CC BY
32
УДК 534.2, 531.3, 537.8.
АНОМАЛЬНОЕ И ТРИВИАЛЬНОЕ В ДИФРАКЦИИ ОБРАТНОВОЛНОВОГО ГАУССОВА ПУЧКА: РАСХОЖДЕНИЕ ЛУЧЕЙ И ДИАГРАММА НАПРАВЛЕННОСТИ; РАЗНОИМЁННАЯ АНТИДИФРАКЦИЯ, БИИНВЕРСИЯ И ФОКУСИРОВКА
ANOMALOUS AND TRIVIAL IN THE DIFFRACTION OF AN BACKWARD-WAVE GAUSSIAN BEAM: THE DIVERGENCE OF THE RAYS AND THE RADIATION PATTERN; DIFFERENT-NAMED ANTIDIFFRACTION, BIINVERSION AND FOCUSING
В. М. Бырдин, О. И. Косарев, А. К. Пузакина
Институт машиноведения им А. А. Благонравова РАН, г. Москва, Россия
V. M. Byrdin, O. I. Kosarev, A. K. Puzakina
Blagonravov Mechanical Engineering Research Institute of RAS, Moscow, Russia
Аннотация. Рассмотрены дифракционные задачи об обратноволновом гауссовом пучке, вполне соответствующие классической дифракции и нашей концепции антидифракции в разноимённых обратно-волновых (ОВ-) системах; конрпримеры невозможны и нереальны. Первая задача о гауссовом ОВ-пучке в так называемой отрицательной среде полностью адекватна задаче с обычным расхождением классического пучка. В задаче о прохождении пучка (с комплексным диаметром) через разнородный стык обычной, положительной и отрицательной сред описаны явления фокусировки прошедшего пучка и биинвер-сии, двойного разворота по 180О, преломленного поля в целом, как и характеристики направленности. Биинверсия влечёт трёхкратное местное обострение диаграммы направленности, считая от первичного излучателя и в зоне второго разворота. Подчёркнута актуальность исследований по обратноволновой механике и электродинамике, возродившихся с 2000-х гг., значительно возросших до многопрофильной теории и технологий, вплоть до нобелевских и российских номинаций.
Ключевые слова: Обратные волны, гауссов пучок, антидифракция, обратноволновые разноимённые системы, биинверсия, обратноволновая фокусировка.
DOI: 10.25206/2310-9793-2018-6-1-27-35
I. Введение
Обратноволновая дифракция составляет новое направление в теории волн и новый класс дифракционных задач, берущие начало в работах Л. И. Мандельштама, 1940, и В. Г. Веселаго, 1967, и продолженные Джоном Пэндри (Pendry J., 2000), Дэвидом Смитом (Smith D., 2001), В. В. Шевченко, 2003, и другими. Дифракционная динамика, в широком смысле, включает и плосковолновую идеализацию отражения и преломления, и лучевой анзац [6], геометрическую оптику и акустику. Ведь в основе дифракции лежат интерференция и диффузия (переизлучение [5]) отражённых, преломленных и ограниченных фронтов. В частности, любой реальный пучок лучей всегда расходится - даже лазерный луч, а волновой фронт всегда неоднороден, не строго плоский или сферический - и даже «звезды мерцают». (Ср. с дифракцией в широком смысле по Г. С. Горелику и другим авторам, см. [7-9] и др.). Причём, в противовес глубокой дифференциации наук, единство радиофизики, акустики и оптики, механики и электродинамики прошло через дифракцию и общую теорию волн, отмеченное ещё Да Винчи Л. в XV веке и ставшее «идеологией общности» ([3, с. 320; 7; 10, с. 9; 11; 12, т. 5, с. 311; ...]). Особенно унифицирован волновой формализм математической физики ([13; 14, с. 5] и мн. др.).
В новое время, сколько ни «билась» точная наука, а это ок. 400 лет, с эпохи Просвещения, (если от Снелли-уса и Декарта), как ни росли математические методы и эффективность ЭВМ, но так и не достигнуто простой и точной, общей теории дифракции. Вплоть до простых явлений отражения и преломления, разве что «зеркальный угол» и архаичная плоская волна. Притом что зеркальность отражения была открыта ещё в древности, Евклидом в III веке до н. э. (!) [1]. И даже для сферической и цилиндрической волн так и не получено эффективных анзац-решений. (Анзац, от нем. ansatz, - «аналитическая структура решения» [6, с. 35], удачный современный термин и понятие). А сколько «перьев сточено» и напечатано статей, вкл. и авторов (см. [8, гл. 4; 12, т. 1, с. 657; 15-17, с. 176] и мн. др.). И лишь Г. Р. Кирхгофу, немецкому учёному (1824-87 гг. жизни), посчастливилось в задачах дифракции найти прозрачную и элегантную математическую формулировку идеи вторичных источ-
ников, известный принцип Гюйгенса-Френеля. Так что эти интегральные соотношения и поныне украшают курсы акустики и оптики, теоретической и математической физики [12, 18-23].
