CC BY
57
под с можно понимать как истинное, так и экспериментальное значение скорости распространения волны.
Исходя из представления о кристаллическом строении газа, следующего из теорем А. Май.. « m0N _
ера, плотность невозмущенного слоя толщиной cat можно представить так: р — где S - площадь поверхности пластины. Отсюда находим, что изменение плотности газа в слое, прилегающем к поверхности пластины, вызываемое ее движением dp — — ^^ dr, где dr - изменение расстояния между молекулами газа в направлении движения пластины. Изменение давления газа в этом слое через изменение силы dF взаимодействия двух молекул кристаллических плоскостей в направлении оси X выражается так: dP = Подставляя значения dP и dp в формулу Ньютона, получаем
— I 7-2 dF — 17-2 dF
■у то dr -у m0f dt '
. dr „
где г — — — - скорость относительного движения молекул соседних кристаллических плоскостей.
Видим, что формула И. Ньютона точно переходит в формулу, установленную на основе представления о кристаллической структуре газа, следующего из теорем А. Маера.
Сразу после остановки пластины в момент времени если она двигалась со скоростью
U < U0, или через время t' = — l), если она двигалась со скоростью U > U0, в левом возмущенном слое с правой его стороны, в направлении против оси X начинает распространяться, волна уплотнения со скоростью с'л. Так как плотность левого возмущенного слоя меньше плотности равновесного газа, то скорость распространения образующейся в нем волны уплотнения с'л < сл. В правом возмущенном слое сразу после остановки пластины с левой его стороны со скоростью с£ в направлении оси X начинает распространяться волна разрежения. Так как плотность правого возмущенного слоя больше плотности равновесного газа, то скорость распространения образующейся в нем волны Сд > сп. Общее число молекул в возмущенных слоях и справа, и слева от остановившейся пластины будет увеличиваться. При этом средняя плотность слоя слева от нее будет увеличиваться, а справа уменьшаться.
Перемещение пластины внешней силой влечет за собой увеличение энергии взаимодействия молекул кристаллических плоскостей, оказывающихся в уплотненном слое, и сообщение им кинетической энергии. Приобретение молекулами кристаллических плоскостей, оказывающихся в разреженном слое, кинетической энергии обусловлено уменьшением их энергии взаимодействия. И уплотненный, и разреженный слой обладают импульсом. Существенным является проявление импульса уплотненного слоя, образованного при длительном движении пластины со скоростями сравнимыми и превосходящими сэ, которое характеризуется как ударная волна.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.
1. Френкель, Я. И. Кинетическая теория жидкостей / Я. И. Френкель. - Л.: Наука, 1975. - 592 с.
2. Аппель, П. Теоретическая механика / П. Аппель. - М.: ГИФМЛ, 1960. - Т. 2. - 488 с.
3. Переверзев, В. И. Математические модели физических процессов / В. И. Переверзев, О. В. Омельченко // Сб. науч. тр. - Таганрог: Изд-во ТГПИ, 2003. - С. 62-64.
4. Переверзев, В. И. Математические модели физических процессов / В. И. Переверзев, О. В. Омельченко // Сб. науч. тр. - Таганрог: Изд-во ТГПИ, 2005. - С. 149-152.
УДК 532.5.031 ББК 22.3
Ю. А. Прокопенко
ЗАДАЧА РАСЧЕТА ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ПОЛОГО ЦИЛИНДРА С ТЕПЛОИЗОЛИРОВАННОЙ ВНУТРЕННЕЙ СТЕНКОЙ
Аннотация. Рассматривается численное решение задачи теплопроводности, описывающее процесс нанесения порошковых покрытий на внутренние поверхности стальных труб методом центробежного индукционного припекания [2]. Граничное условие на внутренней поверхности полого цилиндра (трубы) учитывает поглощение тепла порошковым слоем, на внешней (помимо поверхностных источников, связанных с индукционным нагревом) - конвекцию и излучение, то есть является нелинейным. Проводится сравнение рассчитанного распределения температуры по толщине цилиндра с аналогичным кусочно-линеаризованным решением.
Ключевые слова: уравнение теплопроводности, метод баланса, дискретная модель.
