Задача рассеяния в квантовом волноводе в приближении сильной связи Текст научной статьи по специальности «Математика»

Задача рассеяния в квантовом волноводе в приближении сильной связи

И. А. Адо

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра математики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2. E-mail: [email protected]

Статья поступила 14.04.2010, подписана в печать 29.04.2010

В приближении сильной связи рассмотрена задача рассеяния в квантовом волноводе. Установлено соотношение между стационарным и нестационарным определениями матрицы рассеяния. Ключевые слова: матрица рассеяния, квантовый волновод, модель сильной связи. УДК: 51-73. PACS: 03.65.Nk, 73.21.НЬ, 73.23.Ad.

Введение

Модель сильной связи является широко распространенной в численных экспериментах в физике твердого тела [1, 2]. В частности, изучение разностной аппроксимации уравнения Шрёдингера приводит к модели сильной связи [3]. Задача рассеяния для модели сильной связи возникает при расчете коэффициентов переноса в приближении теории линейного отклика. Согласно теории Ландауэра-Бутикера, проводимость выражается через коэффициенты прохождения в матрице рассеяния, понимаемой как матрица, составленная из коэффициентов прохождения и отражения [4, 5]. В абстрактной теории рассеяния матрица рассеяния понимается как матрица оператора рассеяния в спектральном представлении невозмущенного оператора эволюции. Часто эти два подхода называют соответственно стационарным и нестационарным. Возникает проблема согласования двух упомянутых определений матрицы рассеяния, решение которой позволит применять мощные методы современной теории рассеяния для расчета коэффициентов переноса.

В монографии [6] можно найти решение этой задачи для случая, когда невозмущенный оператор эволюции является дифференциальным оператором с постоянными коэффициентами. Для одномерного квантового волновода в приближении сильной связи подобное согласование выполнено в [7]. Развивая идеи работы [7], установим соотношение между двумя определениями матрицы рассеяния в квантовом волноводе с сечением произвольной размерности в приближении сильной связи. Ограничимся тем случаем, когда возмущенный гамильтониан действует в том же пространстве, что и невозмущенный. Имея ввиду специфику модели сильной связи, также будем считать, что возмущение конечномерно. Тем не менее обобщение результатов на случай, например, быстроубывающих возмущений не представляет труда.

В теории, использующей дифференциальные операторы, пространством состояний в волноводе является пространство функций непрерывного аргумента, заданных в цилиндрической области, бесконечной вдоль направляющих, поперечное сечение которой есть некоторое ограниченное подмножество М^ . В нашем случае мы заменим цилиндрическую область ее дискретным аналогом — решеткой, бесконечной вдоль положительного и отрицательного направлений выбранной коор-

динатной оси. Что касается множества в сечении, нам важно лишь, что оно является ограниченным и, следовательно, конечным. Благодаря этому невозмущенный оператор эволюции в сечении оказывается конечномерным.

В разделе 1 определяются используемые в работе пространства и операторы. Основное пространство задается как тензорное произведение конечномерного сечения на Соответственно невозмущенный гамильтониан является суммой конечномерного самосопряженного оператора, действующего в сечениях, и разностной аппроксимации оператора Лапласа, действующей вдоль направляющих. Последняя часто используется в физике твердого тела. Явный вид граничных условий, а также пространства и оператора в сечении не конкретизируются, что обеспечивает несколько большую общность результатов. Раздел 2 посвящен получению спектрального представления невозмущенного гамильтониана. В разделе 3 естественным образом вводится понятие о коэффициентах прохождения и отражения и в рамках традиционного подхода решается задача рассеяния. В разделе 4 мы находим матрицу рассеяния в соответствии с абстрактной теорией и показываем, что она состоит из коэффициентов прохождения и отражения. Результат работы сформулирован в теореме 2.

1. Пространства и операторы

Множество целых чисел от единицы до п (п> 1) обозначим §„. Нам понадобятся следующие пространства:

/(§„) = {/: С}, /(Z) ={/: Zh^C},

/2(Z) = {/: Zh^C I Y, l/(/)|2 < ос},

/е z >

/2(Z) = |/: ZH^C | Ç|/(/)|Vûl-'l <ooj.

Здесь a e M.