В прикладной математике и теоретической физике со времён Зоммерфельда и Кирхгофа широко известна трансцендентность, математическая «неприступность» дифракционных задач. Поэтому для первых представлений и оценок вполне приемлемы и «лёгкие» гипотезы, и лучевой подход (диоптрика [2], геометрическая оптика и акустика). Кроме того, в акустике, по-видимому [24-27], ещё не предложено эффективных обратноволновых 3Б-моделей. В радиофизике же, напротив, широко известна просто формальная замена знака показателя преломления на -1 для «отрицательной» среды или для стыка вполне согласованных сред: п = -1;
п1/2 = /е2^2 = -1 (в общепринятых символах). В докладе представлены две краевые задачи: для безграничной отрицательной, метасреды (т.е. содержащей обратную волну) и для стыка разноимённых сред, обычной среды с метаструктурой (см. ниже определ. 1). Дано традиционное квазиоптическое, коротковолновое (или высокочастотное) решение для параболического уравнения с оценкой точности (по Я/а << 1, а - нормировка задачи). И хотя параболическое уравнение является приближённым, оно занимает среднее положение между ещё более грубым, лучевым методом 0 геометрической оптики и акустики и точным решением уравнения Гельмгольца. Кроме того, в других наших статьях решёно несколько дифракционных и обратноволновых (ОВ-) задач в строгой постановке и точными методами [15, 16 и др.].
В акустике удачным типом, эталоном обратных, но волноводных мод являются ОВ-моды Лэмба в пластине, причём это довольно удобная модель как для теоретических расчётов, вкл. и дифракцию, и 2Б-проблематику, так и экспериментальных исследований, см., например, [28-31] и мн. др. работы. Так что обобщение результатов на плоские и планарные системы вполне возможно: уже опубликован целый ряд работ, а контр-примеры неизвестны и невозможны.
Кроме наличия обратных волн принципиальным условием антидифракции выступает разноимённость волновых систем [14, с. 10; 32].
Определение 1 (Разно- и одно-имённые системы). Волновые преобразования (трансформации, конверсии или обмен) - это переизлучение волн от исходных волн, падающих на границу сред или структур, при их дифракции, отражении, преломлении и рассеянии или при интерференции, нелинейной генерации и др. Одноимённые (или однородные) преобразования — это трансформации прямая-прямая волна или обратная-обратная. Разноимённые (или разнородные)— это прямая-обратная и, напротив, обратная-прямая. Понятия разно- и одноимённого естественно обобщаются и на др. объекты, связанные с такого рода преобразованиями и взаимодействиями в многомодовых системах. Например, нелинейное излучение гармоник при мощной фокусировке, при дифракции света на ультразвуке и т.п. А разделение разноимённых структур возникает не только при механической состыковке волноводов, но и иного рода, например, магнитным полем в спинтронике.
Наряду с термином «волновые преобразования» применяются и другие синонимы: трансформация, конверсия, обмен [6, с. 67; 21, с. 409]. Заметим, что введённое понятие во многом аналогично разно- и одноимённым зарядам в электрофизике.
Утверждение 1. (Разноимённость ОВ-антидифракции). Аномальные и специфические, обратноволновые явления антидифракции проявляются только при разноимённых преобразованиях в обратноволновых 3Б-структурах или плоских и планарных волноводах.
Данное положение является обобщающим. Теперь дадим более чёткое понятие антидифракции [14, 32].
Определение 2 (ОВ-антидифракция). Обратноволновая антидифракция - это явления дифракции обратных волн в разноимённых структурах, аномальные или противоположные явлениям классической дифракции обычных, прямых волн. В основе антидифракционных эффектов лежат элементы обратноволнового антизеркального отражения и отрицательного преломления волновых фронтов на границах раздела разноимённых структур.
Примеры антидифракции. Не расхождение, а сужение пучка; отскок, а не огибание препятствия; разного рода, противоположно направленные излучения, в частности, в волноводе; биинверсия диаграммы направленности и др.