Yu. A. Prokopenko
PROBLEM OF CALCULATION OF THE TEMPERATURE FIELD THE HOLLOW CYLINDER WITH THE HEATISOLATED INTERNAL WALL
Abstract. The numerical solution of a problem of the heat conductivity, describing process of drawing powder coverings on internal surfaces of steel pipes is considered by a method of a centrifugal induction sintering [2]. The boundary condition on an internal surface of the hollow cylinder (pipe) considers heat absorption by a powder layer. On the external (besides the superficial sources connected with induction heating) - convection and radiation, that is is nonlinear. Comparison of the calculated distribution of temperature on cylinder thickness with the similar piecewise linearized decision is carried out.
Key words: heat conductivity equation, balance method, discrete model.
Рассматривается задача расчета температурного поля внутри полого цилиндрического тела, на внутренней поверхности которого нанесено порошковое покрытие, а внешняя поверхность греется равномерно распределённым по поверхности источником тепла. Торцы цилиндра теплоизолированные, внутренняя поверхность порошковой шихты также считается теплоизолированной, т.е. слой является лишь поглотителем тепла. Данный процесс описывается уравнением теплопроводности:
' 1 Л
/I
Т" + -Г
V
г
рст;,
(1)
у
где T = T(t, х) - функция распределения температуры; Л - коэффициент теплопроводности.
Вт
м х К
Я
; р - плотность материала.
кг
м
с - удельная теплоёмкость материала,
Дж . кг Ч К '
= а - температуропроводность, м /с.
рс
Уравнение (1) рассматривается при следующих граничных условиях: а) на внутренней границе происходит поглощение тепла порошком:
_ РпСп
г
Г I r=Rx
/L
-ST'
(2)
б) на внешней границе тело нагревается плоским, равномерно распределённым по поверхности источником тепла, причём учитывается потеря тепла, связанная с излучением с внешней поверхности цилиндра:
-АТ'\ D =аТ + SCT
4
и начальном условии:
Л, 0
Г+ 273 -273
■ч
(3)
(4)
где ОС - постоянный произвольный (не равный нолю или бесконечности) коэффициент теплоотдачи, который выбирается в интервале СХ° : Б - степень черноты поверхности; (7 - постоянная Стефана-Больцмана.
На рис. 1 изображен полый цилиндр с внутренним порошковым покрытием. Область, для которой производится расчёт, заключена между внутренним - ^ и внешним - радиусом.
Рис. 1. Полый цилиндр со внугпрентш порошковым покрытием
4
или
Обе части уравнения (1) умножим на Т , в результате чего получим:
^ гг+т =гРст; Я гТ' = грсТ}.
(5)
Следующим этапом исследования является построение дискретной модели. Для решения поставленной задачи был использован метод сеток [1], [3]-[8].
Покроем расчетную область равномерной сеткой [9] С0к = СО..ХСО/,
со - г.-г-кЛ-т. .М, Я -т-к , Я,-М -к ,
г г г ? ? 1 г? 2 г >
щ= е =п-кпп = \Л^м =М-к1 ,
где 1, ] - индексы по осям х, у соответственно; Иг, - шаги по пространственной и временной координате соответственно; т - минимальное значение индекса; N М - максимальные значения индексов п и т соответственно; Яь Я2 - внутренний и внешний радиусы металлического цилиндра соответственно; С - время протекания процесса.
Проинтегрируем обе части уравнения (5) по области Б:
г,+1/2
, в результате чего получим:
гМ/2
| | Я гТ' г (ЯгЖ =|| грс'1\с1п11.
1П П-1/2 1" г,м/2
Левая часть уравнения (6) может быть преобразована следующим образом:
(6)
Г"+1 П+Цг г/+1/2
| | Я гТ; 'г с/гс/1 /?, гТ' 'г с/г
=к я гт: -я гт:
+ 1/2
-42
(7)
г=г" и+1
( Г/-1/2 г/-1/2 где т[_г+а =Тп+а =аТп+1 + 1 -а Т .
Введём обозначение:
ж = гт;.
Проинтегрируем уравнение на отрезке: Г<Г< Г1+у2 , в результате чего получим:
г
МГ г Ж
\Гс/г= у—с/г.