Фазовое пространство системы определим так: Я = /(§„) <g> /2(Z). Скалярное произведение в пространстве Я задается билинейной формой

{f,gh= ]Г Ш)г(/,/).

les,„ /еz

Нам также понадобится обычно используемое оснащение пространства Я: гильбертовы пространства На = 1(§п)®12а(Ж) и Я_а = /(§„)®Ла(2). Будем считать, что форма ( , )# расширена до двойственности между На И Я^.

Определение. А: 1(§п) м-/(8„) — линейный самосопряженный оператор.

Определение. Оператор Д2: 1(Ж) м- 1(Ж) действует по правилу

(А2/)(/) = -/(/+1) + 2/(/)-/(/-1)-

Определение. Оператор ¿о: 1(§п) ® 1(Ж) м- /(8„) ® 1(Ж) действует по правилу

10/ = (Л®/)/ + (/®Аг)/.

Оператор возмущения V: /(§„) ® /(2) м- /(§„) ® 1{Ъ) определяется своими матричными элементами:

(!//)(/,/)= £]/(/,/, р,т)/(р,т).

рез„

Ограничения введенных операторов на подпространства будем обозначать теми же символами, что и сами операторы.

Лемма 1. Если выполнено

1) \/{1,],р,т) = \/{р,т,1,]),

2) ЗЫеЕ: (|/|>АгУ|ш|>Аг)^(1/(/,/,р,ш) = 0),

то V — самосопряженный оператор в Н и при а > О является компактным при действии из На в

Доказательство. Второе условие означает, что V — конечномерный оператор. Отсюда вытекает заявленная компактность. Самосопряженность же следует из первого условия. □

Положим Ь = Ь0 + V. Будем исследовать оператор рассеяния для пары операторов Ь, Ь0 в пространстве Я.

2. Спектральный анализ 2.1. Оператор А (в пространстве 1(8П))

Как известно, самосопряженный конечномерный оператор А с учетом кратности имеет ровно п собственных значений. Обозначим их ^ (1 ^ q ^ п) и будем считать, что все они различны. Соответствующие ортонормированные собственные функции обозначим фч(1):

Афд(1) = {фд, фг)к§п) = 3,

дг-

Ортопроекторы на собственные подпространства оператора А имеют вид

(1)

ре§

Если же у оператора А есть кратные собственные значения, то необходимо выделить какую-нибудь ортнонормированную систему его собственных функций {фч}. Тогда все дальнейшие рассуждения и результаты останутся в силе и в этом случае, лишь только индексом ^ будут нумероваться не различные собственные значения, а различные собственные функции.

2.2. Оператор Д^ (в пространстве /'"(";))

В работе [8] исследованы спектральные свойства оператора Д2, приведем здесь соответствующие результаты. Обозначим

к(г) = агссоэЦ — г/2), > 0.

Спектр а(А2) оператора Д2 абсолютно непрерывен и представляет собой отрезок [0,4]. Резольвента дается формулой

ДА+/е(д2)/(/) = Х)

0МХ+1е)\т-)\

Ы(т)

при е > 0. Для финитных / при А ^ {0,4} существуют предельные значения

йА+ю(Дг)/(/) = £

е(Щ)|т-/|

2 г эт к(Х)

/(т)

(2)

2.3. Оператор Ь0 (в пространстве Н)

Учитывая перестановочность операторов (Л ® /) и (/ ® Д2), можно получить равенство

(3)

в предположении, что правая часть (3) существует. Отсюда вытекает, что спектр а(Ь0) оператора Ь0 есть отрезок [щ,ип+4] и что он абсолютно непрерывен.

Как указано в пункте 2.2, если А^ {ь>ч,ь>ч+А}, где 1 ^ ^ /г, то для всюду плотного в Я множества финитных функций существуют пределы йА+ш(Хо)/(/,/), и при этом

Да+й>(£о)Ш)= £ ДА-,,+Й>(Д2УУ(/,/).

Воспользовавшись (1), (2), равенством йА^о(Д2) = = йд+ю(Д2), а также формулой Стоуна

dEx(Lo)f = ¿Т(ДА-Й>(£О) - ДА+Й>(£О))/ йХ

и учитывая, что йА^о(Д2) — йА+;о(Д2) = 0 при А^сг(Д2), получим для указанных А плотность спектральной функции оператора Ь0

х

р=1 тег.

