СМЕШАННАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В ПОЛУБЕСКОНЕЧНОМ СЛОЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика и математическое моделирование. 2020. № 05. С. 1 - 12.

БО!: 10.24108/шаШш.0520.0000229

Математика й Математическое

моделирование

© О.Д. Алгазин, А.В. Копаев, 2020

Сетевое научное издание http://mathmelpub.ru ISSN 2412-5911

УДК 517.958

Смешанная краевая задача для уравнения Лапласа в полубесконечном слое

Алгазин О.Д.1*, Копаев А.В.1

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия тор1б 6 @уап(кх ли

Для полубесконечного слоя в пространстве произвольной размерности дано решение смешанных краевых задач Дирихле — Неймана (краевые условия 1-го и 2-го рода) и Дирихле — Неймана — Робена (краевые условия 1-го, 2-го и 3-го рода) для уравнения Лапласа в классе функций медленного роста. Рассмотрены примеры.

Ключевые слова: уравнение Лапласа, гармонические функции, смешанная краевая задача, функции медленного роста

Представлена в редакцию: 08.09.2020, исправлена 22.09.2020

Гармонические функции двух и трёх переменных описывают многие стационарные процессы подземной гидродинамики [1], электромагнетизма [2], теплопроводности [3]-[6] и т. д. Поэтому поиск решений различных краевых задач для уравнения Лапласа (и новых более простых форм решений) является весьма актуальным. В данной работе дается решение смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа для полубесконечного слоя в пространстве произвольной размерности в классе функций медленного роста. Правые части краевых условий являются функциями медленного роста, в частности полиномами.

1. Постановка задачи

Введём следующие обозначения:

х = (х1( ...,хп) £ Еп , (х,у,г) = (х1( ...,хп,у,г) Е Еп+2 , у£1,ге1,

Введение

д2 д2 д2 д2

д

— лапласиан, дх = —.

ох

^ дх2 + + дх% + ду2 + дх2 Рассмотрим смешанную краевую задачу:

+

+

Au(x, y,z) = 0 , i £ Г , у > 0, 0 < z < а ,

(1)

и ( х, у, 0) = Ф (х,у) , 1ЁГ, у > о, (2)

32и (х,у, а) = ф (х,у) , х е !", у > 0, (3)

аЗуи(х, 0, г) + //и (х, 0, г) = / (х, г) , хеГ, 0 < г < а . (4)

Здесь а и // — постоянные, одновременно не равные нулю. Если одна из них равна нулю, то имеем смешанную задачу Дирихле — Неймана, если обе отличны от нуля — смешан-

ную задачу Дирихле — Неймана — Робена.

Решение будем искать в классе функций медленного роста:

I \и(х,у,г)\ (1 + \(х,у)\)~тйхйу < С

7мп+1

для некоторого т > 0 и для каждого г е ( 0, а) . Здесь !++1 = X ( 0, оо) ,

|(х,у)| = + - + хЪ +у2.

Заданные функции в правых частях краевых условий ф ( х, у) , ф ( х, у) , / ( х, г ) считаем функциями медленного роста.

Если функции в правых частях краевых условий от не зависят, то получим плоскую задачу для полуполосы:

Ди (у, г) = 0 , у > 0, 0 < г < а , (5)

и (у, 0) = ф (у) , у > 0, (6)

32и (у, а) = ф 00, у > 0, (7)

а 5уи( 0 , г) + /и ( 0 , г) = /(г) , 0 < г < а . (8)

2. Схема решения задачи

1. Продолжим функции ф (х,у) и ф (х,у) , заданные на !++1 = { ( х,у) :х е !",у > 0 } на всю гиперплоскость , доопределяя их при произвольно с сохранением мед-

ленного роста, например, как чётную по у или как нечётную. Продолженные функции обозначим и . Рассмотрим смешанную задачу Дирихле — Неймана для

слоя:

Ди 1 (х, у, г) = 0 , ( х, у) е +1 , 0 < г < а , (9)

и 1 ( х, у, 0) = ф (х, у) , (х, у) е +1 , (10)

а2и 1 ( х, у, а) = ^ (х, у), ( х, у) е +1 . (11)

Эта задача решена в [7]. Если ф (х, у) и 1/5 (х, у) — полиномы от (х, у) , то её решения и ( х, у, г) также являются полиномами от (х, у, г) [8] .

