CC BY
20
УДК 519.968:531.33.1:535.4
( И. Б. Юмов
О ЗАХВАЧЕННЫХ ВОЛНАХ В АКУСТИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ С БЕСКОНЕЧНО ТОНКИМ ПРЕПЯТСТВИЕМ
В работе показано существование собственной волны, захваченной бесконечно тонким препятствием в трехмерном акустическом волноводе с прямоугольным поперечным сечением, соответствующее собственное значение которой вложено в непрерывный спектр. Рассмотрены случаи крестообразного симметричного препятствия и плоской пластины, лежащей в плоскости симметрии.
Ключевые слова: акустический волновод, ловушечные моды, бесконечно тонкое препятствие, дискретный и непрерывный спектры, вариационный метод.
О I.B. Yumov
ON THE TRAPPED WAVES IN ACOUSTIC WAVEGUIDE WITH INFINITELY THIN OBSTACLE
The paper shows the existence of the eigenwave captured by an infinitely thin obstacle in three-dimensional acoustic waveguide with rectangular cross-section corresponding to the eigenvalue which is embedded in the continuous spectrum. The cases of symmetric cruciform obstacle and a flat plate in the plane of symmetry are considered.
Keywords: acoustic waveguide, trapped modes, infinitely thin obstacle, discrete and continuous spectra, the variational method.
Во многих областях физики имеет важное значение исследование собственных колебаний в неограниченных волноводных областях. Первые известные исследования спектральных свойств лапласиана в областях с бесконечной границей были проведены Реллихом [1] в 1940-е гг. и чуть позднее - Джоунсом [2]. В частности, ими было показано, что лапласиан имеет собственные значения для класса локальных возмущений достаточно гладких полуцилиндрических областей. Возрождение интереса к данной тематике в последнее время обусловлено в первую очередь актуальностью исследования аэроакустического резонанса, например, в тур-бомашинах (газовых, паровых и гидравлических турбинах, насосах, компрессорах), трубопроводах и т.п. (обзор некоторых работ экспериментального характера содержится в работе [3]). Отметим работы [7,11], в которых рассмотрены случаи цилиндрических тонкостенных препятствий в волноводе, и работу [8], где проведено численное исследование акустического резонанса около крестообразного препятствия, образованного
двумя прямоугольными пластинами в канале квадратного сечения. Необходимо также упомянуть работы [13-16], в которых рассматривается метод изучения собственных колебаний, основанный на свойствах расширенной матрицы рассеяния.
В работе рассматривается математическая модель акустических резонансных явлений около бесконечно тонких перегородок в волноводе прямоугольного сечения. Препятствия такого вида широко используются в аэродинамике для выпрямления потока газа [8].
Рассматривается область:
{(х,у,г)е Ы3: хе^Д), уе(-с^2А), ¿еЫ}, (1)
которая моделирует волновод. В нем помещено препятствие В, симметричное относительно координатных плоскостей х = 0 и у = 0. Множество В представляет собой объединение двух бесконечно тонких пластин В\ и В2 ненулевой площади, расположенных в плоскостях х = 0 и у = 0 соответственно, симметрично относительно оси Ог. Пластины В\ и В2, границы которых достаточно гладкие, пересекаются, образуя крестообразное препятствие. Предполагается, что
В1ъВ2={(х,у,г)еС10:х = 0,у = 0,а<г<Ь} и существует <5 > 0 такое, что множество
В^{(х,у,2)еП0: х2 +у2 <5, а< г <Ь} является прямоугольником (/ = 1, 2).
Рассматривается краевая задача Неймана для уравнения Гельмгольца
сум
(А + А)и = 0 в П = П0 \В, — = 0 на дП, (2)
дп
описывающая колебания акустических волн. Здесь А = оу Iс1. со - частота акустических колебаний, с — скорость звука, п - вектор внешней нормали к сХ1 Известно, что дискретный спектр задачи (2) пуст, т.е. собственные значения (если они существуют) могут быть вложены в непрерывный спектр задачи, который заполняет неотрицательную полуось [0,+ оо).