II. Обратноволновой гауссов пучок: квазиоптический анзац,
классическое дифракционное расхождение
1. Общее коротковолновое приближение
В квазиоптическом (коротковолновом - КВ, высокочастотном - ВЧ) приближении, ка >> 1, так же как и для прямоволнового (ПВ-) пучка [18, с. 462; 33, с. 400; и др.], реальный обратноволновой пучок хорошо описывает-
ся параболическим уравнением (см. также ниже в п. II-4). Пусть осесимметричный излучатель («перевязка» пучка лучей) задан в точке x = -xJ < 0 :
E = u expi(-kx - cot); u(—xJ, r) = exp(-r2/2a2),
a 42 - квазирадиус источника. Тогда точное решение обратноволнового параболического уравнения, отличающееся знаком k (k < 0 , как и при заменах exp(±i®t)) будет:
u(x, r) = f (x)exp(-ikr 2/2^2); = x + xJ + ika2; f (x) = ika2/. (1)
Заметим, что (1) является также приближённым, асимптотическим при ka >> 1 и ka t ж, решением исходного уравнения Гельмгольца. Т.е. на ВЧ это решение задачи достаточно точно описывает пучок, в чём нетрудно убедиться подстановкой (см. п. II-4 и ср. также [33, с. 400]). В случае двумерного квазицилиндрического пучка решение аналогично - см. п. III. И всё это на основе вполне развитой квазиоптической теории [12; 18; 34, гл. 8].
Полученное решение представляет и самостоятельный интерес. Описан ОВ-пучок, установлено следующее.
Теорема 1 (об ОВ-пучке). Дифракционное расхождение обратноволнового гауссова пучка, в точности совпадает с классическим, обычным расширением прямоволнового пучка. Амплитудное распределение то же, противоположен лишь непринципиальный знак амплитудной фазы.
Действительно, в нормированных переменных:
u(s, p) = f (s)exp(-p2 f /2); s = (x + xJ)/ka2 > 0; p = r / a; f(s) = 1/(1 - is). (2)
Отметим, что в учебнике [18, с. 465] дано в точности такое выражение, но для прямой волны. Параметр xд = ka2 там назван дифракционной длиной пучка, а xд / х - известным числом Френеля F, имеющим, однако, иное, хотя и близкое значение в теории оптических приборов [35], но лучше подходящее к сравнению квазидиаметра источника с диаметром 1-ой зоны Френеля. Так что наше s, на больших x >> xJ , обратно числу F.
Модуль и фаза амплитуды пучка равны:
/u / = (1 + s2)-1/2 exp(-p2 /2(1 + s2)); ^(s, р) = arctgs - sp2/2(1 + s2). (3)
2. Диаграмма направленности и поверхности равных амплитуд
Цилиндрические эквиповерхности модуля амплитуды, по e~m, m = const, кроме множителя квазисферичности, = s -1, описываются гиперболами p2/2m - s2 = 1, рис. 1б. Изофазы - на рис. 1а. Фазу задаём как iyCONST = w(sMAXX ;0) = arctgsMAX . Определим диаграмму и характеристику направленности (ДН и ХН):
tg9 = r /(x + xJ) = p/as, a = ka, 9 << 1, s >> 1, F(9) = exp(-<2tg29/2) = exp(-a292/2)(1 + <294/3 + 09), 09 ~ 9 . (4)
а) 3 1,4/ / 1 б) * \ 6 \з J 1 4 \ 3
/ Л5 --- "ll_-"Д!
\ \ 4 ^ V^x^ 6 о 1 2 3 4 $
JE 25 50 15 Р S
Рис. 1. а) Изофазы гауссова пучка, обратно- или прямоволнового, в ближней зоне. Кривые 1, 2 и 3 соотв. значениям sMAX = 0.15,0.75,1.5. б) Эквиповерхности равных амплитуд (кроме сферического убывания). Кривые 1, 2 и 3 соотв. т = 0.25,1, 2
Как видно, это однолепестковая, нечётко выраженная ХН. Формально её раскрыв равен 180°, практически же угол лепестка на уровне 0.05, т.е. e~3 = 0.0498, равен 2500 = 2arctg(а~1>/6) = 27.53° при а = 10. На уровне
«0-7», точнее, 0.707 (1/V2), S01 = arctg(а^ТШ!) и 2$07 = 9.52° при том же а = 10. Рисунок диаграммы направленности будет дан ниже, на рис. 2. Полученные результаты верны и для пучка прямой волны, так как (3 а) чётно по к (и по s).
3. Тонкие аспекты пространственно-фазовой структуры
Фаза амплитуды на оси i^(s,0) = arctgs и монотонно, с замедлением нарастает от 0 до ж /2 . Из строго плоской на источнике изофаза при малых s << 1 превращается в квазиплоскую с вогнутым профилем. Соотв. параболическая вогнутость кривой:
1) s = ус /(1 - p2/2); s,p << 1, Yc= const > 0; 2) s = p2 /ж; s,p > 1.
На бесконечности та же вогнутость и та же парабола, s = (1 + р2/2)/(ж/2 -ус), квазисферической фазы относительно плоского бегущего фронта. Ту же противоестественную вогнутость кривой имеет и фаза строго сферической волны относительно плоского фронта. Так что фаза амплитуды, без пространственной части бегущей фазы волны, неинтересна; например, амплитуда строго плоской, сферической или цилиндрической волны постоянна.