2. Теперь рассмотрим смешанную задачу для полубесконечного слоя:

Ди2 ( х, у, г) = 0 , хе!" , у > 0, 0<г<а , (12)

и2(х,у, 0) = 0, х е !", у > 0, (13)

32и2 (х,у, а) = 0, х е !", у > 0, (14)

(15)

где / (x,z) = f (x,z) — a dyu -¡^(x.O ,z) — f u -¡^(x.O ,z). Решение этой задачи будем искать в виде ряда

u2(x,y,z) = ^к=оак(x,y)sin (Ákz), h = + . (16)

Предполагая, что этот ряд сходится и сходятся ряды, полученные двукратным дифференцированием его по x,y и z. Эта функция удовлетворяет первым двум граничным условиям. Для определения коэффициентов ak(x,y) потребуем, чтобы она удовлетворяла уравнению Лапласа и третьему граничному условию.

Подставляя в уравнение Лапласа и третье граничное условие, получим

Д ak(x,y) — Á2kak(x,y) = 0, x G Г, y > 0, (17)

ady ak(xx,0) + fak(x,0) = fk(x), x G Rn, (18)

где

a

Ш = - I fix, z) sin (Akz) dz. 0

То есть коэффициенты ряда являются решением краевой задачи для уравнения Гельм-гольца в полупространстве. Решения ищутся в классе функций медленного роста. В случае краевого условия Дирихле ( a = 0,f = 1) решение записывается в виде интеграла [9] (там решается более общее уравнение). В случае краевого условия Робена ( a = 1, f = — h) подстановкой (при условии, что производные по y от ak(x,y) тоже имеют медленный рост)

bfc(x,y) = дуак (х,у) - hak (х, у)

задача Робена сводится к задаче Дирихле в классе функций медленного роста и последующему решению ОДУ 1-го порядка (с параметром x). Решение этого ОДУ в классе функций медленного роста единственное

00

afc(x,y) = - I bk(х,у + О о

3. Решение задачи

1. Функция ux(x,y,z) является решением задачи (9), (10), (11), где ф(x,y) и гр(x,y) -заданные функции медленного роста. Эта задача имеет единственное решение в классе функций медленного роста, которое записывается в виде свертки [7],

щ(х,у,г) = ф{х,у) *Kn(x,y,z) +ф(х,у) *Ln(x,y,z).

В частности, если ф (x,y) и гр( x,y) - полиномы, то и uiX x,y,z) тоже полином [8].

В случае п = 0 (для плоской задачи (5), (6), (7), когда р (x,y) и гр(x,y) не зависят от

),

щ(у,г) = ф(у) * Kn(y,z) + гр(у) * Ln(y,z),

v Гл, -тЛ - - Sin (2а) (2а) , г ч _ / (2а) + sin (2а) *оСу'Z) = a ch (Н) _ cos (S) ' io(y'Z) = 2*111 ^ _ ,1п (Ж)у

оо

1 . /7TZ4 Г ^ сЬ(тг(у - t)/2a)

ul(y,z) =-sin(-j j yCOch(7r(y_0/fl)_cos(7rz/fl)dt +

00

+ ¿/«0 in

"ch(7T(y - t)/2a) + sin (nz/2a)

ch(7T(y - t)/2 a) - sin(7rz/2a)

dt,

где <p ( t) и ( t) — продолжения функций cp ( t) и ф ( t) с положительной полуоси у на всю ось.

Например, если p ( t) продолжена как чётная функция, а ф ( t) продолжена как нечётная функция, то

00

и ( z)=-sin(—) [ ~(t) ch(7r(y-t)/2a) ^ 1 ' а J ch(jr(y — t)/a) — cos (jiz/a)

— CO

00

I 1 ■ (nz\ f -Г.Л ch(n(y + t)/2d)

+ -sin — <p(t)-r-r-,-. .. . .-;-—dt +

a V2a> J

—00 00

~h I ^

— CO

В этом случае

ch(n(y + t)/a) — cos (jiz/a) ch(7r(y — t)/2a) + sin (nz/2a)

In

ch(7r(y — t)/2a) — sin(7rz/2a) ch(7r(y + t)/2a) + sin (nz/2a)

ch(7r(y + t)/2a) — sin(7rz/2a)

dt

dt.

f(z) = /(z) - adyUiCO.z) - 0,z) =

00

2 _ /7TZ\ Г ~ sh(7rt/2a)

