CC BY
57
Savochka Petr Anatolievich
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: [email protected].
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: +78634371603.
Assistant.
УДК 53.004
А.И. Жорник, Ю.А. Прокопенко, А.Е. Чистяков
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА ПОЛОГО ЦИЛИНДРА
Рассматривается численное решение задачи теплопроводности, описывающее процесс нанесения порошковых покрытий на внутренние поверхности стальных труб методом центробежного индукционного припекания. Граничное условие на внутренней поверхности полого цилиндра (трубы) учитывает поглощение тепла порошковым слоем. На - ( , ) -векцию и излучение, то есть является нелинейным. Проводится сравнение рассчитанного распределения температуры по толщине цилиндра с аналогичным кусочно.
Покрытие; температурное поле; коэффициент теплопроводности.
A.I. Zhornik, Yu.A. Prokopenko, A.E. Chistyakov
NUMERICAL SOLUTION OF THE INDUCTION HEATING PROBLEM FOR
THE HOLLOW CYLINDER
Numerical solution of the thermal conductivity problem for the steel tubes' internal surfaces powder covering process by the method of centrifugal sticking is considered in the work. Boundary condition on the inner surface of the hollow cylinder (tube) implies heat absorption by the powder layer. On the external one (besides surface sources connected with induction heating) convection and radiation are included, that is we have nonlinear boundary condition. Comparison of the computed temperature radius distribution with an analogous sectionally linearized solution is fulfilled.
Covering; temperature field; heat conductivity factor.
Введение. Металлические трубы со внутре нним порошковым покрытием находят широкое применение в различных отраслях промышленности. Одним из методов нанесения покрытий является метод центробежного индукционного припекания, который заключается в засыпании порошковой шихты во вращающийся
,
по внутренней поверхности полого металлического цилиндра[5,6]. Металл нагре-, . Мощность объёмных источников распределяется равномерно в поверхностном слое по всей длине и окружности цилиндра. Интенсивность источников убывает с глубиной по экспоненциальному закону. Но расчёты показывают, что затухание мощности с глубиной настолько велико, что можно перейти к плоскому поверхностному источнику нагрева.
.
внутри полого цилиндрического тела, на внутренней поверхности которого нанесено порошковое покрытие, а внешняя поверхность нагревается равномерно рас-
пределённым по поверхности источником тепла. Торцы цилиндра теплоизолированны, внутренняя поверхность порошковой шихты также считается теплоизолированной, т.е. слой является лишь поглотителем тепла. Данный процесс описывается уравнением теплопроводности:
материала, Дж/кг-К; а = Х/рс - температуропроводность, м2/с.
Уравнение (1) рассматривается при следующих граничных условиях:
♦ на внутренней границе происходит поглощение тепла порошковым слоем:
где 5 - толщина порошкового покрытия; рп, сп - плотность и теплоёмкость материала порошкового покрытия соответственно;
♦ на внешней границе тело нагревается плоским, равномерно распределённым по поверхности источником тепла, причём учитывается потеря тепла связанная с излучением внешней поверхностью цилиндра и за счёт теплообмена с окружающей средой:
где а0 - постоянный (не равный нулю или бесконечности) коэффициент теплоотдачи; 8 - степень черноты поверхности; а - постоянная Стефана-Больцмана; и начальном условии:
На рис. 1 изображен полый цилиндр со внутренним порошковым покрытием. Расчетная область заключена между внутренним (И1) и внешним (И2) радиусами.
V г ;
V г ;
(1)
где Т = Т(гД) - функция распределения температуры; X - коэффициент теплопроводности, Вт/м-К; р - плотность материала, кг/м3; с - удельная теплоёмкость
г|г=И
(2)
-ят;|г = а0Т + ест (Т + 273)4 - 2734 - я,
(3)
(4)
Рис. 1. Полый цилиндр со внутренним порошковым покрытием
Обе части уравнения (1) умножим на Г , в результате чего получим
Х(гТ')г = греТ'. (5)
Далее можно переходить к построению дискретной модели.