Рассмотрим полную, пространственную фазу пучка, кроме временного фактора tat:
p(s,р) = -a2s + ^(s,р) = arctgs - s(a2 + p2/2(1 + s2)), а = ka >> 1. (5)
Уже при а > 1 эта фаза отрицательна - волна обратная. Вблизи излучателя - выпуклый сходящийся ОВ-фронт (центр и круг кривизны изофазы лежат слева по оси s): s(p) = -^са~2(1 -p2/2а2) + 0(p4,s3). На бес-
О О О 1 / О
конечности - так же выпуклый фронт с сегментом псевдо-эллипса s = sm /2 + (sm /4 - p / 2а ) и радиусом кривизны pK = pC < 0, pC = p(sm ;0) « -sта2. Полная же пространственная эволюция фронта в ходе распространения пучка описывается семейством плоских кривых p(s) с двумя параметрами, а и рС или 5т: p2 = 2(1 + s2)(-а2 + s~y(arctgs - \yC)). Его экстремумы, из p'(s) = 0, даются квазикубическим уравнением: s3 + as2 + bs + c = 0, 2a = -sm -c^^rctgs - arctgsm) ~-sm, b = -1/2а2 « 0, c = -a.
Сделав замену e = 2s/sm и e = e +1/3, придём к известному решению Кардано eK, к = 1 - 3 . По теореме о трёх корнях этого уравнения [22, т. 2] узловым выступает радикал от Q = 4(1 - s^/27)/s^ . При Q > 0 , т.е. sm < smP =427 = 5.196 , получим два комплексных сопряжённых корня и один реальный, но отрицательный. Следовательно, p(s) монотонна и изофаза принимает малые значения, вплоть до нуля на излучателе, I PC l< smPа2. Наоборот, при больших | pC | иsm > smP, Q < 0 и тогда: e1 «1, s2 «1 и s3 » -1 - соотв., из приближённых уравнений e3 - e2 « 0 и as2 + c « 0.
Особый, критический случай pCP » -smPo1 (здесь точность выше 10-5 уже при а = 10), когда волна проходит через точку s = smP » 5.2, а кривая её изофазы имеет экстремальный перегиб: p' = p" = 0. Эта изофаза лежит в довольно дальней зоне, (x + xJ)/ a = 5.2 а >> 1, и разделяет области монотонных и грибовидных изо-фаз, волновых фронтов (рис. 2, ниже). Наличие максимума и минимума кривой p(s) соответствует «грибовид-ности» изофазы. Кроме трёх осевых высотных параметров «гриба», sm, sx = sm /2 и s2 » 1, радиусы его «шляпки и ножки» определяются соотношениями: p1/ p2 ~ ^¡sm/2; pK = p(sK), px = аsm4l, p2 « 2а^sm -1. В этой грибовидной, дальней зоне, sm > smP « 5.2, пучок всё более сферичен. Кривизна его фронта на оси равна | p | = xm + xJ = xm, т.е. | p | = x (ср. с [18, с. 466]). И для дальнейшего изучения следует перейти от плоской фазы к сферической.
Фаза амплитуды и пространственная фаза пучка нечётны по к. Поэтому все полученные результаты, как нетрудно убедиться, справедливы и для прямоволнового пучка, только его фронт расходящийся. Отсюда же и полная инвариантность по временному фактору ±tat. И в этом также подтверждение корректности и модели, и задачи.
4. О точности квазиоптического расчёта
В обоснование КВ-го приближения дадим в волновом уравнении оценку 2-ой производной их", которой пренебрегают по ср. с первой ¡2ки'х. Исходя из (2):
у(5,р) = и"х Ики'х; | у |= ст~2(52 +1)-1/2 11 - р2 /2(52 +1)1/2 |; | у(5,0) | = 1/а2(52 +1)1/2 < ст~2. Т.о., поскольку полагается а = ка >> 1, то и нами здесь (в ОВ-модели) подтверждается весьма высокая точность параболического уравнения для обратноволновых пучков и процессов в отрицательных средах, тем более в дальней зоне s >> 1. (5 = (х + х/)/ка2) .
Причём в случае пучка на его оси точность выше, чем на периферии и в параксиальных секторах. Впрочем, при р > 1 и р >> 1, когда точность уже могла бы быть неудовлетворительной, и само поле ещё раньше и резко
исчезает: ехр(-р2/2(1 + 52)).
Так же гладким гауссовым возбуждением объясняется и однолепестковый раскрыв диаграммы направленности, рис. 2, кривая 1. Тогда как равномерное возбуждение излучателя ведёт к вееру лепестков [12, т. 1; 17, с. 131; 21, с. 234; 33].
