и формулы (9), (10) можно менять в соответствии с этими равенствами.

Если ф(х) и ф(х) — обычные функции медленного роста, то граничные значения функций и(х, у) и v(x, у) существуют в обычном смысле, то есть в каждой точке непрерывности функций ф(х) и ф(х) имеют место равенства: lim u(x,y) = ^>(х), lim v(x,y) = ^(х).

у^0+ у^а-

Эти же равенства имеют место в некотором интервале в том случае, когда обобщённая функция <р(х) (^ф(х)^) совпадает в этом интервале с непрерывной функцией.

Когда q(x),q>'(x) и ^(x),^'(x) — обычные функции медленного роста, свёртки (9), (10) записываются интегральными формулами:

ю ch (п(х ~1)) и(х,у) = —sin(—I w(t) —-—,--dt

— Г fch(n(iür1) + sin(ni.

™=О О® сь^+^ш)11' -

1 г ,(), /*(*&*) +«*(%)У

-—I <р'(01п1—)—р-^- \dt.

Если (р(х) и тр(х) - полиномы, то и(х, у) и р(х, у) тоже являются полиномами и явные формулы для них получены в [11].

Решение смешанной краевой задачи (2), (3) единственно в классе функций f (х, у) медленного роста по х:

L

lf(x,y)l (— + lxl)~mdx < С ,

для некоторого т > 0 и для каждого у е (0, а). Пример 1. ф(х) = Н(х), 'ф(х) = 0.

Здесь Н(х) — функция Хевисайда, её производная Н'(х) = 3(х) — дельта-функция Дирака. Решение смешанной задачи (2), (3) получаем по формулам (9), (10):

и(х,у) = ф(х) * г(х,у) — ф'(х) * з(х,у) = Н(х) * г(х,у) =

а V

^ Г ^^ dt = —arjs^

\2a)j

v(x,y) = 'ф(х) * r(x, а — у) — <p'(x) * s(x, а — у) = —S(x) * s(x, а — у) =

2п \ch(5^)+cos(n^)/

Легко проверить, что и(х,у) и v(x,y) удовлетворяют системе Коши-Римана (2) и выполняются граничные условия:

lim и(х,у) = —, если х > 0, lim и(х,у) = 0, если х < 0, lim v(x,y) = 0.

у^0+ у^0+ у^а-

В точке разрыва функции Н(х) lim u(0, у) = 1/2. Пример 2. ^(х) = 5(х), ^(х)у= (J. По формулам (9), (10):

и(х,у) = ф(х) * г(х,у) — ^'(х) * s(x,y) = 5(х) * г(х,у) = г(х,у) =

= 1 sin(S)ch(nD

а

v(x, у) = ^(х) * r(x, а — у) — ^'(х) * s(x, а — у) = —5'(х) * s(x, а — у) =

3 , ч д

= — — (<5(х) *s(x,a —у)) = — — s(x,a —у) =

'ch®+cos(i£)\\ 1 ^GSWS

аЧ2П Ich © -cos (g)// »ch(f) —а»(?)

Легко проверить, что u(x, у) и v(x, у) удовлетворяют системе Коши-Римана (2) и выполняются граничные условия в следующем смысле:

lim u(x,y) = <5(х) в ¿"(М),

у^О+

то есть для каждой функции а(х) е S (М), имеет место равенство

1 /пуч Гт chLu/

y^+äSin(2^)J_raa(x) ch(M)-cos(^)dt = а(0)"

В интервалах (—от, 0) и (0, от) обобщённая функция 5(х) совпадает с непрерывной функцией тождественно равной нулю, поэтому

lim u(x, у) = 0 для х Ф 0.

у^О +

Также

lim v(x,y) = 0.

у^а-

Пример 3. ^(х) = х2, ^(х) = х3.

По формулам, приведённым в [11], получим решение смешанной краевой задачи:

и(х,у) = х2 — у2 + 2ау — Зх2у + у3 — За2у, v(x,y) = За2х + х3 — Зху2 — 2ах + 2ху. Аналитическая функция, дающая решение задачи Римана-Гильберта: /(z) = u(x,y) + ¿v(x,y) = ¿z3 + z2 + (Зга2 — 2га)г, Re /(x) = x2, Im /(x + га) = x3.