Упростим полученное выражение:
/Г /г| Т—
/+1/2 J г
Выражение (4.10) может быть преобразовано к следующему виду:
Т1+1-Т1ПЖ[
к
а
(8)
(9)
(10)
(11)
2+1
где а.,, = к
" 2+1 г
С г \
'Г—
г
V П
Таким образом, получим дискретный аналог уравнения (8):
Т.,л -т
гМ/2
г+1
к
(12)
Оценим значение а
г+1 '
г
О , = к
2+1 Г
Гг V1 г
V г< У
= к ЫгГ = к
г
V п У
V1 / г , ЛЛ-1
11 1 К
—1п 1 + —
к V
V > V I У у
□ г
+1/2 ;
Уравнение (8) с учетом полученного выражения запишется:
IV.
гМ/2
¿+1/2 '
Т.,, -т
г+1 1
к
(13)
В силу (7),(13) дискретный аналог интеграла, записанный в левой части уравнения (6), примет вид:
1П+1 гМ/2 (
| гГ \drdt к Я г1+1/2-
1п 1-1/2 V
грп+а грп+а 11+1 _
к
1/2 '
грп+а грп+а Л 11 ~11-1
к
Вычислим правую часть уравнения (6):
| | грсТ^гЖП рс | гс/г рс
У
(14)
гМ/2
1" П_у2
рс Г+1-Г
П-Щ
/ ?. Л
г
9
V - У
(
г +
рп V
гМ/2
| гйг =
Гу Г1-1/2 2 2
_ грп+1 грп ^+1/2 ^-1/2
РС Тг ~Тг -«-
/2 V Г /2 Л
Гг---
V 2 у
+ +
= рс Тгп+1-Тгп
Чл2
ч2у
2
+ г{Иг
(15)
2
Чл2
^^ = тгкгрс Т"+1 -Т"
В итоге получим аппроксимацию уравнения (5):
->п+(т грпл-а
-1П+1 грп
гк рс г+1-Тп =кЛ
г гг г г /
С грп+а грпл-а грп+а грпл-а \
Г г ±г_
г+1/2 ^ ^-1/2
V
/7
У
или
грП+1 г^п к
Я
грп+а грп+а грп+а грг,
г 1г+1 г Ь_~1г-\
4+1/2 ^ 4-112
V
к
Разделим уравнение (17) на к 2:
1рС
грП+\ грп г г
Г у
к
грп+сг грп+<т грп+сг грп+<т
= Я / +1/2 '+1 ~ '--Я / — 1/2 г ~ '-1
(16)
(17)
(18)
к
Аппроксимируем граничное условие (2). Для этого проинтегрируем (5) по области Б: Тт < Г < ^*т+у2 ? ^ — ^ — > в Результате чего получим:
t 'т+1/2
t 'т+1/2
| | Я гТ' 'гФЛ= | | грсТргск.
(19)
Г Г Г Г
1 ' т 1 ' т
Рассмотрим левую часть выражения (19):
«
п
г
Гт+1/2
| | я гт;' с1гс11 = | /I гт;
п г ¿п
' т 1
(п+1
= \л гт; -Лг^5Т'пЖ.
" т+-1/9 7
-Л гТ'
ж =
(20)
г «
В силу уравнения (17) полученное выражение приобретет вид:
.И + 1 г ,/„
? 'и+1/2 грп+сг грп+а
I I Я гГ 'г&(ИПИ(Лгт+у2
ГПП+СГ грГь,^
1т+1 _ 1 т__^ РгГп ^ ^^
к
4.
Найдем:
+п+\ г ... I 'т+1/2
Гт+1/2
| | г рсТ'= рс \T\dt | Ыг = рс Тпт+Х-Тт
Г 2 гт+1/2 ^
Г
У
V гтп У
_ ^ гг172+1 грп т+1/2 т Л?-Т7г+1 "
— ОС I — 1 -— ОС 1 — 1
I т т /-V > т г,
2 ,
Г +/2Г +--Г
т г т * т и+1 т>и 4_
__ т^и+1 Т7«
к г + —
г т
2
к2
И+1 грп С
4 _ яг яг
2
2
,2 Л
V™ + у
V 4 У
рП+1 рП
— I, 2г _т-
2
К
Выражение (19) с учетом (20)-(22) примет вид:
\ гут+а гут+а
(22)
ГП+1 гтщ / — 1
/ т г.
