CC BY
8
УДК 621. 372. 061
МАНЮК I. О.
ЗАДАЧА РЕКОНСТРУКЦИЙ ОБРАЗУ В1МПЕДАНСНШ ТОМОГРАФЫ
Запропоновано методику виршгення прямей та зворотно! задащ в ¡мпеданенш томографа. Розглянуто потенцдйну геометричну розв'язуючу спроможшсть методу. Наведено зразок двовим1рного перетину реконструйованого фантома.
Одним 13 перспективних напрямыв розвитку сучасних медичних елект-ронних вщображаючих систем е ¿мпедансна томограф1я. Ф1зичш основи 1мпедансно! томографи грунтуються на тому, що р1зномаютш дальнищ бю-лопчно1 тканини мають рЬш значения питомих провщюстей. Варто уваги, що електропровщносп двох бютканин можуть ктотно розр1знятися, в той час як лЫйш коефиценги ослабления рентгеювського випромшювання для них можуть бути приблизно однаковими, 1 тому 1х важко дифе ре нщ ювати за допомогою рентгешвського комп'ютерного томографа.
Оскшьки системи ¿мпеданешп томографи нелипйш, математичний апа-рат, який використовуеться для реконструкци зображення в системах з лiнiйним зчитуванням, не може бути застосованим до задач томографи елек-тричного ¡мпеданса. Тому в галуз! розробки засоб1в реконструкци зображення для цих задач в нишштй час проваляться штенсивт дослщження.
Розглянемо систему ¿мпедансно! томографа (рис. 1) [1], в якш на меж1 об'екгу розмщеш N електродав, а струми по черз1 пропускаються пом1ж парами електродав. Для кожно! з пар токових електродав можна пом1ряти N-3 р1зниць потен-щал1в. Щ рйзнищ по аналоги з ренггешвською томограф1ею називаються проекщями. По черз1 пропускаючи струм м1ж р1зними парами N електродав, можна отримати N {N-3)12 незалежних вим1р!в. Позначимо вектор вим1рюваних р1зниць потенщал1в як Ь. Нехай томограф1чний перетин подшений на кшцеве число елеменпв зображення. Позначимо вектор ¿нтснсивносп цих елеменпв як f. Тода вектори /1 Ь пов'язаш м1ж собою перетворенням Т : Ь = Т (/).
Задача знаходження вектора Ь при вщомому /називаегься прямою задачею ¿мпсдансно! томографа. Для п р1шення потр1бно розв'язати р1вняння Пуасона в замкнутш обласп простору при вадомих межових умовах \ харак-
© Манюк I. О.
67
теристиках середовища. Для ршення прямот' задачи можна використати ме-тоди юнцсвих р1зниць, юнцевих елеменпв, межових елеменпв, кр1м того, в деяких приватнйх випадках можливе анаштичне pinieinra. Як правило, вико-ристовуеться метод кшцевих елеменпв [2]. Одним i3 можливих BapiairriB ршення прямо! задач! е використання методав теорп ил. При цьому будуеть-ся дискретна модель, що складасться i3 юнцевих елеменпв (pi3Hoi чи однако-во1 форми). При цьому провщшсть кожного юнцевого елемента вщома, а сам елемент вважають однорщним (перша дискретизащя). 'Дал1 кожний инцевий елемент моделюють (щапазош зовшшшх струм1в до 100 кГц) резистивною схемою замйцення, причому юнцев! елеменги шдмикаються один до другого своши вершинами (друга дискретизащя).
Одержане електричне коло описують системою р1внянь р1вноваги. Pi-шення ще! системи i е ршення прямо!' задач! в ¡мпеданснш томографи. Ви-pimHTH задач! такого типу можна двома шляхами: решения приведениям матриц! до стр!чкового вигляду i р!шеиня за допомогою алгортмв, що ви-користовують шформащю про тополопю схеми. На користь першого шляху говорить його дуже гарне математичне забезпечення та юнування велико! юлькосп доступиих програм (наприклад, в пакетах для реал!зацц методу инцсвих елеменпв в НВЧ розрахунках). Значною вадою цього гадходу е те, що шформащя про тополопю кола не використовусться, що ускладнюе об-числення похщних вщ характеристик фантома по провцщостям при piuiemii зворотно! задач!.