Далее будут использованы обозначения:
К" = {(х,у,г) е Я3: х > 0,у > 0}, О." = О, п К", В" = В п Ка, аа°=шпг,г=1и7,г°=гпг,
где X (соответственно Г) есть проекция множества О, на плоскость у = 0 (х= 0 — соответственно).
Цель работы - показать существование собственных значений, принадлежащих интервалу (0,А20), где А20 = ж2/(Ас!2) + 7г2/(4б/;2). Для этого применяется прием постановки искусственных краевых условий Дирихле [10] на плоскостях симметрии. Рассмотрим сужение задачи (2) на четверть волновода О,"
и(х,у,г) = <
ди"
(А + Л)иа = 0 в О" , —=0 на Ш" , и"=0наГ\ (3)
дп
Непрерывный спектр же задачи (3) в отличие от спектра задачи (2) заполняет промежуток [Л20, + со), а левее точки отсечки Л20 могут существовать собственные значения задачи (3). Очевидно, что если Л* есть собственное значение задачи (3), то оно является собственным значением задачи (2). В самом деле, если иа есть собственная функция задачи (3), соответствующая Л*, то можно определить функцию
иа(х,у,г) для (х,у,г)е О", -иа(-х,у,г) для (х,у,г) е 0.,х < 0,у > 0, -и"(х,-у,г) для (х,у,г) е 0.,х > 0,у < 0, и"(-х,-у,г) для (х,7,г)е0,х<0,1у<0, которая будет являться собственной функцией задачи (2) из Н1(0) , соответствующей тому же самому собственному значению Л*. Отметим, что наличие нетривиальных решений задачи (2), исчезающих на бесконечности (захваченных волн), может привести к явлению резонанса, т.е. к аккумуляции энергии в ограниченных областях.
Через С™ обозначим подмножество класса бесконечно дифференцируемых функций в О,", обладающих свойствами
а) и(х, у, г) = 0 для (х, у, г) е Га,
б) носитель и(х, у, г) ограничен в О," .
На С™ определим полунорму
41/2
||| ийсЮ. + (Ум -Уи) ёО.
(4)
и =
V п'
где с/О. с/хс/ус/г. Обозначим через Н\ пространство Соболева, полученное замыканием С„ в полунорме (4).
Доказательство существования собственных значений левее точки отсечки Л20 проводится вариационным методом [10-12, 15, 16]). Имеет место
Лемма 1 [4]. Пусть
Щ\ Уу/\2с1П
^ = -. (5)
^ ШИ я*
аа
Тогда Л 0< Л20. Более того, если
Л<л20, (6)
то Яо - наименьшее собственное значение задачи (3), и если
^„=Л20, (7)
то в интервале (-со, Л20) не существует собственных значений задачи (3).
Известно, что для ограниченных областей выражение (5) дает величину наименьшего собственного значения соответствующего самосопряженного расширения оператора Лапласа (-А), но в случае неограниченных областей А„ может быть как собственным значением, так и нижней границей непрерывного спектра.
Введем некоторые обозначения. Пусть р(т) - достаточно гладкая четная функция, такая, что
р(т) = 1, если |т| < 1,
р(т) = 0, если |т| > 2, \ (8)
О < р(т) < 1, если 1 < |т| < 2.
Пусть £ > О, - множество на плоскости Оуг
= {(0, у, 2) е В, : сИяГ((0,у,г),дВ1)<е }.