Построение дискретной модели. Покроем расчетную область равномерной сеткой Юь = ЮГХЮ1,
юг =|г; = 1 • Иг,1 = т..М, = т • ИГ,К2 = М • Иг |,
={ 1“ = п • Ь1,п = Щ Iм = М • \ },
где 1, п - индексы по пространственной и временной координате соответственно; Иг, И - шаги по координатам х, 1;; т - минимальные значения индексов, N, М - максимальные значения индексов соответственно; Иь И2 - внутренний и внешний радиусы металлического цилиндра соответственно; Iм - время протекания процесса.
Для построения дискретной модели воспользуемся методом баланса, для этого проинтегрируем обе части уравнения (5) по области Б:
{Гн/2 < г < Гм/2,1” < 1 < 1"+‘}:
1"+1 Г+1/2
в результате чего получим
1"+1 Г+^2
| | Я(гТг')гёгё1 = | | греТ^гё^
1“ 4-^2 1“ г1_^2
Левая часть уравнения (6) может быть преобразована следующим образом:
г +^2
1 | Л(ГТГ) г ^ Ь ] Л(ГТ') і ёГ
,П 4-у:
где Т
і" зі-V; гі-V;
Т1 П +Ф _ирП +1 , (л _ \ ирП +1
,=, =а! +(1 -а)1 .
Введём обозначение:
W = гТ.
ь, (чоц-мои
(6)
(7)
(8)
Проинтегрируем уравнение на отрезке: Гі < Г < ^+^2 , в Результате чего по-
лучим
+г 1W
!Т> = 1-гаг.
Упростим полученное выражение
тр+| = W| 7 -.
1г1 1г1г
"і+1
^г
+У2 J г
Выражение (10) может быть записано в следующем виде:
и
Ті., - Ті= W|
"і+12 а
(9)
(10)
(11)
і+1
ГДЄ аі+1 = Ьг
ґг. л-1
Г+1 аг
•’ г
Таким образом, получим дискретный аналог уравнения (8):
т - т.
Шг = аі+1—-----------------к
4+1/2 і+1 и
(12)
Оценим значение а;+1:
аі+і = Ьг
(г , , 1
аг
1п-і+1
(л Ґ и ^V1
—1п
Ь
\ — = ьг Мг) = ьг
У “г V ч J) Уравнение (8) с учетом полученного выражения запишется в виде
т + - т
Ї+1/2*
Ш ~ г , —^--------------------------1
Гі+^2 і+^2
(13)
В силу (7), (13) дискретный аналог интеграла, записанный в левой части уравнения (6), примет вид
1П+1 гі+^2
| і = Ь Х Г
tn гі-^2 V
ґ грп +О грп +О грп+О грп+О
г Ті+1 — ті_______________г ті — Ті-1
і+12 Ь і—12
Ь
(14)
(6):
1П+1 Г1+^2 '
:п+1 гі+^2 ї™ гі+^2 Ґ1+1
| І грет^^рс |т^ І г<іг^ ре |т'<0;
ї гі—^2
^2
І+У2 І гаг =
= рс (тп+1 — тп)
Г г2 Ї
ын II 12)
Гі+^2
■=Г. гі—12 2
,,, Ч (гі+^2 ) — (гі—12 ) =
і / О
і—12
= рс (+1—т”)
Ьг г- + —
п\{ 1 2,
Ь.
г
V
і 2
У _
=рс (—т)-
г2 + гіЬг +
Ьг
У 2 У
— гі + гіЬг —
2
У 2 У
2
В итоге получим аппроксимацию уравнения (5):
/ гпп+а т.п+а
= ііЬгрс(т“ —т). (15)
г,Ьгрс(т,п+1 — тп ) = Ь, X
У
тп+О т1
г і+1_______і________г
Аі+!2 ь ^
тп+о т
і—1
или
=х
г
’-рп+о ’-рп+о
ті+1 — ті
і+1/2
У
Ь
1і—1/2 '
’-рп+о ’-рп
ті — ті—1
Ь
(16)
. (17)
Разделим уравнение (17) на Ь2:
г
гтч П+1 гтч П гтч П+Ф грП+Ф
1рс ‘ ; = Х( +1/2) ы -2 ;--------Х( -1/2—
К
Ь2
грП+Ф грП+Ф
Г - ii-1 (18)
К2 '
(2). (5)
области Б: |гш < Г < Гт+^2, 1П < 1 < 1П+1}, в результате чего получим
. т+у2 Г т+12
| | Х(гТ')ёгё1 = | | грсТ'(йгё1.