2. Смешанная краевая задача для системы Моисила-Теодореску в слое

Требуется решить краевую задачу

дЧ2 + дх1 ддз + dq±

дХ2 ду

dqi дЦз + dq±

дх1 ду дХ2

—1 + дХ2 дЧ2 dq±

ду дх1

дЧ1 дЧ2 + дЦз

ду дХ2 дх1

(хг,х2) = х еШ.2,0 <у < а, (11)

= 0 = 0 = 0

= 0

ц1(х, 0) = к(х), ц2(х, а) = 1(х), ц3(х, а) = т(х), цА(х, 0) = п(х) (12) Задача (11), (12) сводится к четырём смешанным краевым задачам Дирихле-Неймана для уравнения Лапласа в слое: Ад1(х,у) = 0, х Е

дд1 __ ____

д1(х,0) = к(х), ——(х,а)=-—(ж)--—(х), ду дх2

0 <у <а, dl дт

дх1

&Ч2(х,у) = 0, х£В2, 0<у<а, дц2 дк дп

Ч2(х>= Кх), (х,0) = --—(х)^ — (х),

ду дх2 дх1

&Чз(х,у) = 0, х£В2, 0<у<а,

дк дп

(х, а) = т(х), —— (х, 0) = -— (х) + -— (х), ду дх1 дх2

Ад4(х,у) = 0, х£В2, 0<у<а,

дд4 д1 дт

цА(х, 0) = п(х), —— (х, а) = - — (х) - -— (х).

ду дх1 дх2

Эти задачи решены в [9]. Их решения записываются в виде свёрток

( dl дт

4i(x,y) = к(х)*Г2(х,у) +

(х) \*S2(x,y),

I дк дп \

Ч2(х,У) = 1(х) *Г2(х,а- у) + \ ^(х) -~^Т(х) \ *S2(x,a-y) ,

( дк дп \

Чз(х,у) = ш(х) * Г2(х, а —у) — I ^(х) +~^Т(х) \*S2(x,a — y) ,

( dl dm \

Й4(х, у) = П(Х) * Г2 (х, У^ — I^1(x) + (х) \ * S2 (х' У) .

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

где для ядер введены обозначения (^ 1 — обратное преобразование Фурье)

^2 (X, у) = t^1[r2\(x, у), R2 (t, у) =

S2 (х, y)=?t1 И (х, у), S2 (t, у) =

ch(\t\(a — y))

ch(\t\a) sh(\t\y)

t e t e M

\t\ch(\t\a)'

Ядра r2 (x, у) и s2 (x, у) не выражаются через элементарные функции:

1 Стсh(p(а - у)) r2(X'y) = 2^J0 eh(ap) PJo(P\x\)dP.

1 Cmsh(py)

S2(x'y) = 2^J0 Щ0р)]о(Р\Х^Р '

где /0(p\x\) — функция Бесселя 1-го рода нулевого порядка.

Заданные функции к(х), 1(х), т(х), п(х) можно считать обобщёнными функциями медленного роста, к(х), l(x), т(х),п(х) е S'(М2) [10]. В этом случае решения системы Моисила-Теодореску q1(x,y), q2(x,y), q3(x,y), q4(x,y) имеют граничные значения в смысле теории обобщённых функций.

Замечание 2. Формулы (17), (18), (19), (20) можно изменить в соответствии со свойствами свёртки. Например,

(dl дт \ , ч / ds2 ds2 \

дх2(х) ~~дх^(х) j*S2(x'y) = V(x)~ т(х)) * [~^~(Х'У) ~ ~дх^(Х'У) )

= (/(Х)" т(х))**2(Х'У)).

Если к(х) ' 1(х) ' т(х)' п(х) - обычные функции медленного роста, то граничные значения функций q1 (х' у)' q2 (х' у)' q3 (х' у) q4(X' у) существуют в обычном смысле, то есть в каждой точке непрерывности функций к(х)' 1(х)' т(х)' п(х) имеют место равенства

lim q 1(х— к(х) ' lim q2(х— I(х) '

у^0+ у^а-

lim q-i(X'y) — т(х)' lim q4(x— п(х).