Пусть %Е(х, г) - достаточно гладкая функция, такая, что ХАУ^) = 1, если (0 ,у,2)еВ1\П1е; Х.(У,*) = 0, если (0 ,у,г)еП, (9)
0<Хв(у,г)<1, если (0 ,у,г)еВ1„
Аналогично определяются множество 1)1 в плоскости Охг и достаточно гладкая функция //.(х. г):
£>2 = {(х,0,2)еВ2 : ¿/юг ((х,0, z), дВ2) < е },
?7е(х,г) = 1, если (х,0, г) е В2 \ В] ,
?7е(х,г) = 0, если (хДг)еП, У (10)
0<г}„(х,г)<1, если (х,0,г)е/)2.
Имеет место
Теорема 1. Пусть множество В - объединение двух бесконечно тонких пластин В\ и В2 ненулевой площади, расположенных в плоскостях х = 0 и у = 0 соответственно, симметрично относительно оси Ог. Предполагается, что пластины имеют достаточно гладкую границу, В1глВ2 = {(х,у, г) е С10 : х = 0,у = 0,а < г < Ь] и существует 5 > 0 такое,
что множество В п {(х, у, г) еП,: х! + у2 <3 ,а < г <Ь} является прямоугольником (/' = 1, 2). Тогда задача (2) имеет собственное значение, которое принадлежит интервалу (0, А2).
Доказательство. Рассмотрим пробную функцию
ц/ = эш
(пх^
2йх
эш
( ТГ ,А
пу
(Р(Ка ^ ^' (Х' ^ + Р(Ка ^ Хв (У' ^ '
(П)
где а, /3,11 > 0. Очевидно, что функция 1//(х.у.г) для достаточно большого Я принадлежит Н\.
Для доказательства теоремы достаточно доказать неравенство
Л»Ш IН2^~ ШIу Н2^ >0 (12)
для достаточно большого Я и достаточно малого фиксированного е > 0. В самом деле, из неравенства (12), согласно лемме 1, следует существование наименьшего собственного значения задачи (3) в интервале (0, Л20), которое является собственным значением и для задачи (2). Из вида функции 1//(х. у. г) получаем
II2 '2 у/ = эт
лх Vм!/
эт
пу
1
Я я2р
р2(Кау)п1(х,2)
+^р\Ках)х2е(у,2) +
( - (
в?
-эт
пх
эт
пу
(пх>
эт
к у
х)%е{уЛ+^р{Ка у^х^р^ х)Хе{уЛ , (13)
Уу/ =
П
(пх>
4
-сое
2йх
эт
(^ пу
дх
V
/
7Г
-сое
эт
пу
Г
'М
7Г
_
ах
-сое
пх
эт
я" .У
Л
2/З-а
дх
п
-эт
2^
сое
( >тг,А
пу
К2йг;
Я
п
,/г
р-а
эт
пх
2
сое
пу
к2й2;
Р\ ^\р'(вау)г1в{х,2У
ж
(жх> (
ж
-эт
2
сое
^ 1 ~(Гх)
к2йг
Ле
ду \,Я
Я
2_
2 р-а Р
1 .
ду Я
Гях^
2
эт
ГхуУ
К2йг;
Я
дХЕ
дг
Я
1+р
■эт
С 7СхЛ . ( ЖУ^ - эт —
2ёх I 1 2й
2 /
Г„.А
эт
жх
2
эт
жгу к2й2;
хр|рМ% + ^%.
(14)
дг Я1Р ' 4 "" 4 'дгдг Предположим, что препятствие В принадлежит множеству {(х, у, г) е С20 : | г | < Я} . Введем обозначения для интегралов из (12).
11=\\\\у\2с1С1, /2={{{ \У¥\2с1П. (15)
Представим их в виде:
1=1 18
(16) (17)
м
где Bi - соответствующий интеграл от 7-го слагаемого в правой части формулы (13), А] — соответствующий интеграл от /-го слагаемого в правой части формулы (14). Тогда
Л2„/, -^ = ло(Х4^-ЕА1 = 1ло51" А -л -Лз]+
¿/Д
Ло[1д- ]- [Ш ]- ХАг (18)
./#7,13
./#7,13
Введем обозначения
X" =В2г\Ка, У =В1п,Ка,0^а (/ = 1,2).