(19)
Рассмотрим левую часть выражения (19):
| | Мгт;-Аё1 = I(ЧО-^-401
1П г
т
1П+1
= I Мгт;
-Хг —псп. 5Г>.
+^2 Х_ П
(20)
1*1 ' П
(17)
1:П+1 гш+^2 ^ тп+^ тп+ст р —
II Х(гт;- г йЛ - КХгт+12 тт+1-------------------------т-Хг —П—П5(тП+1 - ТП - .(21)
К
(19):
1П+1 гт+12 1П+1 Гт+12
| | грсТ>Л = рс |т> | г* = рс(тт+1 -тт)
/ —2 гт+!2^
2
V ■ш )
=р— (тт*1 -тт—,|/2— (гт- =р—(тт+1 -тт) 2
К
2
г + Иг + — - г
т г т 4 т
, к2
Ьггт + —11 =р— (т;и -т;)—=рс
V
=К Хгт+^2
тП+1 тП
у
-Хг
р ПСП
Х„
5(тiп+1 - тП-.
(22)
Выражение (19), с учетом (21)-(22), примет вид
Л грП+а грП+а
рсттт+1 - ту
К
Кг
г„ +—1-4
■ Хг
т+1/2
гтчП+СТ гтчП+СТ ^ грП +1 грП
Гт+1 Гт - Хг ^ПС^ Гт____Гт (23)
К2
ч V ^ у
(23) :
тт+1 - т; Г гтр— + хрп—п т _5+кЛ
К I 2 Х К 4
ХК
К
^ V ^
Разделим выражение (24) на Крс, получим
грП+СТ грП+СГ
Хг Гт+1 - Гт . (24)
т+
У
Г’П +1 ^рП
К
т 1 ХрПсП 5
—+ - + ш- КП П —
1 V
2 8 ХПрс К
Л >"рП+С >"рП+С
Х / ~Ч Гт+1 - Гт _ . (25)
г
=—(ш +1/2 - 2
р^ ' } К2
1П г
I *ш
(3)
г ^ г ^ г їп ^ ї ^ ї
Проинтегрируем (5) по области: Ам—1/2 —1 — А™ — і — і
п+1
їп +1 гм
Ам,
І""1 гм
| І Л(гт')г ОЛ = | І грст^.
(26)
1 гМ—12 1 гМ—12
, (26),
(3),
.п+1 г *п +’
ї гм ї
{ І чягУа*-ь, {ч^Оігі^
гМ—12
І
= І
'гм ат гм єа
(т + 273)4 — 2734 ] + гмя —Х(гт;)гм а =
= Ш —гматп+а — гм єо
(тп + 27 3)4 — 2734] + гмя — Лгм—у2
Т<п +а г-рп+а і
м — тм —1 І . (27)
, (26),
1П +1 гм 1П +1 гм
| | грсТ'ёгЛ = рс | | гёг =
^ ГМ-12 ^ ГМ-12
= рс(тП+1 - тП =рс(тП+1 - тП — м - ( м~12 - =
_ к'-'^м 2 _ гс\Ам Ам / 2 _
гм—12
ьг — £2
Ьггм 4
(28)
(3):
(тп + 273)4 - 27 34 м + ям
----------=!--------------------Л(Ы — 1/2)
-аTn±аM — єа
Ь„
гт-<п+а гт-іп+а
тм — тм—1 =
ь2
= рс
п+1 ^^м Ь„
ГТ'<п +1 гр
тм — тм
8
(29)
/
^ V ^
Таким образом, получим дискретную модель, соответствующую непрерывной задаче (1)-(4):
і = т:
'"рп+1 '"рп
т________т
Ь,
т 1 Хрпсп 8
+ - + т п п
ї V
. .Г”1 — т;п X
т < і < м: і—
2 8 Хпрс Ьг
Л '-рп+а '-рп+а
= —(т +1/2) т+1 , т
рс^ ' ' Ьг2
і = м:
Ьї рс
тп+1 — тп / м Ь
1м 1м1 ІУ1 11
'-рп+а грп+а грп+а '-рп+а
(і +1/2) і+1 —2 і--------(і —1/2)^ — і—1
Ь2
Ь2
£ ^28 —атп+ам — єа
л г-рп +а__г-рп+а
= ——(м—1/2)м ь21м—1
рс
+ -
(тп + 273)4 -2734
м + ям
рсЬг
п
Система уравнений (30) решалась методом прогонки [2].