2 /7TZ\ Г ~

= /(z)_ir_sinyjlKt)

0

00

ch(7rt/a) + cos(nz/a)

2 /7гг\ Г с]1(7гг;/2а)

-|8-8т - ф(0-Г7—г^—^—7—ГТ^-а ^2а^ ^ сп(7г*;/а) — соз(пг/а) о

Если и — полиномы, заданные на положительной полуоси, а и — те же самые полиномы на всей оси, то и 1 (у, г) тоже полином от (у, г) [8]. Например, если

ф(0 = + Ь2Ь + М + Ь0ЖО = О

и соответственно

ср(0 = Ьзt3 + Ь2^2 + ь±г + Ь0-Ф(О = О,

то [8]

00

1 /7Г2\ Г _ _ сЬ(7г(у - 0/2а)

117 а / 1 сЬ(7г(у - О/а) - соб {т/а)

— 00

= Ь3(у3 — 3 уг2 + вауг) + Ь2(у2 — г2 + 2аг) + Ъгу + Ь0.

В этом случае

${г) = ¡{г) - адущ(0,г) - (3щ(0,г) = = /(г) + (ЗаЬ3 + рЬ2)г2 - (6ааЬ3 + 2арЬ2)г - (аЬг + рЬ0).

В случае

1 Г°° сЬ(р(а — г))

сЬ(ар) рШ^уШр,

1 Г^Нрг) ¿1(х,у,Ю=-]о —/о(р|(х,у)|)ф,

] 0 — функция Бесселя 1-го рода.

В случае п > 1 для вычисления Кп ( х,у,г) и Ьп ( х,у,г) применяем рекуррентную формулу [7]

1 д

Нп+2(г,г) = Т = 1(*,у)|-

2. Функция и2(х,у,г) является решением задачи (12), (13), (14), (15), где f(х,г) — функция медленного роста по х. Как функцию переменного г, её можно разложить в ряд

Фурье по б 1 п (Лкг), Лк + , поэтому ищем и2 (х,у,г) в виде ряда (16), где

а к (х,у) — решения краевой задачи в классе функций медленного роста для уравнения Гельмгольца для полупространства (17), (18).

В случае плоской задачи, когда правые части граничных условий (2), (3), (4) не зависят от , имеем

и2(у, г) = ^ ак(у)вт (Лкг), Ак = ^ + 7г/с),

к=О

(у)~4ак (у) = 0, у>0, (19)

а а'к( 0)+(Зак( 0) = Гк, (20)

где

и

А = / /Ф з[п(лк2) йг.

Решение ОДУ (19) в классе функций медленного роста, удовлетворяющее граничному условию (20) имеет вид

Гк

аМ = аке ХкУ. ак =

—аЛк + /?'

и формальное решение задачи (12), (13), (14), (15) для случая, когда правые части граничных условий (2), (3), (4) не зависят от х, дается рядом

и2(у, г) = ^ аке (гу), Лк = ^ + 7г/с), к = 0

ак =

а(—аЛк + /?)

о

и

I /(г) зт(Лкг) йг.

Если заменить этот ряд его отрезком, то полученная функция будет точно удовлетворять уравнению (12), краевым условиям (13), (14) и приближенно краевому условию (15).

Рассмотрим теперь случай, когда правые части граничных условий (2), (3), (4) зависят от х ЕШп,п> 1.

Если граничное условие (18) является условием Дирихле (а = 0,^ = 1), то решение задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца (17), (18) в классе функций медленного роста дается интегралом [9]

К.У Г ~ КМ\Х - г\2 + у2) п + 1

= //сСО ——— —аг, У = ——, (21)

21/ ^ I (VI*2+у2) 2

Ку — функция Макдональда.

Формальное решение задачи (12), (13), (14), (15) для а = 0,р = 1 дается рядом (16) с коэффициентами (21). Если заменить ряд (16) его отрезком, то полученная функция будет точно удовлетворять уравнению (12), краевым условиям (13), (14) и приближенно краевому условию (15).

Если граничное условие (18) является условием Робена (а = 1, @ = —Л, Л > 0), то указанной в пункте 2 подстановкой задача (17), (18) сводится к задаче Дирихле и её решение дается интегралом

2 П I I (VI*-¿I2 + (У + 02) 2

Ку — функция Макдональда.