Оценим остальные слагаемые в правой части формулы (18) при
Я +оо :
Д =
Я
, 2Ц-а
- \р\Яау)ау ^¡(х^уЫг
о ха
, 2 ВТ"
— \Р\ках)ах\\х1(у,2)ауа2 =
К О г"
п т7а I Л
Вл =
р+а 2
( ТГ
ж у
К2йг;
(жх>
I р(Яау)%ш — Оу ДОвш — (х, =
Я
Р+а
|р(т) вш
жт
к2,
2йх с/т (*(* э 1 п
2йх
г]е (х, г)ёхёг =
= 0
Я
Р+2а
эт
Я
Р+а
жт
г" Л
(
ж у
к2й2;
¿/г Цэт
(
ж у
к2й2;
= 0
Я
Р+2а
( 2ВГ
В6< — ^(Х")^(У) к
|р(/Г'х)б/х
= 0
Я
Р+2а
(20)
(21)
(22) (23)
так как на X" и Г" соответственно.
18 ' Л 3
2 К
^ ¡РЧГУМ Я [^{х,г)\<Ыг
Я
, 2К-а
\(р'{Вах))1с1х\\хЦу,г)<*У<Ь =
К к-а г"
я
Л =
га
Ж
(тг.А
ж у
с/, IV
4^2 7
^2р-а
(жх^
сое
чМуч
'Ц.
\
ёхёг =
ж
^Я
Р+а
|р(т)зт
( жт >
ч 2й2Яс ,
¿/Т Л сое
'^л'хУ дт], ^
2
\ /V
5х
<Эг
¿/хб/г = О
Л
Р+2а
(24)
(25)
(26)
2 вга / Л / Л
4 = , I Р'С^х) СОЭ ^ ¿/х Цэш %е(у,2)йуй2 =
Г Глт
=-¡г -1 + 2зт2 - +-Гр(т)зт-
^Яр {4ё1Яа ) 2ё1Яа\ {2ё1Яа
Г _ ,л
л
ёт
I IV
„а V ,
у
и1<—
1
1
-)р{Я"у)ёу Г[ ^Р'(^х) А* = оШ ,
2К-а
¡(р'(Яау))2с1у ¡¡Г12е(х,2)с1хс12
К-а ха
' Я2р ,
" р+а J
п
К" X"
2
-|(р'(т))2б/т ^ 1]:(х.г)с/хс/г -
1 ха
Ж-а
\р2(Яа
о
О в'А ™ ,
гд-" / Л / Л
| р'(Яау)сое ¿/у Цэт ?7е (х, -
1 Г Л V
к о д|Л у
А° й2яр
п( Я
й2Яр й2Яа ) 2й2Яа\ {2с12Яа
(„ п
ёт
:||зт - Г1е(х,2)с}х(}2,
ха ^ 2ёх)
2К-а Г \
{ р(Яах)5т ^
о 1у2а1 ^
А - —
71,1 - Т)Р
41 г
Г >
сЬс || сое
га
( „
пу
2й2) ду
ду
оу
Ж 2 ( ЛТ \
---—Гр(т)зт - ёт ГГсоэ
¿/"Г {ЩВ") \1
ду (Я1
жу_ 2ё2]
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
4^1(32)
~ 2ВГ"
\<\р(Яах)с1х П
^р'(Яау)ёуё2 «I ду
(33)
ъ=о
1 2Тса (г) V
^16=^17=0, так как эиррр'(г ! Я)слВ = 0,
Я
2 р+а
с
я2
>.Н а 2Н а / ,
\р(Яах)с!х = о\ —
л л V
2/5+2«
А2»/, -/2 =
7Г
Яэт Г1е{х,г)(}х(}2 + —[[5т
1 г1 г1 л
V 2 ха
4^2 7
(35)
(36)
(37)
0 о
Потребуем, чтобы выполнялась система неравенств
1 > /? > 1/2, /? + 2а>1, 2(5 + а> 1,1 2/? -а > 1, а > 0. ]
Отсюда наибольший вклад в асимптотику Л2^ - /2 при Л —» +со дают слагаемые с А5 и у4ю. Пусть а = 0,4 и /? = 0,7.