к
к г
1 V
7ТП+(Г ГТ1П+(Т С* /ттИ+1
м — 1 л р с о 1 — 1
■I -у, т+1_т__2 -у, / п п___т_т_
т+1/2 ;2 т
к
К к к
Выражение (23) можно записать в следующей форме: Г о , \
Тп+1-Тп[грс Лрс 8 к
т т
к
Л к 4
Лг
т+1 т
т+1/2
к
(23)
(24)
Разделим выражение (24) на кгрС :
рП+1 р
" т т
к
--1---НИ-
' V
Аппроксимируем граничное условие (3):
о грп+а грп+а
= — т +1/2 т+1 ~ т
,и+1
2 8 Л рс к ,
п" г /
Проинтегрируем (4) по области: ^м-1/2 — Р — . ' — ' — '
^ ,»+1 гм
\ I Л гТ' 'г с/гс/1 = | | грсТ^гЖ,
ГМ-1/2 ГМ-1/2
Получим:
? гм t
Г Г Я гГ ' ФЖък [л гТ' Гм л
J J г г ' J г гм_1/2
. (25)
* ГМ-1/2
(26)
т
2
2
/
= \~гмаТ
Т + 273 - 273
+ rMq-Я гТ' Гм dt =
М-1/2
ht\-rMaTn+°-rMSCJ
Отсюда:
Ы\-гпаТп^-Ymsg
Тп + 273 -2734
Гй + 273 - 2734
грп+а грп+а 1М ~ 1М-1
М-1/2
+ гмд-Лгм_
к
грп+а грп+а 1М ~ ^М-1
М-1/2
/7
__грП+1 грп
— Рс 1М ~1М
ГКГМ ИгЛ 2 8
Таким образом, для / = М получим:
t rM t гм
| J гpcT'tdrdt = рс 17''(б// J rdr =
i rM-1/2
7-in+l т>и '
, м "Гм у
rM-1/2
J* _ T*
rpn+l M м-1/2
= />C TM ~TM -~-
rM-1/2
— nr Tn+1 — Tn _£L
~~ A7 JM 1M 2
(28)
(29)
В итоге аппроксимация уравнения (5) в случае граничного условия (6) запишется в следующем виде [10]:
-aTn+tJM-sc7
Тп + 273 - 2734
Л.
M + qM грп+(7 rrin+СГ
--/I М-1/2 -м ~ м~х
к
= рс
т:;1-т"(м ил
LM ^м
к
2 8
(30)
Л V «у
Таким образом, получим дискретную модель, соответствующую непрерывной задаче (1)-(4):
i = m:
• I rrin f
m m
к
m l Ярпсп 5 — + - + m
2 8 Япрс hr j
О rnn+<7 rpfi+G
:— /и+ 1/2 >+1 m
рс
ЛГ
rj-in+l rjin Д
m<i<M\ i— 1 -
i=M\
ht pc
т::х-т:лм h
rpn+a rpn+a rpn+a rpn+a f + 1/2 /+1 ~ '--/ — 1/2 ~ >-1
h
Я
M -M I---L I —Lm-1/2
2 8 J pc 1
h
rpn+a rpn+a 1M ~1M-1
(31)
к
h
+
-aTn+(TM - s<j
+-
("+273)-2734
M + qM
рскг
n-1
n
2
2
r.
M
Следующим этапом разработки численного алгоритма решения поставленной задачи является выбор метода решения сеточных уравнений. Наиболее эффективным методом, который применяется для решения подобного класса задач, является метод прогонки [11].
Результаты численных экспериментов. В работе получены зависимости температурных полей (рис. 2) от времени для полого цилиндра из стали 45 с внутренним порошковым покрытием при различных коэффициентах теплоотдачи а0 = 10, 30, 60, 100 Дж/м2-с-К; Я1 = 0.023 м, Я2 = 0.05 м - внутренний и внешний радиусы соответственно; мощность источника q = 1.2*105 Вт/м2 до точки Кюри, после достижения точки Кюри (770 оС) она падает до q = 1*103 Вт/м2; р = 7800 кг/м3, рп = 2492 кг/м3 - плотности цилиндра и порошка соответственно; с = 700 Дж/кг-К, сп = 960 Дж/кг-К -теплоёмкости цилиндра и порошка; X = 47 Дж/м-с-К - теплопроводность металла.