Формальное решение задачи (12), (13), (14), (15) для а = 1,Р = —Л, Л > 0, дается рядом (16) с коэффициентами (22). Если заменить ряд (16) его отрезком, то полученная функция будет точно удовлетворять уравнению (12), краевым условиям (13), (14) и приближенно краевому условию (15). 3. Решение задачи (1), (2), (3), (4):

и(х,у,г) = и^х.у.г) + и2(х,у,г).

4. Примеры

1. Верхняя сторона полубесконечной пластины теплоизолирована, на нижней стороне поддерживается температура р (х,у) = х2 у, на боковой стороне поддерживается нулевая температура.

Решение.

Имеем смешанную задачу Дирихле-Неймана:

Ди(х,у, z) = 0, i£l , у > 0, 0 < z < а ,

и(х,у, 0) = ф(х,у) = х2у, х £ Е, у > 0,

dzu(x,y,a) = i|/(x,y) = 0, х G Е , у > 0,

и(х, 0, z) = /(х, z) = 0, х £ Е, 0 < z < а.

Продолжим функции ф (х,у) = х2 у и гр(х,у) = 0 с полуплоскости { (х,у)-.у > 0 } на всю плоскость, положив ф (х,у) = х2у,гр(х,у) = 0 . Тогда [8]

u^x.y.z) = ф(х,у) * (х, у, z) = 1 Г , f°°ch(p(a-z))

= г\ггдххдхг\ \ J р/0(р|(х,у) - (tltt2)\)dp = 2тт JR 2 J0 ch(pa)

= х2у + y(2az — z2),

f(x, z) = /(x, z) - u^x, 0, z) = 0,

следовательно, и решением задачи является гармонический полином

u(x,y,z) = x2y + y(2az — z2).

2. Верхняя и боковая стороны полубесконечной пластины теплоизолированы, на нижней стороне поддерживается температура .

Решение.

Имеем смешанную задачу Дирихле — Неймана:

Аи(х, y,z) = 0 , i£l , у > 0, 0 < z < а ,

и(х,у, 0) = ф(х,у) = х2у2, х £ Е, у > 0,

dzu(x,y,a) = i|/(x,y) = 0, х G Е , у > 0,

dyu(x,0,z) = /(x,z) = 0, х G Е, 0<z<a.

Продолжим функции и с полуплоскости на всю

плоскость, положив Тогда [8]

u^x.y.z) = ф(х,у) * (х, у, z) =

1 Г 9 9 r°°ch(p(a-z))

= 2^Ltlt2dtldt2i ch(Pa) ;P/o(Pl(x.y)-(t,t2)|)dP =

= х2у2 + (х2 + y2)(2az - z2) + - (z4 - 4az3 + 8a3z), /(x,z) = /(x,z) - dyU^x.O.z) = 0, следовательно, u 2 (x, y, z) = 0 и решением задачи является гармонический полином

1

u(x,y,z) = х2у2 + (х2 + y2)(2az — z2) + — (z4 — 4az3 + 8a3z).

3. Верхняя сторона полубесконечной пластины теплоизолирована, на нижней стороне поддерживается температура <р (x,y) = x2y2, на боковой стороне происходит теплообмен со средой с нулевой температурой. Решение.

Имеем смешанную задачу Дирихле — Неймана — Робена:

Ди (x,y,z) = 0 , x£l , y > 0, 0<z<a , (23)

и ( x, y, 0) = ф(x,y) = x2 y2 , x e l , y > 0, (24)

3zu (x,y, a) = ф (x,y) = 0, x e l , y > 0, (25)

3yu (x, 0, z) — Ли (x, 0, z) = f (x, z) = 0, x e l , 0 < z < a . (26)

Так же, как в предыдущем случае

1

u1(x,y,z) = х2у2 + (х2 + y2)(2az — z2) + — (z4 — 4az3 + 8a3z).

h

f(x,z) = /(x,z) — 3yii1(x, 0, z) + кщ(х, 0, z) = x2h(2az — z2) + — (z4 — 4az3 + 8a3z).

- . I J X. - X. I ^^

a

2

2 Г ~

fk(x) = ~ /Xх'z) Sin(lfcz) dz = Ax2 + B, a J

где

32/ia2 512/ia4

Л = „о,, . . . ,B =

n3(8k3 + 12k2 + 6k + 1) ' 7Г5(32/c5 + 80k4 + 80k3 + 80k3 + 40k2 + 10к + 1) '

00

u2{x,y,z) = ^ ak(x,y)sin (Afcz),

k=0

71 I _i y/(x-t)2 + (y + 0

" Ax2 + е-Ые-Ыц = -(Ax2 «"^У+ + D

A J 6 ^ +B)h + Xk (h + Ak)2Ak

g-Л-кУ

((Ax2Ak + Ay)(h + Ak) + BAk(h + Ak) + A) ([10]).