Тогда справедливо асимптотическое представление
\
+ 0(/г-1) при Л ->+оо, (38)
из которого следует выполнение неравенства (12). Теорема доказана. ■
Применим вариационный метод для случая бесконечно тонкого плоского препятствия, протяженного вдоль оси волновода. Пусть В есть бесконечно тонкая пластина ненулевой площади с кусочно-гладкой границей, расположенная в плоскости у = 0. Введем обозначения
П'* = кх,у,г)еП0:у> О}. Рассмотрим сужение задачи (2) на половину волновода СТР
(А + Л)и"р = 0 в аир,
ди"
дп
= 0 на сПыр\Х, иир = 0 на X
(39)
Имеет место утверждение, аналогичное лемме 1, где А0=ж / 4с12 -точка отсечки непрерывного спектра задачи (39), Н\ - пространство Соболева, полученное замыканием в полунорме (12), где 0,а надо заменить на О"'', подмножества класса бесконечно дифференцируемых функций в О."" . удовлетворяющих условиям:
а') функция и (х, у, т) = 0 для (х, у,г)еХ,
б') носитель и(х, у, г) ограничен в О"''.
Справедлива
Теорема 2. Пусть В - бесконечно тонкая пластина ненулевой площади с достаточно гладкой границей, расположенная в полосе {(х,у,г) еО,0 : _у = 0}. Тогда существует наименьшее собственное значение задачи (2), которое принадлежит интервалу (0, ;г2/4б/22)-
Доказательство. Пусть е > 0 , /.).. - множество на плоскости Охг
Ds = { (х,0, z)eB: dist ((х,0, z). дВ) <s }. (х. z) - достаточно гладкая функция, такая, что
2e(x,z) = l, если (x,0,z) е B\De, ZB(x,z) = 0, если (x,0,z)eX, \ (40)
0< %E(x,z)<\, если (х,0, z)e De. В качестве пробной функции можно выбрать
Л 1
= sin
( ТГ ,А
л у
2d2 j
(41)
где функции ри^£ определены формулами (16) и (40). Вычисления, подобные тому, какие были проведены в теореме 1, показывают, что справедливо представление
Л
4~cf
2 QUP
jjj Н2яЮ-{{{ \V¥\2dn = -^jjjxs(x,z)dxdz + 0(R-1)
(42)
д ир
для достаточно большого Я и достаточно малого фиксированного е > 0, из которого следует утверждение теоремы. ■
Замечание. Рассмотрим случай волновода без препятствий. Известно [5], что в цилиндрическом волноводе задача Неймана (2) при В = 0 не имеет собственных значений. Пусть теперь волноводная область О. является кусочно-гладким локальным возмущением области О0, таким, что выполняются условия:
а) О. и 0 < тея3 (О. \ О.0) <
б) существует г > 0 такое, что О. \ С1(г) = О0\ О.0(г);
в) д(С1 \ По)г^дПо с (({>> = ¿/2 }и {>> = - ¿/2})п );
г) Пп{у = 0}сЙо;
д) О. симметрично относительно плоскости у = 0.