Рис. 2. Гауссов пучок, обратно- или прямоволновой. 1 - диаграмма направленности по амплитуде (ДН жирно, с прямыми раскрыва на уровне 0.71 и 0.05). 2 — единичная амплитуда от p — r /а в плоскости s — 13.5. Изофазы в ближней зоне, кривая 3 (asm — 15), и в дальней, три грибовидные кривые 4—6 для asm — 10smP « 52,100 и 1000 (6-я кривая уменьшена на 1/8; значение ст фиксировано, равно 10 или варьируется). Штрихами - изофазы сферической волны, для сравнения. J — излучатель, его ось s — X/ста, x — X Xj
III. Задача об антидифракции гауссова пучка на границе разноимённых согласованных сред 1. Постановка задачи о преломлении гауссова пучка
Пусть обратноволновой гауссов пучок нормально падает из отрицательной среды на границу раздела с обычной средой (индексы 1 и 2, соотв., см. рис. 3, ниже). Рассмотрим электродинамическую задачу, т.к. столь же модельно подходящие, отрицательные среды в механике и акустике ещё не созданы, а расчёты на волнах Лэмба в пластине намного сложнее. Ограничимся простейшим случаем, достаточным для демонстрации эффек-
та антидифракции. Пусть среды вполне согласованы, строго адекватны (согласованы) между собой, т.е. их проницаемости и показатели преломления равны по модулю: s1 /е2 = / //2 = -1; и1/2 = s1/1 /s1/1 = -1; sK и /К - электрическая и магнитная проницаемости. Рассмотрим двумерный случай псевдоцилиндрических пучков. Тогда для падающего ОВ-пучка получим решение, аналогичное (2): EY (x,z) = u1 expi(-kx - cot);
щ (s,p) = f (s)exp(-p2f2/2); p = z / a; f = (1 - is)-1/2; s = (x + xj )/aa; - xj < x < 0; a = ka. (6)
Отличие от сферических пучков лишь степенями в f. И, в частности, очевидно цилиндрическое поле на бес-
-1/2
конечности - s .
2. Автофокусировка разноимённо преломленного пучка как элемент антидифракции: задача с комплексным диаметром пучка
Запишем теперь граничное условие для среды 2 (x > 0) с прямоволновым пучком
E2Y (x, z) = u2 expi(kx - cot):
U2(0,p) = u1(0,p); u1(0,p) = /0 exp(-p2/o2/2); /0 = /1^0); s0 = xj /aa > 0; p = z/a. Для решения задачи введём комплексный размер пучка при x = 0: a2 = a / /0 = a(1 - is0 )12. Очевидно, что решение поставленной задачи инвариантно к переходу от вещественного радиуса гауссова пучка к комплексному. Т.о., решение задачи:
u2(S, P) = /0/2 exp(-P2/2 / 2); /2 = (1 + iS)-1/2; S = x< a2; a2 = k^; P = z / (7)
Проанализируем это выражение. Переменные S, P, a2 комплексны, кроме k > 0 . Выделив вещественную и
мнимую части P/22/2 = y = yR+ iyj, Yr= р2/2(1 + Х2), Yj=-XyR, p = z / a, Х = (х - х/ )/aa, для модуля и фазы амплитуды легко получить анзац в элементарных функциях. Так что в плоскости хJ имеем фокус, симметричный полю излучения из точки -XJ и в полном соответствии с общими положениями об обратновол-новой разноимённой авто- и сверхфокусировке [7, с. 648; 32; 36; ...]. Действительно, в фокусе образовалась «перетяжка» пучка с равномерной, нулевой фазой и с первоначальным размером поперечника а>/2 . (Ср. с расширением на границе раздела (х = 0): аЭ = аЭКВ/= (1 + s^)174 > 1; так при хJ /а = Na, N = 1,2,..., аэ = (1 + N2)14). Эквиповерхности равных амплитуд, по модулю (e~m, m е const), кроме факто-
-1 / 2
ра псевдоцилиндричности, псевдоцилиндрической концентрации (с множителем = x ), описываются теми же гиперболами р2 /2т - Х2 = 1, что и при расхождении падающего пучка, но смещёнными в хJ - ср. с п. II-2.
Замечание 1. Полученные распределения амплитуд инвариантны, не зависят от фактора концентрации-расхождения пучка, псевдоцилиндрического или сферического. Кроме, конечно, самих множителей x~K, к = 0.5,1, определяющих цилиндричность или сферичность волны. Так же и фаза, как мы покажем ниже в след. п. III-3, инвариантна, но относительно, из-за фактора расхождения волны.
Факторы концентрации, сферический или цилиндрический, явно демонстрируют явление автофокусировки. Например, в (7)
/2(x) = /2т(x)exp(-iarg/2); /2m(x) = 1/(1 + X2)1/4 | / |. И поскольку в фокусе Х = 0, то имеем и цилиндрическую концентрацию пучка. Итак,
Теорема 2 (об ОВ-фокусировке и антидифракции преломленного пучка). Разноимённо преломленный пучок фокусируется симметрично падающему гауссову пучку, как по распределению амплитуд (эквиповерхностей), так и по фактору концентрации псевдо-сферического или -цилиндрического фронта.
