Об одной задаче теплопроводности для цилиндра с конвективным теплообменом Текст научной статьи по специальности «Физика»

в случае 2(д-1)-а >0 и а, не ограничено (а1 <) в случае 2 (д -1)- а < 0, существуют 0 <у< 1.

Таким образом, если итерационный процесс сходится, то он сходится и при а, = 0, причём в этом случае оценка скорости сходимости оказывается наилучшей

д -1

Г =11 +

1+q\ |ç/ ç

о II с

+

1.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Box G.E.P. and Jenkins G.M. Time Series Analysis: Forecasting and Control, rev. Ed., San Francisco: Holden-Day, 1976.

Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор Я.Е. Ромм.

Васильев Владислав Сергеевич - Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет»; e-mail: [email protected]; 347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44; тел.: 88634371606; кафедра высшей математики; к.ф.-м.н.; доцент.

Vasiliev Vladislav Sergeevich - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education "Southern Federal University"; e-mail: [email protected]; 44, Nekrasovsky, Taganrog, 347928, Russia; phone: +78634371606; the department of higher mathematics; cand. of. eng. sc.; associate professor.

УДК 519.4

А.И. Жорник, В.А. Киричек, П.А. Савочка

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ЦИЛИНДРА С КОНВЕКТИВНЫМ ТЕПЛООБМЕНОМ

Рассматривается нестационарная задача теплопроводности для цилиндра с конвективным теплообменом со средой с кипящим слоем. Этот кипящий слой образуется между поверхностью цилиндра и охлаждающей жидкостью. В зависимости от плотности теплового потока, подводимого к жидкости от поверхности нагрева, на ней образуется или сплошной слой пара, или отдельные паровые пузыри, или кипение прекращается, если температура поверхности окажется ниже точки кипения. Поэтому коэффициент теплообмена является функцией температуры поверхности цилиндра, и поэтому задача имеет нелинейное граничное условие. Решение проводится численным и приближенным аналитическим методами. Полученные указанными методами результаты сравниваются.

Цилиндр; теплопроводность; теплообмен; температурное поле.

A.I. Zhornik, V.A. Kirichek, P.A. Savochka

ON A THERMAL CONDUCTIVITY PROBLEM FOR A CYLINDER WITH CONVECTIVE HEAT EXCHANGE

A nonstationary thermal conductivity problem for a cylinder with a convective heat exchange with a medium with a fluidized bed is considered. This fluidized bed is formed between the cylindrical surface and the coolant. Depending on the heat flux density supplied to the fluid from the heating surface, a continuous layer or separate vapor bubbles form on it. Otherwise boiling ceases when the surface temperature is below the boiling point. Therefore, the heat transfer coeffi-

cient is a function of cylinder temperature, therefore we have a nonlinear boundary condition. The solution is carried out by numerical and approximate analytical methods. The results obtained by these methods are compared.

Cylinder; thermal conductivity; heat exchange; temperature field.

Введение. При изготовлении и эксплуатации изделий они подвергаются резкому нагреву или охлаждению. При этом интенсивность теплообмена поверхности изделий со средой в общем случае зависит от температуры поверхности. Следовательно, задача теплопроводности имеет нелинейное граничное условие. Решение такой задачи можно получить численными или приближенными аналитическими методами.

Постановка задачи. В процессе нагрева или охлаждения изделий (закалка, непрерывное литье металлов, охлаждение двигателей, испытания на термостойкость и т.д.) их поверхность может иметь температуру, существенно большую температуры кипения, хотя основная масса охлаждающей жидкости остается не-догретой до этой температуры. В таком случае имеется некоторая изотермическая поверхность, по одну сторону которой жидкость перегрета, а по другую недогрета до температуры кипения. Первая область называется кипящим граничным слоем, вторая - холодным ядром потока. В первой происходит парообразование, во второй - конденсация пара.

В зависимости от плотности теплового потока, подводимого к жидкости через поверхность нагрева, на последней возникают отдельные паровые пузыри или образуется сплошной слой пара. Первый процесс называется пузырьковым кипением; второй - пленочным. При пузырьковом кипении жидкость непосредственно омывает поверхность нагрева, причем ее пограничный слой интенсивно разрушается (тур-булизуется) возникающими паровыми пузырями. Кроме того, всплывающие пузыри увлекают из пристенного слоя в ядро потока присоединенную массу перегретой жидкости, что создает интенсивный молярный перенос теплоты от поверхности нагрева к массе кипящей жидкости. Следствием этого является высокая интенсивность теплоотдачи при пузырьковом кипении, возрастающая с увеличением числа действующих центров парообразования и количества образующегося пара.