■Фч(р)]е

+ [/(р, т) ■ ■ фч(р)]е1к(х^)1уА. (4)

Здесь мы ввели обозначение

1, если р е [0,4];

0(р) =

0, если ре И\ [0,4].

(5)

2.4. Спектральное представление оператора Ь0

Пусть О — декартово произведение двухточечного множества {+, на множество целых чисел, лежащих на отрезке от единицы до п. Превратим О в пространство с мерой йт, приписав каждой его точке меру +1.

Определение, /г — гильбертово пространство функций на отрезке [щ,ип+Ц со значениями в 12(0,йт), таких что

({/(Л, ±, Ч)} е Н) (зР1/(Л, ±, Ч) с К, V, + 4]), <КА>) «

Лемма 2. Преобразование II: Н м- /г, ([//)(А, ±, ?) = (4™ [¿(А - ^)]Г1/2х

п

х Е Е [/(Р, я») • ■ фч(р) ■ в(Х - щ)}

р= 1 тех

унитарно, и обратное преобразование дается формулой

Í/"1 :/(/,/) =

]Г(4тг5т [¿(А-^)])-1/2х

q= 1

/ =

d£A(¿o)/, ll/ll2 =

(f,dEx(L0)f}„

(Х^1о)\ешх^1фч(1)\=0.

и справедливо представление

uq(±,X) = eq(±,X) + wq(±,X),

где ш<г(±,А) удовлетворяют условиям излучения:

п

Д+, А, /,/) = 5> А) - А- './) +

+ о(...) при / > 0,

п

Д+, А, /,/) = £ г(+, Я, АК(-, А, /,/) + о(...)

5=1 • А

при ] < и,

п

Д-, А, /, /) = £ г(~ Ч, А)е5(+, А, /,/) + о(...)

5=1 • /Л

при ] > и,

п

Д-, А, /, /) = 5, я, А) - А, /,/) +

W„

S— 1

х [([//)(А, +, ?) • е»<л-"«>/ • +

+ ([//)(А, (?) • . ^(/)] ¿А.

В пространстве Н оператор Ь0 является оператором домножения на X.

Доказательство. Используя известные свойства разложения единицы (см., напр., [9])

<т(Х0) а(Ц)

и принимая во внимание представление (4), устанавливаем верность первого утверждения леммы.

Второе утверждение является следствием того легко проверяемого факта, что

□

3. Задача рассеяния

Везде далее будем считать, что а > 0. Введем следующее обозначение:

еч(±, А, /,/) = е±тх^ ■ фч(1) ■ в(Х - щ).

Элементы пространства На, определяемые функциями еч{±,Х,/,/), будем соответственно обозначать еч(±,Х).

Набор элементов {%(±, А)} с На, где 1 ^ я ^ п, мы назовем решением задачи рассеяния, если

А е сг(10) \ {ь>ч, ^+4},

удовлетворяются уравнения

1%(±, А) = А %(±, А),

(6) (7)

+ о(...) при / < 0,

и о(...) означает, что

3 ó > 0: о(...) = 0(ехр (-5|/|)) при |/| -i- оо.

Коэффициенты t(±,s,q,Á) и r(±,s,q, А) будем называть коэффициентами прохождения и отражения соответственно.

Лемма 3. Если wq(±,X) удовлетворяет условиям излучения (8), то \fl,j

£R\+ie(L0)wq(±,X, l,j) -¥ 0, при е^+0.

Доказательство. Утверждение проверяется непосредственной выкладкой. □

Положим

Г (А) = R\(Lo)V, Im А > 0, Re А е a(L0) \ {vq, vq+A}.

Лемма 4. Если оператор V удовлетворяет условиям леммы 1, то Г(А) суть компактные в На операторы при указанных X. При X е a(Lo) \ {ия, ^+4} существуют также компактные в На операторы Г(А + Ю).

Доказательство. Первое утверждение очевидно. Для доказательства второго нужно воспользоваться тем, что Г (А) сходятся по норме. □

Лемма 5. Набор {uq{±, А)} является решением задачи рассеяния в том и только в том случае, когда wq{±,X) в (7) является (для каждого q) решением уравнения

wq(±, А) = Г(А + i0)(eq(±, А) + wq(±, А)). (9)

Доказательство. Пусть {uq(±, А)} — решение задачи рассеяния. Тогда из уравнения (6) следует

(А - L0)wq(±, А) = V{eq{±, X) + wq(±, А))

шч{±, А) - /¡гДА+;е(/.о)гМ±,л) =

= йА+»е(^о)1/(е<г(±, А) + тч(±, А)).