(h + Ak)2Ak Решение задачи:

1

u(x,y,z) = x2y2 + (x2 + y2)(2az — z2) + — (z4 — 4az3 + 8a3z) + ^ ak(x,y)sin (Akz).

k=о

Приближенное решение

1 №

и(х,у,г) = х2у2 + (х2 + у2)(2аг — г2) + — (г4 — 4аг3 + 8а3 г) + ^ ак(х,у)зт (Лкг).

к=о

Эта функция точно удовлетворяет уравнению (23) и граничным условиям (24), (25), граничному условию (26) она удовлетворяет приближенно. При малых ошибка невелика. Приведем графики приближенного решения (температуры) в сечениях и

и ошибки для

(рис. 1-3).

Рис. 1. График температуры и в сечении г = 0. 1 (Л/ = 50, а = л,/г = 1)

Рис. 2. График температуры и в сечении г = 3

(

Рис. 3. График ошибки /(х, г) — дуи (х , 0 , г) + ки (х , 0 , г) для N = 5 0,а = и,к = 1, \ х \ < 5 .

Заключение

Дано решение смешанных краевых задач для уравнения Лапласа в полубесконечном слое, использующее полученное ранее решение смешанной краевой задачи для слоя. Рассмотрены примеры решения задач Дирихле-Неймана и Дирихле-Неймана-Робена, описывающих температурное поле полубесконечной пластины.

Список литературы

1. Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод: учеб. пособие. 2-е изд. М.: Наука, 1977. 664 с.

2. Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. М.; Л.: Изд-во Акад. наук СССР, 1948. 729 с.

3. Карслоу Г.С., Егер Дж. Теплопроводность твердых тел: пер. с англ. М.: Наука, 1964. 487 с. [Carslaw H.S., Jaeger J.C. Conduction of heat in solids. 2nd ed. Oxf.: Clarendon Press, 1959. 510 p.].

4. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел: учеб. пособие. 3-е изд. М.: Высш. шк., 2001. 550 с.

5. Лыков А.В. Теория теплопроводности: учеб. пособие. М.: Высш. шк., 1967. 600 с.

6. Зарубин В.С. Инженерные методы решения задач теплопроводности. М.: Энергоатомиз-дат, 1983. 328 с.

7. Алгазин О.Д., Копаев А.В. Решение смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа в многомерном бесконечном слое // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2015. № 1. С. 3-13. DOI: 10.18698/1812-3368-2015-1-3-13

8. Алгазин О.Д. Полиномиальные решения краевых задач для уравнения Пуассона в слое // Математика и математическое моделирование. 2017. № 6. С. 1-18.

DOI: 10.24108/mathm.0517.0000082

9. Алгазин О.Д. Построение методом подобия фундаментального решения задачи Дирихле для уравнения типа Келдыша в полупространстве // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2018. № 1. С. 4-15. DOI: 10.18698/1812-3368-2018-1-4-15

10. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. 5-е изд. М.: Наука, 1971. 1108 с.

MathematlcalModeling, 2020 Mathematics & Mathematical

DOI: 10.24108/mathm.0520.0000229

Modelling

Electronic journal

© O.D. Algazin, A.V. Kopaev, 2020 http://mathmelpub.ru ISSN 2412-5911

A Mixed Boundary Value Problem for Laplace Equation in a Semi-infinite Layer

O.D. Algazin1*, A.V. Kopaev1

:Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia mopifi 6 @yandiex ju

Keywords: Laplace equation, harmonic functions, mixed boundary value problem, functions of slow growth Received: 08.09.2020, Revised: 22.09.2020

The paper offers a solution of the mixed Dirichlet-Neumann and Dirichlet-Neumann-Robin boundary value problems for the Laplace equation in the semi-infinite layer, using the previously obtained solution of the mixed Dirichlet-Neumann boundary value problem for a layer.