При пленочном кипении жидкость отделена от поверхности нагрева слоем пара, с внешней стороны которого время от времени отрываются и всплывают крупные пузыри. Вследствие относительно малой теплопроводности парового слоя интенсивность теплоотдачи при пленочном кипении существенно меньше, чем при пузырьковом.

Возникновение того или иного вида кипения определяется величиной плотности теплового потока у поверхности нагрева, физическими свойствами жидкости и гидродинамическим режимом потока в целом.

Условия перехода от одного режима (вида) кипения к другому и области их существования отчетливо выявляются при построении зависимости коэффициента теплообмена от разности температур поверхности нагрева и насыщения, изображенной на рис. 1 в условиях свободной конвекции [1]. Причем это выполняется для различных материалов, помещенных в воду.

Линия 0А - пузырьковое кипение, БГД - пленочное кипение, область между ними - смешанное кипение.

В случае вынужденной конвекции кипящей воды на процесс теплоотдачи, связанный с кипением, налагается еще процесс, обусловленный вынужденной конвекцией, что увеличивает коэффициент теплообмена. Однако, согласно исследованиям, проведенным в [1], даже при относительно небольшом превышении температуры охлаждаемой стенки AT над температурой кипения воды (373 К, 100 °С) ~ 30 К решающую роль начинает играть пузырьковое кипение. Это хорошо видно из рис. 2, где по горизонтальной оси отложен тепловой поток q = aAT.

et-10-3 Вт/ы2К 33 29 25 21 17 13

9

5

А

и

Б * Г Д »—*

О 100 300 500 700 ДТ: К

Рис. 1. Зависимость коэффициента теплообмена от разности температур поверхности цилиндра и насыщения в большом объеме воды

Рис. 2. Опытные данные о влиянии циркуляции жидкости на теплоотдачу при

кипении воды

В то же время при стремлении AT ^ 0 (температуры стенки к температуре кипения) коэффициент теплообмена, с одной стороны, стремится к значению, соответствующему значению для вынужденной конвекции ниже температуры кипения, который можно рассчитать по формулам, приведенным в работах [1, 2]. С другой стороны, с увеличением q все кривые, независимо от составляющей, связанной с вынужденной конвекцией, стремятся к а^ ~ 29000 Вт/м2К, связанным с пузырьковым кипением. В частности, согласно рис. 1 и 2, при v = 0 и AT ^ 0 величина а ^ ~ 4000 Вт/м2К, что согласуется с данными работ [2, 3], в которых для 4185 Вт/м2К для случая естественной (свободной) конвекции.

Чтобы оценить влияние эффекта кипения воды на температурное поле, необходимо решить уравнение теплопроводности для цилиндра с коэффициентом теплообмена, зависящим от температуры.

Численное решение задачи. В качестве модели для решения задачи выбран цилиндр относительно большой длины (длина цилиндра значительно больше его радиуса) радиуса гс, нагретого до постоянной температуры Т0, который охлаждается в среде постоянной температуры в путем теплообмена с коэффициентом теплообмена, зависящим от температуры поверхности цилиндра а(Т(гс, т)), который изменяется по линейному закону (см. рис. 1).

Уравнение теплопроводности для цилиндрического тела, приведенное к безразмерному виду, таково:

ЭТ(ат)_IЭТр^^Тр), ре [0,1], т = Тр, т), (1)

Эт р Эр Эр2

где р = г/гс - относительный радиус; т= а/гс2- относительное время; а _ Л— -

РУСУ

температуропроводность материала цилиндра; р - массовая плотность; су -удельная теплоемкость; Лт - теплопроводность.

Начальное условие - цилиндр, в начальный момент времени имеет постоянную температуру Т0 - в_ 0

Т(р, 0) = 0.

Граничные условия:

ЭТ (р,т)

Эр

р_ 0

_ 0,

ЭТ (р,т)

Эр

р_ 1

_- Ы(Т (1,т))Т (1,т),

(2)

(3)

(4)

где

Бг2,Т(1,т)< 100 С,

Б1(Т (1,т ) ) _

( -В12)

33

(Т (1,т) -100 ) - Бг2, 100° С < Т (1,т) < 133° С,

Бг1,133° С < Т (1,т) < 180° С,

Б11 =

а1>: Л

коэффициент Био при температуре выше 133 °С (в нашем случае Б11 =

=107, для гс = 2,15-10-3 м, ЛТ = 0,5852 Вт/м-К, а} = 29-103 Вт/м2К ), Бг2 - коэффициент Био при температуре ниже 100 °С (в нашем случае Бг2 = 37, 55, 74 при тех же гс и ЛТ и различных коэффициентах теплообмена).