Тогда существует собственная функция задачи (2), нечетная по переменной у, и соответствующее собственное значение принадлежит интервалу (0, л1 ¡Ы1). Для доказательства достаточно рассмотреть в качестве пробной функцию
y/(x,y,z) = <
sin
f ТГ ,А
л у 2d,
2 J
р\ — |, ДЛЯ (x,y,z)<
■ "о 5
1, для (x,y,z)eQ"p\Q Тогда справедливо представление
л
4~cf
ча2 af
i\ 12 I* 1 12 ТС ./4
| у/1 dx- J |Vi//| dx = —-mes3(Q \ Q0) - —
of
R
(43)
(44)
где А - положительная постоянная, не зависящая от R. Из формулы (44) следует существование наименьшего собственного значения рассматриваемой задачи в интервале (0, л 2/4б/22). Отсюда вытекает, что для любого
локального возмущения Q \ Q0 области Qn, где область Q удовлетворяет условиям а) - д), существуют собственные значения задачи (2), погруженные в непрерывный спектр.
Литература
1. Reilich F. Über das asymptotische Verhalten der Lösungen von Au + Au = 0 // Jahresbericht der Deutsch. Maht. Ver. 51 (1943), №2, 57-65.
2. Jones D.S. The eigenvalues of V2u + Ли = 0 when the boundary conditions are given on semi-infinite domains // Proc. Camb. Phil. Soc. 1953. V.49. P.668-684.
3. Parker R., Stoneman S.A. The excitation and consequences of acoustic resonances in enclosed fluid flow around solid bodies // Proc. Inst. Mech. Engrs. 1989. V. 203. P. 9-19.
4. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Л.: Изд-во ЛГУ, 1989. 264 с.
5. Werner P. Resonance phenomena in cylindrical waveguides // J. Math. Anal. Appl. 1987. V.121. P. 173-214.
6. Сухинин С.В., Бардаханов С.П. Эоловы тона пластины в канале // ПМТФ. 1998. № 2. С. 69-77.
7. Сухинин С.В. Акустические колебания около тонкостенных цилиндрических препятствий в канале // ПМТФ. 1999. №4. С. 133-142.
8. Макаров А.И. Эоловы тона элементарной ячейки сотовой решетки // ПМТФ. 2002. №5. С. 69-76.
9. Yumov I.B. Existence theorems for eigenoscillations in 3D rectangular waveguides // Proc. of IXth Intern. Conf. on MMET*02, Kiev, P.671-673.
10. Evans D.V., Levitin M., Vassiliev D. Existence theorems for trapped modes //J. Fluid. Mech. 1994. V.261. P.21-31.
11. Davies E.B., Parnovski L. Trapped modes in acoustic waveguides // Q. Jl. Mech. Appl. Math. 1998. V.51. P. 477-492.
12. Linton С. M., Mclver P. Embedded trapped modes in water waves and acoustics // Wave Motion. 2007. V. 45. P. 16-29.
13. Камоцкий И.В., Назаров С.А. Расширенная матрица рассеяния и экспоненциально затухающие решения эллиптической задачи в цилиндрической области // Записки науч. семинаров ПОМП РАН. 2000. Т. 264. С. 66-82.
14. Назаров С.А. Критерий существования затухающих решений в задаче о резонаторе с цилиндрическим волноводом // Функциональный анализ и его приложения. 2006. Т. 40. Вып. 2. С. 20 - 32.
15. Назаров С.А. Вариационный и асимптотический методы поиска собственных чисел под порогом непрерывного спектра // Сиб. матем. журн. 2010. Т. 51. №5. С. 1086- 1101.
16. Назаров С.А. Волны, захваченные тонким искривленным экраном в волноводе с жесткими стенками // Акуст. журн. 2012. Т. 58. №6. С. 683 -691.
Юмов Игорь Бимбаееич, кандидат физико-математических наук, заведующий кафедрой математического анализа и методики преподавания математики Института математики и информатики Бурятского государственного университета, тел.: 8(3012) 219757, e-mail: igyumov@mail.ru
Yumov Igor Bimbctevich, candidate of physical and mathematical sciences, head of department of mathematical analysis and methodology of teaching mathematics, Institute of Mathematics and Computer Science, Buryat State University, ph.: 8(3012) 219757, e-mail: igyumov@mail.ru