металлического цилиндра при различных коэффициентах теплоотдачи а0
Приведённые кривые показывают, что излучение на начальном этапе играет малую роль (практически прямолинейная кривая до 450 оС). Затем график начинает искривляться, указывая на то, что с увеличением температуры поверхности цилиндра мощность теплового излучения растет, тем самым замедляя нагрев цилиндра, и в итоге процесс устанавливается. Большую роль играет также интенсивность теплообмена с окружающей средой: чем выше коэффициент теплоотдачи а0, тем медленнее происходит нагрев цилиндра. При дроблении временного интервала нагрева на участки и последующей их линеаризацией полученное решение хорошо согласуются с аналитическим решением поставленной задачи. Полученное решение позволяет оптимизировать процесс индукционного припекания порошковой шихты и рассчитать необходимую мощность индуктора в зависимости от параметров заготовки.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Сравнительный анализ классических и неклассичнских моделей гидродинамики водоемов с турбулентным обменом / Е. В. Алексеенко и др. // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2009. - № 8 (97). - С. 6-18.
2. Жорник, А. И. Численное решение задачи индукционного нагрева полого цилиндра / А. И. Жорник, Ю. А. Прокопенко, А. Е. Чистяков // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2011. - № 8 (121). - С. 175-182.
3. Сухинов, А. И. Численная реализация трехмерной модели гидродинамики для мелководных водоемов на супервычислительной системе / А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков, Е. В. Алексеенко // Математическое моделирование. - 2011. - Т. 23. - № 3. - С. 3-21.
4. Сухинов, А. И. Адаптивный модифицированный попеременно-треугольный итерационный метод для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором / А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков // Математическое моделирование. - 2012. - Т. 24. - № 1. - С. 3-20.
5. Сухинов, А. И. Параллельная реализация трехмерной модели гидродинамики мелководных водоемов на супервычислительной системе / А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков // Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. - 2012. - Т. 13. - С. 290-297.
6. Сухинов, А. И. Моделирование сценария биологической реабилитации Азовского моря / А. И. Сухинов, А. В. Никитина, А. Е. Чистяков // Математическое моделирование. - 2012. - Т. 24. - № 9. - С. 3-21.
7. Сухинов, А. И. Оценка погрешности решения уравнения диффузии на основе схем с весами / А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков, Ю. С. Бондаренко // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2011. - № 8 (121). - С. 6-13.
8. Математическая модель расчета прибрежных волновых процессов / А. И. Сухинов и др. // Математическое моделирование. - 2012. - Т. 24. - № 8. - С. 32-44.
9. Сухинов, А. И. Построение и исследование дискретной математической модели расчета прибрежных волновых процессов / А. И. Сухинов, Е. Ф. Тимофеева, А. Е. Чистяков // Известия ЮФУ. Технические науки. -2011. - № 8 (121). - С. 22-32.
10. Чистяков, А. Е. Теоретические оценки ускорения и эффективности параллельной реализации ПТМ скорейшего спуска // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2010. - № 6 (107). - С. 237-249.
11. Чистяков, А. Е. Об аппроксимации граничных условий трехмерной модели движения водной среды // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2010. - № 6 (107). - С. 66-77.
УДК 532.5.031 ББК 22.3
Ю. А. Прокопенко, А. И. Жорник
МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА В ОБЛАСТЯХ СО СЛОЖНОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ ГРАНИЦЫ
Аннотация. При моделировании физических процессов часто приходится решать задачу диффузии. Для построения разностных схем, как правило, используется интегро-интерполяционный метод. В работе для построения математической модели распространения тепла использован вариант данного метода, в котором учитывается степень заполненности (заполненность) контрольных ячеек [3; 4]. Приведены результаты расчета построенного программного комплекса.
Ключевые слова: уравнение теплопроводности, метод баланса, заполненность, дискретная модель.
Yu. A. Prokopenko, A. I. Zhornik
MODELLING OF DISTRIBUTION OF HEAT IN AREAS WITH DIFFICULT GEOMETRY OF BORDER
Abstract. When modeling physical processes often it is necessary to solve a diffusion problem. For creation of differential schemes the integro-interpolation method is, as a rule, used. In work for creation of mathematical model of distribution of heat the option of this method in which fullness degree (fullness) of control cells [3; 4] is considered is used. Results of calculation of the constructed program complex are given.
Key words: heat conductivity equation, balance method, fullness, discrete model.
Задача транспорта тепла может быть представлена уравнением диффузии [2]:
<= К > К \+f (1)
с граничными условиями:
C,n(X>y>t) = <XnC + Рп> (2)
где ^ - коэффициент температура проводности, f - функция, описывающая интенсивность и распределение источников.