3. Антидифракция преломленного пучка: биинверсия поля, фазовых и амплитудных эквилиний и диаграммы направленности
Рассмотрим фазовую эволюцию в (7). Аргумент цилиндрического фактора и фаза амплитуды в целом:
arg(/0/2) = 0.5arctgs0 - 0.5arctg((s0 + X)/(1 - s0X)) = -0.5arctgX; ^2(x,z) = -0.5arctgX + Xp2/2(1 + X2) . Что идентично фазе Y1(s,p) падающего цилиндрического пучка (см. в (6) и ср. (3б)) и тождественна ей при x = 0 , конечно, в силу граничных условий. Полная же фаза волны, с учётом набега на границе раздела сред,
- a2s0 = -kxJ , равна
iy2(x,z) = -0.5arctgX + X(a2 + p2 /2(1 + X2)) . (8)
Очевидно, что фазовые распределения гауссова ОВ- или ПВ-пучка относительно инвариантны фактору концентрации, типу волны, псевдоцилиндрическому или -сферическому.
Действительно, аргумент функций щ(x,z) и u2(x,z), и в целом гармонических полей, генерируемых сферическим и цилиндрическим излучателями, отличаются только пренебрежимой разницей фаз фактора расхождения: 0.5 или 1 при arctg (5), (8). (Этот результат пока что не имеет физической интерпретации. Теперь из (8) получаем уравнение фронтальных, изофазных поверхностей (\у2С = const; x,| z |< ж):
p2 = 2(1 + X2)(-ст2 + (0.5arctgX + ^с)/X); <р2c = -0.5arctgXm +ct2Xot =a2Xm, ст >> 1, Xm ~ ст~\ Это уравнение и соотв. кривые p(x) практически совпадают с уравнением и изофазными кривыми сферического пучка (п. II-3, рис. 2), отличаясь лишь слагаемым 0.5arctgX, которое <<1 или < тг/4 . Слева от фокуса, X < 0, они повёрнуты к изофазам падающего пучка и симметрично копируют их, относительно границы раздела сред. Затем справа от фокуса вновь симметрично повторяют сами себя - рис. 3.
Также и амплитудные эквиповерхности, представленные гиперболами (ср. с рис. 1б) демонстрируют абсолютную биинверсию поля относительно границы раздела сред х = 0 (или Х = -ХJ ) и фокальной плоскости x = xj (или X = 0), что изучено в п. III-2. Аналогично, строго доказывается и биинверсия диаграммы направленности пучка. Введём углы и ДН до и после фокуса. При x < xJ :
tg32- = z!(xJ - x) = -p!ctX ; F{32_) = exp(-CT2X2tg232_ !2(1 + X2)) = exp(-(aX32_)2 !2(1 + X2)), 32_ << 1 • Если XJ >> 1, то F = exp(-(c32_ )2!2) и точно совпадает с (4). Этого не требуется за фокусом, при x > xJ :
tg32+ = z/(x - xj ) = p/ctX; F(32+) = exp(-CT2tg232+ /2) = exp(-(<3>2+ )2/2), З2+ << 1. Так что ДН для падающего пучка и преломленного в дофокальной зоне вводится здесь не только как для дальнего поля, т.е. при XJ >> 1 или XJ = xJ /a >> ст >> 1, но и при малых XJ .
Рис. 3. Схема эволюции и биинверсии изофаз гауссова пучка, разноимённо преломленного на границе ОВ-адекватных (А) сред, АС-1 и -2.
JM - мнимый источник и суперфокус (в точке 2 = 0, х = /м );
ОВ-ПВ (или ПВ-ОВ, ^^) - фазовые движения; Р - падающий пучок
Теорема 3 (о биинверсии и инвариантности ДН пучка). Диаграмма и характеристика направленности гауссова коротковолнового пучка: 1) не зависят от типа излучения, цилиндрического или сферического, и 2) при преломлении на границе вполне ОВ-адекватных сред, испытывает двойной разворот по 180О относительно этой границы и фокальной плоскости.
Замечание 2 (об обострении ДН). Заметим, что для формирования характеристики и диаграммы направленности (ДН) гауссова пучка переход в дальнюю зону не требуется, как это полагается в теории антенн. Являясь исходно гладким, поле этого пучка не осциллирует ни в ближней зоне, ни в переходной. Причём можем вполне предполагать, что такой же результат даст и точное решение для уравнения Гельмгольца, а не параболического, как изложено выше. Вопрос об обострении ДН в точке фокуса ( х = xJ/м) некорректен, т.к. здесь фокусирование абсолютное и, в частности, для квазиточечного направленного излучателя обострение будет бесконечно. В данном случае, гауссова пучка, считая от первичного излучателя ( х = -xJ/м), очевидно обострение ДН в области разворота (т.е. при х/xJ/м е (1; 3)). Но уже в зоне х > 3х_//м обострение начинает вырождаться, а на бесконечности исчезает полностью, что и соответствует физическим представлениям.