у^а- у^0+

Эти же равенства имеют место в некоторой области D с М2 и в том случае, когда обобщённые функции к(х) ' 1(х) ' т(х) ' п(х) совпадают в этой области с непрерывными функциями.

Если к(х)' 1(х)' т(х)' п(х) и их первые производные - обычные функции медленного роста, свёртки (17), (18), (19), (20) записываются интегральными формулами, например:

1С Стсh(p(а - у)) Ч1(Х'У)=^-\ k(t)dt I -——-—pJ0(p\x - t\)dp +

2nJU2 J0 ch(ap)

1 С f dl dm t\ dt i'

2nJK2\dt2 dti ) J0

ch(ap)

sh(py)

J0(p\x - t\)dp .

ск(ар^)

Если к(х), 1(х), т(х), п(х) - полиномы, то свёртки (17), (18), (19), (20) являются полиномами, и явные формулы для них получены в [11].

Решение смешанной краевой задачи (11), (12) единственно в классе функций f(x, у) медленного роста по х:

I

JK'

\f(x,y)\(1 + \x\)-mdx<C ' \х\= 1x2+ х* '

для некоторого и для каждого ( ' ).

Пример 4.

Jt ( Х^) — Xi Х2' I ( X) — Xi Х'2' ТП ( X) — Xi Х'2' TL ( X) — Xi Х2 •

По формулам, приведённым в [11], получим решение смешанной краевой задачи:

q1(x) = х^х2 * г2(х,у) + (2х±х2 - 2х±х£) * s2(x,y) =

Ч2{х>У) = Х1Х2 * r2{x. а-у) + (х1- Х2) * S2(x, а-у) =

2 1

= х1х^ — х1у2 + х1а2 + х^а - ах2 - х? у + х2у + за3 - аУ2 +

Чз(.х,у) = х1х% * Г2(х, а-у)- {2x^2 + х1) * S2{x, а-у) =

1 5

= х^х^ + xla2 - х^у2 + х% а2 - х%у2 + 3У4 + 3°-4 - 2а2у2 - 2ах1х2 -

-ах1 + 2х1х2у + х1у.

ЧА{Х.У) = Х1Х2 * Г2{х,У) - {х2 + 2Х2Х2) * S2{X,y) =

2 1

= Х1Х2 - х£у - 2х2х2у + 3Х2У3 + 3У3 - 2а2Х2У - уа2. Заключение

Получены точные решения смешанной краевой задачи для системы Моисила-Теодореску в бесконечном слое. В случае, когда заданные на границе слоя функции являются функциями медленного роста, решения задачи записываются интегральными формулами, которые можно считать аналогом формулы Келдыша-Седова для полуплоскости.

Статья поступила в редакцию 07.04.2022 г. ЛИТЕРАТУРА

1. Moisil G. C., Theodorescu N. Fonctions holomorphes dans l'espace // Buletinul Societätii de §tiinte din Cluj. 1931. Tomul VI. P. 177-194.

2. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

3. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 512 с.

4. Келдыш М. В., Седов Л. И. Эффективное решение некоторых краевых задач для гармонических функций // Доклады АН СССР. 1937. Т. 16. № 1. С. 7-10.

5. Бицадзе А. В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. М.: Наука, 1984. 320 с.

6. Бицадзе А. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966. 204 с.

7. Солдатов А. П. О задаче Шварца для системы Моисила-Теодореску // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2020. Т. 188. С. 3-13. DOI: 10.36535/0233-6723-2020-188-3-13.

8. Полковников А. Н., Тарханов Н. Задача Римана-Гильберта для системы Моисила-Теодореску // Математические труды. 2018. Т. 21. № 1. С. 155-192. DOI: 10.17377/mat-trudy.2018.21.107.

9. Алгазин О. Д., Копаев А. В. Решение смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа в многомерном бесконечном слое // Вестник Московского государственного

технического университета им. Н. Э. Баумана. Серия: Естественные науки. 2015. № 1. С. 3-13. DOI: 10.18698/1812-3368-2015-1-3-13.

10. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979. 320 с.

11. Алгазин О. Д. Полиномиальные решения краевых задач для уравнения Пуассона в слое // Математика и математическое моделирование. 2017. № 6. С. 1-18. DOI: 10.24108/mathm/0517.0000082.