Исследование устойчивости [1-4] показало, что математическая модель индукционного нагрева полого цилиндра, безусловно, устойчива и имеет место :
тп < я+ т0
а
Результаты численных экспериментов. В результате получены зависимости температурных полей (рис.2) от времени для полого цилиндра из стали 45 со внутренним порошковым покрытием при различных коэффициентах теплоотдачи = 20, 50, 100 Дж/м2сК; И1 = 0,024 м, И2 = 0,04 м - внутренний и внешний радиусы соответственно; мощность источника я = 1х105 Вт/м2, после достижения точки кюри (770 0С), падает до я = 1х103 Вт/м2; р = 7800 кг/м3, рп = 2492 кг/м3 -плотности цилиндра и порошка соответственно; с = 700 Дж/кг-К, сп = 960 Дж/кг-К
- ; = 50 / - .
Рис. 2. Температурное поле на внешней (кривые - 1,3,5) и внутренней (кривые - 2,4,6) границе полого металлического цилиндра при различных коэффициентах теплоотдачи а0
Из графика видно, что излучение на начальном этапе играет малую роль (практически прямолинейная кривая до 450 0С), затем график начинает искрив, , -, , -
.
- 0, -
грев цилиндра. Данные хорошо согласуются с аналитическим решением [7], благодаря полученному дроблению временного интервала нагрева на участки, с последующей их линеаризацией.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1989.
2. Самарский А.А., Николаев ЕС. Методы решения сеточных уравнений. - М.: Наука, 1978.
3. Сух иное А.И., Чистяков А.Е., Алексеенко ЕМ. Численная реализация трехмерной модели гидродинамики для мелководных водоемов на супервычислительной системе // Математическое моделирование. - 2011. - Т. 23, № 3. - С. 3-21.
4. Чистяков А.Е. Трехмерная модель движения водной среды в Азовском море с учетом транспорта солей и тепла // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2009. - № 8 (97).
- С. 75-82.
5. Жор ник В А. Прокопенко Ю.А. Моделирование процесса р азрушения двухслойных ци-липдровпри тепловом воздействии // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2010.
- № 6 (107). - С. 154-167.
6. Жорник В.А. Прокопенко Ю.А. Моделирование процесса нанесения стеклянных покры-
// .
науки. - 2010. - № 6 (107). - С. 215-221.
7. . ., . ., . ., . ., . .
// -
пых трудов. «Математические модели физических процессов и их свойства». - Таганрог: Изд-во ТГПИ, 2001. - С. 74-77.
Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор Я.Е. Ромм.
Жорник Александр Иванович
« ».
E-mail: [email protected].
347936, г. Таганрог, ул. Инициативная, 48.
Тел.: 88634601807. '
Д.ф-м.н.; профессор.
Прокопенко Юрий Александрович
E-mail: [email protected].
.
Чистяков Александр Евгеньевич
Технологический институт федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.
E-mail: [email protected].
347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский 44.
Тел.: 88634371606.
Кафедра высшей математики; ассистент.
Zhornik Aleksandr Ivanovich
Taganrog State pedagogical Institute.
E-mail: [email protected].
48, Iniciativnaya Street, 347936, Taganrog.
Phone: +78634601807.
Dr. of Phis.-Math. Sc.; Professor.
Prokopenko Yury Aleksandrovich
E-mail: [email protected].
Assistant.
Chistyakov Alexander Evgenjevich,
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
44, Nekrasovsky, Taganrog, 347928 E-mail: [email protected] Phone: +78634371606.
The Department of Higher Mathematics; Assistant.