Переходя здесь к пределу при е -¥ +0 и учитывая леммы 3 и 4, получим (9).

Если гюч{±, А) — решение уравнения (9), то она удовлетворяет условиям излучения, что следует из явного вида ЙА+Ю(10). Так как выполнено

(А - 1о)Г(А + Ю) = V,

то из (9) следует (6). □

Лемма 6. При А € сг(Ь0) \ {ич, ^+4} решение уравнения

ф = Г(А + Ю)ф, феНа, (10)

принадлежит Я и удовлетворяет уравнению (6).

Доказательство. Вторая часть утверждения очевидна. Для доказательства первой нужно заметить, что решение уравнения (10) необходимо имеет вид

ф{1,1) = ]Г С<±> • ■ фч(1) ■ в(Х - ия) +

<7=1

+ 0(е~1/'1) при/^-±оо,

и показать, что С^ все равны нулю. □

Теорема 1. При А = Ао € а(Ь0) \ либо

уравнение (10) имеет нетривиальное решение из Н, либо решение задачи рассеяния существует и единственно.

Доказательство. Оператор Г(А + Ю) является компактным в На. Применяя к оператору 1 — Г (А + Ю) альтернативу Фредгольма в пространстве На и учитывая леммы 5 и 6, получаем утверждение теоремы. □

Пусть аа(Ь) — множество тех значений А, при которых уравнение (6) имеет нетривиальное решение из Я. Из утверждения леммы 6 следует, что при Х£аа(Ь) уравнение (10) не может иметь нетривиальных решений. И значит при данных А решение задачи рассеяния существует и единственно. Одновременно с этим существуют и операторы Ях+ю(Ь), ограниченные при действии из в На-

Лемма 7. При А £ сга(Ь) решение уравнения (9) дается формулой

шч(±,Х) = Кх+т^)¥еч(±,Х). (11)

Доказательство. Обозначим правую часть (11) через ш(?(±, А) и докажем, что она удовлетворяет уравнению (9). Имеем

Г(А + Ю)(еч(±, А) + о£(±Д)) = = Ях+1о(Ьо)Уеч(±, А) + йА+ю(10)^А+т(^)^(±, А) = = тшо(Ьо) + Ях+1о(Ьо)УЙшо(ЩУеч(±, А) =

= кх+ю(1)¥еч(±, А) = ш^(±ГА). Так как решение уравнения (9) единственно, то лемма доказана. □

4. Матрица рассеяния

Определим оператор Z(e): Z(e): i(Sn)0i(Z) ^ i(Sn)0i(Z), Z(e)f(l,j) = e^f(l,j).

Прямым вычислением доказывается следующая лемма.

Лемма 8. Справедливо равенство

{X^U)Z{e)eq{±,X,l,j) =

= т2/ sin k(X - iyq)£sign(j)eq(±, А, l,j)e~eW +0(е2е^еЩ. Определим оператор

Т(Х):На^Па, T(X) = V + VRx(L)V, ImA>0.

Если Х£аа(Ь), то существует Г(А + Ю).

Лемма 9. При X £ аа(Ь) справедливо равенство

Т(Х + i0)eq(±, X) = (А - ¿оК(±.А)-

Доказательство. Учитывая (11) и (6), имеем

74А + i0)eq(±, X) = Veq(±, X) + VRx+i0(L)Veq(±, X) = = Veq(±, X) + Vwq(±, X) = (L-Lo)(eq(±, X)+wq(±, A)) = = (Ä - L0)(eq(±, X) + wq(±, Ä)) = (A - L0)wq(±, X). □

Определим волновые операторы и оператор рассеяния:

W±(L,L0)= lim eitLe^itL°,

t—tdtoo

S(L,L0) = W+*(L,L0)W^(L,L0).

Существование и полнота волновых операторов следует из вида оператора V. Как известно (см., напр., [10]), оператор рассеяния S(L,L0) коммутирует с оператором L0 и поэтому в пространстве h задается матрицей

(US(L, L0)f)(X) = S(L, L0, X)(Uf)(X) (12)

Введем обозначение 9qs = в(Х - vq)9{X - vs), где в(р) определяется формулой (5).