The functions on the right-hand sides of the boundary conditions are considered to be functions of slow growth, in particular, polynomials. The solution to boundary value problems is also sought in the class of functions of slow growth. Continuing the functions on the right-hand sides of the boundary conditions on the upper and lower sides of the semi-infinite layer from the semi-hyperplane to the entire hyperplane, we obtain the Dirichlet-Neumann problem for the layer, the solution of which is known and written in the form of a convolution. If the right-hand sides of the boundary conditions are polynomials, then the solution is also a polynomial. To the solution obtained it is necessary to add the solution of the problem for a semi-infinite layer with homogeneous boundary conditions on the upper and lower sides and with an inhomogeneous boundary condition of Dirichlet, Neumann or Robin on the lateral side. This solution is written as a series. If we take a finite segment of the series, then we obtain a solution that exactly satisfies the Laplace equation and the boundary conditions on the upper and lower sides of the semi-infinite layer and approximately satisfies the boundary condition on the lateral side.

An example of solving the Dirichlet-Neumann and Dirichlet-Neumann-Robin problems is considered, describing the temperature field of a semi-infinite plate the upper side of which is heat-isolated, on the lower side the temperature is set in the form of a polynomial, and the lateral side is either heat-isolated, or holds a zero temperature, or has heat exchange with a zero-temperature environment. For the first two Dirichlet-Neumann problems, the solution is obtained in the form of polynomials. For the third Dirichlet-Neumann-Robin problem, the solution is obtained as a sum of a polynomial and a series. If in this solution the series is replaced by a finite

segment, then an approximate solution of the problem will be obtained, which approximately satisfies the Robin condition on the lateral side of the semi-infinite layer.

References

1. Kochina P.Ia. Teoriia dvizheniia gruntovykh vod [The theory of groundwater movement]: a textbook. 2nd ed. Moscow: Nauka Publ., 1977. 664 p. (in Russian).

2. Grinberg G.A. Izbrannye voprosy matematicheskoj teorii elektricheskikh i magnitnykh iavlenij [Selected questions of the mathematical theory of electrical and magnetic phenomena]. Moscow; Leningrad: Acad. of Sciences of the USSR Publ., 1948. 729 p. (in Russian).

3. Carslaw H.S., Jaeger J.S. Conduction of heat in solids. 2nd ed. Oxf.: Clarendon Press, 1959. 510 p. (Russ. ed.: Carslaw H.S., Jaeger J.S. Teploprovodnost' tverdykh tel. Moscow: Nauka Publ., 1964. 487 p.).

4. Kartashov E.M. Analiticheskie metody v teorii teploprovodnosti tverdykh tel [Analytical meth-

rd

ods in the theory of thermal conductivity of solids]: a textbook. 3 ed. Moscow: Vysshaia Shkola Publ., 2001. 550 p. (in Russian).

5. Lykov A.V. Teoriia teploprovodnosti [Heat conduction theory]: a textbook. Moscow: Vysshaia Shkola Publ., 1967. 600 p. (in Russian).

6. Zarubin V.S. Inzhenernye metody resheniia zadach teploprovodnosti [Engineering methods for solving heat conduction problems]. Moscow: Energoatomizda Publ., 1983. 328 p. (in Russian).

7. Algazin O.D., Kopaev A.V. Solution of the mixed boundary-value problem for Laplace equation in multidimensional infinite layer. VestnikMGTU im. N.E. Baumana. Ser.: Estestvennye nauki [Herald of the BMSTU. Ser. Natural Sciences], 2015, no. 1, pp. 3-13 DOI:10.18698/1812-3366-2015-1-3-13 (in Russian)

8. Algazin O.D. Polynomial solutions of the boundary value problems for the Poisson equation in a layer. Matematika i matematicheskoe modelirovanie [Mathematics & Mathematical Modelling], 2017, no. 6, pp. 1-18 DOI: 10.2408/mathm.0517.0000082 (in Russian)

9. Algazin O.D. Similarity method in constructing fundamental solution of the Dirichlet problem for equation of Keldysh type in half-space. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser.: Estestvennye nauki [Herald of the BMSTU. Ser. Natural Sciences], 2018, no. 1, pp. 4-15. DOI: 10.18698/1812-3368-2018-1-4-15 (in Russian).

10. Gradshtein I.S., Ryzhik I.M. Tablitsy integralov, summ, riadov i proizvedenij [Tables of integrals, sums, series and products]. 5th ed. Moscow: Nauka Publ., 1971. 1108 p. (in Russian).