REFERENCES

1. Moisil G. C., Theodorescu N. Fonctions holomorphes dans l'espace. In: Buletinul Societatii

de §tiinfe din Cluj, 1931, Tomul VI, pp. 177-194.

2. Gakhov F. D. Kraevye zadachi [Boundary value problems]. Moscow, Nauka Publ., 1977. 640 p.

3. Muskhelishvili N. I. Singulyarnye integral'nye uravneniya [Singular integral equations]. Moscow, Nauka Publ., 1968. 512 p.

4. Keldysh M. V., Sedov L. I. [Efficient solution of some boundary value problems for harmonic functions]. In: Doklady AN SSSR [Reports of the Academy of Sciences of the USSR], 1937, vol. 16, no. 1, pp. 7-10.

5. Bitsadze A. V. Osnovy teorii analiticheskikh funktsii kompleksnogo peremennogo [Fundamentals of the theory of analytic functions of a complex variable]. Moscow, Nauka Publ., 1984. 320 p.

6. Bitsadze A. V. Kraevye zadachi dlya ellipticheskikh uravnenii vtorogo poryadka [Boundary value problems for second-order elliptic equations]. Moscow, Nauka Publ., 1966. 204 p.

7. Soldatov A. P. [On the Schwarz problem for the Moisil-Teodoresco system]. In: Itogi nauki i tekhniki. Sovremennaya matematika i ee prilozheniya. Tematicheskie obzory [Journal of Mathematical Sciences. Results of science and technology. Modern mathematics and its applications. Subject reviews], 2020, vol. 188, pp. 3-13. DOI: 10.36535/0233-6723-2020-1883-13.

8. Polkovnikov A. N., Tarkhanov N. [A Riemann-Hilbert problem for the Moisil-Teodorescu system]. In: Matematicheskie Trudy [Siberian Advances in Mathematics], 2018, vol. 21, no. 1, pp. 155-192. DOI: 10.17377/mattrudy.2018.21.107.

9. Algazin O. D., Kopayev A. V. [Solution of the mixed boundary value problem for Laplace equation in a multidimensional infinite layer]. In: Vestnik Moskovskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta im. N. E. Baumana. Seriya: Estestvennye nauki [Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Series Natural Sciences], 2015, no. 1, pp. 313. DOI 0.18698/1812-3368-2015-1-3-13.

10. Vladimirov V. S. Obobshchennye funktsii v matematicheskoi fizike [Generalized Functions in Mathematical Physics]. Moscow, Nauka Publ., 1979. 320 p.

11. Algazin O. D. [Polynomial Solutions of the Boundary Value Problems for the Poisson Equation in a Layer]. In: Matematika i matematicheskoe modelirovanie [Mathematics and Mathematical Modeling], 2017, no. 6, pp. 1-18. DOI: 10.24108/mathm/0517.0000082.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Алгазин Олег Дмитриевич - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры вычислительной математики и математической физики Московского государственного технического университета имени Н. Э. Баумана (национального исследовательского университета); e-mail: [email protected]

Копаев Анатолий Владимирович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Московского государственного технического университета имени Н. Э. Баумана (национального исследовательского университета); e-mail: [email protected]

INFORMATION ABOUT THE AUTHORS

OlegD. Algazin - Cand. Sci. (Phys.-Math.), Assoc. Prof., Department of Computational Mathematics and Mathematical Physics, Bauman Moscow State Technical University; e-mail: [email protected]

Anatoliy V. Kopaev - Cand. Sci. (Phys.-Math.), Assoc. Prof., Department of Higher Mathematics, Bauman Moscow State Technical University; e-mail: [email protected]

ПРАВИЛЬНАЯ ССЫЛКА НА СТАТЬЮ

Алгазин О. Д., Копаев А. В. Решение смешанной краевой задачи для системы Моисила-Теодореску в бесконечном слое // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика. 2022. № 2. С. 6-16. DOI: 10.18384/2310-7251-2022-2-6-16.

FOR CITATION

Algazin O. D., Kopaev A. V. Solution of a mixed boundary value problem for the Moisil-Teo-doresku system in an infinite layer. In: Bulletin of the Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics, 2022, no. 2, pp. 6-16. DOI: 10.18384/2310-7251-2022-2-6-16.