IV. Заключение
В докладе представлены модели обратноволновой дифракции, адекватные классической дифракции и нашей концепции антидифракции в разноимённых системах [32 и др.]. Задача о гауссовом ОВ-пучке в отрицательной среде полностью соответствует традиционной дифракции гауссова пучка. В задаче о прохождении пучка через разноимённый стык (отрицательной и положительной сред, или наоборот) подтверждается явление фокусировки прошедшего поля и эффект биинверсии, двойного разворота по 180О, как преломленного поля в целом, так и характеристики направленности пучка. Биинверсия влечёт также обужение местной диаграммы направленности (в зоне х/ xJ /M е (1; 3)), вплоть до кратного обострения в области разворота.
Концепция обратноволновой антидифракции составляет основную часть современной обратноволновой физики, механики и электродинамики. Другими её частями служат ещё три класса фундаментальных явлений, это кинематические, динамические (нестационарные и радиационные) и нелинейные (см., например, [36]). В целом ОВ-физика насчитывает уже несколько десятков явлений, эффектов и свойств. Это многопрофильная, быстро растущая, последние два 10-летия, отрасль с тысячами публикаций, включая СМИ и ЦТВ, от стелс-проектов до «шапок-невидимок» ([24-27, 36] и мн. др.). Однако большинство указанных эффектов ещё мало востребованы и во многом недоработаны. Кроме нескольких направлений, это, во-первых, ОВ-электроники (лампы-ЛОВ и ОВ-электроника, ещё с 1950-х гг.), во-вторых, отрицательного преломления света и звука (от Л. И. Мандельштама, 1940) и, в-третьих, сверхфокусировки (от В. Г. Веселаго, 1967). С модными метаматериа-лами и кристаллами, супер- или псевдолинзой, ... «волшебными», «непревзойдёнными», «магическими» (ссылки опускаем...). Однако следует надеяться, что неуклонный прогресс доведёт эти новшества до совершенных технологий.
Список литературы
1. Кудрявцев П. С. Курс истории физики: учеб. пособие. М.: Просвещение, 1974. 312 с.
2. Декарт Р. Рассуждение о методе. С приложениями: Диоптрика, метеоры, геометрия. М.: АН СССР, 1953.
3. Столетов А. Г. Введение в акустику и оптику. М.: Имп. Москов. ун-т, 1895. 325 с.
4. Зоммерфельд А. Оптика: пер. с нем. М..: ИИЛ, 1953. 487 с.
5. Малюжинец Г. Д. Развитие представлений о явлениях дифракции (к 130-летию со дня смерти Томаса Юнга) // Успехи физич. наук. 1959. Т. 69, № 2. С. 321-334.
6. Бабич В. М., Киселёв А. П. Упругие волны. ВЧ теория. СПб.: БХВ-Петерб., 2014. 320 с.
7. Горелик Г. С. Колебания и волны. Введение в акустику, радиофизику и оптику/ допол. В. Г. Веселаго. Обратные волны. 3-е изд. М.: ФМЛ, 2007. 656 с.
8. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах: учеб. пособие. М.: АН СССР, 1957. 502 с.
9. Тимофеев А. В. Геометрическая оптика и дифракция // Успехи физич. наук. 2005. Т. 175, № 6. С. 637-641.
10. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. 3-е изд. М.: Физматлит, 1981. 568 с.
11. Рабинович М. И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Физматлит, 1984. 432 с.
12. Физическая энциклопедия. В 5 т. / Под ред. А. М. Прохорова. М.: БСЭ, 1988-1998.
13. Бабич В. М. Дифракции математическая теория // Математич. энциклопедия. Т. 2. М.: СЭ, 1979.
14. Бырдин В. М. Проблемы дисперсии, сингулярной кинематики и общей теории нормальных волн и об-ратноволновых явлений / Автореф. дисс. ... д-ра.физ.-мат. наук. М.: Ин-т радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, 2012. 36 с.
15. Косарев О. И., Остапишин Н. М., Пузакина А. К. Звуковое давление в дальнем поле, создаваемое колеблющейся конечной цилиндрической оболочкой // Проблемы машиностроения и автоматизации. 2017. № 4. С. 98-102.
16. Бырдин В. М. О дифракции нормальных волн в слоистых структурах с полубесконечными элементами: модель акустического уровнемера, модификация метода факторизации, волноводные квазирезонансы // Изв. РАН. Механика твёрдого тела. 2017. № 3. С. 83-99.
17. Петров Б. М. Электродинамика и распространение радиоволн: учеб. М.: Радио и связь, 2000. 559 с.
18. Ахманов С. А., Никитин С. Ю. Физическая оптика: учеб. 2 изд. М.: МГУ-Наука, 2004. 656 с.
19. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред / под ред. Л. П. Питаевского, 4-е изд., стер. М.: Физматлит, 2001. 656 с.
20. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. 8-е изд. М.: Физматлит, 2001. 536 с.
21. Лепендин Л. Ф. Акустика: учеб. М.: Высшая шк., 1978. 298 с.
22. Математическая энциклопедия. В 5 т. / Гл. ред. И. М. Виноградов. М.: СЭ, 1977-1985.
23. Encyclopedia of Mathematics. In 13 volumes / Translation from Russian. Kluwer Academic Publishers, 19872002.
24. Бобровницкий Ю. И. Модели и общие волновые свойства двумерных акустических метаматериалов и сред // Акустич. журнал. 2015. Т. 61, № 3. С. 283-294.
25. Буров В. А. Дмитриев К. В., Сергеев С. Н. Численная модель акустической среды с отрицательным преломлением // Изв. РАН. Физич. 2008. Т. 72, № 12. С. 1695-1699.
26. Norris A. N. and Shuvalov A. L. Elastic cloaking theory // arXiv:1103.6045 [cond-mat.mtrl-sci] (... on 30 Mar 2011) April 1, 2011.
27. Pendry J. B., Li J. An acoustic metafluid: Realising a broadband acoustic cloak // New J. Phys. 2008.
28. Дюдин Б. В. Исследование принципов построения ультразвуковых уровнемеров нового типа на нормальных волнах: дис. ... канд. техн. наук. Таганрог: Таганрогский радиотехнический институт. 1973. 150 с.
29. Katsuo Negishi, Hyo Ung Li. Strobo-Photo-elastic Visualization of Lamb Waves with Negative Group Velocity (.) on a Glass Plate // Japanese Journal of Applied Physics. 1996. V. 35(5). P. 3175-3176.
30. Mezil S., Bruno F., Raetz S., Laurent J., Royer D. and Prada C. Investigation of interfacial stiffnesses of a tri-layer using Zero-Group-Velocity Lamb modes // The Journal of the Acoustical Society of America. 2015. V. 138. P. 3202.
31. Rokhlin S. I. Diffraction of Lamb's waves by a finite crack in an elastic layer // The Journal of the Acoustical Society of America. 1980. V. 67, № 4. P. 1157-1165. Doi: 10.1121/1.384175.
32. Бырдин В. М. Концепция обратноволновой антидифракции в общей теории волн: явления разноимённой антидифракции и афракции в многомодовых системах // XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Казань, 20-24 августа 2015 г.): сб. докл., 20-24 августа 2015 г. Казань: КФУ, 2015. С. 656-657.
33. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. 2 изд. М.: Радио и связь, 1988. 440 с.
34. Шевченко В. В. Квазиоптика / Избр. доклады междунар. симпозиума: пер. с англ. и нем. / Под ред. Б. З. Каценеленбаума. М.: Мир, 1966. 504 с.
35. Фотоника: Словарь терминов / под ред. В. Н. Овсюка. Н-сиб.: СО РАН, 2004. 343 с.
36. Бырдин В. М. О работах В. В. Шевченко по теории обратных волн и смежные вопросы (к 70-летию со дня рождения). М., 2007. 28 с.
УДК 62-567:534.11
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ГИДРОПНЕВМАТИЧЕСКОЙ ВИБРООПОРЫ НА БАЗЕ РЕЗИНОКОРДНОЙ ОБОЛОЧКИ
EXPERIMENTAL DETERMINATION OF PARAMETERS OF HYDROPNEUMATIC ENGINE MOUNT ON THE BASIS OF RUBBER-CORDED SHELL
Ю. Ф. Галуза, В. Н. Сорокин, Г. С. Русских, Е. Г. Кувшинников
Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия
Y. F. Galuza, V.N. Sorokin, G.S. Russkikh, E.G. Kuvshinnikov
Omsk state technical university, Omsk, Russia
Аннотация. Приведены результаты экспериментов по определению жёсткости и эффективной площади гидропневматической виброопоры на базе резинокордной оболочки. В реальных виброопорах с гидравлическим инерционным преобразователем движения параметры, являющиеся постоянными в первом приближении, могут зависеть от величины сжатия опоры. Актуальной задачей является определение жёсткости и эффективной площади поршневого действия виброопор с гидравлическим инерционным преобразователем и воздушной камерой на базе резинокордной оболочки. Применён метод экспериментального исследования, который показал, что жёсткость опоры нелинейно зависит от величины сжатия, которую с достаточной точностью можно представить в виде полинома шестой степени, при этом эффективная площадь поршневого действия линейно зависит от величины сжатия опоры.
Ключевые слова: гидравлическая виброопора, гидропневматическая виброопора, виброизоляция, коэффициент передачи усилия, площадь поршневого действия.
DOI: 10.25206/2310-9793-2018-6-1-35-39