В робой запропоновано обрати метод модиф!кацп для обертання матрищ, як найб!льш зручний i3 3aco6ie, що враховують тополопю кола. Мо-деллю юнцевого елемента був взятий квадрат (рис. 2), що складасться i3 чотирьох р!внобедрених прямокутиих трикутииюв. Кожний з цих квадратпв описано зворотиою матрицею вузлових провщюстей третьего порядку (ряд i стовпець, що в!дпов1дають внутршньому вузлу 4, в матрищ Z викреслеш). Дал! обернет матрищ Z для кожного юнцевого елемента об'еднують в про-ueci «вирощувания» за методом модифшаци [2] великого фрагменту, що складасться i3 деилькох кшцевих елеменпв. Цей процес продовжують до тих nip, доки не «виростять» весь фантом (елементи матриць юнцевих елеменпв при р!зних питомих щхшдностях в!др!зняються лише коефвдентами пропорцшносп м!ж цими провщностями). Таке в1фощування обернених фрагмент!в п!дматриць е економ!чним, бо сумарна матриця Y всього фантома (порядок матрищ 256-1024) дуже розрщжена.
Для знаходження розподшу питомо! провцщосп в псретин1 об'екту не-обх!дно вир!шити зворотню задачу, тобто знайти зворотне перетворення, що зв'язуе b та /: / = Т Л{Ь). Через те, що в ¡мпеданснш томографи перетворення явно е нелшшним, то для ршення зворотного завдання необхщно
використовувати гтеративш метода, яы можна подшити на прям1, послщов-них наближень та адаптивю. До першого типу можна вцщести метод зворот-ного проецювання уздовж еквшотенцшних лЫй [3] 1 зв'язаш з ним метода, а також одношаговий ньютоювський алгоритм. В основ! методов пооцдовних наближень лежать або апроксимащя нелшшних функцш провщностей еле-менпв середовища деюлькома членами ряду Тейлора, або мним1защя р1зно-маштних функцюналгв, вшу виглядо неявних фуньсцш входять обчислеш 1 вим1ряш р!знищ потенщал1в м1ж електродами. Адаптивш метода становлять р1зновид метод1в послщовних наближень, в яких кр1м рппення зворотно! зада1п опти\пзустъся розподш уведенних струм1в на поверхш з метою мак-си\тацп корисного сигналу.
Ж
гп 2,2
¿2, 7-п ^23
2з1 1ъг
Рис. 2
Перевагою методу зворотного проецювання уздовж еквшотенщйних л1-Н1Й с бшьш низыи обчислювалып витрати у пор1внянш з шшими методами. Однак йому властивий ряд ¡стотних недолшв. По-перше, вш може бути застосований тшьки до об'екпв з такою формою, для яко! можна скоректува-ти геометричш викривлення зображення, що реконструювалося, наприклад, шляхом конформних перетворень. По-друге, вш не враховуе того, що в дшс-ност струм тече не тшыси в перепой об'екту, але й уздовж трстьо! координата. Перевагою методов послщовних наближень пор1вняно з прямими методами € можливгсть побудови модел1 для об'екту довйльно! форм и 1 теоретична можлив1сть знаходження точного ршення при дуже великш кшькосп ¡терацш. Проте використання методов послщовних наближень ставить ряд проблем. Ршення зворотно! задач1 е рппенням системи нелшШних р!внянь. При використанш ¡теративно! процедури, подобно! до методу Нью-тона-Рафсона, сходоншсть методу забезпечуеться вибором початкового на-ближення достатньо близьким до р1шення. Та хоч сходомсть алгоритму в
о
1
2
3
оточенш ршгення квадратична, накопичена помилка може стати на завада сходимости, або уповшьненню його сходимость Нагадаемо, що означеш проблеми та можлив1 алгоритми !х виринення повшспо задаються нелшшним характером сигналу-ноая шформацГ! в !мпеданснш томографи.