Для построения решения разностной схемы будем использовать равномерную сетку на интервале ре [0,1]:

а)к _{(р. ,тп) : р _ гНр;тп _ пкт, г _ ПМ, Нр _ 1/М; п _ Нт_т0/N },

где кр - шаг по относительному радиусу р, кт - по шаг по относительному времени т, М - количество точек разбиения по относительному радиусу, N - количество точек разбиения по относительному времени, т0 - время, для которого будет производиться расчет.

После всех преобразований получим разностную схему: 1) I = 0

2) i е [1, M —1]

rpn _ rjin ^

T1 =T0 '

Г ■ ■ \

1 1

---- T

h h2

V * p )

3) i = M

2h2

Y^n+i _

'Ti+1

2h2

'-pn+i _

~li —1 —"

2h2

> — i — 0,5 Tn —

i+1 2hl li—1

h h

Tn = 0,

p

M

M — 0,5 M • Bi(TMj

2hp

1 — M + 0,5 1 — M — 0,5 —

lM г\т_2 lM —1 oi2 lM —1

2hp

2hp

M_ h

M

— 0,5 M • Bi (TM j

2hp

Tn = 0.

M

Известно, что данная схема абсолютно устойчива [4, 5]. Схема будет монотонной при условии

----1— > 0, т.е. Н< К,.

К К т р

Методом прогонки с использованием зависимости коэффициента теплообмена от температуры на поверхности цилиндра (4) получена зависимость температуры на поверхности цилиндра от времени.

Аналитическое решение задачи. Согласно рис. 1, переход от тепловых процессов с большим коэффициентом теплообмена (о1 ~ 29-103 Вт/м2К) при пузырьковом кипении к теплообмену с жидкостью с температурой ниже точки кипения осуществляется в узкой температурной области. Поэтому эту область заменим точкой. Коэффициент темплообмена в этой точке изменяется скачком. В связи с этим задача теплопроводности ставится следующим образом.

В качестве модели для решения задачи выбран цилиндр относительно большой длины (длина цилиндра значительно больше его радиуса) радиуса гс, нагретого до температуры /(г), который охлаждается в среде постоянной температуры в путем теплообмена с коэффициентом теплообмена, зависящим от температуры поверхности цилиндра о(Т(гс, г)), который изменяется скачком.

Уравнение теплопроводности:

дТ (г, г)_ 1 д ( дТ (г, г Г

dt

= a-

dr'

dr

0 < r < rc, t > 0.

Начальное условие:

Т(г, г) = /(г), 0 < г < Гс, г = 0.

Граничные условия:

Т(г, х) < «», г = 0, г > 0, дТ (г , г).

где к =

а

Л

_ -к[Т(г,г)-в], г = гс, г > 0, дг

относительный коэффициент теплообмена.

(5)

(6)

(7)

(8)

Решение поставленной выше задачи проведено методом конечного интегрального преобразования Ханкеля по г [6] и имеет вид

r

Т (г, Го) -в_ 2£

к_1 Гс (хк X

х2е-у2 Го

х2 +

вё)'0

Ц а (р) -в]1о

р

йр,

(9)

'с

ей

аг

где Го _ —, в = —т г Л

■, хк - корни трансцендентного уравнения

хТ^х) = Вг7о(х). (10)

В начальный момент времени цилиндр нагрет до постоянной температуры Т0 выше температуры кипения воды (охлаждающей среды). Поэтому на начальном этапе охлаждения температура стенки выше температуры кипения. В связи с этим охлаждение будет проходить при пузырьковом кипении с коэффициентом теплообмена а1. Полагая в (9) /(г) = Т0, имеем решение в виде

Т (г, Го) -в

Т-в

2Вг;

п

Но Ы (( + Вг;2)

Уп

Л

'с У

(11)

где уп - корни трансцендентного уравнения

у11(у) = Вг'11о(у). (12)

Для нахождения времени Го1, при котором температура поверхности станет равной температуре кипения жидкости Тк = 100 °С, необходимо воспользоваться следующим условием:

Т (гс, Г01)-в = Тк-в =

Т-в

Т) -в

= 2Вг\ X

- Уп Го1

=1 Уп2 + В11

(13)

Подставляя Го1 в (11), найдем начальное распределение температур /(г) для следующего этапа охлаждения с другим коэффициентом теплообмена Вг2:

/(г)-в = Т(г,Го1)-в

Уп2 Го1

Т-в

Т0-в

■ _ 2Вг1

(Уп) (Уп2 + Вг-12)1о и

Г г >

Уп" гс У

(14)

Подставляя (14) в (9), найдем температурное поле на следующем этапе охлаждения:

Т (г,Го)-в _

Т-в

_ 4Вг1 ( - Вг'2) £

2 -х2Го

х ,,е к

(15)

к _1

120 (хк) (( + Вг22) 0

' (у2 + Вг12)(У2 -х2) '

где хк - корни трансцендентного уравнения

х^(х) = Вг210(х). (16)

Можно показать, что если В11 = Вг2 = В1ср, то решение (15) переходит в решение (11).

На рис. 3, 4 приведены графики зависимости температуры на поверхности цилиндра от времени, рассчитанные численным методом (рис. 3) и приближенным аналитическим методом (рис. 4) - пунктирные линии. Сплошными линиями показано решение, полученное по (11) при В[1 = Вг2 = В1ср = 90 (аср = 25-103 Вт/м2К).

Из рис. 3, 4 видно, что численный метод (рис. 3) дает более плавный температурный профиль, чем профиль, найденный приближенным аналитическим методом. Это связано с тем, как указывалось выше, что в приближенном аналитическом методе температурная область перехода от теплообмена с пузырьковым кипением к теплообмену с жидкостью, с температурой ниже точки кипения, заменена точкой.

г

х

к

г

с

е

е

п

Рис. 3. Сравнение температурных полей со средним коэффициентом (В1ср = 90, сплошная линия) и изменяющимся скачком (от В11 = 107 до Ы2 = 37, 55,

74, пунктирные линии)

Рис. 4. Сравнение температурных полей с средним коэффициентом (В1ср = 90, сплошная линия) и изменяющимся скачком (от В11 = 107 до В12 = 37, 55, 74,

пунктирные линии)

Заключение. Решение задачи теплопроводности для цилиндра с конвективным теплообменом в среду с кипящим слоем численным и приближенным аналитическим методом показало относительно хорошее совпадение результатов расчета.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. - Новосибирск: Наука, Сибирское отделение. - 1970. - 659 с.

2. Михеев М.А. Основы теплопередачи. - М.: Госэнергоиздат, 1956. - 526 с.

3. Бартенев Г.М. Механические свойства и тепловая обработка стекла. - М.: Гос. Изд-во лит-ры по строительству, архитектуре и строительным материалам, 1960. - 166 с.

4. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. - М.: Наука, 1989. - 432 с.

5. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. - Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1967. - 195 с.

6. Жорник А.И. Термоупругие процессы, происходящие в твердых телах с трещиноподоб-ными дефектами. - Таганрог: Изд-во Таганрогского госпединститута, 2002. - 259 с.

Статью рекомендовал к опубликованию д.ф.-м.н., профессор Г.В. Куповых.

Жорник Александр Иванович - Таганрогский государственный педагогический институт им. А.П. Чехова; e-mail: [email protected]; г. Таганрог, ул. Инициативная, 48; тел.: 88634601807; кафедра теоретической, общей физики и технологии, д.ф.-м.н.; профессор.

Киричек Виктория Александровна - кафедра теоретической, общей физики и технологии; к.ф.-м.н.; доцент.

Савочка Петр Анатольевич - Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет»; e-mail: [email protected]; 347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44; тел.: 88634360460; кафедра конструирования электронных средств; ассистент.

Zhornik Aleksandr Ivanovich - Taganrog State Pedagogical Institute named A.P. Chekhov; e-mail: [email protected]; 48, Initsiativnaya street, Taganrog, Russia; phone: +78634601807; the department of theoretical physics and general technology; dr. of phys.-math. sc.; professor.

Kirichek Viktoriya Aleksandrovna - the department of theoretical physics and general technology; cand. of phys.-math. sc.; professor.

Savochka Petr Anatolievich - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education "Southern Federal University"; e-mail: [email protected]; 44 Nekrasovsky, Taganrog, 347928, Russia; Work phone: +78634371603; the department of electronic apparatuses design; assistant.