Теорема 2. Если X £ {vq,i>q+A} и X £ сга(Ь), то матрица рассеяния в (12) выражается через коэффициенты прохождения и отражения следующим образом:

/*(+, 1,1,А)0ц ... t(+,l,n,X)0in г(-,1,1,А)0п ... r(^,l,n,X)0in\

t(+,n,l,X)0m г(+, 1,1,А)0ц

Vr(+,n,l,A)0«i

.. t(+, n, n, Х)впп r(-, n, 1, A)0„1 .. r(+, l,n, X)0in t(-, l,l,A)0n

.. r(+, n, n, X)впп t(-,n, 1, Х)вп1

.. /*( , П, П, X)0nn .. t(^,l,n,X)0in

.. t{^,n,n,X)0nnJ

Доказательство. Как известно (см., напр., [10, = {eq(+, А), (А — Lq)ws(+, Х))н =

гл. 2, разд. 8, формула 9]), вычисление матрицы рас- = lim (Z(e)eq(+, А), (А - L0)ws(+, Х))н =

сеяния сводится к вычислению матричных элементов м+о

оператора T(X + i0) между функциями eq(±, А). Най- = lim ((А — LQ)Z(e)eq(+, X), ws(+, X))¡¡ =

дем матричный элемент м+о

= 2/ sin [k(X - Vq)\(t(+, q, s, X) - 5qs)0{X - vq)0{X - vs).

{eq(+, X),T(X +i0)es(+, X))¡¡ = Остальные матричные элементы находятся аналогично.

Введение предельной процедуры здесь оправданно, поскольку (А — Lo)ws(±, А, /,/) быстро убывает при больших |/|. Учитывается лемма 8, а для ws(±, А, /,/) используется представление (8). Члены с о(...) и 0(е2е~61,'1) зануляются при £->+0. Перекрестные суммы при q ф s зануляются ввиду ортогональности собственных функций оператора А. После этого остаются только две суммы по /.В одной из них присутствует осциллирующая функция, в другой — нет. После взятия предела при е-4+0 первая зануляется, а вторая дает нужный коэффициент. □

Заключение

Отметим, что в формулировке теоремы 2 исключены из рассмотрения точки множеств {vq,vq+A} и аа(Ь). Тем не менее первое из них конечно (содержит 2п элементов), а второе не более чем счетно (так как все собственные функции дискретного спектра оператора L, лежащие в Я, попарно ортогональны, а само Я при этом сепарабельно). Таким образом, абстрактная матрица рассеяния в нашем случае действительно состоит из коэффициентов прохождения и отраженния

для всех значений спектрального параметра, за исключением самое большее счетного их числа.

Список литературы

1. Maiti S.K. II Solid State Communications. 2009. 149, N 39-40. P. 1684.

2. Pereira V.M., Castro Neto Â.H., Peres N.M.R. 11 Phys. Rev. B. 2009. 80, N 4. P. 045401.

3. Wimmer M., Scheid M., Richter К. 11 2005. arXiv:cond-mat/0803.3705.

4. Buttiker M., Imry Y., Landauer R., Pinhas S. Ц Phys. Rev. B. 1985. 31, N 10. P. 6207.

5. Datta S. Electronic Transport in Mesoscopic Systems. Cambridge, 2002.

6. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. М., 1986.

7. Арсенъев A.A. // ТМФ. 2004. 141, № 1. С. 100.

8. Komech A.I., Kopylova Е.А., Kunze M. Ц Applicable Analysis. 2006. 85, N 12. P. 1487.

9. Ахиезер H.И., Глазман И.M. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М., 1966.

10. Яфаев Д.Р. Математическая теория рассеяния. СПб., 1994.

Scattering problem in quantum waveguide in a tight-binding model I. A. Ado

Department of Mathematics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.

E-mail: [email protected].

Scattering problem in quantum waveguide is considered within a tight-binding approach. Relation between the stationary and time-dependent definitions of S-matrix is established.

Keywords: S-matrix, quantum waveguide, tight-binding model. PACS: 03.65.Nk, 73.21.Hb, 73.23.Ad. Received 14 April 2010.

English version: Moscow University Physics Bulletin 5(2010).

Сведения об авторе

Адо Иван Андреевич — аспирант; e-mail: [email protected].