Розглянемо тепер можлив1сть переходу до лшшного сигналу-ноая, що визначасться з параметр1в вихщного-нелшшного [4]. Фантом (наприклад, у вигляда кола - рис. 3) розбивають на п секгор!в (кожний сектор - «промшь» - мае постшну провщтсть). ГИсля вщншення прямо! та зворотно! задач1 для заданого фантома, отримуемо картину розподшу провщностей, що вадгош-дае зовтшшм вим1рам. Повторюючи зазначену процедуру для вс!х зовшш-них вузл1в фантома на рис. 3, одержуемо лшшш проекци «промешв провщ-носгп» по нелшшнш модсл1 (за допомогою ггерацшно! процедури). Слщ зазначити, що одержання «проекщ й» е нелшшною (як! ратше) задачею, яку слщ вир1шувати за допомогою иерацшно! процедури, але р1шення буде менш гром1здким, бо юльюсть невщомих провщностей сектор ¡в а, мала (для наведеного прикладу - це VI провщностей; на практищ для бшып тонко! модел! юлыасть сектор!в може складати 12-16). Цим лшвщуеться обме-жеиня ггеращйно! процедури до гром!здкосп задач!, що знижуе негативний вплив накопичення операщйно! помилки, а також радикально скорочуе час обчислень.
4 4
Дал! Bci одержат проекщ! пщсумовуються (що вщповщае методу зворотно! проекщ! лшйно! томограф!!) з попередньою RAMP фшьтращею (або без не!).
Велике значения мае потенцшна геометрична розв'язуюча спроможюсть розглянутого методу. Бона (при !нших р!вних умовах) може бути визначена за геометричними розм1рами окремих елеменпв, що утворюються накладан-ням секторних «промешв провщностей» на загальшй зворотшй проекщ!. На рис. 4 наведет eci таю результукта юнцев! елементи для випадку N = 6 сек-TopiB (коло подшено на 8 piemix дуг, до початку яких подключено вим!рю-
вальш електроди). 3 рис. 4 видно, що кшыасть шнцевих елеменпв складае 80. Яйцо взяти N = 10, то буде 420 ынцевих елеменпв. Тобто модель (стосовно кшыеосл шнцевих елеменпв) вщповщае тонкш.
На рис. 5 наведено зразок двовтарного перетину реконструйованого фантома, на яко-му зображена судина кровеносно1 системи (Ркров=°ДР). перегин истки (рк|ст = Юр) та м'язова тканина (р - 1500 Ом-см). По фантому
обчислювалися проекци (при р!зних номерах загального та сигнального вузл1в), теля чого виконувалася реконструюця перетину запро-
понованим методом (рис. 5 - л1воруч). Дал1 використовувалася реставрация з видшенням кордошв зон р!вно! провдососп.
пкров
0
Рис. 4
Рис.5
Наведеш результата ¡лтострують справедливипъ основних положень за-пропонованого в статт! методу в!дбудови вкутр1шньо! картиии розподшу провщностей томограф1чного перетину.
БШЛЮГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК
1. Физика визуализации изображений в медицине.- М. : Мир,- 1991.- Т. 1407 с,-Т. 2,-405 с.
2. Мигау Т., Kagawa Y. Electrical impedance computed tomography based on finite element method // IEEE Trans, on BME.- Vol. 32 - 1985,- P. 177-184.
3. Barber D. C. , Brown B. N.. Freeston I. L. Imaging spatial distributions of resistivity using applied potential tomography // Electronics Letters- 1983- Vol. 19.-P. 933-935.
4. Рыбин A. #., Хоподенко H. А. Восстановление образа в импедансной томографии на базе метода конечных элементов // Радиоэлектроника - 1996.- Т. 39,- № 7-С. 38^48. (Изв. высш. учеб. заведений).
НадШшла до редколегп 07.03.98
